测试技术第一章 习题与答案

−T
T
=
ω0
1
{sin ω0Te
− jωT
+ sin ω0Te
jωT
+ jω ∫ sin ω0te− jωt dt}
−T
T
ω T − jωt = {2sin ω0T cos ωT − j ∫ e d (cos ω0t )} ω0 ω0 −T
T T ω = sin ω0T cos ωT − j 2 {cos ω0t e− jωt − ∫ cos ω0td (e− jωt )} −T ω0 ω0 −T
1 jω0t − jω0 t x(t ) = cos ω0 t • w(t ) = (e + e ) • w(t ) 2 1 j 2π f 0 t − j 2π f 0 t +e = (e ) • w(t ) 2
• 根据卷积定理，其傅里叶变换为：
1 X ( f ) = [δ ( f − f o ) + δ ( f + f o )]* w(t ) 2 1 = [δ ( f − f o ) + δ ( f + f o )]* 2T sin c(π f o 2T ) 2 =T{sin c[2π T ( f − f o )] + sin c[2π T ( f + f o )]}
§4.4非周期信号的频谱 非周期信号的频谱
f(t)
F ( jω )
α
1
0
ϕ (ω )
π
2
t
1 2α
0
3α
0
ω
−
ω
π
2
u(t) 阶跃信号u 1-4 阶跃信号u（t）可表示 1
t > 0 t < 0
u (t ) = {
A 0
t
0
单位阶跃信号 阶跃信号在跳变点t=0处 函数值未定义，或在t=0处 阶跃信号在跳变点t=0处，函数值未定义，或在t=0处 t=0 t=0 定 u (0 ) = 1 。
• 方法二：按傅立叶变换的定义
X ( f ) = ∫ cosω0te
−T T
T
− j 2πt
1 jω0t − jω0t − j 2π ft dt = ∫ (e + e )e dt （欧拉公式） 2 −T
T
1 j 2π ( f0 − f )t − j 2π ( f0 + f )t = ∫ [e +e ]dt 2 −T 1 1 1 j 2π ( f0 − f )t T − j 2π ( f0 + f )t T = [ e − e ] −T −T 2 j2π ( f0 − f ) j2π ( f0 + f ) 1 1 1 = [ j2sin2π ( f0 − f )T − (− j2)sin2π ( f0 + f )T ] 2 j2π ( f0 − f ) j2π ( f0 + f ) 1 sin2π ( f0 − f )T sin2π ( f0 − f )T = [ + ] π ( f0 − f ) 2 π ( f0 − f ) = T{sin c[2π ( f0 − f )T ] + sin c[2π ( f0 + f )T]}
(t > 0) (t < 0)
−a t
f (t ) = lim f1 (t ) = lim[sgn(t ).e
]
− 2 jω 2 F( jω) = lim F (ω) = lim 2 = 1 2 a→0 a→0 a +ω jω
F( jω) =
2
ω
− π 2 ϕ(ω) = π + 2
(ω > 0) (ω < 0)
2
∴ X(f )=
2 [ω0 sin ω0T cosωT − ω cosω0T sin ωT ] 2 2 ω0 −ω
2 1 1 = 2 2 {ω0 [sin(ω0T + ωT ) + sin(ω0T − ωT ) − ω [sin(ω0T + ωT ) − sin(ω0T − ωT )} 2 2 ω0 − ω 1 = 2 2 {(ω0 − ω)sin[(ω0 + ω)T ] + (ω0 + ω)sin[(ω0 − ω)T ]} ω0 − ω 1 1 sin[(ω0 + ω)T ] − sin[(ω0 − ω)T ] = ω0 + ω ω0 −ω = T sin c(ω0 + ω)T − T sin c(ω0 − ω)T
§4.4非周期信号的频谱 非周期信号的频谱
e
−a t
f1(t) 1 0 t
Sgn(t) +1
a→0
ϕ (ω )
F ( jω )
ω
2
π
-1
−π
2ωBiblioteka • 求被矩形窗函数截断的余弦函数cos ω0 t 的 频谱，并作频谱图。 •
cos ω0 t t < T x(t ) = t <T 0
• 方法一：按傅立叶变换的性质 • 截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与 矩形窗 的点积，即：
1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2
<1>
1 cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)] 2
<2>
1-3单边指数信号 • 信号表达式
e −αt f (t ) = 0
− jωt
(t ≥ 0 ) (t < 0 )
F( jω) = ∫ f (t)e
−∞
∞
1 dt = α + jω
1
(α > 0)
–幅频 幅频 –相频 相频
F ( jω ) =
α2 +ω2
ω ϕ (ω ) = −arctg ( ) α
2
T ω = sin ω0T cos ωT − j 2 {cos ω0Te− jωT − cos ω0Te jωT + jω ∫ cos ω0te− jωt dt} ω0 ω0 −T
2
ω ω2 T = sin ω0T cos ωT − j 2 cos ω0T (−2 j sin ωT ) + 2 ∫ cos ω0te− jωt dt ω0 ω0 ω0 −T
X (ω )
X (ω ) =
α 2 +ω 2
ω φ (ω ) = −arctg ( α )
π /2
0 0 t 0 t
−π / 2
ω
单边指数信号与频谱
阶跃信号的频谱为
X (ω ) =
1 jω
ϕ (ω )
π
−π 2
2
ω
符号函数
+ 1 f (t ) = sgn(t ) = − 1
a →0 a →0
2
幅值A=1的阶跃信号称为单位阶跃信号， 幅值A=1的阶跃信号称为单位阶跃信号，表示为 A=1的阶跃信号称为单位阶跃信号
u (t ) = {
1 0
t > 0 t < 0
由于单位阶跃信号不满足绝对可积条 不能直接由定义给出其频谱， 件，不能直接由定义给出其频谱，可把它 看成当 a → 0时的指数信号 e−α t 在时域上的 极限， 极限，其频谱为 e−α t 的频谱在 a → 0 时的极 限。 单边指数信号在时域上可表示为
x(t ) = {
e− α t t ≥ 0 0 t <0
其傅立叶变换为： 其傅立叶变换为：
X (ω ) = ∫ x(t )e
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ e e
0
∞
−α t − jωt
dt = ∫ e
0
∞
− (α t + jωt
1 )dt = α + jω
1
其幅度谱、 其幅度谱、相位谱分别为
x（t）
方 X ( f ) = ∫ x(t )e dt = ∫ cos ω te dt 法 3 = 1 ∫ e d (sin ω t) = 1 {sinω t e
T − jωt T − jωt 0 −T −T T
ω0 −T
1
− jωt
0
ω0
− jωt T −T
0
− ∫ sin ω0td (e− jωt )}