数学建模 最省力的走法
数学建模-无向图最短路径
参赛队编号： 244 赛题类型代码： B无向图最优路径摘要：在实际生活中，我们经常会遇到“最优路径”问题，例如，城市之间的最短线路，或者城市之间最节省的交通费用等问题都属于该类问题。
同样，在自然界也存在着“最优路径”。
在复杂多变的蚁巢中，蚂蚁总是能以最快、最高效的方式游历在各个储藏间，今天，蚁后让小蚁同学按照自己特定的要求寻找食物，针对蚁后的要求，我们采用了大量科学分析方法，并进行了反复验证，我们建立如下的模型：首先对问题进行分析，对约束条件逐一列举、分析实质，必须经过N7、N12两个点，必须经过两条直线，实质是经过四个点N2、N4、N13、N14，但这四个点又与前边两个点有所不同，N2和N4要相邻，N13和N14要相邻，必须经过起始和终止点（针对此处的歧义，在假设中解决）深入分析可知，若最多经过9个点是无法完成的，因此求次优解。
其次遍历所有路径找到符合约束条件的，遍历时使用穷举法，走遍每一条可以走的路，在过走点数超过限制的最多点数或者已经走到了终点，是，则停止，判断这条是否满足约束条件，满足则记录这条路的信息，不满足什么都不做；否，则继续向前走。
最后可以找到所有经过不超过限制点数、满足约束条件的路径。
再计算每一条符合要求的费用（事实上可以集成到上一步中，但为了模块独立化，利用分而治之思想，在这里将其分开），按照费用排序，在所走点数的基础上，在费用上再做分析，选出最优路径。
最后对模型进行分析与评价，以及改进与退关，模型的适用性较强，只要对数据稍加改动就可以成为求有向图最佳路径的模型。
关键字：无向图最优路径，C语言，图论，算法目录一、问题重述 (1)二、模型假设与符号说明 (2)2.1 模型假设 (2)2.2 符号说明 (2)三、问题分析 (2)3.1整体分析 (2)3.2约束条件分析 (2)3.3可行性分析 (2)四、模型建立与求解 (3)4.1模型准备 (3)4.2模型建立与求解 (3)4.2.1确定所有路线表达式 (3)4.2.2 对路径的筛选 (4)4.2.3费用分析 (5)4.2.4算法设计 (6)4.2.5模型求解 (7)4.3 对模型的检验 (7)五、模型评价 (9)5.1模型优缺点 (9)5.1.1模型优点 (10)5.1.2模型缺点 (10)5.2 模型改进 (10)参考文献 (10)附录 (11)无向图最优路径模型一、问题重述最强大脑中的收官蜂巢迷宫变态级挑战，相信大家都叹为观止！最强大脑收官战打响后，收视率节节攀升，就连蚁后也不时出题难为一下她的子民们。
数学建模(人行走最省劲模型)
人走路最省劲的模型摘要：人行在行走一段距离后就会觉得体力不支，两腿酸疼。
走的省力与否取决于抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
本模型就是研究正常情况下每秒走几步消耗体力最小这个问题。
关键词：人 行走 势能 动能 步速1.问题的重述（1） 人行走消耗的体力主要用以克服人体重心的升高的重力势能和两腿运动的动能。
那么，人行走的速度为多大时在相同时间里消耗体力最小呢？也就是说，人每秒走多少步最省劲设腿长l ，步长s ，证明人体重心在行走时升高2/8()s l s l δ≈<。
（2） 将腿看成均匀直杆，行走看作腿绕腰部。
设腿的质量为m ，行走速度为v ，证明单位时间所需的动能为2/6mv s 。
（3） 设人体质量为M ，证明在速度v 一定时每秒行走ml Mg n 43=步做功最小。
实际上，4,1M l m m≈≈，分析这个结果合理吗？ （4） 将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。
证明结果应为n =。
分析这个结果合理吗？2.问题的假设与符号说明2.1问题假设（1）匀速行走（2）将腿视为均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动（3）人的腿长应大于行走时的步长。
2.2符号说明（1） 设腿长l ，步长s (s<l ）：（2）人行走时人体重心升高δ，腿的质量m ，行走速度v;（3）人体质量M ，每秒行走步n 。
3.模型的建立与求解如图，通过近似图形分析和直角三角形性质易知人重心在行走时升高。
所以，动能增加的同时也重力势能会增加。
以下对此求解：3.1.人行走时的动能将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动设腿的质量为m行走速度为v则脚部角速度w /v l =单位时间的步数w /v l =腿的转动惯量为： 22013l m I x dx ml l ==⎰ 则单位时间行走所需的动能 32126e v mv W Iw s s== 3.2单位时间内使身体重心升高所作的功即重力势能为设人体重心升高δ，则()212241cos l sl l l l --=-=θδ当/s l 较小时δ28s l≈ 所以重心升高做的功为v W Mg sδδ==8Mgsv l 所以单位时间内所走的总功为 将v n s=，得 )186(2nl Mg n m v W ⨯+⨯=于是当v 一定时,有不等式最值定理得mlMg n 43= 可使W 最小 设M m≈4，1l =m 代入上式得n =5～6一般情况下，人的步行速度不可能每秒五步，所以这个结果不合理。
行走问题数学建模
对人行走问题的探究摘要本论文主要讨论人在行走时在做功最小的准则下，每秒钟走几步最合适的问题。
为了简化对问题的分析过程，我们将人走路时的状态单纯的看做重心不断上下移动的过程，而且走路的整个过程看作是匀速的，也就是说，人走路作的功为太高人体重心所需势能与两腿运动所需动能的和，而忽略人体外部和内部消耗的其他形式的能。
在计算人体重心升高的过程中，我们运用物理模型分析人体走路的分解动作，人行走分为双腿重合和双腿分开两种情况，在知道步长和腿长的前提下，运用勾股定理，用双腿重合时的重心高度减去双腿分开时的重心高度即为人在行走过程中重心的升高。
在知道重心的升高后，又知道行走的速度，这样我们很容易就可以求出单位时间行走需要的动能。
在计算频率的时候，我们分别两种不同假设的前提下建立两种模型，一种是假设将腿看做均匀直杆，行走看做时腿绕腰部的转动，另外一种是将腿的质量集中在脚部，行走看做是脚的直线运动。
这两种模型建立后，在速度一定时，求出在做工最小的准则下，每秒应该走的步数，即行走的频率，结果发现，在假设二，也就是将腿的质量集中在脚部时，所得的频率更加符合实际情况。
在解决题中的问题后，我们又对模型进行了进一步的分析，找出缺点和不足，分析模型的实际性，并且对模型进行了进一步的推广，希望能在实际中有更加广泛的应用。
关键词：行走转动惯量作功最小转动动能一、问题的重述在如此快节奏的社会中，无论是生活，工作还是学习都追求高效率，走路也不例外，我们也力求最优方式。
走的太快就会气喘吁吁，可是走得越慢就越省力吗？现实中的经验告诉我们并非如此。
那我们每秒钟应该迈几步更为合适呢？对于不同的人走路方式是否应该有所区别呢？那么接下来我们就对走路这个过程做一些探究与分析。
（1）计算人体重心在行走时升高多少。
（2）将腿看做均匀直杆时，行走腿绕腰部的转动，求单位时间所需动能。
（3）求在速度一定时，每秒行走几步作功最小，分析题中答案是否合理。
（4）将（2）中的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明题中给出结果是否合理。
数学建模之方法(五步法)ppt课件
数模方法之五步法
※2018/11/25※
11/25
⑸回答问题：回答第一步提问“何时售猪可以达到 最大净收益. 由第四步我们得到的答案是在8天之后，可以获 得净收益133.20美元。只要第一步假设成立，这一 结果就是正确的。 相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步 中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问 题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第 一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研 究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我 们将在下一节进行讨论。 本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归 纳成如下图表, 以便以后参考.
图1-4 售 猪问题中 最佳售猪 时间x关 于价格的 下降速率 r 的曲线
14 12 10 8 6 40.008 2 0.008
14 12 10 8 6
0.009
0.011
01 0.012 r(美元/天)
我们可以看到售猪的最优时间 x 对参数 r 是很敏感的. ⑶x对价格下降速率r灵敏性的系统分析 将r作为未知的参数,仍按前面的步骤求解(见下页):
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
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①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
5 磅 ( w 磅 ) ( 200 磅 ) ( )( t 天 ). 天
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
2020数学建模竞赛定向越野比赛路线设计
2020数学建模竞赛定向越野比赛路线设计
针对2020数学建模竞赛定向越野比赛的路线设计，可以考虑以下几个方面：
1. 起点和终点的选择：根据比赛的要求和实际情况选择合适的起点和终点位置，使比赛具有一定的难度和挑战性。
2. 地形条件的考虑：根据比赛场地的地形条件，设计适合该地形的路线。
可以利用山地、河流、沼泽等自然地形作为比赛路线的要素。
3. 难度控制：根据比赛的要求和参赛选手的水平，设计不同难度级别的比赛路线，包括技术难度、体力难度等。
可以设置一些技术点和险要点，增加比赛的挑战性。
4. 路线标示：在路线上设置必要的标识，如控制点、方向指示牌等，以便参赛选手能够顺利找到正确的路线。
5. 安全考虑：在路线设计中要考虑到比赛的安全问题，避免设置过于危险的路线和障碍物，确保参赛选手的安全。
6. 时间控制：根据比赛的要求，设计合理的比赛时间，在比赛路线中设置检查点，控制比赛的时间。
7. 创新性：在设计比赛路线时，可以根据具体情况增加一些创新元素，如隐蔽控制点、暗号解谜等，增加比赛的趣味性。
综合考虑以上因素，可以设计出一条具有挑战性、安全性和趣味性的数学建模竞赛定向越野比赛路线。
具体的设计需要根据比赛的要求和场地条件综合考虑，确保比赛的公正性和秩序性。
人单位时间走几步最省力模型
人单位时间走几步最省力模型摘要本文通过简单的图例建立了人在匀速行走时每秒走几步最省力的模型。
通过对人的行走的两种不同的假设，分别给出了单位时间（每秒）所走步数的两个公式（n=及n=。
并通过对实际情况的考查，对两种假设的合理性作出了一些简单的评价。
关键词：匀速，最省力，合理性一、问题的提出今天人们无论做什么都讲求高效率，即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。
人的行走也如此，每秒走几步最省力，走快了会气踹吁吁浪费体力，哪么是不是走得越慢就越省力呢？生活经验告诉我们并非如此。
那么对于不同的人应该选择多快的走路方式呢？二、问题的分析这是一个有关物理的最优化问题。
我们可以应用物理中对物体质量的抽象为质点的思路将问题简化，从而应用物理知识计算出人在单位时间做功的表达式。
最后在通过数学手段结合表达式求出人在单位时间里怎么走路最省力（单位时间里走几步最省力）。
基本假设：假设一、人的行走可看作是匀速的，这基本符合常理。
假设二、人在行走过程中所需的功是太高人体重心的势能与两腿运动所需的动能之和。
（忽略空气阻力）三、符号的说明l：腿长；s：步长；δ：人体重心伸高；v：行走速度（行速）；m：腿的质量；M：人体质量;g：重力加速度；p：两腿运动动能；n：单位时间走的步数四、模型的建立一、人在行走时人体重心的升高等于腿根部位置A升高。
（如右图）两腿分开时，点A离地面的高度为cos@l;两腿合拢时，点A 离地的高度为l 。
所以，人在行走时重心的升高12222cos@(1)84s s h l l l l ll =−=−−≈二、计算人行走时两腿运动的功率，下面根据对人行走的两种不同的假设来求人行走时运动的动能。
模型一：将行走看作腿绕髋部的转动（假设腿是均匀的直杆）。
由物理知识可以知道，两腿的转动动能e W 等于转动惯量I 与转动角速度ω平方乘积的一半。
由假设转动惯量23ml I =角速度v lω=由于人的行走速度为v ，步长为s 。
数学建模最省力的走法
数学建模最省力的走法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和.试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走). (1)设腿长l ,步长s ,证明人体重心在行走时升高).(8/2l s l s <≈δ .(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,证明单位时间所需动能为.6/2s mv .(3)设人体质量M ,证明在速度v 一定时每秒行走mlMgn 43=步作功最小.实际上,m l mM1,4≈≈ ,分析这个结果合理吗. (4)将(2)的假设修改为:腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动.证明结果应为mlMgn 4=步.分析这个结果是否合理. 解：符号说明l ：腿长； s ：步长； δ：人体重心升高； v ：行走速度(行速)；m ：腿的质量； M ：人体质量； g ：重力加速度；p ：两腿运动功能1.计算人在行走时人体重心的升高重心的升高等于腿根部A 位置的升高。
如右图：两腿分开时，点A 到地面的距离为,222⎪⎭⎫⎝⎛-s l两腿重合时，点A 到地面的距离为l .所以，重心的升高为)2(4222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--=s l s s l l δ.22,22l s l l l s ≈⎪⎭⎫⎝⎛-+<.82ls ≈∴δ2. 证明：将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v , 由物理学知识可以知道，两腿的转动动能u 等于转动惯量J 与转动角速度ω平方乘积的一半。
即：.,312lvml J ==ω所以转动动能：.612122mv J u ==ω由于人在每行走一步所花时间为：vst =, 所以单位时间内所需的动能为：smv v s mv t u W 66132=⨯==3. 假设人行走做功最小的行走频率（每秒的步数）为n ，又每秒行走了ns 的路程，速度v = ns .所以，两腿的运动动能为66)(62333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82n ls Mg n Mg =δ因而人行走所做的功为：lMgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 862)86(863232223⋅⋅≥+=+所以：当mlMgn l Mgn mn 43,863==即时所做的功最小。
军旅导航——最短路径问题的数学模型
军旅导航——最短路径问题的数学模型引言军队战斗中的导航问题十分重要，其中最短路径问题是一个常见且关键的挑战。
本文将介绍一种基于数学模型的军旅导航最短路径解决方案。
问题描述军队需要从起点A到达目标点B，但是在中间有多个地点需要经过。
军队希望找到一条最短的路径，以最小化时间和资源的消耗。
数学模型我们可以使用图论中的最短路径算法来解决这个问题。
以下是一个简单的数学模型：1. 将地点和道路表示为图中的节点和边。
2. 将起点A和目标点B分别设为图中的起始节点和目标节点。
3. 对于每个节点，计算其与相邻节点之间的距离或代价。
4. 使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）计算从起点到目标点的最短路径。
5. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
算法流程以下是一个简单的算法流程：1. 初始化图中的节点和边的信息。
2. 将起点A设为当前节点。
3. 对于每个相邻节点，计算从起点A到该节点的距离或代价。
4. 选择距离或代价最小的节点作为下一个当前节点，并更新当前节点。
5. 重复步骤3和4，直到当前节点为目标节点B。
6. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
实例应用假设军队需要从基地出发，穿越多个村庄，最终到达敌方阵地。
每个村庄之间的距离和敌方阵地的位置已知。
我们可以使用上述数学模型来解决这个问题。
结论通过使用数学模型和最短路径算法，我们可以为军队提供一种有效的军旅导航最短路径解决方案。
这将有助于军队在战斗中更快地到达目标地点，以及更有效地利用资源。
学会快速解决数学建模题
学会快速解决数学建模题数学建模题在学生中间是一个相对难题，因为它要求学生具备一定的数学基础和解决问题的能力。
然而，随着对这一领域的研究不断深入，一些方法和技巧已经被开发出来，可以帮助学生更好地解决数学建模题。
本文将介绍一些快速解决数学建模题的方法和技巧，希望能对学生有所帮助。
1. 理解问题解决数学建模题的第一步是充分理解问题。
仔细阅读问题陈述，确定问题的要求和给定条件。
理解问题的关键是在数学建模题中找到抽象和实际问题之间的联系，将实际问题转化为数学表达式和方程。
2. 分析问题分析问题是解决数学建模题的关键步骤。
通过分析问题，可以确定问题所涉及的数学概念和原理，找到解决问题的合适方法。
在分析问题时，可以使用图表、公式、等式等方式进行表达和计算。
3. 创造模型建立适当的数学模型是解决数学建模题的关键步骤之一。
根据问题的性质和要求，可以选择不同的数学模型，如线性模型、非线性模型、概率模型等。
在建立模型时，需要考虑问题的实际情况，并根据问题的特点和要求进行合理的假设。
4. 进行计算完成建模后，可以开始进行具体的计算。
根据所建立的数学模型，使用适当的计算方法和技巧进行计算。
在计算过程中，应该注意计算的准确性和精确度，并注意使用适当的数学工具，如计算器、计算软件等。
5. 分析和解决计算完成后，需要对结果进行分析和解释。
比较结果与问题要求的一致性，并进行合理的解释和推理。
如果结果与问题要求不一致，则需要重新检查模型和计算方法，找出错误并进行修正。
总结通过以上方法和技巧，学生可以更好地解决数学建模题。
然而，要想真正掌握快速解决数学建模题的能力，需要不断的实践和经验积累。
在解决数学建模题的过程中，关键是要保持耐心和积极性，并灵活运用数学知识和技巧。
希望本文所介绍的方法和技巧能对学生在解决数学建模题时提供一些帮助和指导。
只有通过不断学习和实践，才能真正掌握快速解决数学建模题的能力。
数学建模人走路问题
走路问题问题：人在行走时，步长多大最省力。
一、问题分析：1.所谓省力是指走步过程中做功最少；2.走步时步子过长或过短都不省力，必有一个合适的步长，使得做功最少。
做功大小是步长的函数。
3.提高人体重心所需的势能，以及人两腿前后运动所需的动能应为主要因素。
4.相关的因素：穿着的多少，是否负重，鞋子是否轻便，地面是否平坦、干燥。
二、模型假设：1.人在行走时所做的功，由两部分组成，提高人体重心的势能，两条腿运动的动能。
2.人的行走可以视为腿绕腰的转动。
3.运动与所穿戴情况无关，地面相对平坦、干燥。
4.设定参量：M------------人的体重；m------------人的腿重；l--------------人的腿长；v-------------行走速度；x-------------步长；n-------------单位时间内行走的步数；三、建立模型1. 人体重心提高所需的势能，令人体重心提高的幅度为h 则有:2221241()sin 1(cos lxl l l l l l h --=--=-=θθ由动能与势能的关系可知，单位时间 内重心抬高h 所需的势能为：])41([2122lx l l Mg Mgh W --==此式子即为走一步所产生的是势能，则在单位时间内走了n 步有：])41([2122lx l l nMg nMgh W --== 2.双腿运动所需要的动能：由动能定理得：n I E 221ω=（I 表示转动惯量，l v=ω为角速度，n 是单位时间人走n 步所消耗的动能）3.202ml dr r l m I l==⎰则有62122nmv n I E ==ω,nx v = 则人在走路时所作的总功:x mv l x x vMgl E W P 6])41(1[32122+-=+=计算结果： )12(6222mv Mgl m mvMgl l x ++=四、模型求解、分析、修改本题求的是P 的最小值，即0=dxdp 或0=、P ，可求出x 的值。
数学建模走路最省力
数学建模——走路最省力
•走路步长的选择
Rashevsky研究了人类走路时如何选择步长可以最省力。
1、模型假设
假设人体分为躯体和下肢两部分，躯体用匀速前进，下肢看作长为的刚体棒。
人每走一步路时，躯体重心移动垂直距离为，为两脚着地时腿与竖直方向的夹角（如下图），两腿重心移动的距离为，因步长为，为单位时间走的步数，则，且单位时间内消耗的势能为躯体重量加两腿重量的一半。
走路时腿的速度不断变化。
取其中一小块质量，假设它的速度最小是0，最大是。
那么它们动能损失为，所以总的动能损失为
不妨假设量与腿的总质量成正比，比例系数为，并记，可称为“折合质量”，则，
总能量消耗为
2、模型解答
为了使单位时间能量消耗最小，应有
，
解得
(3)
(3)式就是使走路最省力时腿与竖直方向夹角满足的条件，而步长为，应用时可近似地认为是人体质量，是两腿的质量。
3、模型检验
由(3)式可知，为了使能量损失最小，势能的损失应近似等于动能的损失。
根据一般人的体形，可求得约在与之间，这可以认为是符合实际的。
在更广泛的假设下，我们可以证明(3)式仍是正确的。
数学建模路线
数学建模路线优化问题选路的优化模型摘要:本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。
最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。
在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。
如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。
最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。
一、问题描述“水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。
巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。
1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时，汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的影响（图见附录）。
二、问题假设1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。
2、非本县村不限制通过。
3、汽车的行驶速度始终一致。
三、符号说明符号表示意义Ti 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动Vi Ti的点集Si Ti的长度Hi(v) 在V上定义的特殊函数仅当V被第i 人走过且停留时Hi(v)=1,否则为0四、模型建立在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。
最简树结构模型在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。
最短路径问题-数学建模比赛
2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录1.摘要 (3)2.问题的重述及分析 (4)3.符号说明 (4)4.模型的分析，建立和求解 (5)5.模型的评价和改进 (10)6.参考文献 (10)7.附录 (11)最短路径问题摘要由于保安资源有限，根据学校的实际情况与需求，泉州师院数学专业新引进了智能机器人---大白，目的是让他自动在校园巡逻，以确保校园的安全。
对于题中所给的三个问题，研究在不同现实背景下的最优线路设计问题，即研究在约束条件下的最短路径问题。
针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，利用图论中的各种知识，采用数据结构里的最短路径算法,也叫Dijkstra 算法，对最优线路的设计进行建模并使用MATLAB 和lingo 软件进行编程求解。
数学建模最短路径问题模型
数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。
最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。
最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。
2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。
3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。
5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。
它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。
2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。
3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。
4. 返回任意两个节点之间的最短路径。
除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。
此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。
这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。
对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。
最短路径数学建模
最短路径问题是一个非常能联系实际的问题，下面我们以具体例题来看看这类问题的解法例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。
某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用费用最少。
试编程序输出结果。
解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。
这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。
实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。
首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。
具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、BEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。
数学建模做题流程总结
数学建模做题流程总结一、组队。
数学建模不是一个人的战斗，那得找小伙伴一起呀。
找队友可不能马虎，就像找对象似的。
得找有不同专长的人，比如说有人数学特别好，那计算啊、推导公式啥的就靠他啦；有人计算机编程厉害，像Matlab、Python这些软件玩得溜，处理数据、跑模型就交给他；还有人文字表达能力强，最后写论文的时候就靠他把咱们的成果清晰漂亮地呈现出来。
而且队友之间得合得来，要是整天吵架，那这建模可没法做了。
大家互相了解彼此的优缺点，在组队的时候就得商量好，谁负责啥，这样后面做事才有效率嘛。
二、选题。
选题就像在商场里挑衣服，要挑个适合自己的。
题目类型可多了去了，有优化类的、预测类的、评价类的等等。
那怎么选呢？一方面得看自己团队的实力，要是对某个领域比较熟悉，那就优先考虑相关的题目。
另一方面呢，也得看看题目给的数据是不是齐全，要是数据都找不着，那做起来可费劲了。
有时候，看到一个题目，感觉似曾相识，好像自己学过相关的知识，或者做过类似的小项目，那就像发现了宝藏一样，这个题目可能就是个不错的选择。
三、模型建立。
这可是数学建模的核心部分。
咱们得把实际问题转化成数学模型，这就好比把一团乱麻捋成一根根整齐的线。
要根据题目的类型和已知条件，从自己的知识库里找出合适的模型。
比如说，如果是预测销售量，可能线性回归模型就挺合适；要是资源分配的问题，线性规划模型说不定就能派上用场。
在建立模型的时候，可不能生搬硬套，要根据实际情况做一些调整和改进。
有时候可能一个模型还不够，得把几个模型组合起来用，就像搭积木一样，一块一块拼起来，让这个模型更符合问题的要求。
四、数据处理。
数据就像做菜的食材，得处理好了才能下锅。
数据来源可多了，有从网上找的，有从实际调研来的。
但是这些数据可能不干净，有错误的、有重复的，这时候就得用一些方法把数据清洗一下。
像Excel就有很多好用的功能可以用来初步处理数据。
要是数据量特别大，就得靠编程软件了。
处理好的数据要能为模型所用，要是数据和模型不匹配，那就像鞋子不合脚一样，走起来可难受了。
数学模型课程设计---人行走做功最小模型
人行走做功最小模型【摘要】本模型主要研究在做功最小的情况下人的行走问题。
因为人在行走时做的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
而人在行走时重心升高时一个定值，所以我们可以通过调节步速来控制两腿运动所需动能。
在我们日常生活中，人行走是少不了的。
建立这个模型的目的就是要解决人要以怎样的步速才能使人在单位时间内做功最少。
必须先分析重心的升高量和人在单位时间内做的功。
再以物理和数学知识求解。
本文建立了人在匀速行走时每秒走几步最省力的模型。
通过两种不同的假设，给出了每秒所走步数的两个公式。
【关键词】转动惯量 重力势能 动能 功能转换 最优解一．问题的重述人在行走时做的功是抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
求解在做功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
需要研究的主要内容有：（1）设腿长l ，步长s ，证明人体重心在行走时升高28()s l s l ≈<δ。
（2）将腿看做均匀直杆，行走看做腿绕腰部的转动，设腿的质量m 行走速度v 证明单位时间所需动能为 2mv s 。
（3）如果设人的质量M 证明在速度v 一定时每秒行走n =小，实际上，M m4≈，1l m ≈，并分析这个结果的合理性？ （4）如果将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明结果应为n =同时，以做本题及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
二．问题的分析因为人在静止不动时，也会由于生命活动消耗一部分能量，而在非静止状态消耗的能量就会更大。
因此，人在步行时消耗的能量就分为生理的和物理的两部分。
下面就简单分析一下在不考虑在不考虑生理耗能的情况下，人应该以怎样的步频才能在单位时间内消耗的能量最少。
三．模型假设与符号说明1.模型假设假设一假设人体的重心在人体的位置保持不变，并且人在步行时是做匀速运动的。
假设二假设在步行过程中保持步长是一定的，而且在步行过程中路面是相对平坦的。
数学建模最短路径问题
数学建模最短路径问题
在数学建模中，求解最短路径问题是一个经典的问题。
在一个有向、加权图中，最短路径指的是从起点到终点路径上的各边权值之和最小的路径。
下面介绍两种常用的最短路径求解方法：
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的单源最短路径算法。
它的基本思想是从起点开始，不断扩展到其他结点，每次选择当前路径中距离最小的结点进行扩展。
具体步骤如下：
初始化距离数组dist[]为正无穷，起点距离设为0；
将起点加入集合S；
重复以下过程，直到所有结点都被加入集合S：
在非S中的结点中选择距离起点最近的结点w，并将它加入集合S；
对S中结点可以直接到达的结点v，更新它们的距离dist[v]为min{dist[v], dist[w]+边(w,v)的权值}。
Floyd算法
Floyd算法是一种多源最短路径算法，它通过动态规划的方式求解任意两个结点之间的最短路径。
具体步骤如下：
初始化距离矩阵D，如果结点i和结点j有边相连，则D[i,j]为边的权值，否则为正无穷；
三重循环求解任意两个结点之间的最短路径：
对于每对结点i和结点j，考虑是否经过中间结点k可以获得更短的路径。
即D[i,j] = min{D[i,j], D[i,k]+D[k,j]}。
最后得到的距离矩阵D即为任意两个结点之间的最短路径长度。
数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题是一个经典的优化问题，其目标是找到一组路径，使得从起点到终点的总路径长度最短。
问题的输入包括起点、终点，以及中间的节点和与节点相关的边的信息。
每个节点都有一个特定的成本值，表示从一个节点到另一个节点的移动成本或距离。
解决这个问题的一种常见方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。
这些算法可以计算出从起点到任意节点的最短路径，然后可以根据问题的要求构建出一组最短路径。
在分组最短路径问题中，还需要考虑每个路径的长度限制。
可以通过修改Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来考虑这个限制。
一种方法是在计算最短路径时，将路径长度作为一个约束条件来考虑，只有在路径长度不超过限制时才选择该路径。
此外，还可以使用数学规划方法来解决分组最短路径问题。
可以将问题建模为一个线性规划模型，并使用线性规划求解器来求解最优解。
在这种方法中，可以定义一组决策变量来表示每条路径的选择与否，并将路径长度和路径长度限制作为约束条件。
总而言之，数学建模分组最短路径问题涉及到图论、算法和数学规划等多个领域，可以通过适当的算法和数学工具来求解最优解。
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一、人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和.试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走).
(1)设腿长l ,步长s ,证明人体重心在行走时升高).(8/2
l s l s <≈δ .
(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,证明单位时间所需动能为.6/2
s mv .
(3)设人体质量M ,证明在速度v 一定时每秒行走ml
Mg
n 43=
步作功最小.实际上,
m l m
M
1,4≈≈ ,分析这个结果合理吗. (4)将(2)的假设修改为:腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动.证明结果应为
ml
Mg
n 4=
步.分析这个结果是否合理. 解：
符号说明l ：腿长； s ：步长； δ：人体重心升高； v ：行走速度(行速)； m ：腿的质量； M ：人体质量； g ：重力加速度；p ：两腿运动功能
1.计算人在行走时人体重心的升高
重心的升高等于腿根部A 位置的升高。
如右图：
两腿分开时，点A 到地面的距离为,22
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-s l
两腿重合时，点A 到地面的距离为l . 所以，重心的升高为)
2(422
22
2
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=s l s
s l l δ
.22,2
2l s l l l s ≈⎪⎭⎫
⎝⎛-+<Θ
.82
l
s ≈∴δ
2. 证明：
将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,
由物理学知识可以知道，两腿的转动动能u 等于转动惯量J 与转动角速度ω平方乘积 的一半。
即：.,312l
v ml J ==
ω 所以转动动能：.6
1212
2mv J u ==ω
由于人在每行走一步所花时间为：v
s t =, 所以单位时间内所需的动能为：
s
mv v s mv t u W 6613
2=⨯==
3. 假设人行走做功最小的行走频率（每秒的步数）为n ，又每秒行走了ns 的路程，速度v =
ns .
所以，两腿的运动动能为66)(62
333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82
n l
s Mg n Mg =δ 因而人行走所做的功为：l
Mgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 862)86(8632
3
2223⋅
⋅≥+=+
所以：当ml
Mg
n l Mgn mn 43,863==即时所做的功最小。
当：
m l m
M
1,4≈≈ ,时6~530≈=n ，显然太大，不是很合理。
4. 将行走看作脚的直线运动，而腿的质量集中在脚上。
在此模型下，两腿的运动动能为：2
2
1mv u =
； 所以转动功率s mv s v mv t u W 2213
2=⨯== ，
两腿的运动动能为.22)(22
333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82
n l
s Mg n Mg =δ 因而人行走所做的功为：l
Mgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 822)82(8632
3
2223⋅
⋅≥+=+ 当ml
Mg
n l
Mgn
mn 4,823==即时所做的功最小。
此时：当：
m l m
M
1,4≈≈时，310≈=n 这样就更合理些。