高考数学函数的单调性PPT教学课件

第5课时 函数的单调性
▪ 要点·疑点·考点 ▪课 前 热 身 ▪ 能力·思维·方法 ▪ 延伸·拓展 ▪误 解 分 析
2020/12/10
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要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的
任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减 函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
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2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(2402)0根/12据/10 判定的结果作出相应的结论.
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4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x)
2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③
(C)①与③
(D)②与④
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3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 fx1x的减区间是_____________________；函
1x
数 f x 1x的减区间是_____________
1x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1] (5) C
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
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3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
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4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
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延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对 当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 1 n f n 1 1 f n 1 2 n N
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 1 n f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础20上20/1给2/10出则水到渠成.
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