高二数学(理科)上学期期末试卷

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山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

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2022-2023山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)命题“∃x>0,使2x>3x”的否定是()A.∀x>0,使2x≤3x B.∃x>0,使2x≤3x C.∀x≤0,使2x≤3x D.∃x ≤0,使2x≤3x2.(5分)双曲线=1的渐近线方程为()A.y=±B.y=±x C.y=±x D.y=±x3.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线BC1与EF所成角的余弦值是()A.B.C.D.4.(5分)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,则“l1∥l2”是“a=﹣1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a ⊥c则b∥c;②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;③若a∥b,b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.(5分)设点P为椭圆上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为()A.B.C.D.7.(5分)已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为()A.6 B.C.D.4+28.(5分)已知圆O为Rt△ABC的外接圆,AB=AC,BC=4,过圆心O的直线l交圆O于P,Q两点,则的取值范围是()A.[﹣8,﹣1]B.[﹣8,0]C.[﹣16,﹣1]D.[﹣16,0]9.(5分)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.10.(5分)在四面体S﹣ABC中,,二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为,则该四面体外接球的表面积是()A.B.C.24πD.6π11.(5分)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x其中x∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1)不等式t<e1+e2恒成立,则t的最大值为()A.B.C.2 D.12.(5分)已知底面为边长为2的正方形,侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,P是面A1B1C1D1上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点D距离为的点P形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若DP∥面ACB1,则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是;③若,则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)直线的倾斜角为.14.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为.15.(5分)已知直线l:x+y﹣6=0和圆M:x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0,点A在直线l 上,若直线AC与圆M至少有一个公共点C,且∠MAC=30°,则点A的横坐标的取值范围为.16.(5分)已知m,n,s,t∈R+,m+n=2,,其中m、n是常数,当s+t 取最小值时,m、n对应的点(m,n)是双曲线一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知p:“直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相交”;q:“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”.若“p∨q”为真,“¬q”为假,则实数m的取值范围.18.(12分)已知线段AB的端点B在圆C1:x2+(y﹣4)2=16上运动,端点A的坐标为(4,0),线段AB中点为M,(Ⅰ)试求M点的轨C2方程;(Ⅱ)若圆C1与曲线C2交于C,D两点,试求线段CD的长.19.(12分)如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB 的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD;(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B﹣DEG 的体积.20.(12分)已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线C于A,B两点,若点P的纵坐标为m(m≠0),点D为准线l与x 轴的交点.(Ⅰ)求直线PF的方程;(Ⅱ)求△DAB的面积S范围;(Ⅲ)设,,求证λ+μ为定值.21.(12分)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,平面ABCD∩平面ABPE=AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.22.(12分)在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.2022-2023晋中市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)命题“∃x>0,使2x>3x”的否定是()A.∀x>0,使2x≤3x B.∃x>0,使2x≤3x C.∀x≤0,使2x≤3x D.∃x ≤0,使2x≤3x【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即∀x>0,使2x≤3x,故选:A2.(5分)双曲线=1的渐近线方程为()A.y=±B.y=±x C.y=±x D.y=±x【解答】解:由题意,a=4,b=3,渐近线方程为y=±x,故选C.3.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线BC1与EF所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,则E(2,1,0),F(2,2,1),B(2,2,0),C1(0,2,2),=(﹣2,0,2),=(0,1,1),设直线BC1与EF所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|===.∴直线BC1与EF所成角的余弦值是.故选:B.4.(5分)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,则“l1∥l2”是“a=﹣1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:∵直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,且l1∥l2,∴a2﹣a﹣2=0,解得:a=2或a=﹣1,故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件,故选:B.5.(5分)已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a ⊥c则b∥c;②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;③若a∥b,b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解:两条直线都与第三条直线垂直,只两条直线之间的位置关系不能确定,故①②不正确,若a∥b,b⊥c则a⊥c,这里符合两条直线的关系,是我们求两条直线的夹角的方法,故③正确,综上可知有一个正确的说法,故选B.6.(5分)设点P为椭圆上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为()A.B.C.D.【解答】解:∵椭圆,∴b=2,c=.又∵P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°,F1、F2为左右焦点,∴|F1P|+|PF2|=2a,|F1F2|=2,∴|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°=4a2﹣3|F1P|•|PF2|=4a2﹣16,∴|F1P|•|PF2|=.∴=|F1P|•|PF2|sin60°=××=.故选:C.7.(5分)已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为()A.6 B.C.D.4+2【解答】解:∵|AF|=4,由抛物线的定义得,∴A到准线的距离为4,即A点的横坐标为﹣2,又点A在抛物线上,∴从而点A的坐标A(﹣2,4);坐标原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)则|PA|+|PO|的最小值为:|AB|==故选C.8.(5分)已知圆O为Rt△ABC的外接圆,AB=AC,BC=4,过圆心O的直线l交圆O于P,Q两点,则的取值范围是()A.[﹣8,﹣1]B.[﹣8,0]C.[﹣16,﹣1]D.[﹣16,0]【解答】解:【解法一】以O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,如图所示;在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点,半径为r=BC=2,所以A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0),圆O的方程为:x2+y2=4;当直线PQ的斜率不存在时,有P(0,2),Q(0,﹣2),=(2,2),=(﹣2,﹣2),则•=﹣4﹣4=﹣8;当直线PQ的斜率存在时,设直线l为:y=kx,代入圆的方程可得P(﹣,﹣),Q(,),则=(2﹣,﹣),=(﹣2,),所以•=(2﹣)(﹣2)+(﹣)=﹣8+,由1+k2≥1可得0<≤8,所以﹣8<﹣8+≤0;又题目中没有要求P、Q的具体位置,所以P、Q坐标互换时,比如,当k=0时,若P(2,0),Q(﹣2,0),则向量=(4,0),向量=(﹣4,0),所以•=﹣16.故选:D.【解法二】以O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,如图所示;在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点,半径为r=BC=2,所以A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0),圆O的方程为:x2+y2=4;设P(2sinθ,2cosθ),Q(﹣2sinθ,﹣2cosθ),把转化为三角函数计算更简单.9.(5分)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.10.(5分)在四面体S﹣ABC中,,二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为,则该四面体外接球的表面积是()A.B.C.24πD.6π【解答】解:取AC中点D,连接SD,BD,因为AB=BC=,所以BD⊥AC,因为SA=SC=2,所以SD⊥AC,AC⊥平面SDB.所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B.在△ABC中,AB⊥BC,AB=BC=,所以AC=2.取等边△SAC的中心E,作EO⊥平面SAC,过D作DO⊥平面ABC,O为外接球球心,所以ED=,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣,所以cos∠EDO=,OD=,所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心,其半径为,表面积为6π.故选:D.11.(5分)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x其中x∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1)不等式t<e1+e2恒成立,则t的最大值为()A.B.C.2 D.【解答】解:在等腰梯形ABCD中,BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×(1﹣x)=1+4x,由双曲线的定义可得a1=,c1=1,e1=,由椭圆的定义可得a2=,c2=x,e2=,则e1+e2=+=+,令t=∈(0,﹣1),则e1+e2=(t+)在(0,﹣1)上单调递减,所以e1+e2>×(﹣1+)=,故选:B.12.(5分)已知底面为边长为2的正方形,侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,P是面A1B1C1D1上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点D距离为的点P形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若DP∥面ACB1,则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是;③若,则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:如图,①错误,与点D距离为的点P形成以D1为圆心,半径为的圆弧MN,长度为=;②错误,因为面A1DC1∥面ACB1,所以点P必须在面对角线A1C1上运动,当P 在A1(或C1)时,DP与面ACC1A1所成角∠DA1O(或∠DC1O)的正切值为最小,当P在O1时,DP与面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值为最大,所以正切值取值范围是;③正确,设P(x,y,1),则x2+y2+1=3,即x2+y2=2,DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为,所以六个面上的正投影长度之和为,当且仅当P在O1时取等号.故选B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)直线的倾斜角为150°.【解答】解:由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣,可得直线的斜率为,设直线的倾斜角为α,则tanα=,可得α=150°故答案为:150°14.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为16.【解答】解:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD,正方体的棱长为4,O、A、D分别为棱的中点,∴OD=2,AB=DC=OC=2,做OE⊥CD,垂足是E,∵BC⊥平面ODC,∴BC⊥OE、BC⊥CD,则四边形ABCD是矩形,∵CD∩BC=C,∴OE⊥平面ABCD,∵△ODC的面积S==6,∴6=,得OE=,∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V==16,故答案为16.15.(5分)已知直线l:x+y﹣6=0和圆M:x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0,点A在直线l 上,若直线AC与圆M至少有一个公共点C,且∠MAC=30°,则点A的横坐标的取值范围为[1,5] .【解答】解:如图,设点A的坐标为(x0,6﹣x0),圆心M到直线AC的距离为d,则d=|AM|sin30°,∵直线AC与⊙M有交点,∴d=|AM|sin30°≤2,∴(x0﹣1)2+(5﹣x0)2≤16,∴1≤x0≤5,故答案为[1,5].16.(5分)已知m,n,s,t∈R+,m+n=2,,其中m、n是常数,当s+t 取最小值时,m、n对应的点(m,n)是双曲线一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为x﹣2y+1=0.【解答】解:由已知得=,由于s+t的最小值是,因此,又m+n=2,所以m=n=1.设以点(m,n)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则有①.又该两点在双曲线上,则有,,两式相减得②,把①代入②得,即所求直线的斜率是,所求直线的方程是,即x﹣2y+1=0.故答案为x﹣2y+1=0三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知p:“直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相交”;q:“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”.若“p∨q”为真,“¬q”为假,则实数m的取值范围.【解答】解:∵直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相交,∴(1,0)到x+y﹣m=0的距离小于1,即<1,解得:1﹣<1+,故p:m∈(1﹣,1+);m=0时,方程mx2﹣2x+1=0有实数解,m≠0时,若方程mx2﹣2x+1=0有实数解,则△=4﹣4m≥0,解得:m≤1,故q:m∈(﹣∞,1],若“p∨q”为真,“¬q”为假,则p真q真或p假q真,故m∈(﹣∞,1].18.(12分)已知线段AB的端点B在圆C1:x2+(y﹣4)2=16上运动,端点A的坐标为(4,0),线段AB中点为M,(Ⅰ)试求M点的轨C2方程;(Ⅱ)若圆C1与曲线C2交于C,D两点,试求线段CD的长.【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),B(x′,y′),则由题意可得:,解得:,∵点B在圆C1:x2+(y﹣4)2=16上,∴(x′)2+(y′﹣4)2=16,∴(2x﹣4)2+(2y﹣4)2=16,即(x﹣2)2+(y﹣2)2=4.∴轨迹C2方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=4;(Ⅱ)由方程组,解得直线CD的方程为x﹣y﹣1=0,圆C1的圆心C1(0,4)到直线CD的距离为,圆C1的半径为4,∴线段CD的长为.19.(12分)如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB 的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD;(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B﹣DEG 的体积.【解答】解:(1)取AC的中点P,连接DP,因为在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,所以∠A=30°,△ADC是等腰三角形,所以DP⊥AC,DP=,∠DCP=30°,∠PDC=60°,又点E在线段AC上,CE=4.所以AE=2,EP=1,所以∠EDP=30°,∴∠EDC=90°,∴ED⊥DC;∵将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD;(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,G为EC的中点,此时AE=EG=GC=2,因为在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,所以BD=,DC=,所以B到DC的距离h===,因为平面BCD⊥平面ACD,平面BDC∩平面EDC=DC,所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高.三棱锥B﹣DEG的体积:V====.20.(12分)已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线C于A,B两点,若点P的纵坐标为m(m≠0),点D为准线l与x 轴的交点.(Ⅰ)求直线PF的方程;(Ⅱ)求△DAB的面积S范围;(Ⅲ)设,,求证λ+μ为定值.【解答】解:(Ⅰ)由题知点P,F的坐标分别为(﹣1,m),(1,0),于是直线PF的斜率为,所以直线PF的方程为,即为mx+2y﹣m=0.(3分)(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得m2x2﹣(2m2+16)x+m2=0,所以,x1x2=1.于是.点D到直线mx+2y﹣m=0的距离,所以.因为m∈R且m≠0,于是S>4,所以△DAB的面积S范围是(4,+∞).(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)及,,得(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2),(﹣1﹣x1,m﹣y1)=μ(x2+1,y2﹣m),于是,(x2≠±1).所以.所以λ+μ为定值0.(14分)21.(12分)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,平面ABCD∩平面ABPE=AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【解答】(Ⅰ)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEP,平面ABCD∩平面ABEP=AB,BP ⊥AB∴BP⊥平面ABCD,又AB⊥BC,∴直线BA,BP,BC两两垂直,以B为原点,分别以BA,BP,BC为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),∴M(1,1,),∴=(﹣1,0,),=(0,2,0).∵BP⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的一个法向量,∵=﹣1×0+0×2+=0,∴⊥.又EM⊄平面ABCD,∴EM∥平面ABCD.(Ⅱ)解:当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下:∵=(2,﹣2,1),=(2,0,0),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则.令y=1,得=(0,1,2).假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.设=λ=(2λ,﹣2λ,λ)(0≤λ≤1),∴=+=(2λ,2﹣2λ,λ).∴|cos<,>|==.∴9λ2﹣8λ﹣1=0,解得λ=1或(舍去).∴当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.22.(12分)在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(﹣1,0)的距离与P 到定直线x=﹣4的距离之比为.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1,且直线OA、OB的斜率之积等于,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值?请说明理由.【解答】解:(1)设P(x,y),由题意可得,,化简得3x2+4y2=12,所以,动点P的轨迹C的方程为.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,,因为点A、B在椭圆C上,所以,,所以,=,化简得.①当x1=x2时,则四边形ABA1B1为矩形,y2=﹣y1,则,由,得,解得,,S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=;②当x1≠x2时,直线AB的方向向量为,直线AB的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0,原点O到直线AB的距离为,所以△AOB的面积,根据椭圆的对称性,四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|,所以,=,所以.所以,四边形ABA1B1的面积为定值.。

2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解

2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解
由S△ABF2= ·4a·r= ·2c·|y1】本题考查焦点三角形内切圆面积的求法和椭圆定义的运用,解题的关键一是采取“算两次”的方法,根据三角形面积的唯一性得到等式后求解,二是合理运用椭圆的定义进行计算.考查转化能力和计算能力,属于基础题.
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线 : 就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:
【详解】∵直线方程 可整理为
∴定点为
∵点A在直线 上

∴ ,当且仅当 时取等号
故答案为:
16.过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 和 ,又直线 经过拋物线 的焦点 ,那么 的最小值为_________.
16
【分析】设 ,写出以 为切点的切线方程,由判别式求出切线斜率,得到以 为切点的切线方程,同理求出以 为切点的切线方程,结合 在两条切线上得直线 的方程,联立直线 与抛物线方程,根据根与系数的关系,结合抛物线定义得出结果.
【考点】圆的方程,点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.
9.已知 , ,若不等式 恒成立,则正数 的最小值是()
A. 2B. 4
C. 6D. 8
第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数
相同,第六组的人数为4人.
(Ⅰ)求第七组的频率;
(Ⅱ)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数;

高二理科数学上学期期末原创卷02(人教必修2+选修2-1)

高二理科数学上学期期末原创卷02(人教必修2+选修2-1)

高二理科数学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对于命题:p x ∃∈R ,使得210x x ++<,则p ⌝是 A .:p x ⌝∀∈R ,210x x ++> B .:p x ⌝∃∈R ,210x x ++≠ C .:p x ⌝∀∈R ,210x x ++≥D .:p x ⌝∃∈R ,210x x ++<2.已知点(1,2,1)A -,点C 与点A 关于平面xOy 对称,点B 与点A 关于x 轴对称,则||BC =A .B .C .D .43.过点(2,0)且与直线230x y -+=垂直的直线方程是 A .220x y --= B .220x y +-= C .240x y +-= D .220x y +-=4.已知双曲线22116y x m-=的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为A .y x =B .y x =C .y =D .y =5.若,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是A .若,m αββ⊥⊥,则//m αB .若//,m n m α⊥,则n α⊥C .若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂,则//αβD .若m ∥β,m ⊂α,α⋂β=n ,则//m n 6.设x ∈R ,若“2)og (l 11x -<”是“221x m >-”的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是A .[B .(1,1)-C .(D .[1,1]-7.若圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3440x y ++=与圆C 相切,则圆C 的方程为 A .22230x y x +--= B .2240x y x ++= C .2240x y x +-=D .22230x y x ++-=8.已知F 是椭圆C :22195x y +=的左焦点,P 为C 上一点,4(1,)3A ,则||||PA PF +的最小值为 A .10B .11C .4 D .139.某几何体的三视图如图所示,其中,正视图中的曲线为圆弧,则该几何体的体积为A .4π643-B .64-4πC .64-6πD .64-8π10.已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M N 、两点,若||MN ≥k 的取值范围是A .3[,0]4-B .3(,][0,)4-∞-+∞C .[D .2[,0]3-11.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA 1,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为A .π6B .π4C .π3D .π212.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且|||AK AF =,则AFK △的面积为A .4B .8C .16D .32第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“若实数a 、b 满足5a b +≤,则2a ≤或3b ≤”是________命题(填“真”或“假”).14.若1a >,则双曲线22213x y a -=的离心率的取值范围是___________. 15.已知四棱锥-P ABCD 的顶点都在球O 的球面上,底面ABCD 是边长为2的正方形,且PA ⊥平面ABCD ,四棱锥-P ABCD 的体积为163,则该球的体积为___________. 16.若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长,则22(2)(2)a b -+-的最小值为___________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知命题p :二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞上是增函数;命题q :双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是)+∞.(1)分别求命题p ,命题q 均为真命题时,m 的取值范围;(2)若“p 且q ” 是假命题,“p 或q ”是真命题,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知圆C 经过原点O (0,0)且与直线y =2x ﹣8相切于点P (4,0). (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过点(4, 5),且与圆C 相交于M ,N 两点,若|MN|=2,求出直线l 的方程. 19.(本小题满分12分)已知直线:2l y x b =+与抛物线21:2C y x =. (1)若直线与抛物线相切,求实数b 的值.(2)若直线与抛物线相交于A 、B 两点,且|AB |=10,求实数b 的值.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,∆ABC 顶点的坐标分别为A (−1,2)、B (1,4)、C(3,2).(1)求∆ABC 外接圆E 的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),且与圆E 相交所得的弦长为l 的方程;(3)在圆E 上是否存在点P ,满足22||2||PB PA =12,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥S -ABCD ,底面梯形ABCD 中,BC ∥AD ,平面SAB ⊥平面ABCD ,SAB △是等边三角形,已知AC =2AB =4,BC =2AD =2DC =(1)求证:平面SAB ⊥平面SAC ; (2)求二面角B-SC-A 的余弦值.22.(本小题满分12分)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右顶点是A(2,0),离心率为12. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于两点,M N (,M N 不同于点A ),且AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∙AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,求证:直线l 过定点,并求出定点坐标.。

四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(理科)试题

四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(理科)试题

2022~2023学年度上期期末高二年级调研考试数学(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A .14y x =± B .12y x =± C .4y x =± D .2y x =±2.在空间直角坐标系Oxyz 中,点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为( )A .5B .6C .7D .83.在一次游戏中,获奖者可以获得5件不同的奖品,这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定,用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号,则5件奖品的编号可以是( ) A .3,13,23,33,43 B .11,21,31,41,50 C .3,6,12,24,48D .3,19,21,27,504.命题“0m ∀∈≤N ”的否定是( )A .00m ∃∉≥NB .00m ∃∈>NC .00m ∃∈≤ND .0m ∀∈>N5.若,,a b c ∈R ,则“a b >”是“a c b c +>+”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知直线:0l Ax By C ++=(A ,B 不同时为0),则下列说法中错误的是( ) A .当0B =时,直线l 总与x 轴相交 B .当0C =时,直线l 经过坐标原点O C .当0A C ==时,直线l 是x 轴所在直线 D .当0AB ≠时,直线l 不可能与两坐标轴同时相交7.执行如图所示的程序语句,若输入5x =,则输出y 的值为( )B .7C .22-D .28-8.已知F 是抛物线24y x =的焦点,M 是抛物线上一点,且满足120OFM ∠=︒(O 为坐标原点),则FM 的值为( )A .4B .3C .D .29.已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=.若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称,则圆2O 的方程为( ) A .22(3)9x y -+=B .22(3)9x y +-= C .22(2)(3)9x y -+-=D .22(3)(2)9x y -+-=10.已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,命题2:2320p m m --≤,命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为假命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ∨ C .p q ⌝∨ D .p q ⌝∨11.在平面直角坐标系xOy 内,对任意两点()11,A x y ,()22,B x y ,定义A ,B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-,记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω.现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子,每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的,若落在Ω内的豆子为M 粒,则下面各式的值最接近圆周率的是( ) A .NMB .2NMC .3NMD .4NM12.已知有相同焦点1F ,2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点为A ,若2AOF △(O 为坐标原点)是等边三角形,则ab mn的值为( )A .2+B .2-CD 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.已知椭圆22110036x y +=上一点P 到一个焦点的距离为6,那么点P 到另一个焦点的距离为______. 14.为了解某校高三学生的数学成绩,随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩,得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息,估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.(结果保留到小数点后两位)15.甲,乙两人下棋,若两人下成和棋的概率是13,甲获胜的概率是14,则乙获胜的概率是______.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点1F ,2F ,经过1F 斜率为l 与双曲线的左支相交于P ,Q 两点.记12PF F △的内切圆的半径为a ,则双曲线的离心率为______.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知点(4,2)P -,直线:3450l x y --=. (Ⅰ)求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程; (Ⅱ)求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程. 18.(本小题满分12分)甲,乙两台机床同时生产一种零件,统计5天中两台机床每天所出的次品件数,数据如下图:(Ⅰ)判断哪台机床的性能更稳定,请说明理由;(Ⅱ)从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据,求至多有一天的次品数超过1件的概率. 19.(本小题满分12分)已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ,N 两点. (Ⅰ)求||MN 的长;(Ⅱ)设圆C 经过点M ,N 及(2,2)B .若点P 在圆C 上,点Q 在圆A 上,求||PQ 的最大值. 20.(本小题满分12分)某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表:(Ⅰ)求2022年售卖出的产品件数y (单位:万件)关于销售网点数x (单位:个)的线性回归方程; (Ⅱ)根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程,预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式:()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑,ˆˆay bx =-. 21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点.求四边形ACBD 的面积的最小值. 22.(本小题满分12分)已知点(1,0)F ,经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线,垂足为M ,且||||1AF AM -=.记动点A 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ,Q 两点,经过点(1,)((0,2)D t t ∈,且t 为常数)的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ,求证:直线QN 恒过定点.。

人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)

人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)

黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)向量,若,则x的值为()A.﹣3 B.1 C.﹣1 D.32.(5分)已知函数f(x)=x+lnx,则f′(1)的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣23.(5分)某学校高一、高二、高三共有学生3500人,其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为()A.8 B.11 C.16 D.104.(5分)某公司在2014年上半年的收入x(单位:万元)与月支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示:月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料,则()A.月收入的中位数是15,x与y有正线性相关关系B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系C.月收入的中位数是16,x与y有正线性相关关系D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系5.(5分)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,则田忌获胜的概率为()A .B .C .D .6.(5分)点集Ω={(x,y)|0≤x≤e,0≤y≤e},A={(x,y)|y≥e x,(x,y)∈Ω},在点集Ω中任取一个元素a,则a∈A的概率为()A .B .C .D .7.(5分)下列说法错误的是()A.“函数f(x)的奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件.B.已知A,B,C不共线,若=,则P是△ABC的重心.C.命题“∃x0∈R,sinx0≥1”的否定是:“∀x∈R,sinx<1”.D.命题“若α=,则cos”的逆否命题是:“若cos,则”.8.(5分)过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B 两点,D为虚轴上的一个端点,且△ABD为直角三角形,则此双曲线离心率的值为()A.B.C.或D.或9.(5分)若双曲线x2+my2=m(m∈R)的焦距4,则该双曲线的渐近线方程为()A.B.C. D.10.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.11.(5分)设函数f(x)=x2﹣9lnx在区间[a﹣1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2]B.[4,+∞)C.(﹣∞,2]D.(0,3]12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知命题“∃x∈R,x2﹣ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是.14.(5分)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,若∠APB=120°,则动点P的轨迹方程为.15.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是.16.(5分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x+1(e为自然对数的底数),若f(2x﹣1)+f(4﹣x2)>2,则实数x的取值范围为.三、解答题(本大题共6个小题,17题10分,其余各题各12分,共70分)17.(10分)已知过抛物线y2=8x的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.(1)求线段AB的长度;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求λ的值.18.(12分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2﹣4bx+1.(Ⅰ)设集合A={﹣1,1,2}和B={﹣2,﹣1,1},分别从集合A,B中随机取一个数作为a 和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.(Ⅱ)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,E为AB的中点,PA⊥平面ABCD,且PA=2(1)在棱PD上求一点F,使AF∥平面PEC;(2)求二面角D﹣PE﹣A的余弦值.20.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(12分)已知椭圆的两个焦点分别为,,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN 的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.22.(12分)设函数(1)当x∈(0,+∞),恒成立,求实数a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)﹣x在[1,e2]上有两个极值点x1,x2.(A)求实数a的取值范围;(B)求证:.大庆高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)向量,若,则x的值为()A.﹣3 B.1 C.﹣1 D.3【解答】解:∵向量,,∴=﹣4+4x﹣8=0,解得x=3.故选:D.2.(5分)已知函数f(x)=x+lnx,则f′(1)的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2【解答】解:∵f(x)=x+lnx,∴f′(x)=1+∴f′(1)=1+=2故选B3.(5分)某学校高一、高二、高三共有学生3500人,其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为()A.8 B.11 C.16 D.10【解答】解:设高一学生有x人,则高三有2x,高二有x+300,∵高一、高二、高三共有学生3500人,∴x+2x+x+300=3500,∴x=800,∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,∴应抽取高一学生数为=8故选A.4.(5分)某公司在2014年上半年的收入x(单位:万元)与月支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示:月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料,则()A.月收入的中位数是15,x与y有正线性相关关系B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系C.月收入的中位数是16,x与y有正线性相关关系D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系【解答】解:月收入的中位数是=16,收入增加,支出增加,故x与y有正线性相关关系,故选:C.5.(5分)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,则田忌获胜的概率为()A .B .C .D .【解答】解:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别为记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题设其中Ab,Ac,Bc是胜局共三种可能,则田忌获胜的概率为=,故选:A6.(5分)点集Ω={(x,y)|0≤x≤e,0≤y≤e},A={(x,y)|y≥e x,(x,y)∈Ω},在点集Ω中任取一个元素a,则a∈A的概率为()A.B.C. D.【解答】解:点集Ω表示的平面区域的面积为:,集合A所表示的平面区域如图所示,其面积为:,结合几何概型计算公式可得所求的概率值为:.故选:B.7.(5分)下列说法错误的是()A.“函数f(x)的奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件.B.已知A,B,C不共线,若=,则P是△ABC的重心.C.命题“∃x0∈R,sinx0≥1”的否定是:“∀x∈R,sinx<1”.D.命题“若α=,则cos”的逆否命题是:“若cos,则”.【解答】解:对于A,函数f(x)为奇函数,若f(0)有意义,则f(0)=0,则“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的非充分非必要条件,故A错误;对于B,已知A,B,C不共线,若=,可得+==2,(D为AB的中点),即有P在AB的中线上,同理P也在BC的中线上,在CA的中线上,则P是△ABC的重心,故B正确;对于C,命题“∃x0∈R,sinx0≥1”的否定是:“∀x∈R,sinx<1”,由命题的否定形式,可得C 正确;对于D,由逆否命题的形式可得,命题“若α=,则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠,则α≠”,故D正确.故选:A.8.(5分)过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B 两点,D为虚轴上的一个端点,且△ABD为直角三角形,则此双曲线离心率的值为()A.B.C.或D.或【解答】解:设双曲线的右焦点F2(c,0),令x=﹣c,可得y=±,可得A(c,﹣),B(c,),又设D(0,b),△ABD为直角三角形,可得∠DBA=90°,即b=或∠BDA=90°,即=0,解:b=可得a=b,c=,所以e==;由=0,可得:(c,)(c,﹣)=0,可得c2+b2﹣=0,可得e4﹣4e2+2=0,e>1,可得e=,综上,e=或.故选:D.9.(5分)若双曲线x2+my2=m(m∈R)的焦距4,则该双曲线的渐近线方程为()A.B.C. D.【解答】解:根据题意,双曲线x2+my2=m(m∈R)的焦距4,可得=2c=4,解可得m=﹣3,则双曲线的方程为:,其渐近线方程为:y=±x;故选:D.10.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【解答】解:取A1C1的中点D1,连接B1D1,AD1,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1D1⊥面ACC1A1,则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,∴,故选A.11.(5分)设函数f(x)=x2﹣9lnx在区间[a﹣1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2]B.[4,+∞)C.(﹣∞,2]D.(0,3]【解答】解:∵f(x)=x2﹣9lnx,∴函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=x﹣,∵x>0,∴由f′(x)=x﹣<0,得0<x<3.∵函数f(x)=x2﹣9lnx在区间[a﹣1,a+1]上单调递减,∴,解得1<a≤2.故选A.12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,即=kπ+,k∈z,即x0=m.再由x02+[f(x0)]2<m2,即x02+3<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,∴m2 >m2+3,∴m2>4.求得m>2,或m<﹣2,故选:C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知命题“∃x∈R,x2﹣ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是[﹣2,2] .【解答】解:∵命题“存在实数x,使x2﹣ax+1<0”的否定是任意实数x,使x2﹣ax+1≥0,命题否定是真命题,∴△=(﹣a)2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2.实数a的取值范围是:[﹣2,2].故答案为:[﹣2,2].14.(5分)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,若∠APB=120°,则动点P的轨迹方程为x2+y2=.【解答】解:连接OP,AB,OA,OB,∵PA,PB是单位圆O的切线,∴PA=PB,OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°,又OA=OB=1,∴OP=,∴P点轨迹为以O为圆心,以为半径的圆,∴P点轨迹方程为x2+y2=.故答案为:x2+y2=.15.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值,由于sin,k∈Z的取值周期为6,且2017=336×6+1,所以S=sin+sin+…sin=336×(sin+sin+…+sin)+sin=.故答案为:.16.(5分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x+1(e为自然对数的底数),若f(2x﹣1)+f(4﹣x2)>2,则实数x的取值范围为(﹣1,3).【解答】解:根据题意,令g(x)=f(x)﹣1=e x﹣e﹣x,有g(﹣x)=f(﹣x)﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g(x),则g(x)为奇函数,对于g(x)=e x﹣e﹣x,其导数g′(x)=e x+e﹣x>0,则g(x)为增函数,且g(0)=e0﹣e0=0,f(2x﹣1)+f(4﹣x2)>2⇒f(2x﹣1)﹣1>﹣f(4﹣x2)+1⇒f(2x﹣1)>﹣[f(4﹣x2)﹣1]⇒g(2x﹣1)>g(x2﹣4),又由函数g(x)为增函数,则有2x﹣1>x2﹣4,即x2﹣2x﹣3<0解可得:﹣1<x<3,即实数x的取值范围为(﹣1,3);故答案为:(﹣1,3).三、解答题(本大题共6个小题,17题10分,其余各题各12分,共70分)17.(10分)已知过抛物线y2=8x的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.(1)求线段AB的长度;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求λ的值.【解答】解:(1)直线AB的方程是y=2 (x﹣2),与y2=8x联立,消去y得x2﹣5x+4=0,由根与系数的关系得x1+x2=5.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,(2)由x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4,从而A(1,﹣2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,﹣2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ﹣2),又y2=8x3,即[2(2λ﹣1)]2=8(4λ+1),即(2λ﹣1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.18.(12分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2﹣4bx+1.(Ⅰ)设集合A={﹣1,1,2}和B={﹣2,﹣1,1},分别从集合A,B中随机取一个数作为a 和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.(Ⅱ)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.【解答】解:要使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,需a>0且,即a>0且2b≤a.(Ⅰ)所有(a,b)的取法总数为3×3=9个.满足条件的(a,b)有(1,﹣2),(1,﹣1),(2,﹣2),(2,﹣1),(2,1)共5个,所以所求概率.(Ⅱ)如图,求得区域的面积为.由,求得.所以区域内满足a>0且2b≤a的面积为.所以所求概率.19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,E为AB的中点,PA⊥平面ABCD,且PA=2(1)在棱PD上求一点F,使AF∥平面PEC;(2)求二面角D﹣PE﹣A的余弦值.【解答】解:(1)以BD为x轴,CA为y轴,AC与BD的交点为O,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系.A(0,1,0),,C(0,﹣1,0),,P(0,1,2),设,,,则=().设平面PEC的法向量为=(x,y,z),,,则,∴,取y=﹣1,得=(﹣,﹣1,1).∵AF∥平面PEC,∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0,解得,∴F为PD中点.(2)=(,,0),=(,﹣,0),设平面PEA的法向量=(x,y,z),则,取x=,得平面PEA的法向量=(,﹣3,0),设平面PED的法向量=(x,y,z),则,取x=,得=(),cos<>===﹣,由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角,因此,二面角D﹣PE﹣A的余弦值为.20.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=e x(ax+b)﹣x2﹣4x,∴f′(x)=e x(ax+a+b)﹣2x﹣4,∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4∴f(0)=4,f′(0)=4∴b=4,a+b=8∴a=4,b=4;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=4e x(x+1)﹣x2﹣4x,f′(x)=4e x(x+2)﹣2x﹣4=4(x+2)(e x﹣),令f′(x)=0,得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈(﹣∞,﹣2)或(﹣ln2,+∞)时,f′(x)>0;x∈(﹣2,﹣ln2)时,f′(x)<0∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣2),(﹣ln2,+∞),单调减区间是(﹣2,﹣ln2)当x=﹣2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(﹣2)=4(1﹣e﹣2).21.(12分)已知椭圆的两个焦点分别为,,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN 的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.【解答】解:(Ⅰ)依题意,,a2﹣b2=2,∵点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,∴b=|OM|=1,∴.…(3分)∴椭圆的方程为.…(4分)(II)①当直线l的斜率不存在时,由解得.设,,则为定值.…(5分)②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x﹣1).将y=k(x﹣1)代入整理化简,得(3k2+1)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0.…(6分)依题意,直线l与椭圆C必相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.…(7分)又y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),所以=====..….…(13分)综上得k1+k2为常数2..….…(14分)22.(12分)设函数(1)当x∈(0,+∞),恒成立,求实数a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)﹣x在[1,e2]上有两个极值点x1,x2.(A)求实数a的取值范围;(B)求证:.【解答】解:(1)∵,且x>0,∴.令,则.①当a≤0时,U'(x)>0,U(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,∴x>1时,U(x)>U(1)=0,不合题意.②当0<a<2时,时,U'(x)>0,U(x)在上为单调递增函数,∴,U(x)>U(1)=0,不合题意.③当a>2时,,U'(x)<0,U(x)在上为单调递减函数.∴时,U(x)>U(1)=0,不合题意.④当a=2时,x∈(0,1),U'(x)>0,U(x)在(0,1)上为单调递增函数.x∈(1,+∞),U'(x)<0,U(x)在(1,+∞)上为单调递减函数.∴U(x)≤0,符合题意.综上,a=2.(2),x∈[1,e2].g'(x)=lnx﹣ax.令h(x)=g'(x),则由已知h(x)=0在(1,e2)上有两个不等的实根.(A)①当时,h'(x)≥0,h(x)在(1,e2)上为单调递增函数,不合题意.②当a≥1时,h'(x)≤0,h(x)在(1,e2)上为单调递减函数,不合题意.③当时,,h'(x)>0,,h'(x)<0,所以,h(1)<0,,h(e2)<0,解得.(B)证明:由已知lnx1﹣ax1=0,lnx2﹣ax2=0,∴lnx1﹣lnx2=a(x1﹣x2).不妨设x1<x2,则,则=.令,(0<x<1).则,∴G(x)在(0,1)上为单调递增函数,∴即,∴,∴,∴,由(A),∴ae<1,2ae<2,∴.。

高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)

高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)

高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{14}A x x =<<,{lg(1)}B x y x ==-,则AB =( )A .{12}x x <<B .{12}x x ≤<C .{12}x x -<<D .{12}x x -≤< 2. 如果命题“p 且q ”是假命题,“q ⌝”也是假命题,则( ) A .命题“⌝p 或q ”是假命题 B .命题“p 或q ”是假命题 C .命题“⌝p 且q ”是真命题 D .命题“p 且q ⌝”是真命题3. 已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,7825a a -=,则11S 为( ) A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4. 以抛物线28y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(2)4x y ++= D. 22(2)4x y -+=5.“3a =”是 “函数()3xf x ax =-有零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题: ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ; ②若α⊥m,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥;③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α; ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//. 其中正确命题的序号是( )A .①④B .②④C .②③ D.①③7.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题: “今有蒲生一日,长三尺。

莞生一日,长一尺。

蒲生日自半。

莞生日自倍。

问几何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物)现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题,设计右面的程序框图,输入3A =,1a =.那么在①处应填( )A .2?T S >B .2?S T >C .2?S T <D .2?T S < 8.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4π B.3π[0,)[,π) 24π⋃ C. 3π[,π) 4 D. 3(,]24ππ 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足: ()1y f x =-的图象关于()1,0点对称,且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=,当[)0,2x ∈时, ()1x f x e =-,则()()20162017f f +-= ( )(其中e为自然对数的底)A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +10.已知Rt ABC ∆,点D 为斜边BC 的中点,63AB =,6AC =,12AE ED =,则A E E B ⋅等于( ) A. 14- B. 9- C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中,不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若,x y 满足上述约束条件,则13x y z x ++=+的最小值为 ( )A .1- B.17- C. 13 D .75-12. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为e ,过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点,若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形,则=2e ( )A.221+B. 224-C.225-D.223+ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.14.已知α为锐角,向量(cos ,sin )a αα=、(1,1)b =-满足223a b ⋅=,则sin()4πα+= .15.某三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的表面积为______.16.若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=,则b c -的最小值是_________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. (本小题满分10分)在数列{}n a 中,14a =,21(1)22n n na n a n n +-+=+.(1)求证:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18. (本小题满分12分) 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c,且sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-= .(1)求角C ;(2)若ABC ∆的中线CD 的长为1,求ABC ∆的面积的最大值.19.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01).(若75.0||>r ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.附:相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((,参考数据55.03.0≈,95.09.0≈.20.(本小题满分12分)在五面体ABCDEF 中, ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=,AD ⊥平面CDEF .(1)证明:直线CE ⊥平面ADF ; (2)已知P 为棱BC 上的点,23CP CB =,求二面角P DF A --的大小.21. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ,过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ,Q 两点,当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ≠,使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅?若存在,求出实数t 的取值范围;若不存在,说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()ln a f x x x=+. (1)求函数()f x 的单调区间; (2)证明:当2a e≥时, ()x f x e ->.高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13. 56 14.315. 323π 16. 117.解:(1)21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +,得*12()1n na a n n n+-=∈+N , …………3分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4,公差为2的等差数列. …………………4分(2)由(1),得22n an n=+,…………………5分所以222n a n n =+,故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++,………………7分所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+, 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ 11(1)212(1)n n n =-=++. ……………10分 18.解:(1)∵ sin sinsin sin a A b B c C Ca B +-=,222cos 2a b c C Cab +-∴==…………4分,即tan C =(0,)C π∈3C π∴=.………………6分(2) 由222211()(2)44CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅ 即2222111(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++…………………8分从而22442,3ab a b ab ab -=+≥≤(当且仅当a b ==10分 即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=…………………12分19.解:(1)由已知数据可得2456855x ++++==,3444545y ++++==.………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑,…………………2分 ,52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………………3分=…………………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑.………………5分因为0.75r>,所以可用线性回归模型拟合y与的关系.……………6分(2)记商家周总利润为Y元,由条件可得在过去50周里:当70X>时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元.…………8分当5070X≤≤时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元.……………………………9分当50X<时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,周总利润Y=3×3000=9000元.…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元,所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.………………………12分20.证明:(1)//,2,CD EF CD EF CF===∴四边形CDEF为菱形,CE DF∴⊥,………1分又∵AD⊥平面CDEF∴CE AD⊥………2分又,AD DF D⋂=∴直线CE⊥平面ADF.………4分(2) 60DCF∠=,DEF∴∆为正三角形,取EF的中点G,连接GD,则,GD EF GD CD⊥∴⊥,又AD⊥平面CDEF,∴,,DA DC DG两两垂直,以D为原点,,,DA DC DG所在直线分别为,,x y z轴,建立空间直角坐标系D xyz-,………5分2,1CD EF CF AB AD=====,((0,,E F∴-,(1,1,0),(0,2,0)B C………6分由(1)知(0,CE=-是平面ADF的法向量,………7分()()0,1,3,1,1,0DF CB==-,222(,,0)333CP CB==-,(0,2,0)DC=则24(,,0)33DP DC CP=+=,………8分设平面PDF的法向量为(),,n x y z=,∴n DFn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2433yx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩,令z=3,6y x==-,∴(6,3,n=-………10分∴1cos ,223n CE n CE n CE⋅===-………11分∴二面角P DF A --大小为60.………12分21. 解:(1)由题意知1c =,又tan 603bc ==,所以23b =,………2分2224a b c =+=,所以椭圆的方程为:22143x y += ;………4分 (2)当0k =时, 0t =,不合题意设直线PQ 的方程为:(1),(0)y k x k =-≠,代入22143x y+=,得:2222(34)84120k x k x k +-+-=,故0∆>,则,0k R k ∈≠ 设1122(,),(,)P x y Q x y ,线段PQ 的中点为00(,)R x y ,则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ,………7分由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得:()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= , 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线,………8分直线TR 的方程为:222314()3434k k y x k k k +=--++ , ………10分 令0y =得:T 点的横坐标22213344k t k k ==++,………11分因为2(0,)k ∈+∞, 所以234(4,)k +∈+∞,所以1(0,)4t ∈. ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅,其中1(0,)4t ∈.22.解:(1)函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+,得()221a x af x x x x ='-=-.………1分①当0a ≤时, ()0f x '>恒成立, ()f x 递增, ∴函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞ ………2分 ②当0a >时,则()0,x a ∈时,()0,f x '<()f x 递减,(),x a ∈+∞时, ()0f x '>,()f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ,单调递增区间是(),a +∞.………4分 (2)要证明当2a e ≥时, ()x f x e ->,即证明当20,x a e >≥时, ln xa x e x-+>,………5分 即ln xx x a xe -+>,令()ln h x x x a =+,则()ln 1h x x ='+,当10x e <<时, ()0h x '<;当1x e>时, ()0h x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时, ()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦.于是,当2a e ≥时, ()11h x a e e≥-+≥.①………8分 令()xx xe φ-=,则()()1xx x x exe e x φ---'=-=-.当01x <<时, ()0x ϕ'>;当1x >时, ()0x φ'<. 所以函数()x φ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max1x e φ⎡⎤=⎣⎦.于是,当0x >时, ()1x eφ≤.②………11分 显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2a e≥时, (f x )xe ->.………12分。

四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案

四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案

高二年级理科数学试题考试时间120分钟,满分150分注意事项:1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.过点(0,2)-,且与已知直线0x y +=垂直的直线方程为 A .20x y +-= B .20x y --= C .20x y ++=D .20x y -+=2.若一个圆的标准方程为221)4x y +(-=,则此圆的圆心与半径分别是 A .1,0)4(-; B .1,0)2(; C .0,1)4(-;D .0,1)2(;3.将某选手的得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,剩余分数的平均分为91,现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示,则x = A .2 B .3 C .4D .54.某校为了了解高二学生的身高情况,打算在高二年级12个班中抽取3个班,再按每个班男女生比例抽取样本,正确的抽样方法是 A .简单随机抽样 B .先用分层抽样,再用随机数表法 C .分层抽样D .先用抽签法,再用分层抽样 5.若x ∈R ,则“44x -<<”是“22x x <”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知命题*1:2p x x x∀∈+R ,…,则p ⌝为 A .*00012x x x ∃∈+R ,… B .*00012x x x ∃∈+<R , C .*00012x x x ∃∉+<R ,D .12x x x∀∈+<R , 7.下列命题正确的是A .若0a b <<,则11a b<B .若ac bc >,则a b >C .若a b >,c d >,则a c b d ->-D .若22ac bc >,则a b >8.已知双曲线的上、下焦点分别为120,5)0,5)F F ((-,,P 是双曲线上一点且满足126||PF ||PF ||-=,则双曲线的标准方程为A .221169x y -=B .221916x y -=C .221169y x -=D .221916y x -=9.已知O e 的圆心是坐标原点O 0y --=截得的弦长为6,则O e 的方程为A .224x y +=B .228x y +=C .2212x y +=D .22216x y +=10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a b ,分别为39,27,则输出的a = A .1 B .3 C .5D .711.若两个正实数x y ,满足311x y+=,则3x y +的最小值为A .6B .9C .12D .1512.直线l 过抛物线220)y px p =(>的焦点F ,且交抛物线于P ,Q 两点,由P ,Q 分别向准线引垂线PR ,QS ,垂足分别为R ,S ,如果2|4|PF |QF |==,,M 为RS 的中点,则|MF |=A .BC .D .2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理(含解析)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知全集U=R,集合A={x|3≤x<7},B={x|x2﹣7x+10<0},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,3)∪(5,+∞)B.(﹣∞,3)∪∪∪(5,+∞)2.(5分)若,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.|a|﹣|b|=|a﹣b| C. D.ab<b23.(5分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为,则h=()A.B.C.D.4.(5分)设{an }是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=()A.B.C.D.5.(5分)已知如程序框图,则输出的i是()A.9 B.11 C.13 D.156.(5分)已知θ是三角形的一个内角,且sinθ+cosθ=,则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线7.(5分)方程|x|(x﹣1)﹣k=0有三个不相等的实根,则k的取值范围是()A.B.C.D.8.(5分)对于任意实数x,符号表示x的整数部分,即是不超过x的最大整数,例如=2;=2;=﹣3,这个函数叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么+++…+的值为()A.21 B.76 C.264 D.642二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)在△ABC中∠A=60°,b=1,S△ABC=,则=.10.(5分)为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题,他们所得分数的分组区间为11.(5分)已知f(x)=则不等式x+(x+2)•f(x+2)≤5的解集是.12.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.13.(5分)设点O为坐标原点,A(2,1),且点F(x,y)坐标满足,则||•cos∠AOP 的最大值为.14.(5分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足,,则抛物线的方程为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.16.(12分)已知,函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)已知,且α∈(0,π),求α的值.17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1E⊥A1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;(3)AE等于何值时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为.18.(14分)如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,其中OAE是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边AE满足函数y=﹣x2+2(0≤x≤)的图象,且点M到边OA距离为.(1)当t=时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?19.(14分)已知如图,椭圆方程为(4>b>0).P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点,当点P不在x轴上时,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M,当点P在x轴上时,定义M与P重合.(1)求M点的轨迹T的方程;(2)已知O(0,0)、E(2,1),试探究是否存在这样的点Q:Q是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ的面积S△OEQ=2?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.20.(14分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=(b,c∈N)有且只有两个不动点0,2,且f(﹣2),(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f()=1,求数列通项a n;(3)如果数列{a n}满足a1=4,a n+1=f(a n),求证:当n≥2时,恒有a n<3成立.广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知全集U=R,集合A={x|3≤x<7},B={x|x2﹣7x+10<0},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,3)∪(5,+∞)B.(﹣∞,3)∪∪∪(5,+∞)考点:交、并、补集的混合运算.分析:先计算集合B,再计算A∩B,最后计算C R(A∩B).解答:解:∵B={x|2<x<5},∴A∩B={x|3≤x<5},∴C R(A∩B)=(﹣∞,3)∪所以四棱锥的体积为:,所以h=.故选B.点评:本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算能力.4.(5分)设{a n}是由正数组成的等比数列,S n为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=()A.B.C.D.考点:等比数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:由题意可得a3=1,再由S3=++1=7可得q=,进而可得a1的值,由求和公式可得.解答:解:设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q,则q>0,由题意可得a32=a2a4=1,解得a3=1,∴S3=a1+a2+a3=++1=7,解得q=,或q=(舍去),∴a1==4,∴S5==故选:C点评:本题考查等比数列的求和公式,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题.5.(5分)已知如程序框图,则输出的i是()A.9 B.11 C.13 D.15考点:循环结构.专题:计算题.分析:写出前5次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出.解答:解:经过第一次循环得到S=1×3=3,i=5经过第二次循环得到S=3×5=15,i=7经过第三次循环得到S=15×7=105,i=9经过第四次循环得到S=105×9=945,i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395,i=13此时,满足判断框中的条件输出i故选C点评:解决程序框图中的循环结构的问题,一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果,找规律.6.(5分)已知θ是三角形的一个内角,且sinθ+cosθ=,则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线考点:椭圆的标准方程.专题:计算题;三角函数的求值;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:运用平方法,可得sinθcosθ<0,再将方程化为标准方程,运用作差法,即可判断分母的大小,进而确定焦点的位置.解答:解:θ是三角形的一个内角,且sinθ+cosθ=,则平方可得,1+2sinθcosθ=,则sinθcosθ=﹣<0,即sinθ>0,cosθ<0,x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1,由于﹣=<0,则<,则方程表示焦点在y轴上的椭圆.故选C.点评:本题考查椭圆的方程和性质,注意转化为标准方程,考查三角函数的化简和求值,属于中档题和易错题.7.(5分)方程|x|(x﹣1)﹣k=0有三个不相等的实根,则k的取值范围是()A.B.C.D.考点:函数的零点与方程根的关系.专题:数形结合法.分析:将方程转化为函数y=k与y=|x|(x﹣1),将方程要的问题转化为函数图象交点问题.解答:解:如图,作出函数y=|x|•(x﹣1)的图象,由图象知当k∈时,函数y=k与y=|x|(x﹣1)有3个不同的交点,即方程有3个实根.故选A.点评:本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.8.(5分)对于任意实数x,符号表示x的整数部分,即是不超过x的最大整数,例如=2;=2;=﹣3,这个函数叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么+++…+的值为()A.21 B.76 C.264 D.642考点:对数的运算性质.专题:压轴题;新定义.分析:利用“取整函数”和对数的性质,先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6,再进行相加运算.解答:解:∵=0,到两个数都是1,到四个数都是2,到八个数都是3,到十六个数都是4,到三十二个数都是5,=6,∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C.点评:正确理解“取整函数”的概念,把对数正确取整是解题的关键.二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)在△ABC中∠A=60°,b=1,S△ABC=,则=2.考点:正弦定理;余弦定理.专题:解三角形.分析:由题意和三角形的面积公式求出c,再由余弦定理求出a,代入式子求值即可.解答:解:由题意得,∠A=60°,b=1,S△ABC=,所以,则,解得c=4,由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13,则a=,所以==2,故答案为:2.点评:本题考查正弦定理,余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式和定理是解题的关键.10.(5分)为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题,他们所得分数的分组区间为.考点:其他不等式的解法.专题:计算题;压轴题;分类讨论.分析:先根据分段函数的定义域,选择解析式,代入“不等式x+(x+2)•f(x+2)≤5”求解即可.解答:解:①当x+2≥0,即x≥﹣2时.x+(x+2)f(x+2)≤5转化为:2x+2≤5解得:x≤.∴﹣2≤x≤.②当x+2<0即x<﹣2时,x+(x+2)f(x+2)≤5转化为:x+(x+2)•(﹣1)≤5∴﹣2≤5,∴x<﹣2.综上x≤.故答案为:(﹣∞,]点评:本题主要考查不等式的解法,用函数来构造不等式,进而再解不等式,这是很常见的形式,不仅考查了不等式的解法,还考查了函数的相关性质和图象,综合性较强,转化要灵活,要求较高.12.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为4.考点:等差数列的前n项和;等差数列.专题:压轴题.分析:利用等差数列的前n项和公式变形为不等式,再利用消元思想确定d或a1的范围,a4用d或a1表示,再用不等式的性质求得其范围.解答:解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4≥10,S5≤15,∴,即∴∴,5+3d≤6+2d,d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4,故答案为:4.点评:此题重点考查等差数列的通项公式,前n项和公式,以及不等式的变形求范围;13.(5分)设点O为坐标原点,A(2,1),且点F(x,y)坐标满足,则||•cos∠AOP 的最大值为.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:先画出满足的可行域,再根据平面向量的运算性质,对||•cos∠AOP 进行化简,结合可行域,即可得到最终的结果.解答:解:满足的可行域如图所示,又∵||•cos∠AOP=,∵=(2,1),=(x,y),∴||•cos∠AOP=.由图可知,平面区域内x值最大的点为(5,2)||•cos∠AOP的最大值为:故答案为:.点评:用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.14.(5分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足,,则抛物线的方程为y2=4x.考点:抛物线的标准方程.专题:计算题.分析:设向量的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)则可知x1+x2+x3=0,进而表示出A,B,C三点的横坐标,根据抛物线定义可分别表示出|FA|,|FB|和|FC|,进而根据,求得p,则抛物线方程可得.解答:解:设向量的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+,同理X B=x2+,X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p,同理有|FB|=x2++=x2+p,|FC|=x3++=x3+p,又,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故答案为:y2=4x.点评:本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用.涉及了向量的运算,考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.考点:复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:(1)现将a=1代入命题p,然后解出p和q,又p∧q为真,所以p真且q真,求解实数a的取值范围;(2)先由¬p是¬q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件,然后化简命题,求解实数a的范围.解答:解:(1)当a=1时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又p∧q为真,所以p真且q真,由得2<x<3,所以实数x的取值范围为(2,3)(2)因为¬p是¬q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,又p:{x|a<x<3a}(a>0),q:{x|2<x≤3},所以解得1<a≤2,所以实数a的取值范围是(1,2]点评:充要条件要抓住“大能推小,小不能推大”规律去推导.16.(12分)已知,函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)已知,且α∈(0,π),求α的值.考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用.分析:(1)首先根据已知条件,利用向量的坐标运算,分别求出向量的数量积和向量的模,进一步把函数的关系式通过三角恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(2)利用(1)的函数关系式,根据定义域的取值范围.进一步求出角的大小.解答:解:(1)已知:则:f(x)====所以:函数的最小正周期为:…(2分)…(4分)(2)由于f(x)=所以解得:所以:…(6分)因为:α∈(0,π),所以:则:解得:点评:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数的性质的应用,利用三角函数的定义域求角的大小.属于基础题型.17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1E⊥A1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;(3)AE等于何值时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为.考点:点、线、面间的距离计算;与二面角有关的立体几何综合题.分析:解法(一):(1)通过观察,根据三垂线定理易得:不管点E在AB的任何位置,D1E⊥A1D总是成立的.(2)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题可采用“等积法”:即利用三棱锥的换底法,通过体积计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算相对较为复杂.根据=既可以求得点E到面ACD1的距离.(3)二面角的度量关键在于找出它的平面角,构造平面角常用的方法就是三垂线法.过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角.解法(二):以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0).这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.(1)因为=(1,0,1)•(1,x,﹣1)=0,所以.(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,,设平面ACD1的法向量为,从而,所以点E到平面AD1C的距离为.(3)设平面D1EC的法向量,可求得.,因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为,所以根据余弦定理可得AE=时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为.解答:解法(一):(1)证明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E(2)设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=,故,而.∴,∴,∴.(3)过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角.设AE=x,则BE=2﹣x在Rt△D1DH中,∵,∴DH=1.∵在Rt△ADE中,DE=,∴在Rt△DHE中,EH=x,在Rt△DHC中CH=,在Rt△CBE中CE=.∴.∴时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为.解法(二):以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)(1)因为=(1,0,1)•(1,x,﹣1)=0,所以.(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,,设平面ACD1的法向量为,则也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为.(3)设平面D1EC的法向量,∴,由令b=1,∴c=2,a=2﹣x,∴.依题意.∴(不合,舍去),.∴AE=时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为.点评:本小题主要考查棱柱,二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.18.(14分)如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,其中OAE是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边AE满足函数y=﹣x2+2(0≤x≤)的图象,且点M到边OA距离为.(1)当t=时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?考点:基本不等式;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:不等式的解法及应用;直线与圆.分析:(Ⅰ)求当t=时,直路l所在的直线方程,即求抛物线y=﹣x2+2(0≤x≤)在x=时的切线方程,利用求函数的导函数得到切线的斜率,运用点斜式写切线方程;(Ⅱ)求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2(0≤x≤)的切线方程,进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度,利用三角形面积公式写出面积,得到的面积是关于t的函数,利用导数分析面积函数在(0<t<)上的极大值,也就是最大值.解答:解:(I)∵y=﹣x2+2,∴y′=﹣2x,∴过点M(t,﹣t2+2)的切线的斜率为﹣2t,所以,过点M的切线方程为y﹣(﹣t2+2)=﹣2t(x﹣t),即y=﹣2tx+t2+2,当t=时,切线l的方程为y=﹣x+,即当t=时,直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0;(Ⅱ)由(I)知,切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2,令y=2,得x=,故切线l与线段AB交点为F(),令y=0,得x=,故切线l与线段OC交点为().地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG,如图,则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=(2﹣)×2=4﹣t﹣=4﹣(t+)≤2.当且仅当t=1时,取等号.∴当t=100米时,地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大,最大值为xx0平方米.点评:本题考查了函数模型的选择与应用,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,在实际问题中,函数在定义域内仅含一个极值,该极值往往就是最值.属中档题型.19.(14分)已知如图,椭圆方程为(4>b>0).P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点,当点P不在x轴上时,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M,当点P在x轴上时,定义M与P重合.(1)求M点的轨迹T的方程;(2)已知O(0,0)、E(2,1),试探究是否存在这样的点Q:Q是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ的面积S△OEQ=2?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.考点:圆与圆锥曲线的综合.专题:计算题;数形结合.分析:(1)延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连接OM,利用条件求出M是线段NF1的中点,转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程;(2)可以先观察出轨迹T上有两个点A(﹣4,0),B(4,0)满足S△OEA=S△OEB=2,再利用同底等高的两个三角形的面积相等,,,知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上,再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标.解答:解:(1)当点P不在x轴上时,延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连接OM,∵∠NPM=∠MPF1,∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点,|PN|=|PF1||(2分)∴|OM|=|F2N|=(|F2P|+|PN|)=(|F2P|+|PF1|)∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4,(4分)当点P在x轴上时,M与P重合∴M点的轨迹T的方程为:x2+y2=42.(6分)(2)连接OE,易知轨迹T上有两个点A(﹣4,0),B(4,0)满足S△OEA=S△OEB=2,分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2.∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上.(7分)∵∴直线l1、l2的方程分别为:、(8分)设点Q(x,y)(x,y∈Z)∵Q在轨迹T内,∴x2+y2<16(9分)分别解与得与(11分)∵x,y∈Z∴x为偶数,在上x=﹣2,,0,2对应的y=1,2,3在上x=﹣2,0,2,对应的y=﹣3,﹣2,﹣1(13分)∴满足条件的点Q存在,共有6个,它们的坐标分别为:(﹣2,1),(0,2),(2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣2),(2,﹣1).(14分)点评:本题涉及到轨迹方程的求法.在求动点的轨迹方程时,一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式,整理可得动点的轨迹方程.20.(14分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=(b,c∈N)有且只有两个不动点0,2,且f(﹣2),(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f()=1,求数列通项a n;(3)如果数列{a n}满足a1=4,a n+1=f(a n),求证:当n≥2时,恒有a n<3成立.考点:反证法与放缩法;数列的函数特性;数列递推式.专题:综合题;等差数列与等比数列.分析:(1)由=x,化简为(1﹣b)x2+cx+a=0,利用韦达定理可求得,代入f(x)=(b,c∈N),依题意可求得c=2,b=2,从而可得函数f(x)的解析式;(2)由4S n﹣=1,整理得2S n=a n﹣(*),于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣(**),二式相减得(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1+1)=0,讨论后即可求得数列通项a n;(3)由a n+1=f(a n)得,a n+1=,取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1<0或a n+1≥2,分别讨论即可.解答:解:(1)依题意有=x,化简为(1﹣b)x2+cx+a=0,由韦达定理得:,解得,代入表达式f(x)=,由f(﹣2)=<﹣,得c<3,又c∈N,b∈N,若c=0,b=1,则f(x)=x不止有两个不动点,∴c=2,b=2,故f(x)=,(x≠1).(2)由题设得4S n•=1,整理得:2S n=a n﹣,(*)且a n≠1,以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣,(**)由(*)与(**)两式相减得:2a n=(a n﹣a n﹣1)﹣(﹣),即(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1+1)=0,∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1,以n=1代入(*)得:2a1=a1﹣,解得a1=0(舍去)或a1=﹣1,由a1=﹣1,若a n=﹣a n﹣1得a2=1,这与a n≠1矛盾,∴a n﹣a n﹣1=﹣1,即{a n}是以﹣1为首项,﹣1为公差的等差数列.(3)由a n+1=f(a n)得,a n+1=,=﹣2+≤,∴a n+1<0或a n+1≥2.若a n+1<0,则a n+1<0<3成立;若a n+1≥2,此时n≥2,从而a n+1﹣a n=≤0,即数列{a n}在n≥2时单调递减,由a2=2知,a n≤a2=2<3,在n≥2上成立.综上所述,当n≥2时,恒有a n<3成立.点评:本题考查数列的函数特性,着重考查等差数列的判定,考查推理证明能力,考查转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于难题. 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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高二数学上学期期末考试基础试卷 理含解析 试题(共14页)

高二数学上学期期末考试基础试卷 理含解析 试题(共14页)

吴起高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年第一学期期末考试高二理科数学根底卷第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分〕1.设数列,,,,…,那么是这个数列的〔〕A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项【答案】B【解析】试题分析:由数列前几项可知通项公式为时,为数列第七项考点:数列通项公式2.命题且是真命题,那么命题是〔〕A. 假命题B. 真命题C. 真命题或者假命题D. 不确定【答案】B【解析】【分析】命题且是真命题,那么命题p和命题q都为真命题.【详解】命题且是真命题,由复合命题真值表可知,命题p和命题q都为真命题.应选:B【点睛】此题考察含有逻辑连接词的复合命题的真假判断,属于根底题.3.的最小值是〔〕A. 2B.C. 4D. 8【答案(dá àn)】C【解析】【分析】直接利用根本不等式可求得表达式的最小值.【详解】由根本不等式得,当且仅当时,获得最小值.应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本不等式求和式的最小值,属于根底题.根本不等式的HY 形式是,还可以变形为.前者,后者.要注意题目的适用范围.假如题目的表达式为,那么要对自变量的值进展讨论,不能直接用.4.为等差数列,假设,那么的值是〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件转化为的形式,列方程组,解方程组求得的值.【详解】由于数列为等差数列,故有,解得,应选B.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等差数列的根本量、通项公式和前个根本量,利用等差数列的通项公式或者前项和公式,结合条件列出方程组,通过解方程组即可求得数列,进而求得数列其它的一些量的值.5.到两定点、的间隔之差的绝对值等于4的点的轨迹〔〕A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案(dá àn)】C【解析】【分析】根据双曲线的定义,直接得出选项.【详解】到两个定点间隔之差的绝对值等于常数,并且这个常数小于这两个定点的间隔,根据双曲线的定义可知:动点的轨迹为双曲线.应选C.【点睛】本小题主要考察双曲线的定义,属于根底题.要注意双曲线的定义中,除了差这个关键字以外,还要注意有“绝对值〞这个关键词.6.在中,,那么等于〔〕A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】根据条件,利用正弦定理列方程,解方程求得的值.【详解】由正弦定理得,即,解得.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形,属于根底题.题目是两角以及其中一角的对边,常用的是利用正弦定理来解三角形.假如条件是两边以及它们的夹角,那么考虑用余弦定理来解三角形.假如条件是三边,那么考虑用余弦定理来解三角形.假如两边以及一边的对角,那么考虑用正弦定理来解三角形,此时要注意解的个数.7.抛物线的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析(jiě xī)】试题分析:即,所以抛物线焦点为,应选C。

安徽省滁州市民办高中2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理

安徽省滁州市民办高中2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理

滁州市民办中学2024-2025学年度上学期期末试卷高二(理科)数学考生留意:1、本试卷分为选择题和非选择题。

考试时间:120分钟,满分150分。

2、本卷命题范围:选修2-1、选修2-2第一章。

第I卷选择题(60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},若A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},则点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>52.已知p:∃x0∈R,mx+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤23.已知椭圆C:+=1(a>b>0)及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )A.60° B.90° C.120° D.150°4.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为( )A.x2+y2=2 B.y2-x2=2C.x2-2y2=1 D.2x2-y2=15.函数f(x)=sin2x的导数f′(x)等于( )A.2sin x B.2sin2x C.2cos xD.sin 2x6.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D.27.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,准线为l,M是l上一点,P是直线MF与C的一个交点,若=3,则|PF|等于( )A. B. C. D.8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)·f′(x)>0的解集为( )A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,3)C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(0,2)∪(3,+∞)9.已知函数f(x)=x3-ax2+4,若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,则实数a的取值范围为( )A.(1,+∞) B.(,+∞)C.(2,+∞) D.(3,+∞)10.若函数f(x)在(0,+∞)上可导,且满意f(x)>xf′(x),则肯定有( )A.函数F(x)=在(0,+∞)上为增函数B.函数F(x)=在(0,+∞)上为减函数C.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数D.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减函数11.设函数f(x)=ax3-x+1(x∈R),若对于随意x∈[-1,1]都有f(x)≥0,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,2] B.[0+∞) C.[0,2] D.[1,2]12.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( )A.在区间(,1),(1,e)内均有零点B.在区间(,1),(1,e)内均无零点C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点第II卷非选择题(90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是________.14. 已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.15.已知F1,F2是椭圆C的左,右焦点,点P在椭圆上,且满意|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.16. f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如下图所示.令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的结论:①若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称;②若a=-1,-2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根;③若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根;④若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个实根.其中,正确的结论为________.三、解答题(共6小题 ,共70分。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测 数 学 试 卷(理科)(满分150分,考试时间 120分钟)考生须知: 1. 本试卷共6页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3. 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答,第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。

保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)(1)抛物线210y x =的焦点到准线的距离为(A )52(C )5 (C )10 (D )20 (2)过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=(3)若命题p 是真命题,命题q 是假命题,则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ (B )()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝(4)已知平面α和直线,a b ,若//a α,则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点,若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧(左)视图正(主)视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a(6)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± (7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4(8)从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线,当切线长最短时m 的值为(A )1- (B )0 (C )1 (D )2(9)已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点,点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点,满足11BC BM ⋅=,则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>,则:p ⌝ . (12) 已知(1,3,1)=-a ,(1,1,3)=--b ,则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行,则a 的值为____ .(14)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设 11AD AA ==, 2AB =,P 是11C D 的中点,则11B C A P 与所成角的大小为____________, 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点,过点P 向其准线作垂线交于点E ,定点(2,5)A ,则PA PE +的最小值为_________;此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R .若存在实数k ,使直线l 与曲线C 交于,A B 两点,且||||AB k =,则称曲线C 具有性质P .给定下列三条曲线方程: ① y x =-; ② 2220x y y +-=; ③ 2(1)y x =+. 其中,具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程;(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点,且弦AB的长为a 的值.(18)(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,60DAB ∠=︒,ACBD O =,11AB AA ==.(I)求证:111//OC AB D 平面;N MDCBAP(II)求证:1111AB D ACC A ⊥平面平面; (III)求三棱锥111A AB D -的体积. (19)(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,且经过点(0,1)A -.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点(,M N 点与A 点不重合),求证:AMN ∆为直角三角形.(20)(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,底面ABCD 为直角梯形,//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====,过AD 的平面分别交PB PC ,于,M N 两点.(I )求证://MN BC ;(II )若,M N 分别为,PB PC 的中点,①求证:PB DN ⊥;②求二面角P DN A --的余弦值.(21)(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切,112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点,F 为抛物线的焦点,且8AF BF +=. (I ) 求p 的值;(II ) 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出交点坐标,若不是,说明理由;(III )求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 (理科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)(11)2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R(12) 6 (13)1或2- (14)60︒;1 (15)5;(2,4) (16)②③ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分14分)解:(I )圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=,圆心(1,2)C ,半径是2.…2分①当切线斜率存在时,设切线方程为1(3)y k x -=-,即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===,所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时,直线方程为3x =,与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分(II )因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分 即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O(18)(本小题满分14分)证明:(I) 如图,在直平行六面体1111ABCD A B C D -中,设11111AC B D O =,连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且,所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形, 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面,111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面,111111B D A B C D ⊂平面,所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形,所以1111B D AC ⊥. ……6分 因为1111AA AC A =,所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面, ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知,11111AA A B C D ⊥平面,所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为椭圆经过点(0,1)A -,e =, 所以1b =. ……1分由c e a ===,解得2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……4分(Ⅱ)若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在,此时,M N 两点中有一个点与A 点重合,不满足题目条件. ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在,设其斜率为k ,则MN 的方程为35y kx =+,由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ,则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩, ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+, 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -,所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证. ……14分(20)(本小题满分14分)证明:(I )因为底面ABCD 为直角梯形, 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面,所以//MN BC . ……4分 (II )①因为,M N 分别为,PB PC 的中点,PA AB =,所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面,所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =,所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =,所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面,所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由(II )可知,PB ADNM ⊥平面,所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-,(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =,则2y =,1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)(本小题满分14分)解:(I )因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切,所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得:2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得:2p =为所求. ……4分 (II )法一:抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=,所以由定义得1228x x ++=,则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上,从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠,所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=,所以5m =, 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二:由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=,所以由定义得1228x x ++=,则126x x +=. ………7分 所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =,可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 (III )法一:设直线l 的斜率为1k ,由(II )可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ,由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ,所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部,所以2012y <.…12分 即21412k < ,则213k <.因为12x x ≠,则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分 法二:设直线l 的斜率为1k ,则11k k =-.由(II )可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>,即1km <, …11分 所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分 因为12x x ≠,则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二(上)期末数学试卷(理科)1. 双曲线C:x 23−y 29=1的虚轴长为( )A. √3B. 2√3C. 3D. 6 2. 已知等比数列{a n }中,a 1=2,a 4=16,则公比q =( ) A. −2B. 2C. 4D. −43. 两抛物线x 2=√2y 与y 2=−x 的焦点间的距离为( ) A. √24B. √34C. 12D. √544. 设x ∈R ,则“|x −2|<1”是“x 2+x −2>0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知平面α的一个法向量为n ⃗ =(−1,0,−1),点A(3,3,0)在平面α内,则平面外一点P(−2,1,4)到平面α的距离为( )A. 103 B. √22C. √2D. 16. 下列命题中,真命题是( ) A. 命题“若a >b ,则c 2a <c 2b ”B. 命题“当x ≠−1时,x 2+3x +2≠0”C. 命题“若两个三角形有两条边和一个内角对应相等,那么这两个三角形全等”D. 命题“若a =−b ,则a 2=b 2”7. 若x ,y 满足log 2x =−log 2y ,则x +4y 的最小值为( ) A. 12B. 14C. 8D. 48. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若A =2π3,bc =3,且b +c =√52a ,则a =( )A. 2√3B. 3√3C. 2√2D. 3√29. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bcosC +ccosB =b 2+c 2a,则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10. 已知双曲线x 26−y 23=1的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M的距离为( )A.3√65B.5√66C. 65D. 5611. 如图,在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形.若∠A 1AB =∠A 1AD =60∘,且AA 1=3,则AC 1的长为( )A. √29B. 2√7C. 4√2D. 512. 设直线y =13(x +t)(t ≠0)与双曲线C :x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中点M 的坐标为(0,2t),则C 的离心率为( ) A. √52B.2√33C. √62D.√10313. 设变量x ,y 满足约束条件{x ≤0x −y +1≤02x −y +2≥0,则z =x +2y 的最小值为______.14. 习近平同志提出:乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创业.为鼓励外出人员返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”,帮扶返乡创业人员.五年内,预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列{a n }(单位:万元),且第一年投入“创业资金”3(万元),以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍,则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为______万元.15. 抛物线C :y 2=6x 与直线l 交于A ,B 两点,且AB 的中点为(m,−2),则l 的斜率为______.16. 已知点A ,B 是椭圆G:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两点,且直线AB 恰好平分圆x 2+y 2=R 2(R >0),M 为椭圆G 上与A ,B 不重合的一点,且直线MA ,MB 的斜率之积为−13,则椭圆G 的离心率为______.17. 已知等差数列{a n }的公差d <0,a 1=20,且a 7是a 3与a 9的等比中项.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值及对应的n 的值.18. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n,2a2+a5=24,S8=100.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.19. 设动点P(x,y)与点F(√10,0)之间的距离和点P到直线l:x=√102的距离的比值为√2,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若O为坐标原点,直线y=12x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积.20. 在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m⃗⃗⃗ =(bsinB,cosB),n⃗=(a−bsinC,cosC),且m⃗⃗⃗ //n⃗ .(1)求角B的大小;(2)若b=2,(1+√3)a−√2c=0,求△ABC的面积.21. 如图,在三棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABC,PA=√6,AB=2,∠ABC=π3,BC=1,D,E分别是PC上的三等分点,F是PB的中点.(1)证明:AE⊥平面PBC;(2)求平面ADF与平面BDF的夹角的余弦值.22. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,且过点(0,−2).(1)求C的方程;(2)若动点P在直线l:x=−2√2上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过P作直线l′⊥MN,证明:直线l′恒过定点,并求出该定点的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】解:因为双曲线C:x 23−y 29=1,b 2=9,所以b =3,所以双曲线的虚轴长为2b =6. 故选:D.直接利用双曲线方程求解b ,即可得到结果.本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是基础题.2.【答案】B【解析】解:∵在等比数列{a n }中,a 1=2,a 4=16, ∴a4a 1=q 3=8,解得公比q =2. 故选:B.利用等比数列的通项公式列出方程,由此能求出公比.本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.3.【答案】B【解析】解:两抛物线x 2=√2y 与y 2=−x 的焦点间的距离为分别为(0,√24),(−14,0),焦点间的距离为(14)+(√24)=√34,故选:B.求出抛物线的焦点,利用两点之间的距离公式即可得出结论.本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由“|x −2|<1”得1<x <3, 由x 2+x −2>0得x >1或x <−2,所以“|x −2|<1”是“x 2+x −2>0”的充分不必要条件, 故选A.5.【答案】B【解析】解:∵A(3,3,0),P(−2,1,4), ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−2,4), ∵平面α的一个法向量为n ⃗ =(−1,0,−1), ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5−4=1,|n ⃗ |=√2,∴平面外一点P(−2,1,4)到平面α的距离d =|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=√2=√22. 故选:B.根据题意,计算AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,结合平面α的一个法向量为n ⃗ ,利用d =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||n ⃗ |,计算即可. 本题考查点到平面的距离计算,属于基础题.6.【答案】D【解析】解:对于A ,当a =2,b =−1,c =1时,满足a >b ,但c 2a=12>−1=c 2b,故错误; 对于B ,当x =−2时,x 2+3x +2=0,故错误;对于C ,若两个三角形有两条边和这两边的夹角对应相等,那么这两个三角形全等,故错误; 对于D ,若a =−b ,则a 2=(−b)2=b 2,故正确. 故选:D.对于A ,举反例说明即可;对于B ,当x =−2时,x 2+3x +2=0,即可判断; 对于C ,由两三角形全等的判定定理即可判断; 对于D ,将等式两边平方即可判断. 本题考查了对命题真假判断,属于基础题.7.【答案】D【解析】解:由题意得log 2x +log 2y =0, 所以xy =1,x >0,y >0, 则x +4y ≥2√4xy =4,当且仅当x =4y 且xy =1,即y =12,x =2时取等号. 故选:D.由已知结合对数运算性质及基本不等式即可求解.本题主要考查了对数的云南省性质及基本不等式求解最值,属于基础题.8.【答案】A【解析】解:由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccos 2π3=(b +c)2−bc =(√52a)2−3,解得a =2√3. 故选:A.由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2−2bccosA ,代入计算即可求a. 本题考查余弦定理,考查运算求解能力,属基础题.9.【答案】B【解析】解:∵bcosC +ccosB =b 2+c 2a, ∴abcosC +accosB =b 2+c 2, ∴ab ⋅a 2+b 2−c 22ab +ac ⋅a 2+c 2−b 22ac=b 2+c 2,∴a 2+b 2−c 22+a 2+c 2−b 22=b 2+c 2,∴a 2=b 2+c 2,∴△ABC 的形状为直角三角形. 故选:B.根据余弦定理得到a 2=b 2+c 2,即可求解. 本题考查了余弦定理的应用,属于基础题.10.【答案】C【解析】解:已知双曲线x 26−y 23=1的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴,M(3,√62),则MF 1=√62,故MF 2=2√6+√62=5√62,故F 1到直线F 2M 的距离为F 1F 2⋅MF 1MF2=6×√625√62=65.故选:C.根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标,根据MF 1⊥x 轴进而可得M 的坐标,则MF 1可得,进而根据双曲线的定义可求得MF 2.本题主要考查了双曲线的简单性质.要理解好双曲线的定义.11.【答案】A【解析】解:根据题意,构造空间向量有AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4+9+0+2×2×3×12+2×2×3×12=29, 故|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√29. 故选:A.根据题意,构造空间向量=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,进行平方,结合题中∠A 1AB =∠A 1AD =60∘,且AA 1=3,计算,最后开方即可得到|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.本题考查立体几何与向量分解定理,属于基础题.12.【答案】B【解析】解:若(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, 即有|MA|=|MB|,其中点M 的坐标为(0,2t), 设AB 的中点为N(x 0,y 0),可得MN ⊥AB ,由双曲线的渐近线方程为y =±b a x ,联立y =13(x +t)(t ≠0)可得 A(at 3b−a ,bt 3b−a ),B(at −3b−a ,bt3b+a ), 中点N(a 2t9b 2−a 2,3b 2t9b 2−a 2),由M(0,2t),k MN ⋅k AB =−1,可得2ta 2−15tb2ta 2⋅13=−1,化为a 2=3b 2, 则e =c a=√1+b 2a2=√1+13=2√33.故选:B.由向量数量积的性质可得|MA|=|MB|,设AB 的中点为N(x 0,y 0),可得MN ⊥AB ,求得双曲线的渐近线方程,联立直线AB 的方程,可得A ,B 的坐标,再由两直线垂直的条件:斜率之积为−1,化为a 2=3b 2,再由离心率公式可得所求值.本题考查双曲线的方程和性质,考查两直线垂直的条件和向量数量积的性质,考查化简整理的运算能力,属于中档题.13.【答案】−1【解析】解:画出变量x ,y 满足约束条件{x ≤0x −y +1≤02x −y +2≥0表示的平面区域, 如图所示;化目标函数为y =−12x +12z ,由图可知,当直线y =−12x +12z 过点A 时, 直线在y 轴上的截距最小, 由{x −y +1=02x −y +2=0,解得A(−1,0); ∴z 的最小值为:−1. 故答案为:−1.画出约束条件表示的平面区域,利用目标函数找出最优解,即可求出目标函数的最小值. 本题考查了简单的线性规划应用问题,是基础题.14.【答案】93【解析】解:由已知条件可得,数列{a n }是首项为3,公比为2的等比数列, 故S 5=3(25−1)2−1=93.故答案为:93.根据已知条件,结合等比数列的前n 项和公式,即可求解. 本题主要考查数列的实际应用,考查转化能力,属于基础题.15.【答案】−32【解析】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),代入抛物线方程,可得y 12=6x 1,y 22=6x 2,相减可得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=6(x 1−x 2),∵AB 的中点为(m,−2),∴y 1+y 2=2×(−2)=−4, 设直线l 的斜率为k ,则−4k =6,解得k =−32. 故答案为:−32.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),代入抛物线方程,可得y 12=6x 1,y 22=6x 2,相减化简,结合斜率计算公式、中点坐标公式即可得出结论.本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.【答案】√63【解析】解:由直线AB 恰好平分圆x 2+y 2=R 2(R >0),可得直线AB 过原点, 设A(x 1,y 1),则B(−x 1,−y 1),M(x 2,y 2), 可得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1,作差可得x 22−x 12a 2+y 22−y 12b2=0,可得y 22−y 12x 22−x 12=−b2a 2, 而k MA ⋅k MB =y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=y 22−y 12x 22−x 12,所以可得−b2a 2=−13,即b 2a 2=13,所以椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a2=√1−13=√63,故答案为:√63.由直线AB 平分圆,可得直线AB 过圆心,设A ,M 的坐标,由题意可得B 的坐标,将A ,M 的坐标代入椭圆的方程,作差可得A ,M 的坐标的关系,求出直线MA ,MB 的斜率之积,由题意可得a ,b 的关系,进而求出椭圆的离心率的值.本题考查直线平分圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用,属于基础题.17.【答案】解:(1)∵a 7是a 3与a 9的等比中项,∴a 72=a 3a 9,即(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d),整理得2a 1d +20d 2=0. ∵d <0,a 1=20,∴d =−2. 故a n =20−2(n −1)=−2n +22; (2)∵d =−2,a 1=20,∴S n =na 1+n(n−1)2d =−n 2+21n ,∴S n =−(n −212)2+(212)2,当n =10或n =11时,S n 取得最大值. 故当n =10或n =11时,S n 取最大值110.【解析】(1)由a 7是a 3与a 9的等比中项列关于首项与公差的等式,得到2a 1d +20d 2=0,结合d <0,a 1=20,求得d =−2.则{a n }的通项公式可求; (2)写出等差数列的前n 项和,再由二次函数求最值.本题考查等差数列的通项公式与前n 项和,考查等比数列的性质,训练了利用二次函数求最值,是中档题.18.【答案】解:(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2a 2+a 5=24,S 8=100,∴{2a 1+2d +a 1+4d =248a 1+8×72d =100, 解得a 1=2,d =3,∴a n =2+(n −1)×3=3n −1.∴{a n }的通项公式为a n =3n −1. (2)b n =1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2),∴数列{b n }的前n 项和为:T n =13(12−15+15−18+18−111+13n −4−13n −1+13n −1−13n +2) =13(12−13n +2) =n6n+4. 【解析】(1)利用等差数列通项公式、前n 项和公式列方程组,求出a 1=2,d =3,由此能求出{a n }的通项公式. (2)求出b n =1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2),利用裂项求和法能求出数列{b n }的前n 项和.本题考查等差数列的性质、裂项求和法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.【答案】解:(1)因为动点P(x,y)与点F(√10,0)之间的距离和点P 到直线l:x =√102的距离的比值为√2, 所以√(x−√10)2+y 2|x−√102|=√2,整理得x 25−y 25=1,所以曲线C 的方程为x 25−y 25=1;(2)因为直线y =12x +1交曲线C 于A ,B 两点, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{x 25−y 25=1y =12x +1,得3x 2−4x −24=0,所以x 1+x 2=43,x 1x 2=−8,所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+14×√(43)2−4×(−8)=2√953,点O到直线y=12x+1即12x−y+1=0的距离d=1√1+14=2√55,所以△OAB的面积S=12|AB|⋅d=12×2√953×2√55=2√193.【解析】(1)根据已知条件列出关于x,y的方程,整理可得曲线C的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程与双曲线的方程联立得到韦达定理,利用弦长公式计算|AB|,然后计算O到直线y=12x+1的距离,代入三角形面积公式计算即可.本题考查了动点的轨迹方程以及直线与双曲线的位置关系,属于中档题.20.【答案】解:(1)∵m⃗⃗⃗ //n⃗,∴bcosCsinB=(a−bsinC)cosB,∴acosB=b(sinBcosC+cosBsinC)=bsin(B+C)=bsinA,由正弦定理可得sinAcosB=sinAsinB,∵A、B∈(0,π),∴sinA>0,cosB=sinB>0,∴tanB=1,故B=π4;(2)因为(1+√3)a−√2c=0,可设a=√2t(t>0),则c=(√3+1)t,由余弦定理可得4=b2=a2+c2−2accosB=2t2+(√3+1)2t2−2√2(1+√3)t2×√22=4t2,解得t=1,故a=√2,c=√3+1,故△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12.【解析】(1)利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得tanB的值,结合角B的取值范围可求得角B的值;(2)利用余弦定理结合已知条件可求得a、c的值,再利用三角形的面积公式可求得结果.本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于中档题.21.【答案】解:(1)证明:∵AB=2,BC=1,∠ABC=π3,根据余弦定理得AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3=√3,所以AB²=AC²+BC²,所以CA⊥CB,以C点为坐标原点,CB,CA所在直线为x,y轴,经过C点垂直于CA,CB的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,√3,0),B(1,0,0),P(0,√3,√6),E(0,√33,√63),D(0,2√33,2√63),F(12,√32,√62), ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√33,√63),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,√6),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0), ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33×√3+√63×√6=0,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,CP ∩CB =C , ∴AE ⊥平面PBC ;(2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√33,2√63),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√36,−√66),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,23√3,2√63), 设平面ADF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z),由{AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√33y +2√63z =0DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x −√36y −√66z =0,令z =√2,则x =2√3,y =4,可得n ⃗ =(2√3,4,√2),同理可得平面BDF 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,−√2,1), ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√2+√2|√3×√30=√55,所以平面ADF 与平面BDF 夹角的余弦值为√55.【解析】(1)用余弦定理求出AC =√3,从而得到AB ²=AC ²+BC ²,CA ⊥CB ,建立空间直角坐标系,利用空间向量证明出线面垂直;(2)求出平面的法向量,进而求出两平面的夹角余弦值. 本题主要考查平面与平面所成的角,属于中档题.22.【答案】解:(1)由题意知b =2,又椭圆的离心率为√63,所以c 2a 2=a 2−b2a 2=(√63)2=23,所以a 2=12,所以椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.(2)因为直线l 的方程为x =−2√2,设P(−2√2,y 0),y 0∈(−2√33,2√33), 当y 0≠0时,设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2),显然x 1≠x 2,联立{x 1212+y 124=1x 2212+y 224=1,相减可得112(x 12−x 22)+14(y 12−y 22)=0,即y 1−y 2x 1−x 2=−13⋅x 1+x 2y 1+y 2又PM =PN ,即P 为线段MN 的中点, 故直线MN 的斜率−13⋅−2√2y 0=2√23y 0,又l′⊥MN ,所以直线l′的方程为y −y 0=−2√23y 0(x +2√2),即y =02√2+4√23),,0),显然l′恒过定点(−4√23,0);当y0=0时,l′为x轴亦过点(−4√23,0).综上所述,l′恒过定点(−4√23【解析】(1)根据椭圆的离心率和过点(0,−2)即可求出椭圆的方程.(2)直线l的方程为x=−2√2,设P(−2√2,y0),当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知x1≠x2,利用点差法l′的方程,从而得到l′恒过定点.当y0=0时,直线MN为,由此推导出l′恒过定点.本题考查椭圆的标准方程,考查点差法的运用,考查分类讨论的数学思想,正确运用点差法是解题的关键,属于中档题。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(填空题和解答题)两部分。

满分150分; 考试时间120分钟.考试结束后,监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(共50分)注意事项:本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.下列双曲线中,渐近线方程为2y x =±的是( )A .2214y x -= B .2214x y -=C .2212y x -= D .2212x y -= 2.设,a b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b<”的( )条件 A .充分而不必要 B .必要而不充分 C .充分必要 D .既不充分也不必要 3.在ABC ∆中,如果=cos cos a bB A,则该三角形是 A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .以上答案均不正确4.已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-,那么4a 的值为A .1B .2C .4D .85.在平面直角坐标系中,不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是( )A . 2B . 4C . 8D . 16 6.若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集,则实数k 的取值范围是( ) A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7.下列命题中,说法正确的是( )A .命题“若21x =,则1x =”的否命题为“若21x =,则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C .命题“0x ∃∈R ,使得20010x x ++<”的否定是:“x ∀∈R ,均有210x x ++>”D .命题“在ABC ∆中,若A B >,则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ,且231n n S nT n =+,则55b a A .32 B . 149 C . 3120 D . 979.在ABC ∆中,,,4530,2===C A a 则ABC S ∆=( ) A .2 B .22 C .13+ D .()1321+10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A . 3(0,]4B .3(0,]2 C .3[,1)2 D .3[,1)4第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题纸中横线上。

高二上学期期末教学质量检测数学理科试题

高二上学期期末教学质量检测数学理科试题

高二上学期期末教学质量检测数学理科试题注意:1、全卷满分150分,考试时间120分钟.编辑人:丁济亮2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置;交卷时只交答题卡.一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.命题“,||1x R x ∃∈<使得”的否定是 ( )A .,||1x R x ∀∈<都有B .,11x R x x ∀∈≤-≥都有或C .,||1x R x ∃∈≥都有D .,||1x R x ∃∈>都有2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为2-=x ,则抛物线方程是( )A .x y 82-=,B .x y 42-=C .x y 82=D .x y 42=3.设随机变量X ~N (0,1) ,已知( 1.96)0.025P X <-=,则( 1.96)P X <= ( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.9754.不等式01>-xx 成立的充分不必要条件是( ) A .1>x B .1->xC .1-<x 或10<<xD .01<<-x 或1>x5.某程序框图如右图所示,则程序运行后输出的S 值为( )A .6-B .10-C .15-D .106.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A .929B .1029C .1929D .20297.从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是( ) A .1,3,4,7,9,5, B .10,15,25,35,45 C .5,17,29,41,53D .3,13,23,33,438.已知圆22:4C x y +=,直线:1l x y +=,则圆C的概率为( ) A .14 B .34C .314ππ- D .24ππ+ 9.“中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕,文艺表演结束后,在7所高水平的高校代表队中,选择5所高校进行航模表演.如果M 、N 为必选的高校,并且在航模表演过程中必须按先M 后N 的次序(M 、N 两高校的次序可以不相邻),则可选择的不同航模表演顺序有( ) A .120种 B .240种 C .480种 D .600种10.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F 作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、B ,若F =1,则双曲线的渐近线方程为( ) A .03=±y xB .03=±y xC .032=±y xD .023=±y x二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11.把二进制数110 011)2(化为十进制数为 ▲ ; 12.正二十边形的对角线的条数是 ▲ ;13.NBA 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示:则中位数与众数分别为 ▲ 和 ▲ .14.已知F 是抛物线24y x =的焦点, A 、B 是抛物线上两点,若AFB ∆是正三角形,则AFB ∆ 的边长为 ▲ ; 15.下列四个命题:① 命题P :03222≤-+-x x x ;则P ⌝命题是;03222>-+-x x x ;②102)1(kx +(k 为正整数)的展开式中,16x 的系数小于90,则k 的值为1; ③从总体中抽取的样本错误!未找到引用源。

高二数学(理)上学期期末试卷及答案

高二数学(理)上学期期末试卷及答案

上学期期末考试 高二数学(理科)试卷考试时间:120分钟 试题分数:150分卷Ⅰ一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ,“0mn <”是“方程221mx ny +=的曲线是双曲线”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定..是 A .所有不能被2整除的数都是偶数 B .所有能被2整除的数都不是偶数 C .存在一个不能被2整除的数是偶数 D .存在一个能被2整除的数不是偶数3. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7,则P 到另一焦点距离为 A .2 B .3 C .5 D .74 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A .()()p q ⌝∨⌝ B .()p q ∨⌝ C .()()p q ⌝∧⌝ D .p q ∨5. 若双曲线22221x y a b-=3A .2± B. 12± C. 2 D.22±6. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为2212 D. 12-7. 已知椭圆)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线12222=-bx a y 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点,则抛物线2bx ay =的焦点坐标为 A. )0,43(B. )0,123(C. )123,0( D.)43,0( 8.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ,① ② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则A. 123P P P ==B. 123P P P =<C. 123P P P <=D. 123P P P <<9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10. 设0>a ,c bx ax x f ++=2)(,曲线)(x f y =在点P ()(,00x f x )处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π,则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[aB. ]21,0[aC. ]2,0[a bD. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且60POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q ,都有60POQ ∠≥︒,则二面角AB αβ--的大小是A. 30︒B.45︒C. 60︒D.90︒12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ,点A 在双曲线第一象限的图象上,若△21F AF 的面积为1,且21tan 21=∠F AF ,2tan 12-=∠F AF ,则双曲线方程为 A . 1312522=-y x B .1351222=-y x C .1512322=-y x D .1125322=-y x 卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 正方体1111ABCD A B C D -中,M 是1DD 的中点,O 为底面正方形ABCD 的中心,P 为棱11A B 上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角为 . 14. 函数2()ln '(1)54f x x f x x =-+-,则(1)f =________.15.已知b a,是夹角为60的两单位向量,向量b c a c⊥⊥,,且||1c =,c b a y c b a x -+-=+-=3,2,则><y x,cos = .16. 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧),则AFFB= . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)过点(1,1)-作函数3()f x x x =-的切线,求切线方程.18.(本小题满分12分)已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤,集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=,PA ⊥底面ABCD ,且2PA AD AB BC ===,,M N 分别为,PC PB 的中点.(Ⅰ)求证:PB DM ⊥;(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值.20. (本小题满分12分)已知三棱柱'''C B A ABC -如图所示,四边形''B BCC 为菱形,o BCC 60'=∠,ABC ∆为等边FE C 'B'AA'CB三角形,面⊥ABC 面''B BCC ,F E 、分别为棱'CC AB 、的中点. (Ⅰ)求证://EF 面''BC A ;(Ⅱ)求二面角B AA C --'的大小.21. (本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且椭圆上点到左焦点距离的最小值为1.(Ⅰ)求1C 的方程;(Ⅱ)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切,求直线l 的方程.22. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点,直线(1y k x =-)(0)k ≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、,MN 中点为P ,O 为坐标原点,直线OP 斜率为12k-. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)椭圆C 的右顶点为A ,当AMN ∆k 的值.xyz参考答案一.选择题CDBAC CDABB DB 二.填空题2π1- 5216- 322-三.解答题17.解:设切点为3(,)m m m -,则切线方程为32(31)()y m m m x m -+=--,┅┅┅┅┅┅2分将点(1,1)-带入,解得0m =或32, ┅┅┅┅┅┅┅ 8分 所以切线方程为y x =-或234270x y --= ┅┅┅┅┅┅┅10分 18.解:(1)0a >时,21[,]A a a =-,若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件,所以212,4a a-≥-≤, 104a <≤,检验14a =符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4分(2)0a =时,A R =,符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8分(3)0a <时,12[,]A a a =-,若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件,所以122,4a a-≥≤-,102a -≤<,检验12a =-不符合题意.综上11(,]24a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分19. 解如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -,设1BC =,则 1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2A P B C M D .(I ) 因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-⋅-0=,所以.PB DM ⊥(II ) 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=,所以PB AD ⊥, 又因为PB DM ⊥,所以PB ⊥平面.ADMN因此,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角. 因为cos ,||||PB DC PB DC PB DC ⋅<>=⋅105=,所以CD 与平面ADMN 所成的角的正弦为510 20. (Ⅰ)证明(方法一)取B A '中点D ,连接DC ED ,,因为D E ,分别为B A AB ',中点,所以'//,'21AA ED AA ED =,┅┅┅┅┅┅┅3分 所以CF ED CF ED //,=,所以四边形EFCD 为平行四边形,所以CD EF //,又因为BC A CD BC A EF ''面,面⊂⊄,所以//EF 面BC A ';┅┅┅┅┅┅┅6分(方法二)取'AA 中点G ,连接FG EG ,, 因为G E ,分别为',AA AB 中点,所以B A EG '//又因为G F ,分别为','AA CC 中点,所以''//C A FG ┅┅┅┅┅┅┅3分且G GF EG EFG GF EFG EG =⊂⊂ ,,面面,'''',''',''''A B A C A BC A B A BC A C A =⊂⊂ 面面所以面//EFG 面''BC A ,又⊂EF 面EFG ,所以//EF 面BC A '┅┅┅┅┅┅6分 (方法三)取BC 中点O ,连接',OC AO ,由题可得BC AO ⊥,又因为面⊥ABC 面''B BCC ,所以⊥AO 面''B BCC ,又因为菱形''B BCC 中oBCC 60'=∠,所以BC O C ⊥'. 可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7分 不妨设2=BC ,可得)0,0,1(C ,)0,3,0('C)3,0,0(A ,)0,0,1(-B ,)3,3,1('-A ,)0,3,2('-B ,所以)0,23,21(),23,0,21(F E -所以)3,3,0('),0,3,1('),23,23,1(==-=BA BC EF ,┅┅┅┅┅┅┅9分 设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =,则⎩⎨⎧=+=+03303c b b a ,不妨取3=a ,则)1,1,3(),,(-=c b a ,所以0=⋅n,又因为⊄EF 面BC A ',所以//EF 面BC A '.┅┅┅┅┅┅┅12分 (Ⅱ)(方法一)过F 点作'AA 的垂线FM 交'AA 于M ,连接BF BM ,.因为'//','AA CC CC BF ⊥,所以'AA BF ⊥,所以⊥'AA 面MBF , 所以BMF ∠为二面角B AA C --'的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅8分因为面⊥ABC 面''B BCC ,所以A 点在面''B BCC 上的射影落在BC 上,所以41cos 'cos 'cos =∠∠=∠ACB BCC ACC , 所以AC MF ACC ==∠415'sin ,不妨设2=BC ,所以215=MF ,同理可得215=BM .┅┅┅┅┅┅┅10分 所以532153415415cos =-+=∠BMF ,所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分(方法二)接(Ⅰ)方法三可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ,设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =,则⎩⎨⎧=+-=--03031111y x z x ,不妨取31=x ,则)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅8分又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ,设面C AA '的一个法向量为),,(2222z y x n =,则⎩⎨⎧=+-=-03032222y x z x ,不妨取32=x ,则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅10分 所以53||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ,因为二面角B AA C --'为锐角,所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分21.解:(Ⅰ)设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,椭圆上点P 满足,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+所以,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时||1PF 取到最小值12-=-c a ,又21=a c ,解得1,1,2===b c a ,所以1C 的方程为 1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x aca PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ,对于直接说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的,酌情扣分);┅┅┅┅┅┅┅4分(Ⅱ)由题显然直线l 存在斜率,所以设其方程为m kx y +=,┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与1222=+y x ,得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ,0=∆,化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与22:4C y x =,得到042=+-m y y k ,0=∆,化简得01=-km ,┅┅┅┅┅┅┅10分 解得2,22==m k 或2,22-=-=m k所以直线l 的方程为222+=x y 或222--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解:(Ⅰ)由题可得直线过点(1,0),在椭圆内,所以与椭圆一定相交,交点设为),(),,(2211y x N y x M ,则2121x x y y k --=,OP 斜率为2121x x y y ++,所以2122212221-=--x x y y ,┅┅┅┅┅┅┅3分又1221221=+b y a x ,1222222=+b y a x ,所以02222122221=-+-by y a x x ,所以222b a =,又 11222=+ba ,解得2,422==b a ,所以椭圆C 的方程为12422=+y x ;┅┅┅┅┅┅┅6分 (Ⅱ)(1y k x =-)与椭圆C 联立得:0424)21(2222=-+-+k x k x k ,┅┅┅┅┅┅┅8分AMN ∆面积为31021)32(82||||2||||21222121=++=-=-kk k x x k y y , 解得1±=k .┅┅┅┅┅┅┅12分。

陕西省咸阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

陕西省咸阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

(1)当 a 1时,求关于 x 的不等式 f (x) 0 的解集;
(2)若关于 x 的不等式 f (x) 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.
18. 已知 an 是公差不为 0 的等差数列, a1 1,且 a1 、 a2 、 a5 成等比数列.
(1)求数列an 的通项公式;
(2)设 bn
an1 2an 2n1 ,且 a1 2 ,则数列 an 的前 n 项和 Sn ()
的 A. n12n12
B. n 2n1 2
C. n 1 2n 2
D. n 1 2n 2
12.
已知
F1,
F2
为双曲线
x2 a2
y2
b2
1(a 0,b 0) 的左、
右焦点,过
F1

y
b a
x
的垂线分别交双曲线的左
、 右两支于 B,C 两点(如图).若 CBF2 CF2B ,则双曲线的渐近线方程为()
A. y 3x
B. y 2x
C. y 3 1 x
D. y 3 1 x
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
r
r
13. 已知空间向量 a 6, 3,1 与 b 3, x, y 共线,则 x y ______.
中点, AD SD CD 2AB 2 .用空间向量知识解答下列问题:
(1)求证: DM 平面 SAB ; (2)求平面 SAB 与平面 SBC 的夹角.
21.
已知椭圆 C
:
x2 a2
y2
1(a
1) 的左,右焦点分别为
F1, F2
,离心率为
3. 2
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高二数学理科上册综合测试卷满分:100分 时间:60分钟一、选择题:(本大题共10小题;每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .不充分不必要条件2.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是( ) A .4B .25 C .22D .23.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 ( ) A .191622=-x yB .191622=-y xC .116922=-x y D .116922=-y x4.若抛物线22x y =与圆012222=-+-+a ax y x 有且只有三个公共点,则a 的取值范围是( )A .11<<-aB .11817<<a C .1817=a D .1=a5.抛物线x y 42-=上有一点P ,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为( )A .32B .2+3C .3D .32-6.若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 ( ) A .4B .2C .1D .217.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF 1(F 1为椭圆的左焦点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为( )A .21B .22 C .23 D .13-8.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( ) A .041222=---+y x y x B .01222=+-++y x y xC .01222=+--+y x y xD .041222=+--+y x y x9.当210<<k 时,方程kx x =-1的解的个数是 ( )A .0B .1C .2D .310.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是( )二、填空题:(本大题共4小题;每小题4分,共16分,) 11.若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 12.设圆过双曲线116922=-y x的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 .13.已知椭圆122=+n y m x 与双曲线122=-by a x (0,0>>b a )有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点,则21PF PF ⋅等于 .14.对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题: ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题;共54分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知圆c 关于y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1:2,求圆c 的方程.16.(本小题满分9分)已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 17.(本小题满分9分)已知椭圆的一个顶点为A (0,-1),焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时,求m的取值范围.18.(本小题满分9分)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点,求离心率e 的取值范围.19.(本小题满分9分)已知圆1:22=+y x O 和抛物线22-=x y 上三个不同的点A 、B 、C.如果直线AB 和AC 都与圆O 相切.求证:直线BC 也与圆O 相切.20.(本小题满分10分)A 、B 、C 是我军三个炮兵阵地,A 在B 的正东方向相距6千米,C 在B 的北30°西方向,相距4千米,P 为敌炮阵地.某时刻,A 发现敌炮阵地的某信号,由于B 、C 比A 距P 更远,因此,4秒后,B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1千米).若从A 炮击敌阵地P ,求炮击的方位角.高二数学理科上册综合测试卷答案一、1.B; 2.D; 3.A; 4.D; 5.A; 6.C; 7.C; 8.D; 9.D; 10.A; 二、11.(0,±3); 12.316; 13.a m -; 14.①② 三、15.设圆C 的方程为)(2a y x -+22r = 抛物线x y 42=的焦点F (1,0) 221r a =+∴①………………………………………………3分又直线x y =分圆的两段弧长之比为1:2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的;21即22r a =②………………………………………………5分解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x ……………………8分 16.直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………2分 而012≠-k ,122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k a k ak T --……4分 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴ka k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ;当122+=a k 时,由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………8分17.(1)依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ,则右焦点F (0,12-a )由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x .1322=+y x ………………………………………………3分.(2)设P 为弦MN 的中点,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点,,0>∆∴即 1322+<k m ①………………5分13322+-=+=∴k m kx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,,则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………7分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是(2,21)……………………………………9分 18.设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ,即MN MF =2,由双曲线定义可知e MF MF e MNMF =∴=211……4分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………6分而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………9分19.设)2,(2-a a A ,)2,(),2,(22--c c C b b B 则 AB 的方程为 02)(=---+ab y x b a BC 的方程为 02)(=---+bc y x c bAC 的方程为 02)(=---+ac y x c a ……………………………………3分AB 为圆的切线,有11)(22=+++b a ab 即032)1(222=-++-a ab b a 同理()b a ac c a321222=-++-、c 为方程032)1(222=-++-a ax x a 的两根,则13,12222--=-=+a a bc a ac b ………………………………………8分于是圆心到直线BC 的距离11)1(42131)(2222222=+-+--=+++=a aa a cb bcd 故BC 也与圆O 相切。

…………………………………………10分.20.以线段AB 的中点为原点,正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系,则)32,5()0,3()0,3(--C B A 依题意 4=-PA PB P ∴在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上.这里5,3,22===b c a .其方程为 )0(15422>=-x y x ……3分又 P PC PB ∴=又在线段AB 的垂直平分线上073=+-y x ………………5分由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-204507322y x y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==35)(8y x 负值舍去 即 ()35,8P …………8分由于3=AP k ,可知P 在北30°东方向.………………………………………………10分。

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