42拉普拉斯变换的定义、收敛域

t
0
f
t es td t
f t L1 f t
1
σ j
F
s
estd s
2π j σ j
二．拉氏变换的收敛
第 6
页
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t) eσ t 0
t
jω 收敛轴
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f te t 1 F j ej td
2π 两边同乘以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 :
对s :
j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
2π j j
n2
L t 2
2 s
Lt
2 s
1 s2
2 s3
n3
n1
Lt t estd t 0
L t 3 3 L t 2 3 2 6 s s s3 s4
1 t de st
s 0
所以
L tn
n! sn1
L t t0
0
t t0
estd t est0
第
4．tn u(t)
9 页
L tn tn estd t 0
1 s
t
est
0
0
e
std
t
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
0
1 s
1 s
est
0
1 s2
n t n1 estd t
s0
所以 L tn n L tn1 s
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
三．一些常用函数的拉氏变换
第 8
页
1.阶跃函数
L u(t)
1
estd t
1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
eα st
1
Байду номын сангаас
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
f (t) e t
f (t) e t ej td t
f (t) e( j )td t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲, 称为复频率。
则
Fs f tes t dt
2．拉氏逆变换
第 4
页
F j f te j t dt Fs f tes t dt
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
第 2
页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 3
页
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义:
F1
F
σ σ0
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
例题及说明
第 7
页
1.满足lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
第
3．拉氏变换对
5
页
F s
L
f
t
f
t e s
td
t
f
t
L1
f
t
1
σ j
F
s
estd s
2π j σ j
正变换 逆变换
记作: f t Fs f t称为原函数，Fs称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
Fω
f
t
ejω td t
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s
L f