人教版数学必修五(文)学案：2专题一：数列的通项公式的求法

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2019-2020年高中数学数列通项公式的求法(常见)教案新人教A版必修5

2019-2020年高中数学数列通项公式的求法(常见)教案新人教A 版必修51．前n 项和法（知求）例1、已知数列的前n 项和，求数列的前n 项和变式：已知数列的前n 项和，求数列的前n 项和答案：；变式：练习：1、若数列的前n 项和，求该数列的通项公式。

答案：2、若数列的前n 项和，求该数列的通项公式。

答案：3、设数列的前n 项和为，数列的前n 项和为，满足，求数列的通项公式。

答案：2.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. （xx 天津文）已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明证明：由已知得：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n . 例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：例3.已知数列满足，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

3.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例1、在数列中，求数列的通项公式。

答案：练习：1、在数列中，求。

答案：2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

解答：由已知当123295,73,51,1232,213423121+-====∴+-=≥--n n a a a a a a a a n n a a n n n n n ，N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以4.形如型（取倒数法）例1. 已知数列中，，，求通项公式解：取倒数：.3422322)1(111-=∴-=⋅-+=∴n a n n a a n n 练习：1、若数列中，,,求通项公式.答案：2、若数列中，，，求通项公式.答案：5．形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例1．已知数列中，求通项.分析：待定系数法构造构造新的等比数列。

第二章数列数列通项公式的求法教案新人教A版必修5

数列通项公式的求法一、教学目标：1 •由数列的前几项求数列的通项.2 •由a n 与S n 的关系求通项a n • 二、教学重点：由a n 与S n 的关系求通项a n • 三、教学难点：由a n 与S n 的关系求通项a n • 四、教学过程：(一) 考点知识梳理(教师引导学生完成) 1 •观察法求数列的通项观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式。

注：关键是找出各项与项数n 的关系。

2 •由a n 与S n 的关系求通项a n若已知数列｛an ｝前n 项和为Sn,则该数列的通项公式为 a^ S ,,(n = 1) , a n 二S n - S n 」，(n _2)。

注意：要先分n =1和n 》2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

(二) 典例分析考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) — 1,7 , - 13,19，…； 2 _4 _6 _8 10⑵ 3，15，35，63，99，…; ⑶ 2，2，|，8,25,(4)5,55,555,5 555 ，….解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式 (—1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为a n = ( — 1)n(6 n — 5) •(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X 3,3 X 5,5 X 7,7 X 9,9 X 11，…, 每_ ________ 2nan_?n -1 2n +(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察•即2' 2' 2'25 2，…，从而可得数列的一个通项公式为 2n_a n= _ 2一项都是两个相邻奇数的乘积•知所求数列的一个通项公式为⑷ 将原数列改写为5X 9, 9x 99, 9X 999,…,易知数列9,99,999，…的通项为10n— 1,故所vJvJvJ求的数列的一个通项公式为a n = |（10n— 1） •规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征•应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式: 5 13 29 618，16，—32，64，…;1,,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少 3.因此把第1母的通项公式为 6= n 2+ 1,因此可得数列的一个通项公式为考点二由a n 与S 的关系求通项a n【例2】（2013课标全国卷I ）若数列 3 ［的前n 项和S n =2a n J ，则订鳥的通项公式为33（答案：（-2）2）【例3】已知数列 & •',满足a 1 - 2a n 3a^ - na . = 2n，则数列 4?的通项公式为 ____________________2n J（答案：当 n=1 时，a n = 2，当 n_2 时，a n= --------- ）n11 1 变式：把例3的条件变为a 1 =1,a n =印 -a 2 - a^--- a nJ （n • 1）,求数列^a n /的通项公2 3n —1式。

数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)

数列：通项公式的求法一、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+；等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=；二、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ；利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ；（3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式；例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。

练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。

2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：2.1 第1课时数列的概念与通项公式

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式[目标] 1.知道数列的定义，理解数列的顺序性；2.知道数列的几种分类；3.知道数列是特殊的函数，体会数列的项与序号间的关系，并能根据数列的前几项写出数列的通项公式．[重点] 数列的定义，根据数列的前几项写出数列的通项公式．[难点] 数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项．知识点一数列的定义以及有关概念[填一填]1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列．2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．3．数列的一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中a n是数列的第n项．[答一答]1．1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列吗？提示：不是．两个数列相同，每一项都必须相同，而且数列具有顺序性．2．怎样表示一个数列的某一项？数列中的项与它的项数有何区别？提示：数列的项通常用字母a加右下标表示，其中右下标表示项的位置序号．例如，a 5代表数列的第5项，a n 代表数列的第n 项．数列中的项与项数不是同一概念，项是指该数列中某一确定的数，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号． 3．判断下列各组元素能否构成数列，并说明理由．(1)a ，－3，－1,1，b,5,7,9,11；(2)非负整数．提示：(1)当a ，b 都代表数时能构成数列；当a ，b 中有一个不代表数时，不能构成数列．因为数列是按一定的顺序排列的一列数．(2)能构成数列，可以按顺序排列为0,1,2,3,4,5,6，….知识点二数列的分类[填一填]1．根据数列项数分类．可分为有穷数列和无穷数列2．根据数列中项的变化趋势分类[答一答]4．数列1，12，122，123，…，12n －1与数列1，12，122，123，…，12n －1，…是同一数列吗？提示：不是同一数列，前者是有穷数列，共有n 项，后者是一个无穷数列．5．同一个数在数列中可以重复出现吗？提示：可以；如常数列2,2,2,2,2，….知识点三数列与函数的关系及数列的通项公式[填一填]1.，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝ f (x )，如果f (i )＝a i (i ＝1,2,3,4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，…，f (n )，….2．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[答一答]6．对于任意数列，我们是否都可以求出其通项公式呢？数列的通项公式是否唯一确定呢？提示：与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有数列都有通项公式．有些数列的通项公式可以用不同形式表示．例如，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝2k －1(n ∈N *)，1， n ＝2k (n ∈N *).类型一数列的概念及分类[例1] 已知下列说法：(1)数列1,2,3,4,5，…是无穷递增数列；(2)数列1,1,2,2,3,3共3项；(3)数列－1,0,3,4,7,9的第2项是0；(4)2018年从1月份到12月份全国每月新生婴儿数可组成数列；(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，4，－13，3，－12，2，－1，1是有穷摆动数列．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[分析] 利用数列概念表示，分类进行判断．[解析] (2)中数列共有6项，故(2)错误；(5)数列不能用集合表示，故(5)错误．(1)(3)(4)正确．[答案] C判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列.[变式训练1] (1)下列说法正确的是( A )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1kB ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }(n ∈N *)C ．数列的项数都是无限的D ．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是相同数列(2)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( C )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n类型二数列的通项公式命题视角1：根据数字特征写数列的通项公式[例2] 写出下列数列的一个通项公式：(1)12，2，92，8，252，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)9,99,999,9 999，…；(4)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(5)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…. [分析] 经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律．[解] (1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n －1；考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1.(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n －1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n ＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n ，综合得原数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1＝n 2＋n ＋12n －1. (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n·1n (n ＋1).此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同.对于分式，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系.[变式训练2] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)1，12，3，14，…；(4)4,0,4,0,4,0，….解：(1)a n ＝n 2n 2＋1(n ∈N *)； (2)a n ＝19(10n －1)(n ∈N *)；(3)a n ＝⎩⎨⎧ n ，n 为奇数，1n ，n 为偶数；(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n 为奇数，0，n 为偶数或a n ＝2＋2×(－1)n ＋1. 命题视角2：根据图表特征写数列的通项公式[例3] 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将小石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应的小石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．[分析] 通过题中给出的图形计数，探索项与项数n 的关系，猜想通项公式求解，或者根据图形变化规律，将小石子的个数逐个写出，直到第10个．[解析] 方法一(计数探规律)：三角形数依次为：1,3,6,10,15，…；从第2项起，规律为：3＝1＋2(第2个)；6＝1＋2＋3(第3个)；10＝1＋2＋3＋4(第4个)；…；第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.方法二(图形找规律)：如图，矩形框内的图形是比前一个图形多出的图形，这样逐次写出三角形数为：1,3,6,10,15,15＋6,15＋6＋7,15＋6＋7＋8,15＋6＋7＋8＋9,15＋6＋7＋8＋9＋10＝55.[答案] 55图形、数表等形式的信息条件，隐含着各种数的排列规律，要处理好这些问题，关键在于读懂图形或数表中数与数之间的关系，从中找出规律.[变式训练3] 黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖4n ＋2块．解析：第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块，第3个图案中有白色地面砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n 个图案中有4n ＋2块白色地面砖．类型三数列通项公式的应用[例4] 已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [分析] 将n 代入或列方程求解；对于(3)，将通项化简，根据n ≥1求出项的取值范围．[解] 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. (1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1， ∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．1.数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项.,2.判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解.若方程的解为正整数，则该数值是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项.[变式训练4] (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？若是，是第几项？(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos n π2.求证：a m ＋4＝a m .解：(1)令n 2n 2＋1＝0.7，则3n 2＝7，即n 2＝73，此时n 无整数解，故0.7不是这个数列中的项．(2)证明：因为a m ＋4＝3－2cos (m ＋4)π2＝3－2cos m π2，又a m ＝3－2cos m π2.所以a m ＋4＝a m .1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有( D )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④ 解析：数列是按“一定顺序”排列着的一列数．因此选D.注意此题易错选B.2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( C )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝3－4n ，a 2a 3＝15. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.4．若数列{a n }的通项满足a n n ＝n －2，那么15是这个数列的第5项．解析：由a n n ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5.5．已知：a n ＝2n 3n ＋2，(1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n . 解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n 3n ＋2，得a 3＝2×33×3＋2＝611.(2)将a n ＝813代入a n ＝2n 3n ＋2，得813＝2n 3n ＋2，解得n ＝8.——本课须掌握的两大问题1．数列的概念(1){a n }与a n 是不同的概念．{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，而a n 仅表示数列{a n }的第n 项．(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(3)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列通项公式(1)一些数列的通项公式可以有不同的形式．这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一个数列．(2)数列的通项公式可以用一个分段函数表示．(3)要由数列的项写出数列的一个通项公式，需观察、分析数列中的项的构成规律(即寻找项与项数的函数关系)，将项表达为项数的函数关系式．(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学第二章数列数列求通项、求和求数列通项公式累乘和累加法学案(无答案)新人教A版必修5

专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。

________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。

例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。

变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。

（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。

人教版高中数学必修五导学案：数列的通项公式

一．基本观点数列的通公式：假如数列 { a n } 的第 n a n 与n 之的关系能够用一个公式来表示，个公式就叫做个数列的通公式．二 .数列的通公式的求法型一：已知数列的前几，求数列的通公式．例 1 依据数列的前几，写出以下个数列的一个通公式：（ 1）4,1, 4,2, ;52 11 7（ 2） 0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯；（ 3） 1,0, 1,0,1,0,⋯．型二：已知数列的前 nS n ，或 S n 与 a n 的关系，求数列的通公式。

a n =例 2.（1）已知数列a n 的前 n 和 S n 足 S n n 2 n 1，求数列a n 的通公式．（ 2）数列 { a n } 的前 n 和上 ,求数列 { a n } 的通公式。

S n ，点(n,S n n)(nN ) 均在函数y ＝3x － 2 的像（ 3）已知在正数列 {a n 中其前 n和 n2 snan1 , 求 n} , S ,且足 :a型三：已知推公式，求特别数列的通公式． 1、累加法 : 形如 a n+1=a n +f(n) 的推关系（ 1）若 f(n) 常数 ,即： a n 1a n d ,此数列等差数列，a n =a 1 (n 1)d .（ 2）若 f(n) n 的函数，用累加法 .例 3:已知数列 {a n } 足 a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2).(1)求a2, a3(2)求数列 {a n} 的通项公式2、累乘法 : 形如 a n+1=f(n)a n的递推关系（ 1）当 f(n) 为常数，即：an 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此时数列为等比a n数列， a n = a1 q n 1 .（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 ,用累乘法 .例 4.已知数列 {a n} 知足 a1=1,2n-1a n=a n-1 (n≥2)(1)求数列 {a n} 的通项公式 .(2)这个数列从第几项起及后来面的项均小1? 10003、待定系数法 (结构新数列 )：例 5.已知数列 { a n} 知足 a1=1, a n+1=2a n+1, 求数列 {a n} 的通项公式(2) 形如a n 1pa n q n型等式两边同除以 q n 1转变为 (1)形再求解 .例 6 已知数列 {a n} 知足 ,a1=1,a n+1=2a n+3n, 求数列 {a n} 的通项公式pa n型4、取倒数法形如a n 1ra n s例 7. 已知数列 a n中， a1 2 ， a n a n1(n 2)，求通项公式 a n2a n 115.相除法例 8.已知： a12, a n0 ，且 a n 1a n = 2a n 1a n，求 a n三、学习小结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：察看法．2．已知递推公式，求特别数列的通项公式的方法：转变为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法。

人教A版高中数学必修五 2.1 第2课时数列的通项公式与递推公式 (学案)

§2.1数列的概念与简单表示法（2）【学习目标】1．了解数列是自变量为正整数的一类函数，即数列是一种特殊的函数．2．了解数列的递推公式．3．能根据给出的递推公式求数列的前几项．【学习过程】一、问题引入1.数列的定义是什么？2.有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列分别有什么含义？3.什么叫数列的通项公式？如何理解一个数列与其通项公式的对应关系？4.数列的通项公式是表示数列的一种方法，但不是唯一方法，对此，我们将作进一步探究.二、自主探究探究（一）：数列与函数的关系思考1：数列中的项与项的序号是一种对应关系？这种对应关系是函数吗？思考2：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，数列的各项就是当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，那么，这种函数的定义域是什么？思考3：函数97+=x y 与 x y 3=，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？思考4：函数有哪几种表示法？相应地数列有哪几种表示法？思考5：数列的图象有什么特点？思考6：数列 21 ，43 ， 85 ， 167 和数列 21 ，43 ， 85 ， 167， 329 ，6411 用通项公式法分别怎样表示？探究（二）：数列的递推公式思考1：有5个猴子共同分享一堆苹果，它们先后来到苹果前，第一个猴子将所有苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份；第二个猴子又将余下的苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份…；依次类推.那么第n 个猴子与第n －1（n ≥2）个猴子所得的苹果数应满足什么关系？思考2：如果数列{a n }满足⎩⎨⎧≥+==-)2(12111n a a a n n ，那么数列{a n }是否确定？思考3：上述给出数列的方法叫做递推法，其中 )2(121≥+=-n a a n n 称为递推公式，一般地，数列的递推公式是什么概念？思考4：递推法表示数列需要哪些要素？思考5：数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，称为斐波那契数列，该数列的递推公式是什么？用递推法如何表示这个数列？思考6： n a a a +++ 21称为数列{}n a 的前n 项和，记作S n ，那么S n －1表示什么？n a ，S n ，S n －1三者之间有什么关系？三、展示点拨例1 在数列{}n a 中，66,2171==a a ，通项n a 是关于项数 n 的一次函数．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断 88 是否为数列{}n a 的项．例2 数列{}n a 的通项公式为32922++-=n n a n ，求{}n a 的最大项．例3 已知在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，求数列{}n a 的通项公式．例4 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ．（1）若,)1(1n S n n ⋅-=+求65a a +及n a ；（2）若,123++=n S n n 求n a ．四、自我反馈1. 写出此数列的前 5项，并归纳这个数列的通项公式.(1)1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2) 1a ＝1, 1+n a ＝22+n n a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).2．设}{n a 是首项为1的正项数列，且满足关系：n n a n n a 11+=+ (n ∈N *)，求数列}{n a 的通项公式． 3.分别写出三角形数构成的数列的第5项，第6项和第7项，并写出它的一个递推公式.4.已知数列}{n a 的第1项是1，第2项是2 ，以后各项由)2(21>+=--n a a a n n n 给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列}{n a ，通过公式nn n a a b 1+=构造一个新的数列}{n b ，试写出}{n b 的前5项. 5．已知数列}{n a 的通项公式为 .62n n a n +-=(1)数列中有多少项是正数？ (2)当 n 为何值时，n a 有最大值？最大值是多少？6.已知数列{a n }的前n 项和：求数列{a n }的通项公式. ,1)2(;2)1(22++=-=n n S n n S n n。

高一数学导学案：必修五数列通项公式的求法

【学习目标】掌握数列通项公式的各种求法。

【重点难点】根据不同条件，选择合理的方法求通项公式。

数列通项公式的求法一、直接法例1、根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 1、 ,31,15,7,3,12、 ,31,52,21,32,1,2 3、 ,25,16,9,4,1---二、公式法（等差数列、等比数列通项公式可直接用公式）例2、等差数列{}n a 是递增数列，且931,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

三、知n S 求n a ，利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 例3、已知数列n a 的前n 项和n S 22-+=n n ，求数列{}n a 的通项公式。

变式练习：若数列{}n a 满足522121212133221+=++++n a a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

四、累加法：形如)(1n f a a n n =-+型例4、在数列{}n a 中，n a a a n n +==+11,3，求数列{}n a 的通项公式。

练习：若数列{}n a 满足n n n a a a 2,111+==+，求数列{}n a 的通项公式。

五、叠乘法：形如)(1n f a a nn =+型例5、若数列{}n a 满足n n a n n a a 21,111++==+，求n a六、知n n S a 与关系例6、数列{}n a 的前n 和n S ，)1(31-=n n a S ，求n a练习：已知数列{}n a 中，1),2(12212=≥-=a n S S a n n （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式。

七、构造法：已知递推公式求通项公式（1）待定系数法：形如)0,(1≠+=+q p q pa a n n 例7、已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求n a方法规律：（2）取倒数例8、已知数列{}n a 中，,22,111+==+n n n a a a a 求通项n a变式练习：已知数列{}n a 中，,23,111+==+n n n a a a a 求通项n a【课后作业与练习】基础达标1、已知数列{}n a 的通项公式是⎩⎨⎧-+=为偶数）为奇数）（n n n a n (22n 13，则=32a a （）A 、70B 、28C 、20D 、82、已知数列{}n a 的前n 项和n S n n 92-=，第k 项满足85<<k a ，则k 等于（）A 、 9B 、8C 、7D 、63、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且)1(2-=n n a S ，则2a 等于（）A 、7B 、30C 、15D 、314、数列{}n a 中，)2(1,111≥-==-n a a a n n ，则2008a （）A 、1-B 、5C 、1D 、45、已知数列{}n a 中，n a a a n n n -=-=+2,111求通项n a6、已知数列{}n a 满足073,111=-+=-n n a a a ，求数列{}n a 的通项。

高中数学第二章数列第2讲求数列的通项公式与数列求和

2014高中数学第二章数列第2讲求数列的通项公式与数列求和教学案新人教A 版必修5（一）求数列的通项公式1、观察法一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。

【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式： ①2，－6，18，－54，162，－486，…;②1111111111223344556-----，，，，，…；③15，25，35，45，55，…。

解答与提示：①这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：()132--=n n a②观察规律： (6)15151414131312121154321-----==na n 归纳得出：111+-=n n a n ③仔细观察，数列各项间有：21324310a a a a a a -=-=-==…——是等差数列：()51010115+=-+=n n a n 。

2、利用前n 项和S n 法已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a ，我们一般利用n a 与n S 的关系：11S a =，()21≥-=-n S S a n n n 【基础例题】已知数列{}n a 的前n 项的和13-+=n n S n 求它的通项公式。

解：111111=-+==S a ，()()()[]23311112331+-=--+---+=-=-n n n n n n S S a n n n此时a 1＝2≠S 1，∴a n ＝⎩⎨⎧≥+-=2233112n n n n 为所求数列的通项公式。

3、公式法（1）形如d a a n n +=+1（d 为常数）且已知1a ——等差数列∵d a a n n =-+1，d 为常数，由等差数列的通项公式得()d n a a n 11-+=。

【基础例题】已知数列{}n a 中()N n a a a n n ∈+==+3,211，求{}n a 的通项公式。

高中数学必修五《数列通项公式》优秀教学设计

《数列通项公式》教学设计【教学目标】一、知识目标：1. 解决形如a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)通项公式的确定。

2．通过学习让学生掌握和理解a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式的求法。

二、能力目标：在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。

通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

利用学案导学，促进学生自主学习的能力。

三、情感目标：通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。

【教学重点】通过学习让学生能够熟练准确的确定掌a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式并能解决实际问题。

【教学难点】1.如何将a n+1=pa n +q 转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。

2.理解和掌握a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。

【教学方法】探索式启发式【教学过程】一．引入：1、等差、等比数列的通项公式？2、如何解决a n+1=pa n +q 型的通项公式？3、如何解决a n+1–a n =f(n)型的通项公式？4、如何解决a n+1∕a n =f(n)型的通项公式？二．新授内容：考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n ＝________..答案 (1)(－1)n 1n （n ＋1） (2)2n ＋1n 2＋1考点二由S n 与a n 的关系求a n【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.∵a 1＝4不适合此等式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2)(－2)n －1 规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A.2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 (1)B (2)4n －5考点三由数列的递推关系求通项公式 [微题型1] 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的形式【例3－1】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则它的一个通项公式为a n ＝________.解析设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 2n ＋1－3规律方法形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.[微题型2] 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的形式【例3－2】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.解析由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.答案n （n ＋1）2＋1 规律方法形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. [微题型3] 形如a n ＋1＝a n ·f (n )的形式【例3－3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.解析法一因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.法二因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n .答案 1n规律方法把形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. 【训练3】 (1)(2016·合肥一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n ＋23a n，则a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足). (2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)3×2n －1－2 (2)n （n ＋1）2课堂总结：[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.三．总结：形如a n+1=pa n +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。

必修5数列求通项公式总结教案

数列通项公式的求法教案教学目标(1)使学生熟练掌握数列通项公式几种类型的求法； (2)培养学生观察、分析、提出问题和解决问题的能力．教学重点、难点：数列通项公式的求解中，对条件的转化和推理。

教学过程：引入新课：通过前几节课的学习，我们看到表示数列的方法是多种多样的．例如，用通项公式a n =f(n)表示；用数列的前n 项之和S n 与通项a n 的关系式表示；用初始项和递推关系式表示．今天，我们来研究数列的通项公式的几种类型求法．类型一观察法：已知前几项，写通项公式类型二、公式法对于等差、等比数列可直接利用通项公式等差数列：a n=a 1+(n -1)d 等比数列：a n=a 1q n-1注：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差1 41111 1 - -2342 2 0 2 0例写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（），，，（），，，11(1) 1 (2) (1)1n n n n a n a ++-==-+解：（）或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

例2.已知{log2 a n}是以2为公差的等差数列,且a 1=1,求a n 类型三、前n 项和法已知前n 项和，求通项公式[例3]设﹛a n ﹜的前n 项和为Sn ,且满足sn =n 2+2n -1, 求﹛a n ﹜的通项公式类型四、累加法累乘法[例4]在﹛a n ﹜中，已知a 1=1,a n=a n-1+n (n ≥2),求通项a n.1()n na f n a +=⋅11 (1) (2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩211212 21 1 22 21 [(1)2(1)1] 212 12n n n n n s n n n a s n a s s n n n n n n a -=+-∴===∴≥=-=+---+--=+=∴= 解：当时当时1 2n n ⎧⎨+≥⎩1()n n a a f n +=+11223343221 1 2 3 .......3 2 n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a a a -------=+=+-=+-=+-=+=+ 解：以上各式相加n 1 a (234)(n+2)(n-1)=1+2a n =+++++ 得[例5]练：类型五、形如的递推式[例6]分析：配凑法构造辅助数列(待定系数）练：{}111311,3(2)2n n n n n a a a a n a ---==+≥=n 已知中,证明：{}12,3,.n n n n na a a a a +==⋅1已知中，求通项123412312342322123211 3, 3, 3, 3 ....... 3, 333333 23n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------------=======⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323n n n n n n a +++⋅⋅⋅+=⋅=⋅{}122,2,.n n n n a a a a a n +⎛⎫==+⋅ ⎪⎝⎭1已知中，求通项1n n a pa q+=+{}111,2 1 .n n n n a a a a a +==+数列满足,求{}()11-1111 2 1 12 1 12(1) 12 11121122n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a ----=+∴+=++=++∴=∴+++=+= 解：是以为首项，以为公比的等比数列类型六、形如的递推式课时小结：例8：{}{}111,,21nn n n n a a a a a a +==+数列满足:求通项公式1nn n pa a qa p+=+例7：1112,0,2.n n n n n n a a a a a a a ++=≠-=已知且,求11n nn na a p a a ++-=11111112 211-211545-1(-2)-222245n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n a a a n +++-=∴-=⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭-+∴=+=+=∴=-+ 解：是以为首项，以为公差的等差数列（）111n 11n 12111221a 11 2a a n n n n n n a a a a a a -----+===++⎧⎫⎨⎬⎩⎭解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22 1 21n n n n a a a n =+-=+∴=+以上各题用到的求通项公式的方法有：观察法、公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差或等比数列，其中用到待定系数法）及⎩⎨⎧≥-==-)2n (S S )1n (S a 1n n 1n .请同学们认真体会、总结其中的规律。

高一数学人教A版必修5学案：2.1 第2课时数列的通项与递推公式【含解析】

第2课时数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：已知a n＋1＝2a n，a1＝2，a5的值是什么？[提示]a5＝32.2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列{a n}的关系式a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是()A.1，2，3，4，…B．1, 2，2，22，…C.2，2, 2，2，…D．0, 2，2，22，…[答案]B2．数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2－a n，a1＝2，a2＝5，则a5＝() A.－3B．－11 C．－5D．19D[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]3．已知a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a5＝．85[a2＝1＋1a1＝1＋1＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.]4．数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 022－a2 021＝________．2 021[由a n＋1－a n＝n，得a2 022－a2 021＝2 021.]由递推关系写出数列的项【例1】已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n＝a na n＋1构造一个新的数列{b n}，写出数列{b n}的前4项．[解](1)∵a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[跟进训练]1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1011n，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．思路探究：①a n＋1－a n等于多少？②n为何值时，a n＋1－a n>0？a n＋1－a n<0?[解]法一：(单调性法)∵a n＋1－a n＝(n＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1011n＋1－(n＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝⎛⎭⎪⎫1011 n·（9－n）11，当n<9时，a n＋1－a n>0，即a n<a n＋1；当n＝9时，a n＋1－a n＝0，即a n＝a n＋1；当n>9时，a n＋1－a n<0，即a n>a n＋1；故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝1010119.法二：(最大项法)设a k是数列{a n}的最大项．则⎩⎨⎧a k≥a k－1，a k≥a k＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧（k＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k⎝⎛⎭⎪⎫1011k－1，（k＋1）⎝⎛⎭⎪⎫1011k≥（k＋2）⎝⎛⎭⎪⎫1011k＋1，整理得⎩⎨⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为 a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N *且k ≥2都成立，解不等式组即可．[跟进训练]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2，3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎨⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4，解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2或3，∴a 2＝a 3且最小． ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.由递推公式求数列的通项公式 [探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？[提示] 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22， a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30).2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？[提示] 对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？[提示] 等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2.则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *).【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ；(2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .思路探究：(1)先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1），∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ， ∴a n ＝－1n (n ≥2).又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n (n ∈N *).(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n (n ∈N *).1．(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得： a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2， …，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3.因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3.将上面的n －1个式子相乘可得 a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.2．将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”求数列{a n }的通项公式．[解]∵a n a n－1＝a n－1－a n，∴1a n－1a n－1＝1.∴1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a1＋(1a3－1a2)＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n－1＝＝n＋1.∴1a n＝n＋1，∴a n＝1n＋1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n＋1＝a n＋f(n)或a n＋1＝g(n)·a n，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n＝a n－1＋f(n)时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当a na n－1＝g(n)时，常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1求通项公式．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列a n与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.1．判断正误(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． ( ) (2)有些数列可能不存在最大项． ( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法． ( ) (4)所有的数列都有递推公式． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式． 2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2) C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．]3．数列{a n }中，a n ＝n － 2 021n － 2 022，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50C [a n ＝n － 2 021n － 2 022＝1＋2 022－ 2 021n － 2 022.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝ 2 022－ 2 021x － 2 022的图象(图略)，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min＝a 44.]4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] 由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n－1－a n－2＝ln n－1 n－2，…，a2－a1＝ln 2 1.∴当n≥2时，a n－a1＝ln (nn－1·n－1n－2·…·21)＝ln n，∴a n＝2＋ln n(n≥2).当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n＝2＋ln n(n∈N*).- 11 -。

2017--高二数学必修5-数列通项公式求法学案

新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。

求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。

1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。

解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。

2019年高中数学人教版必修5导学案：专题二-数列通项公式的求法

专题2：求数列的通项公式学习目标：掌握数列的通项公式常见的几种求法。

数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，因此求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。

探究(一)观察法：就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1、求数列3，5，9，17，33，……的通项公式。

变式训练1：写出下面各数列的一个通项公式．(1)12，45，910，1617，…；(2)1，－13，17，－115，131，…；(3)34，78，1516，3132，…；(4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0，…；评析用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：（1）观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）n或者（－1）1-n部分，如本例中（2），（6），也有所涉及。

（2）分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。

（3）考虑分子、分母与一些特殊数列如2n，3n，n2,n3等的关系，如本例（1），（2），（3）等。

探究（二）累加法：若数列｛an｝满足a1+n－an=f(n)(n*N∈),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累加法求an。

例2，求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式。

变式训练2:已知数列｛an｝满足an+1=an+3n+2，且a1=2，求通项公式an。

探究（三）累乘法:若数列｛an｝满足nnaa1+=f(n)( n*N∈),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累乘法求an.例3、已知数列｛an｝中，已知a1=2，an+1=3n an，求通项公式an。

新课标人教A版必修五第二章数列的通项公式求解方法

数列的通项公式求解方法教学重点：掌握数列通项公式的求解方法；教学难点：掌握并理解由递推关系求数列的通项公式。

1. 用归纳法求通项公式；2. 利用n S 与n a 的关系求通项公式；3. 累加法：若已知1a 且()()12n n a a f n n --=≥的形式；4. 累乘法：若已知1a 且()()12nn a f n n a -=≥的形式； 5. 构造法：若已知1a 且()12,0,1n n a pa b n p p -=+≥≠≠的形式q pa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）；6. 迭代法：将()12n n a f a --=代入()1n n a f a -=得到n a 与2n a -的关系，…，寻求规律求出通项公式；7.倒数法：一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

类型一：归纳法求数列的通项公式例1. 已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，… （1）写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2）设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。

解析：（1）∵ n A 是线段32--n n A A 的中点， ∴)3(221≥+=--n x x x n n n （2）a a x x a =-=-=0121，2122322x x x x x a -+=-==a x x 21)(2112-=--， 3233432x x x x x a -+=-==a x x 41)(2123=--，猜想*)()21(1N n a a n n ∈-=-，下面用数学归纳法证明01 当n=1时，a a =1显然成立；02 假设n=k 时命题成立，即*)()21(1N k a a k k ∈-=-则n=k+1时，k k k k k k x x x x x a -+=-=++++21121=k k k a x x 21)(211-=--+ =a a k k )21()21)(21(1-=---∴ 当n=k+1时命题也成立， ∴ 命题对任意*N n ∈都成立。

人教版高中数学必修5学案求数列的通项公式(1)

姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑学会几种求数列通项公式的方法.2﹑能够应用数列求通项的方法解决一些数列问题.【重点难点】▲重点：数列求通项的各种方法和技巧.▲难点：灵活应用数列求通项的方法解决数列问题.【知识链接】1、等差数列的通项公式的推导方法是__________________2、等差数列的前n 项和公式的推导方法是__________________3、等比数列的通项公式的推导方法是__________________4、等比数列的前n 项和公式的推导方法是__________________【学习过程】知识点一形如 )(1n f a a n n =--)2(≥n 的数列通项的求法问题1﹑已知数列{}n a 中，1,211+=-=-n a a a n n ，)2(≥n 求数列{}n a 的通项公式.小结：递推公式形如)(1n f a a n n =--)2(≥n 的数列我们都可以用“ ”来求通项.变式：已知递增数列}{n a 中，)2(2,1212121≥+=+=--n n a a a a a n n n n ，求数列{}n a 通项公式．小结：递推公式形如)(1n f a a n n =-)2(≥n 的数列我们都可以用“ ”来求通项. 变式：已知数列{}n a 中，1112,1++==n n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.知识点三.已知n S ,求n a问题3、已知数列{}n a 的前n 项和为122-+=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式.小结:⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n ，一定要注意条件，求通项是一定要检验是否适合.这是作差消元法，消“n S ”保留“n a ”.变式：设数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式是：12+=n n a S ，求这个数列的通项公式.【基础达标】A1.已知数列{}n a 中，)2(13,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.B2.已知数列}{n a 中，n n a n n a a 2313,211+-==+，求数列}{n a 的通项公式.C3.已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和n S 满足65102++=n n n a a S ，且1531,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式.【小结】本节主要复习了以下几种求通项的方法：【当堂检测】A1.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,411=a ，且)2(2111≥++=--n a S S n n n ，求数列{}n a 的通项公式.A2.已知数列}{n a 中，n n n a a a 2,111+==+，求数列}{n a 的通项公式.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。