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直线的一般式方程及综合

【学习目标】

1．掌握直线的一般式方程；

2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；

3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】

要点一：直线方程的一般式

关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．

我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )

叫做直线方程的一般式．

要点诠释：

1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能表示一条直线 .

当 B ≠0时，方程可变形为

y

A x C ，它表示过点 0, C

，斜率为 A

的直线．

B B B

B

当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形

为

Ax+C=0 ，即 x

C ，它表示一条与 x 轴垂直的直线．

A

由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．

2．在平面直角坐标系中，一个关于

x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可

以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程可以是 2x ―y+1=0 ， 也可以是 x

1 y 1 0 ，还可以是 4x ― 2y+2=0 等．）

2 2

要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表：

名称

方程的形式 常数的几何意义

适用范围

点斜式

y ―y =k(x ―x

（ x 1 ， y ）是直线上一定点， k 是斜率 不垂直于 x 轴

1 1

1)

斜截式

y=kx+b

k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距

不垂直于 x 轴 两点式

y y 1

x x 1 （ x 1， y 1），（x 2，y 2）是直线上两定点

不垂直于 x 轴和 y 轴

y 2 y 1

x 2

x 1

截距式

x y

a 是直线在 x 轴上的非零截距，

b 是直

不垂直于 x 轴和 y 轴，

a

1

线在 y 轴上的非零截距

b

且不过原点 一般式

Ax+By+C=0

（ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数

任何位置的直线

要点诠释：

在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要

求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，

首先要判断是否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的

所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的 方程也不同．

要点三：直线方程的综合应用

1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．

2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

（ 1）从斜截式考虑

已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,

l 1 // l 2 1 2

k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；

l 1

l 2

tan

cot

1 k 1k 2

1

1

2

1

2

k 1

2

k 2

于是与直线 y kx b 平行的直线可以设为 y

kx b 1 ；垂直的直线可以设为

y

1 x b

2 ．

（ 2）从一般式考虑：

k

l 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0

l 1

l 2

A 1 A 2

B 1 B 20

l 1 / / l 2 A 1 B 2 A 2 B 1 0且 A 1C

2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1

C

1 ）

A 2

B 2

C 2

l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0

于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 Ax

By D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为

Bx Ay D

0 .

【典型例题】

类型一：直线的一般式方程

例 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

1 （1）斜率是

，经过点 A （ 8， ―2）；

2

（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；

（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是

3

，

―3；

2

（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．

【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0

【解析】

（ 1）由点斜式方程得 y

( 2)

1

( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．

2

（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ． （3）由截距式得

x y

2x ―y ―3=0 ．

3

1 ，化成一般式得

3

2

（4）由两点式得

y 2

x

3

，化成一般式方程为

x y 1 0 ．

4 ( 2)

5 3

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线

方程的一般式，一般作如下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．

举一反三：