高中数学常见题型解法归纳含详解第15招 分段函数常见题型解法

【例 6】若
f
x
3
{
a
x
a,
x
1
是 , 上的增函数，那么 a 的取值范围是（
）.
loga x, x 1
A. 1,
B.
3 2
,3
C. ,3
D. 1,3
【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函 数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两 个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的 最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.
【方法讲评】
题型一
分段函数的解析式问题
解题方法
一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.
【例 1】已知函数 f (x) 对实数 x R 满足 f (x) f (x) 0, f (x 1) f (x 1) ，若当 x 0,1 时，
f (x) a x b(a 0, a 1), f ( 3) 1 2 . 2
【检测
2】已知函数
f
(x)
2 x
1
x0 ,若 f [ f (x0 )] 1，则 x0
．
x x 0
题型三 解题方法
分段函数解不等式 先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要
分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.
【例 3】已知函数
则
的解集为（ ）
A.
B.
【例
2】已知函数
f
x
{log2 3 x, x
2x2 1, x 2
2
，若 f 2 a 1
，则 f a
（
）
A. 2 B. 0 C. 2 D. 9
【解析】当 2 a 2
即 a 0 时，
log2
3 2 a
11 a 1 ,a 1
2
2
（舍）；
当 2 a 2 即 a 0 时， 22a2 1 1 a 1 f a log2 4 2 ，故选 A.
【检测
3】已知函数
f
x
2 {
log2 2 f
x x,
2,0
2
x x
0,
2,
则
f
x
2 的解集为__________．
【检测
4】【2017
课标
3，理
15】设函数
f
(x)
x 2
1，x x，x
0，则满足 0，
f
(x)
f
(x
1) 2
1的
x
的取值范围
是_________.
题型四 解题方法
分段函数奇偶性 方法一：定义法.方法二：数形结合.
（1）求 x 1,1时， f (x) 的解析式；（2）求方程 f (x) log4 x 0 的实数解的个数.
（2） f (x) f (x) 0, f (x 1) f (x 1) f (x 2) f (x) f (x) 是奇函数，且以 2 为周期. 方程 f (x) log4 x 0 的实数解的个数也就是函数 y f (x)和y log4 x 的交点的个数.在同一直角坐标 系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为 2，所以方程 f (x) log4 x 0 的实数解的个数为 2.
（Ⅰ）若不等式 f x 2 t f 2x 3 对一切 x 0, 2恒成立，求实数 t 的取值范围； （Ⅱ）设 g x x f x ，求函数 g x 在0, m(m 0) 上的最大值 m的表达式．
题型二
分段函数的求值
解题方法
先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分 类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学.科.网
x D1
y f1(x) x D1
x D2 x Dn
，不要写成
f
(x)
y
f2 (x) x D2 x Dn
.注意分段函数的每一段的自变量的取值范
x Dn
y fn (x) x Dn
围的交集为空集，并集为函数的定义域 D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 15 讲： 分段函数中常见题型解法参考答案
m2 2m, 0 m 1
【反馈检测 1 答案】（Ⅰ） 1 t 1（Ⅱ） m 1,1 m 1 2
m2 2m, m 1 2
方法二：不等式
恒成立等价于
即等价于
对一切
恒成立，
即
恒成立，得
恒成立，
当
时，
，
，
因此，实数 t 的取值范围是 1 t 1．
所以函数 f (x) 是奇函数.
【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函
数，所以要分类讨论. （2）注意，当 x 0时，求 f (x) 要代入下面的解析式，因为 x 0 ,不是还代入上
面一段的解析式.
【检测 5】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时 f (x) 2x . x2
【知识要点】
分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、
求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.
1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：
f1(x)
f
(
x)
f2
(
x)
fn (x)
【例 7】已知函数 f x { x 1, x 0, 则函数 y f f x 1的所有零点构成的集合为__________． log2x, x 0,
【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：
方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数 y f f x 1的图像不 方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数 y f f x 1中，由于没有确定 x 的取值范围，
【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]分成三个部分，即 x (1, 0), x 1, x (0,1) ,再一
段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第 2 问解的个数，一般 利用数形结合解答.
【检测 1】已知定义在 R 上的函数 f x x 22 .
f
x
log {
2
x2 2ax 3a
, x 1 的值域为 R，则常数 a 的取值范围是（
)
1 x2, x 1
A. 1，1 2，3 B. ，1 2， C. 1，1 2，3 D. (,0] 1 2，3
题型六 解题方法
分段函数单调性 方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.
（1）求 f (x) 的解析式；（2）判断 f (x) 的单调性（不必证明）；
（3） 若对任意的 t R ，不等式 f (k 3t 2 ) f (t 2 2t) 0 恒成立，求 k 的取值范围.
题型五 解题方法
分段函数最值（值域） 方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的
所以要分类讨论.
【例
8】已知函数
f
x
2
x
,
x
1
，若函数 g x f x k 仅有一个零点，则 k 的取值范
9x 1 x2 , x 1
围是________.
【解析】
2,x 1
函数 f x { x
，若函数 g x f x k 仅有一个零点，即 f x k ，只有一个解，
9x 1 x2 , x 1
最大（小）值. 方法二：数形结合.
【例
5】若函数
f
(x)
x 6 3 loga
x x
2 x
2
(a
0且a
1)
的值域是[4,
)
，则实数 a
的取值范围是
.
【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小） 值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结
【例
4】判断函数
f
(x)
x2 x x2 x
(x 0) (x 0)
的奇偶性
【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.
设 x 0, f (x) x2 x ,则 x 0 ， f (x) (x)2 x x2 x (x2 x) f (x)
设 x 0, f (x) x2 x 则 x 0 ， f (x) (x)2 x x2 x (x2 x) f (x)
恒成立 .
【反馈检测 2 答案】 或 1
【反馈检测 2 详细解析】当 时，
，则
，即
；当 时，
，则
应填答案 或 1.
，即 。综上 或
，
【反馈检测 3 答案】{x | 2 x 1}
9】设
f
x
x,0 x 1
2 x 1, x 1
,若
f
a
f
a 1 ,则
f
1 a
（
）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【点评】（1）要化简 f a f a 1 ，必须要讨论 a 的范围，要分 a 1和 0 a 1讨论.当 a 1时， 可以解方程 2(a 1) 2(a 11) ，得方程没有解.也可以直接由 y 2(x 1) 单调性得到 f a f a 1 .
和函数的交点个数得到参数的取值范围.
1 x 1 x 1
【检测 9】已知函数 f x {4
，则方程 f x ax 恰有两个不同的实根时，实数 a 的
lnx (x 1)
取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）
A.
0,
1 e
B.
0,
1 4
C.
1 4
,
1 e
D.
1 4
,
e
C.
D.
【点评】（1）本题中 f (x) 的自变量 x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当 2 x 0 时， 计算 f (x) 要注意确定 x 的范围， 0 x 2，所以求 f (x) 要代入第一段的解析式.数学思维一定要注
意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.
6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的
单调性.
7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的
零点问题的处理方法是一样的.
虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的.
【例 9】已知函数 则 的取值范围是（ ）
A.
B.
【解析】
关于 的方程
C.
D.
，有 不同的实数解，
【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方 程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实
根，得到 直线
和
，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数 的图象，若
要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.
5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，
即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.
在平面直角坐标系中画出， y f x 的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，
k , 0
4 3
,
2
，故答案为 , 0
4 3
,
2
.
【点评】（1）直接画 g x f x k 的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得
到 f (x) k ，再画图数形结合分析. 学.科.网
合分析解答. （3）对于对数函数 y loga x ，如果没有说明 a 与1的大小关系，一般要分类讨论.
【检测
6】设
f
x
x
x a2 , x 0
1
a
4,
，若 x＞0
x
f
0
是
f
x 的最小值，则 a
的取值范围为(
)
A. 2,3 B. 2,0 C. 1,3 D. 0,3
【检测
7】已知函数
【检测
8】已知函数
f
x
x2 x3
,x a2
0,
3a 2,
x
,
0
在区间
,
上是增函数,则常数
a
百度文库
的取
值范围是 （ ）
A． 1, 2
B． ,1 2,
C．1, 2
D．,1 2,
题型七 解题方法
分段函数零点问题 方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题
的处理方法是一样的.
【点评】（1）要计算 f (2 a) 的值，就要看自变量 2 a 在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所
以要就 2 a 2和2 a 2 分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.
当 a 0 时 ，解得 a 1 ，要舍去. 2
【例
3】【2017
山东，文