人教版数学必修五(文)学案：2专题一：数列的通项公式的求法

专题一：数列的通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求

数列{}n a 的通项公式.

二、公式法：

例2.已知数列 的前n 项和 ，求数列 的通项公式。

点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

11n S S n S a n n n

n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时，一定要合并.

三、累加法

若数列 满足

，其中{})(n f 是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求n a 的通项公式.

例3. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a .

四、累乘法 若数列 满足 ， ，其中数列{})(n f 前n 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到.

例4．已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=+ )1(≥n ，求n a .

()()211.322.1,(2)

n n n n s a S n a n =-==≥{}

n a s n {}n a 11,(1)n n n s a s s n -⎧=⎨->⎩,（n=1){}n a ()1()n n a a f n n N --=∈{}n a 1

()n n a f n a -=n a

五、构造法

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

1.型如1

a pa q n n =+-递推关系，构造等比数列求解. 比如常数p=2,q=1：121n n a a -=+，待定系数法：12()n n a a λλ-+=+，展开对应得1λ=，所以{}1n a +是一个等比数列.

例5.数列 满足 ， 求 的通项公式.

12..n n n Ca A B a Aa B C C +==++n+1n

11型如，取倒数得:a a 例6.数列 满足 ： ，求数列 的通项公式。

{}n a 111,52,

n n a a a +==+{}n a 11

22,2n n n a a a a +==+{}n a {}n

a