2019年高考数学总复习：双曲线
2019年高考数学全国3卷文理科试卷分析和点评解析
2019年高考数学全国3卷文/理科试卷分析和点评解析10.双曲线 C ：1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若4 2|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（ ）3 2 3 2 A. B.4 2C. 2 2D. 3 2【解析】看到焦点和渐近线，想到双曲线参数的几何意义，即焦点到渐近线的距离为b ，过F 作渐近线的垂线，垂足为 B ，设 POPFx ，a c 2x 2x 2法一：在 Rt OFB 中，有 cos FOB ，在 OFP 中，有 cos FOB，c 2cxc21 c23 2 联立得 x，得 S b 。
2a2 2a 4c 2 c 2法二：等腰直角三角形的高为 b xc x 2，易得 x ，同上。
4 2a【点评】双曲线参数的几何意义多次考查，《解析几何的系统性突破》（唯一正版销售书店）通过高考题反复强化学生认知，从而在一些几何图形中迅速找到隐含 的信息，快速突破。
11.（送分）12. 设函数 f (x )sin(xc 2x 2- 4[)(0) ，已知 f (x )在[0,2π]有且仅有 5 个零点，下述四个结5论：①f (x )在(0,2π)有且仅有 3 个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有 2个极小值点；③f (x )在(0, ) 单调递增；④的取值范围是 12 , 29).其中所有正确结论的编号是（）105 10A.①④B.②③C.①②③D.①③④【点评 1】肖博老师威信：xbmath19《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中 最后给出了 16 套小练习（搜集最新的各地模拟题），其中第 3 套和第 4 套第 1 题如下： 1.函数 fxcos x 0在区间, 上有且只有两个极值点，则的取值范围是3 4A. 2,3B.2,3C.3, 4D.3, 41.若函数 y2sin x0的图象在区间 (,)上只有一个极值点，则的取值范围3 6为（ ）)A. 13B.23 32C. 34D.3 92 2法一：还原，则变成同上 2 个题。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解61 双曲线
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. 5．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k ＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1<k <5 B ．k >5 C ．k <－1 D ．k ≠－1或5 答案 C解析 若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线， 则⎩⎨⎧k ＋1<0，5－k >0，解得k <－1. 2．双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x 答案 C解析 依题意知，双曲线y 212－x 2＝1的焦点在y 轴上，实半轴长a ＝22，虚半轴长b ＝1，所以双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±22x .3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x>2)B.x29－y25＝1(x>3)C.x29＋y25＝1(0<x<2)D.x29＋y24＝1(0<x<3)答案 A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5， 所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案 C解析 设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案 4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝12|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1 D.3x23－y2＝1答案 A解析由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1 D．x2－y23＝1答案 D解析由方程x2a2－y2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 不妨设A 在直线y ＝ba x 上，由△OAF 是边长为2的等边三角形， 可得c ＝2，直线y ＝ba x 的倾斜角为60°， 即ba ＝3，联立⎩⎨⎧ b ＝3a ，a 2＋b 2＝c 2＝4，可得⎩⎨⎧b ＝3，a ＝1， 故双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 A解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为ay ＝±bx ，由C 的左焦点(－c ,0)到其渐近线的距离是23，可得bc a 2＋b2＝b ＝23，则b 2＝12， 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，得e ＝ca ＝2，又c 2＝a 2＋b 2， 解得a ＝2，c ＝4，则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 29＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，42a 2－32b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故该双曲线的标准方程是x24－y23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－x2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m＝－3.方法二依题意得m<0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx，则±1－m＝±33，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则1a2－3b2＝1且ba＝2，联立解得a＝12，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则3a2－1b2＝1，且ab＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132 C.7 D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________． 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点， 则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5， 又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C ：x 29－k ＋y 2k －1＝1(0<k <1)，则下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于4 2C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于1－kD ．双曲线C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，103 答案 ACD解析 对于A ，因为0<k <1，所以9－k >0，k －1<0，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对于B ，由A 知a 2＝9－k ，b 2＝1－k ，所以c 2＝a 2＋b 2＝10－2k ，所以c ＝10－2k ， 所以双曲线C 的焦距等于2c ＝210－2k (0<k <1)，故选项B 错误；对于C ，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点坐标为(±c ,0)，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ， 所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)的焦点到其渐近线的距离等于1－k ，故选项C正确；对于D ，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋1－k 9－k ＝2－89－k， 因为0<k <1，所以1<2－89－k <109，所以e ＝2－89－k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，103，故选项D 正确． (2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3|F A |＝|AB |，则双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±43x解析 设C 的左焦点为F 1，连接F 1B ，过F 1作F 1D ⊥FB 于点D ，如图所示，易知F 1D ∥OA ，在双曲线C 中，易知|F A |＝b ， 又3|F A |＝|AB |， 则|DB |＝2b ，则D 为线段FB 的中点， 所以△F 1BF 为等腰三角形，又|FB |＝4b ，|F 1B |＝4b －2a ＝|F 1F |＝2c ， 即c ＋a ＝2b ，又b 2＝c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )，将b ＝c ＋a 2代入得(c ＋a )24＝(c ＋a )(c －a )， 得c ＋a ＝4(c －a )， 则c ＝53a ， 又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝43a ，则渐近线方程为y ＝±43x .课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线x 22－y 24＝λ(λ>0)的离心率为( ) A.62 B. 3 C.3或62 D. 2 答案 B解析 因为λ>0，所以x 22λ－y 24λ＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a 2＝2λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝6λ，所以离心率为ca ＝c 2a 2＝6λ2λ＝ 3.2. “mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案 D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为() A．两条直线B．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示双曲线； 当cos θ＝0时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示两条直线x ＝±1； 当cos θ∈(0,1)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1可化为x 2＋y 21cos θ＝1，因为1cos θ>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：y 23－x 2＝1的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝2 3B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．双曲线C 的离心率为233 D ．|PF 1—→＋PF 2—→|≥2 3 答案 CD解析 双曲线C ：y 23－x 2＝1焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. 对于A 选项，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误； 对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误； 对于C 选项，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D 选项，设P (x ，y )(x ∈R )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当且仅当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1—→＋PF 2—→|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上的一点，PF 1与C 的左支交于点Q .已知PQ →＝2QF 1—→，且|PQ |＝|PF 2|，则( )A ．△PQF 2为直角三角形B ．△PQF 2为等边三角形C ．C 的渐近线方程为y ＝±6xD ．C 的渐近线方程为y ＝±7x 答案 BC解析 因为|PQ |＝|PF 2|，所以由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ， 所以|QF 2|＝4a ， 又PQ →＝2QF 1—→， 所以|PQ |＝|PF 2|＝4a ，故△PQF 2是等边三角形．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36a 2＋16a 2－4c 248a 2＝12，则c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝7，即ba ＝6，故C 的渐近线方程为y ＝±6x .7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .8．(2022·晋中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎨⎧|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∵|PF 2|≥c －a ， ∴23a ≥c －a ， 即53a ≥c ， 即c a ≤53，∴双曲线离心率的取值范围是1<e ≤53. 9．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)．(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解 (1)因为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y ＝2x ， 所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2， 所以12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|， 因为△PF 1F 2的面积为9， 所以|PF 1|·|PF 2|＝18， 又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10， 所以b ＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN 的面积．(1)解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2)证明由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为y－3＝－323－3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，代入双曲线方程整理可得(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0，∵M的纵坐标为3，∴N的纵坐标为6(6－43)×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F1MN的面积为S＝12|F1F2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋4 3.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x210＋y26＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－3y＝0，则C的方程为()A.x23－y2＝1或y2－x23＝1B．x2－y23＝1或y2－x23＝1C.x23－y2＝1或y23－x2＝1D．x2－y23＝1或y23－x2＝1答案 A解析在椭圆x210＋y26＝1中，c＝10－6＝2，∴焦距2c＝4.∵C 的一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴设C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 23λ－y 2λ＝1. 当λ>0时，c ＝λ＋3λ＝2，解得λ＝1，则C 的方程为x 23－y 2＝1； 当λ<0时，c ＝－λ－3λ＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y 2－x 23＝1.综上，C 的方程为x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，b >0，e >62的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之比是3∶2，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.322 C. 2 D.52 答案 C解析 过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|OB |＝|OF 2|＝c ， 由渐近线的方程y ＝b a x 可知y 2＝ba x 2， 在Rt △OBE中，x 22＋b 2a2x 22＝c 2，解得x 2＝a (舍负)，由已知得x 1∶x 2＝3∶2，即x 1＝62a ，即|AF |2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝c 2－32a 2，因为离心率e >62， 所以c 2－32a 2>0，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，c 2－32a 2，代入双曲线方程可得32a 2a 2－c 2－32a2b 2＝1，化简得2a 2＝c 2，即e ＝ 2.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C. 2D. 3 答案 B解析 如图，设B (m ，n )，则C (－m ，－n )， 易知A (a ,0)，F (c ,0)，由M 为线段BF 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2，n 2，又M 在直线CA 上，故CA→，AM →共线， 又CA →＝(a ＋m ，n )，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ，n 2， 故(a ＋m )·n 2＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ， 整理得c ＝3a ， 故离心率e ＝ca ＝3.14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则下列命题中正确的是( ) A ．若|PF 1|·|PF 2|＝2，则PF 1—→·PF 2—→＝0 B ．若a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则双曲线的离心率e ∈(1，2＋1]C ．△F 1PQ 周长的最小值为8D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为定值 答案 ACD解析 由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，a 2＋1＝c 2，则|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋4＝4c 2＝|F 1F 2|2，从而PF 1—→⊥PF 2—→，即PF 1—→·PF 2—→＝0，故A 正确； 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2，则sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c，解得|PF 1|＝ca |PF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a>c －a ，整理得c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得1<e <2＋1，故B 错误；当直线PQ ⊥x 轴时，|PQ |的最小值为2a ，|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋2a ＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋2|PQ |＝4a ＋4a ≥8(当且仅当a ＝1时取等号)，故C 正确；设P (x 0，y 0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x 0a 2x －y 0y ＝1，E 的渐近线方程为y ＝±1a x ，不妨设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与渐近线y ＝1a x 的交点为A ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a x ，x 0a 2x －y 0y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2x 0－ay 0，y ＝a x 0－ay 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0－ay 0，a x 0－ay 0，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0＋ay 0，－a x 0＋ay 0.又因为点P 在双曲线E 上，则有x 20a 2－y 20＝1，x A ＋x B ＝a 2x 0－ay 0＋a 2x 0＋ay 0＝2x 0，故点P 是AB 的中点．设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与x 轴的交点为G ，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 0，0，所以S △AOP ＝12·a 2x 0|y A －y 0|＝a 2·a x 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x 0－ay 0－y 0＝a2，所以S △AOB ＝2S △AOP ＝a ，故D 正确．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
高考数学一轮总复习课件：双曲线
(2)在△ABC中，B(4，0)，C(－4，0)，动点A满足条件sinB －sinC＝12sinA，则点A的轨迹方程为__x4_2_－__1y_22 _＝_1_(_x_>_2_)__．
y2 3
＝λ(λ≠0)，将点(2，3)代
入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C.
5．若过双曲线
x2 4
－
y2 3
＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支
于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为
____8____．
解析 由双曲线的定义知道|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为4a＝8.
解析
双曲线C的标准方程为
x2 6
－
y2 3
＝1，a＝
6，b＝
3，则c
＝ a2＋b2 ＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近
线方程为y＝±
2 2
x，即x±
2 y＝0，所以，双曲线C的焦点到其渐近
线的距离为 123＋2＝ 3.
3．若双曲线E：x92－1y62 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P
第7课时 双曲线
[复习要求] 1.了解双曲线的定义、标准方程，能够根据 条件利用待定系数法求双曲线方程.2.知道双曲线的几何性质.3. 了解双曲线的一些实际应用．
课前自助餐
双曲线的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 ___等_于__常_数__2_a_(2_a_<_|F_1_F_2_|)____的点的轨迹叫做双曲线．
2019年高考数学总复习8.7 双曲线(2)
【复习目标】 1.掌握双曲线的几何性质. 2.能利用待定系数法和双曲线的几何性质求出双曲线的标 准方程. 3.能根据有关双曲线的知识解决较简单的应用问题.
【知识回顾】 双曲线的标准方程和性质:
1
定义 焦点位置
M 为双曲线上的点 | | MF 1| -| MF 2| | =2a(0<2a< |F1 F2|) x轴 y轴
Байду номын сангаас
由题意知 2a=4 ������, 即 a=2 ������ ������������ ������ 将点 P( -5, 2) 的坐标代入所设方程中得: - ������=1, 得 b2=16, 所以所求双曲线方程为 - =1.
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������
【答案】D
12
x2 5.双曲线y 1的渐近线方程为 9 1 A.y 3 x B.y x 3
2
C.y 3 x
【答案】B
3 D.y x 3
13
5 6.焦距是10, 离心率是 , 焦点在x轴上的双曲线标准方程式为 4 x2 y 2 y 2 x2 A. 1 B. 1 9 16 9 16 x2 y 2 y 2 x2 C. 1 D. 1 16 9 16 9
������������ ������������ 曲线方程为 ������- ������=1, 由题知椭圆的焦点坐标为( ± ������ ������
0) , 长轴上顶 3,
点坐标为( ± 2 2, 0) , ∴双曲线中: a= ������, c=2 ������, b= ������������ − ������������ = ������
双曲线的定义及其标准方程(2) 2019年高考数学(文)一轮复习Word版含解析
11月6日 双曲线的定义及其标准方程（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线如图，若F 1，F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点． （1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|＝32，试求12F PF △的面积．【参考答案】（1）10或22；（2）16．（2）将12|||||6|PF PF -=两边平方，得212122||||2||||36F PF F PF P P +=-，所以1212223||||2|106|||0F F P P PF P F ++==， 在12F PF △中，由余弦定理得2221212121212||||||cos 21||||2|||0010|00F PF F F F PF F P P P PF F PF +--===∠， 所以1290F PF =︒∠，12F PF △的面积1211||||321622F PF S P ==⨯=． 【解题必备】（1）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2F PF P a -=的应用，同时应注意双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．（2）在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．①当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线， 其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；②当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线；③当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．（3）对于形如：Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况， ①当B ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；②当A ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．利用此种形式的方程可避免讨论．学霸推荐1．方程22123x y m m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 A ．3-＜m ＜2B ．1-＜m ＜3C ．3-＜m ＜4D ．3-＜m ＜02． 已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线1．【答案】A【名师点睛】解答本题的关键是正确理解双曲线的概念，然后转化成不等式的问题求解，考查对定义的理解和运用，属于基础题．根据双曲线的定义可得方程中两个分母异号，由此得到关于m 的不等式，解不等式可得到所求．2．【答案】D【名师点睛】根据三角形中位线性质以及中垂线性质得122||||||||22PF PF F M ON -===,再根据双曲线定义得结果.求轨迹方程，一般有以下方法：一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.。
高考数学复习第7章解析几何第6讲双曲线
3.通过圆锥曲线的学习,进一步 比椭圆要低.以选择题、填空题
体会数形结合的思想
为主
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中 a,c 为 常数且 a>0,c>0.
作过 A,B 的椭圆,则另一焦点 F 的轨迹方程为________. 解析：(利用定义求方程)设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, ∴|FA |＋|CA|＝2a,|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半
轴长). ∴|FA |＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋－52＝2. ∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的
等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y2＝1
D.x2－y32＝1
解析：|OF|＝c＝2，点 A 的坐标为(－1， 3)，则渐近线为
y＝－ 3x＝－bax.∴ba＝ 3.又由 a2＋b2＝c2，可得 a＝1，b＝ 3. 则双曲线的方程为 x2－y32＝1.故选 D.
双曲∴ 答线案 点的：下F y支的2－上轨4x,迹82 ＝方1程(y≤是－y21－) 4x82 ＝1(y≤－1).
考点 2 求双曲线的标准方程 例 2：(1)(2017 年天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析
平面解析几何专题1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=O P O F ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ,b ,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=.【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.11．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 12．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.14．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（11；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ． 所以4b =，a的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得2222a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1+G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，122122213434S m S m m m m =-=-=++++…当m =时，12S S取得最小值1+G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课时跟踪检测理
8.6 双曲线[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(2017届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝ca＝13.答案：C6．(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(2018届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝22＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A．4B．2C．D．【答案】A【解析】由2,,a b c===,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by xa=上，则222P Pby xa=⋅==，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F，是双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF=，则C的离心率为AB．2专题10 双曲CD【答案】B【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， ∵在12PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b F PF F P O F c+-∠==，∴)222224322b c bc a b cc+-=⇒=⋅，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –22y b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，则双曲线方程可设为22x a –22yb =λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2y n=1（mn <0）；④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–22y b k+=1（–b 2<k <a 2）；⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+22y b λ-=1（b 2<λ<a 2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e，e； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A ．312e <≤B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立． 又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ． 【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题． 4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==； 当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ． 【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为AB或3 C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin 7F PE PF F ∠=∠=， 因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ， 且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-． 综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>， 根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BCD【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以2c e a ===．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'， 即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=， 以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点， 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为1212122622F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，b y a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y =B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =， 所以点F到渐近线y x ===B ． 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±．15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ． 【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题．16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．2C2D．3或2【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =，得双曲线的一条渐近线的方程为3y =，∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==②当焦点在y轴上时有：23a c e b a ==＝．∴求得双曲线的离心率2A ． 【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为 A ．5π B ．4πC ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a =1，b所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ． 【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题． 19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴2e =．故选B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是 A1B1C D 【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b -=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得2e =，故e =C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =AB ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r ，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键．23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++， 而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=． 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=2b ac =+， 变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。
高考数学总复习考点双曲线教案
2019届高考数学总复习考点双曲线教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2019届高考数学总复习考点双曲线教案，希望能给大家带来帮助!高三数学理科复习40-----双曲线【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。
【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。
2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。
4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。
5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。
2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。
【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。
2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。
3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。
则这样的直线一共有条。
【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。
3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为.要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
高考数学真题：双曲线含答案
专题九 解析几何第二十七讲 双曲线2019年1.（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 5．（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．26.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.22010-2018年一、选择题1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．43．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD5．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD ．37．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为A B ．32C D ．2 12．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则AB =A B ． C ．6 D ．13．（2015福建）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A ．11B ．9C ．5D ．314．（2015湖北）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 15．（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -= 16．（2015新课标1）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(,33-D ．(33- 17．（2015重庆）设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C ．∪D ．(,1))-∞-∞∪18．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m19．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等20．（2014天津）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．221520x y B ．221205x yC ．2233125100x y D ．2233110025x y21．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A ．34 B ．35 C ．49D ．322．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C的渐近线方程为A ．14y x =± B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =± 23．(2013湖北)已知04πθ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22sin y θ2221sin tan y θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ． 离心率相等 24．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．(2]3 B ．[,2)3 C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 25．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4 C ．32D ．4326．（2012湖南）已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1 D ．220x -280y =1 27．（2011安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．28．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -= 29．（2011湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．130．（2011天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．C ．D ．31．（2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 32．（2010新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为A B C ．2 D ．233．（2010福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8 二、填空题34．(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ． 35．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是 ． 36．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．37．（2017新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．38．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．39．（2017北京）若双曲线221y x m-=m =_________．40．(2016年北京)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．41．(2016山东)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 .42．（2015北京）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a = ．43．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ．44．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．45．（2014山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．46．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．47．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．48．（2013陕西）双曲线221169x y -=的离心率为 ．49．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．50．（2013辽宁）已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为 ．51．（2012辽宁）已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为 ．52．（2012天津）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b = ．53．（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ．54．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．55．(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = ．三、解答题56．（2014江西）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．57．（2011广东）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程； （2）已知点M 3545(,5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．专题九 解析几何第二十七讲 双曲线答案部分2019年1. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为6,0)F ，渐近线方程为：22y x =±，不妨设点P 在第一象限，可得2tan POF ∠=63P ，所以PFO △的面积为： 133262=．故选A ．2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±． 3.解析 如图所示，因为1F A AB =,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AOBF ，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AOBF 得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =， 因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，即渐近线的斜率为3，也即3ba=， 所以2212b e a=+=.4．A 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2c e a ==故选A ． 5．解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==C ． 6.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24b a=，即2b a =， 所以225c a b a +=，所以双曲线的离心率为5ca==．故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．B 【解析】因为双曲线2213-=x y 的渐近线方程为33=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为3(2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(,22M ，所以||==OM所以|||3==MN OM ．故选B ． 3．A 【解析】解法一由题意知，==ce a，所以=c，所以=b ，所以=b a=±=by x a，故选A ．解法二由===c e a，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ． 4．C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x a=， 则2F 到by x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．故选C ． 5．C 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 6．A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ． 7．B【解析】由题意可得：b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 8．B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c-==-，由题意有4bc a=，又c a =222c a b =+，得b =，a =．选B ．9．D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b ===+，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 10．A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．11．A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，12222c a e a c e -=-=210e --=，所以e =A ． 12．D 【解析】由双曲线的标准方程2213y x -=得，右焦点(2,0)F ，两条渐近线方程为y =，直线AB ：2x =，所以不妨设取(2,A，(2,B -，则||AB =，选D ．13．B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．14．D【解析】由题意1e ==2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m ，0a ，0b ， 所以当a b 时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22()()b b m a a m+<+， 所以12e e <；当a b <时，1ba>，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22()()b b m a a m +>+， 所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．15．C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ． 16．A 【解析】由题意知22a，21b ，所以23c，不妨设1(F，2F ，所以100(,)=--MF x y ，200(3,)=-MF x y ，又∵00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，222120003310MF MF x y y ⋅=-+=-<，所以033-<<y ，故选A ． 17．A 【解析】 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为ba±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A ．18．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F 到一条渐近线的距离为b =A ． 19．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．20．A 【解析】 依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b ，双曲线的方程为221520x y ．21．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．22．C 【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 23．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 24．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 25．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 26．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P(2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．27．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 28．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 29．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．30．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =31．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 32．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由2e ==． 33．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 34．12y x =±【解析】由题意2a =，1b =，∴12b y x x a =±=±．35．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 36．232a x c ==，渐近线的方程为3y x =±，设3(,22P，则3(,22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 37．3【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°， x所以30HAN ∠=，又MN 所在直线的方程为by x a=， (,0)A a 到MN的距离AH =，在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以2==因为222c a b =+a c =，所以c e a ==．38．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 39．2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==，解得2m =． 40．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a41．2【解析】由题意||2BC c =，所以||3AB c =，于是点3(,)2cc 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==，应填2. 42．3【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a=故3a =． 43．2(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 44．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ， 则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 45．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =，即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．46．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以e =47．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．48．45【解析】。
高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质
- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一 双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析 解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =
高考数学复习考点题型归类解析42双曲线(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题42双曲线一、关键能力1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．2．建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．二、教学建议教学中要让学生类比椭圆学习的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
三、自主梳理1．双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性范围x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e 渐近线方程为y ＝±x ． 四、高频考点+重点题型 考点一.双曲线的定义及其应用题组一（定义法求轨迹方程）1.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 答案：x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析：如图10.3-1所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2外切于点A 和点B ．图10.3-1根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C 的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x＞2)B.y24－x221＝1(y＞2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1解析：选A如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x＞2)．题组二（焦点三角形之定义使用）1.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.答案：34解析：由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,又|PF 1|＝2|PF 2|,∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.2.过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若PQ ＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________． 答案 12解析：由题意，得PF 2－PF 1＝2，QF 2－QF 1＝2.∵PF 1＋QF 1＝PQ ＝4，∴PF 2＋QF 2－4＝4，∴PF 2＋QF 2＝8. ∴△PF 2Q 的周长是PF 2＋QF 2＋PQ ＝8＋4＝12.3.已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.题组三（线段的转移）1.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析：因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|P A|＝2a＋|PH|＋|P A|≥2a＋|AH|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.2.（2020·河南省孟州市第一中学模拟）已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是________．【答案】8【解析】设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.3．设双曲线C：x28−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（）A．8√2B．8C．4√2D．4【解答】A解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4√2，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4√2，∴|F2M|＝|F1M|+4√2，|F1N|＝|F2N|+4√2，∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8√2，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8√2．考点二.双曲线的标准方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2.与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( ) A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 解析：选B法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 答案：y 225－x 275＝1解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.考点三、焦点三角形1．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为．答案：92解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，则△BF1F2的面积为S△ABF2−S△AF1F2=12×3×4−12×1×3=92．故答案为：92．2．已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵M是线段PF1的中点，∴|MF1|=|PM|=12|PF1|，∵O是线段F1F2的中点，∴|MO|=12|PF2|，∴12|PF1|−12|PF2|=a⇒|MF1|−|OM|=a⇒|OM|=|MF1|−a，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．故选：B．3．从双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |﹣|MT |等于（ ）A ．c ﹣aB ．b ﹣aC ．a ﹣bD ．c ﹣b【解答】解：如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′． ∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM |=12|PF ′|=12（|PF |﹣2a ）=12|PF |﹣a ＝|MF |﹣a ，∴|OM |﹣|MT |＝|MF |﹣|MT |﹣a ＝|FT |﹣a ，连接OT ，因为PT 是圆的切线， 则OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ， ∴|FT |=√丨OF 丨2−丨OT 丨2=b ． ∴|OM |﹣|MT |＝b ﹣a ． 故选：B ．考点三.双曲线的离线率题组一（离心率的值）1.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B. 5 C.53D.54 [答案] A(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca ＝5.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 【答案】2【解析】如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线， 即BF 2//OA ，BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋（ba ）2＝1＋（3）2＝23.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.题组二（离心率的范围）1.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2) [答案] (1)B[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.2.已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a 2－4b 2＝1，即b 2a 2＝b 2＋4， 所以e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝b 2＋5>5，所以e > 5.考点四 双曲线的渐近线1.（2020·新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩故(,)D a b 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩故(,)E a b -∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c=≥==当且仅当a b==∴C的焦距的最小值为8。
高考数学复习考点知识讲解课件47 双曲线
解法二：当其中的一条渐近线方程y＝ 3 x中的x＝2时，y＝2 3 >3，又点(2,3)在第一
象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由题意
得aba42＝－b932＝，1，
解得ab＝ ＝1，3， 所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C．
解法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±
3 x，即
y 3
＝±x，所以可设双曲线的方程
是x2－y32＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选
C．
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3．经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为______2_y5_2 －__7_x5_2 ＝__1___．
(2)与双曲线ax22－by22＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)．
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考点三 双曲线的简单几何性质——多维探究
角度1：双曲线的渐近线问题
【例2】
(1)(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦
点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近
线方程是( C )
A． 3x±y＝0 B．2x± 7y＝0
C． 3x±2y＝0 D．2x± 3y＝0
(2)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y42－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程
双曲线的定义及其标准方程(1) 2019年高考数学(文)一轮复习Word版含解析
11月5日 双曲线的定义及其标准方程（1） 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是A ．2214y x -=B ．2214x y -= C ．222211416416x y y x -=-=或D ．22221144y x x y -=-=或 【参考答案】D【解题必备】求双曲线的标准方程时常用待定系数法：（1）根据已知条件设出双曲线的标准方程；（2）利用已知条件确定,a b 或22,a b ,注意双曲线定义的应用；（3）确定双曲线的标准方程.特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，把点的坐标代入，得到关于,a b 的两个关系式，由此求解.也可设双曲线方程为221(0)Ax By AB +=<，把点的坐标代入求出,A B 的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论.学霸推荐1．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点在直线230x y +-=上，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．2D ．222．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆2212x y +=的焦点和顶点，则该双曲线方程为 A ．221x y -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．22132x y -= 3．双曲线221169x y -=上一点A 到点（5,0）的距离为15，则点A 到点（−5,0）的距离为_________________.1．【答案】D【解析】因为直线230x y +-=与x 轴的交点为()3,0，所以在双曲线2221(0)x y a a -=>中有2219c a =+=，故28a =，即22a =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.先求得直线与x 轴的交点，进而得c ，再由222c a b =+，即可得解.2．【答案】A【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ+=≠，再由条件求出λ的值即可. 3．【答案】7或23。
2019年高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何(基础题)
2019年高考数学真题分类汇编 专题10：平面解析几何（基础题）1.（2019•浙江）渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是（ ） A.22B.1C.2D.2 【答案】 C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得1=ab，所以离心率2==ac e . 故答案为：C.【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到ab，即可求出离心率e.2.（2019•天津）已知抛物线的焦点为F ，准线为l.若与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且||4||OF AB =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 5 【答案】 D【考点】圆锥曲线的综合【解析】【解答】抛物线 的准线 ：抛物线 的准线为F ，∵抛物线的准线与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且 ，∴，，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，∴ ，∴ ，即 ，∴.故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A 、B 的坐标，||4||OF AB =得出弦长|AB|的值，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c 的关系式得出a,c 的关系，即可求得离心率。
3.（2019•天津）已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||OF AB =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 5 【答案】 D【考点】圆锥曲线的综合 【解析】【解答】抛物线的准线 ：抛物线的准线为F ，∵抛物线的准线与双曲线)0,0(12222>>=-b aby a x 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且 ，∴，，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，∴ ，∴ ，即 ，∴.故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A 、B 的坐标，||4||OF AB =得出弦长|AB|的值，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c 的关系式得出a,c 的关系，即可求得离心率。
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
cm,则|AD|=(
A.12 10 cm
B.6 38 cm
C.38 cm
D.6 37 cm
)
答案 (1)B
(2)D
解析(1)由题可知 a2=3-m,b2=m,所以 c= 3.
1
因为|OP|=2|F1F2|,所以
PF1⊥PF2.
又∠PF1F2=30°,所以|PF1|=3,|PF2|= 3,
所以由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=3- 3=2 3-,解得
3 3
m= 2 .故选
B.
(2)以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为双曲线的离心率为2,
2
所以可设双曲线的方程为 2
依题意可得 2a=30,则
−
2
=1(a>0).
2
3
2
a=15,即双曲线的方程为152
因为|AB|=36 cm,所以 A 的纵坐标为 18.
1 2
)
2.(多选)已知双曲线
2
C:12
−
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
2
=1,下列对双曲线
4
C 的判断正确的是(
)
答案 BD
解析 由双曲线
2
C:12
−
2
=1,可得
4
a2=12,b2=4,则 c2=a2+b2=16,
所以 a=2 3,b=2,c=4.所以选项 A 不正确,选项 B 正确;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
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2019年高考数学总复习：双曲线1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m<3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653D ．－63答案 B解析 kx 2－ky 28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程x 2m ＋y 2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当mn<0时，分m<0，n>0和m>0，n<0两种情况．①当m<0，n>0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线；②当m>0，n<0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．因此，当mn<0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1不一定表示实轴在x 轴上的双曲线．方程x 2m ＋y 2n＝1表示实轴在x 轴上的双曲线时，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程x 2m ＋y 2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选B.5．(2017·河北邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0答案 A解析 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x±2y ＝0，选A.6．(2018·湖北孝感一中月考)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝2x D ．y ＝4x 答案 C解析 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4c 2＝16a 2＋4a 2，即c 2＝5a 2，则b 2＝4a 2，即b ＝2a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x.故选C.7．(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 23－y 24＝1或y 23－x 24＝1 D.x 24－y 23＝1或y 24－x 23＝1 答案 D解析 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x.由题意，顶点到渐近线的距离为|32a|34＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为x 24－y 23＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±a b x ＝±233x ，由题意可知：顶点到渐近线的距离为|a|43＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为y 24－x 23＝1.综上可知，双曲线的方程为x 24－y 23＝1或y 24－x 23＝1.故选D.8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞) D ．(1，1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e<1＋2，故选D.9．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.12 B.63C.33D.233答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2，得1m ＋1n1m＝2. 解得m ＝3n.又m>0，n>0，∴m>n ，即1n >1m .故由椭圆mx 2＋ny 2＝1，得y 21n ＋x 21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e ＝1n －1m1n ＝1n －13n 1n＝63. 10．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.52B.32C.355D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±yb ＝0，焦点A(c ，0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B. 11．(2018·成都市高三二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B.－3＋624C. 3D.3＋627答案 D解析 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M(－c 2，0)，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c 2|PF 1|＝3c22c，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋(2c 3＋2a)2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．故选D.12．(2018·贵阳市高三检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(1，52) B ．(52，＋∞) C ．(1，54)D ．(54，＋∞)答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是不等式组⎩⎨⎧y<ba x ，y>－bax所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a ）2∈(52，＋∞)，选B.13．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________． 答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知ba ＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.15．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 2＝1解析 方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（3）2b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.16．(2018·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1解析 设右焦点为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离．由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22＋1.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 答案 3x 22－y 22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y 22＝1.18．(2018·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值．答案 (1)x 2－y 22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 02b 2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 02－y 02＝2.所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 02－y 02|3·13＝29.1．(2015·广东，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5，0)，所以c ＝5. 因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a.∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选B.3．(2015·天津，文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.由题意，得⎩⎨⎧c 2＝a 2＋b 2，c ＝2，2bb 2＋a2＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，从而双曲线的方程为x 2－y 23＝1.4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53 C.94 D ．3答案 B解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a.又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2.又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.5．(2015·广东改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由曲线C 的右焦点为F(3，0)，知c ＝3.由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2.故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5.所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.6．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.7．(2017·邯郸调研)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，c 为双曲线的半焦距，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|＝|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．[3，＋∞) D ．(1，3)答案 A解析 若双曲线上存在点P 满足|PF|＝|PG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则P是线段FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线FG 的方程为y ＝x ＋c ，所以线段FG 中垂线的方程为y ＝－x ，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则－b a <－1，即b a >1，所以e ＝1＋b 2a2>2，所以双曲线的离心率的取值范围为(2，＋∞)．8．(2018·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 C解析 c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5≥5，当且仅当m ＝－1时取等号，此时a 2＝m 2＝1，b 2＝2m ＋6＝4，所以ba ＝2，即双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.9．(2018·辽宁师大附中期中)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点．若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( ) A ．2＋ 2 B ．2＋ 6 C.2＋ 2 D.2＋ 6 答案 C解析 将y ＝x 代入x 2a 2－y 2b2＝1，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2.由矩形的对角线长相等，得2·a 2b 2b 2－a 2＝c ，∴2a 2b 2＝(b 2－a 2)c 2，∴2a 2(c 2－a 2)＝(c 2－2a 2)c 2，∴2(e 2－1)＝e 4－2e 2，∴e 4－4e 2＋2＝0，又∵e>1，∴e 2＝2＋2，e ＝2＋ 2.故选C.10．(2018·河南八市重点高中模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是( ) A ．±534B ．±354C ．±532D ．±352答案 D解析 不妨设P 点在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4m 2＋n 2＋mn ＝（2c ）2，n ＋2c ＝2m所以c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2(舍去)，由b 2＝c 2－a 2得b ＝35，则双曲线的渐近线的斜率是±352，故选D.11．(2018·天津一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.12．(2018·兰州市高考诊断)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A.103B.43C.53 D ．2答案 C解析 设直线PF 1与圆相切于点M ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴△PF 1F 2为等腰三角形，∴|F 1M|＝14|PF 1|，∵在Rt △F 1MO(O 为坐标原点)中，|F 1M|2＝|F 1O|2－a 2＝c 2－a 2，∴|F 1M|＝b ＝14|PF 1|①，又|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a ②，c 2＝a 2＋b 2③，故由①②③得，e ＝c a ＝53.故选C.13．(2018·福建漳州一中期中)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．1<e<233B ．e>233C ．e> 3D ．1<e< 3答案 B解析 设点F 2(c ，0)，由于F 2关于直线PF 1的对称点M 恰在y 轴上，不妨设M 在y 轴正半轴上，由对称性可得，|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，则|MO|＝4c 2－c 2＝3c ，则∠MF 1F 2＝60°，∠PF 1F 2＝30°，设直线PF 1：y ＝33(x ＋c)，代入双曲线方程，可得(3b 2－a 2)x 2－2ca 2x －a 2c 2－3a 2b 2＝0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2－a 2>0，即有3b 2＝3c 2－3a 2>a 2，即c>233a ，则有e ＝c a >233.故选B. 14．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3) D ．(0，3)答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.15．(2017·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A.3＋1 B.3－1 C. 3 D. 2 答案 A解析 令正六边形的边长为m ，则有|AD|＝2m ，|AB|＝m ，|BD|＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD|||AB|－|BD||＝2m 3m －m＝3＋1.16．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54.∴a 2＝4b 2，b a ＝12.∴渐近线方程为y ＝±12x.17．(2018·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) A.23 B ．1 C ．2 D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO|＝12|MF 1|＝4. 18．(2018·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 C解析 由已知可得交点(3，4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3，4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故选C.19．(2018·杭州学军中学模拟)过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作圆C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线C 1于点N.若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 5B.52C.5＋1D.5＋12答案 A解析 设双曲线C 1的右焦点为F 1.根据题意，得|FN|＝2b ，|F 1N|＝2a.根据双曲线的定义得|FN|－|F 1N|＝2a ⇒b ＝2a ，则e ＝ 5.20．(2018·辽宁五校协作体月考)已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2]C ．(1，3]D ．(1，3]答案 D解析 设|PF 2|＝m(m ≥c －a)，则根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋m.所以|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋m ）2m ＝4a 2m＋4a ＋m ≥8a ，当且仅当m ＝2a 时等号成立．所以c －a ≤2a ，解得e ≤3，所以1<e ≤3.故选D.21．(2018·湖南衡阳一模)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A ．4 3 B.1433C ．5 3 D.1633答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，∴|PF 1|＋|PF 2|＝833.∴△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝1633，故选D. 22．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 直角三角形斜边为c ， 斜边上的高为ab c ＝34c ，4ab ＝3c 2.结合0<a<b 得a b ＝13.∴e ＝2.23．(2018·河南郑州一中期中)已知直线x ＝a 2a 2＋b 2被双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知可得2ab a 2＋b 2＝bc a 2＋b2，∴c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2.24．(2015·山东，文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 2＋ 3解析 设直线方程为y ＝ba(x －c)，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，y ＝b a （x －c ），得x ＝a 2＋c 22c ，由a 2＋c 22c ＝2a ，e ＝ca，解得e ＝2＋3(e ＝2－3舍去)．。