三角形中线的应用例谈

三角形中线的应用例谈

三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。

如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . A E⊥BC 于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△AB D、△ACD 的高。

根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即

.

△AB D、△ACD的面积可表示为：

，

，

所以△AB D、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。

结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。

例1如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BG D和△AGE面积的大小。

析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也

等于三角形ABC的面积的一半。所以=，所以

，即.所以△BG D和△AGE 的面积相等。

引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC 的中线，根据上面结论一，有，，而，

所以，

，所以

结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.

例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F 分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。更重要的是要考虑中点的运用。

解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积=

,

根据上述结论二，△BOD的面积等于△BCD的面积的，

即，

∴阴影部分的面积=.

点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。