量子力学不确定关系
高二物理竞赛量子力学能量—时间不确定关系课件
(x) ei2πpx / h 0
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2
dx 2
+
8π 2 m h2
(E
-
Ep
)
(x)
0
12
12
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
2
x 2
+
2
y 2
+
2
z 2
+
8
π2 h2
m
(
E
-
Ep
)
0
拉普拉斯算子
2
2 x 2
+
2 y 2
+
2 z 2
2
+
-
px )
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
9
9
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2Ψ x 2
-
4π2 p h2
2
Ψ
Ψ - i2π EΨ t h
自由粒子 (v c) E Ek p2 2mEk
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
-
h2 8π2m
2Ψ x2
i h Ψ 2π t
10
10
粒子在势能为 的Ep势场中运动
E Ek + Ep 一维运动粒子的含时薛定谔方程
h2 - 8π2m
2Ψ x 2
+ Ep (x,t)Ψ
i h 2π
Ψ t
粒子在恒定势场中的运动
E
p2 2m
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱEp
Ep (x)与时间无关
11
11
Ψ
( x,t )
e-i2π( Et- px) / h
量子力学中不确定关系的理解及应用
量子力学中不确定关系的理解及应用
这个原理的意义是对于一个微观粒子，它的位置和动量是紧密联系的，并且它们不能
同时被完全精确地确定。
当我们想要测量物体的位置时，必须使用一种工具，比如说激光
或电子束，来测量它所发射的光或电子，造成测量时粒子位置的扰动。
同样地，当测量物
体的动量时，我们必须使用一种工具来影响它的运动状态，因此而导致了运动状态的不确
定性。
不确定关系在量子力学中有着广泛的应用。
在实验室中，它被用于大量的测量，并且
在科学研究中有着重要的地位。
例如，对于具有精确能量的粒子，根据不确定关系，我们
知道无论我们测量什么，我们都不能同时精确测量粒子的位置和动量。
这对于实验室中的
实验和科学研究非常重要，因为它告诉我们测量的限制和测量结果的不确定性。
另一方面，不确定关系也被用于解释虚空对粒子的影响。
量子场论表明，虽然看起来
真空是没有任何东西的，但在量子力学中，它实际上是满满的粒子和反粒子。
这些虚空的
粒子对物质世界的粒子有着微弱的相互作用，并且这种相互作用是因为不确定关系的存在
而引起的。
因此，不确定关系被认为是量子力学中的一个基本原理，它影响着微粒子的运
动和行为。
总之，不确定关系是量子力学中非常重要的概念，它揭示了微观世界的奇妙之处，并
且在实验室的研究中有着重要的应用。
同时，这个原理也为我们提供了一种新的理解方法，使我们更清楚地了解我们所处的世界和对这个世界的掌控程度。
量子力学中的动量和位置的不确定性关系
量子力学中的动量和位置的不确定性关系量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观世界的数学框架。
在量子力学中，动量和位置是两个基本物理量，它们之间存在着不确定性关系。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
根据量子力学的观点，动量是离散的，而不是连续的。
这意味着一个粒子的动量只能取某些特定的值，而不能取任意值。
这些特定的值被称为动量的量子化。
动量的量子化表明了物质的微观粒子具有粒子-波二象性，既可以看作是粒子，也可以看作是波动。
位置是描述物体位置的物理量，它与物体所处的空间点有关。
在经典物理学中，我们可以精确地知道一个物体的位置。
然而，在量子力学中，情况却有所不同。
根据海森堡的不确定性原理，位置和动量之间存在着一种固有的不确定性关系，即无法同时精确测量一个粒子的动量和位置。
这是由于测量的过程会对粒子的状态产生干扰，使得我们无法同时确定其动量和位置的精确值。
不确定性原理告诉我们，当我们尝试测量一个粒子的动量时，我们会扰动其位置，从而导致我们无法准确地知道其位置。
同样地，当我们尝试测量一个粒子的位置时，我们会扰动其动量，从而导致我们无法准确地知道其动量。
这种不确定性关系是量子力学的基本原理之一，它揭示了微观世界的本质，并对我们理解和应用量子力学产生了重要影响。
不确定性原理的数学表达形式是：ΔxΔp ≥ h/4π，其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常数的一半。
换句话说，我们无法同时将位置和动量的不确定度降到任意小的程度。
不确定性原理的实际应用非常广泛。
例如，在原子物理学中，不确定性原理解释了为什么电子不能静止在原子核周围，而必须处于一定的能级上。
这是因为如果电子的位置和动量都是精确已知的，那么根据不确定性原理，我们将无法确定电子的运动状态。
此外，不确定性原理还对测量技术和信息处理产生了重要影响。
量子力学4-不确定关系
dxdydz
空间某点附近单位体积内出现粒子的概率 概率密度: 空间某点附近单位体积内出现粒子的概率， 而粒子出现在整个空间内的概率应等于1，即：
*
2
归一化条件:
整个空间
2
dv 1
另外 波 数还应该满足如下的标准条件 另外，波函数还应该满足如下的标准条件： (1) 单值： 单值 任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。 (2) 有限： 粒子出现在空间某处的概率不可能大于1。 (3) 连续。 粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。
1 sin 0 . 777 50 . 9 极大值出现在 的方 向，与实验符合的很好。
k 1
德布罗意波
例题18-10 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角 10m,求电子速度。 为 2 ,铝的晶格常数a为4.05 4 05×10-10 求电子速度 解： 参看图示,第 第一级最大的条件是： 级最大的条件是：
3.3 10 8 eV
对氢原子光谱，当 对氢原子光谱 当n不是很大时，这一能级宽度是很小的。所以氢原子谱线系中 不是很大时 这一能级宽度是很小的 所以氢原子谱线系中 的各分立谱线是相当细的。
(2) 由
E h
hc 得： hc E 2
所以 该激发态的平均寿命为 所以，该激发态的平均寿命为：
P Px P sin 1 x
代入德布罗意关系：
h Px 即 x p x h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h p
得出：
h Px P sin 即 x
x p x h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并了一条重要的物理规律： 不确定关系揭示了一条重要的物理规律
量子力学中的不确定关系理论
量子力学中的不确定关系理论量子力学是描述微观物理世界的一种理论，它揭示出了一系列与经典物理完全不同的现象和规律。
其中最重要的之一就是不确定关系理论，也被称为海森堡不确定性原理。
不确定关系理论是在量子力学中，认为存在一种不可能同时准确测量位置和动量的限制。
具体来说，对于一个粒子的位置和动量两个物理量，无法同时准确测量它们的值，即精确地同时知道一个粒子的位置和动量是不可能的。
海森堡不确定性原理的基本形式是：Δx · Δp ≥ h/2π其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这一原理的含义是，如果我们试图减小对粒子位置的不确定性，那么对其动量的不确定性就会增加；反之亦然。
换句话说，粒子的位置和动量之间存在一种固有的关联，我们无法通过任何手段消除这种关联的存在。
不确定关系理论的提出，对于量子力学的发展具有重大的影响。
它挑战了经典物理学中的确定性观念，揭示了微观世界的本质特征。
不确定关系理论不仅适用于位置和动量的测量，还适用于其他一些共轭物理量的测量，比如时间和能量、角度和角动量等。
不确定关系的原理是基于量子物理的波粒二象性的理论基础。
在量子力学中，粒子既可以被看作是传统的粒子，也可以被看作是波动的能量。
而不确定关系的出现正是由于粒子既具有粒子性又具有波动性。
从宏观世界的角度看，我们可以很容易地测量物体的位置和动量，而且这两个量之间的关系是明确、可测的。
然而，在微观世界中，粒子的位置和动量却无法同时准确确定。
这是因为我们不能像经典物理学中那样，通过测量物体的位置和速度来准确确定其动量。
不确定关系的存在给实验物理学带来了挑战。
在进行微观世界的实验时，我们往往要面对因为测量位置而干扰了动量的测量，或者因为测量动量而干扰了位置的测量。
这种不确定性不仅仅是技术上的限制，而是由量子力学的本性所决定的。
尽管不确定关系理论使我们无法同时准确测量位置和动量，但它并不意味着我们对微观世界一无所知。
量子力学中的动量与位置不确定性关系
量子力学中的动量与位置不确定性关系量子力学是研究微观世界的物理学分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，动量和位置是两个基本的物理量，它们之间存在着一种特殊的关系，即动量与位置的不确定性关系。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
在经典物理学中，动量可以精确地确定，即一个物体的动量等于其质量乘以速度。
然而，在量子力学中，动量的测量存在一定的不确定性。
根据量子力学的原理，动量的测量结果并不是唯一确定的，而是存在一定的不确定性。
这是由于量子力学中的不确定性原理所决定的。
根据不确定性原理，对于一个粒子的动量和位置，无法同时被精确地确定。
不确定性原理是由德国物理学家海森堡在1927年提出的，它表明在量子力学中，存在着一种固有的不确定性。
根据不确定性原理，动量和位置之间的不确定性满足一个基本的关系式，即ΔpΔx ≥ ħ/2，其中Δp表示动量的不确定性，Δx表示位置的不确定性，ħ是普朗克常量。
这个不确定性关系意味着，如果我们试图减小动量的不确定性，就会导致位置的不确定性增大；相反，如果我们试图减小位置的不确定性，就会导致动量的不确定性增大。
换句话说，我们无法同时准确地知道一个粒子的动量和位置。
这个不确定性关系的意义在于，它揭示了量子世界的本质。
在微观尺度下，粒子的运动行为是不确定的，我们无法精确地预测一个粒子的位置和速度。
这与我们在日常生活中的经验不同，因为在宏观尺度下，经典物理学可以很好地描述物体的运动。
动量和位置的不确定性关系对于量子力学的理解和应用具有重要的意义。
它限制了我们对微观粒子的观测和测量能力，使得我们无法同时获得粒子的精确位置和动量信息。
这对于一些实验和技术的设计和应用产生了一定的限制。
不确定性关系也与一些量子力学的现象和效应密切相关。
例如，电子的波粒二象性、光的干涉和衍射现象等都与动量和位置的不确定性关系有关。
这些现象和效应的解释和理解需要考虑动量和位置的不确定性。
量子力学中的不确定关系
量子力学中的不确定关系量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学理论。
它的重要概念之一就是不确定关系，也称作海森堡不确定原理。
本文将详细探讨量子力学中的不确定关系，包括其起源、表达方式以及实际应用。
一、不确定关系的起源不确定关系最早由德国物理学家海森堡于1927年提出。
当时，他注意到无法同时确定粒子的位置和动量，即无法精确测量一个粒子的位置和动量，精确测量其中一个性质将导致另一个性质的不确定性增加。
海森堡通过研究确定了量子力学中的不确定关系。
二、不确定关系的表达方式根据不确定关系，粒子的位置和动量无法同时被精确测量。
量子力学中用数学表示不确定关系的方式是通过不确定性原理，即位置不确定性原理和动量不确定性原理。
1. 位置不确定性原理位置不确定性原理指出，在同一时刻对粒子的位置进行测量，得到的结果将存在一定的不确定性。
其数学表达式为：Δx · Δp ≥ ℏ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数（h除以2π）。
2. 动量不确定性原理动量不确定性原理表明，对粒子的动量进行测量时，得到的结果也会存在一定的不确定性。
动量不确定性原理的数学表达式为：Δp · Δx ≥ ℏ/2Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
这两个不确定性原理共同构成了量子力学中的不确定关系，限制了对粒子位置和动量的精确测量。
三、实际应用不确定关系在科学研究和技术应用中具有重要意义。
1. 实验验证通过实验验证不确定关系，科学家进一步验证了量子力学理论的正确性。
例如，通过对电子的位置和动量测量实验，验证了不确定关系的存在。
2. 精密测量不确定关系的存在限制了对粒子位置和动量的精确测量，但科学家们可以通过增加测量的重复性和改进测量设备，使得测量结果更加精确和可信。
这对于精密测量在科学研究和技术应用中有着重要意义，例如原子钟的精确定时。
3. 量子力学的发展不确定关系的提出和研究推动了量子力学的发展。
量子力学中不确定关系的理解及应用
量子力学中不确定关系的理解及应用量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
在量子力学中，存在着一条著名的不确定关系，即海森堡不确定关系。
这个关系揭示了在某些情况下，我们无法同时准确确定粒子的位置和动量。
本文将探讨不确定关系的理解及其在实际应用中的意义。
让我们来理解不确定关系的含义。
根据海森堡不确定关系，我们无法准确地同时知道一个粒子的位置和动量。
这意味着我们无法精确地确定粒子的位置和速度。
这一原理的背后是量子力学的基本原则之一，即波粒二象性。
在量子力学中，粒子既可以被看作是粒子，也可以被看作是波动的能量。
因此，我们无法同时精确地确定粒子的位置和动量。
不确定关系在实际应用中具有重要的意义。
首先，它限制了我们对微观世界的认识。
在实验中，我们无法同时准确地测量粒子的位置和动量，这导致我们只能获得有限的信息。
这种限制使得我们对微观世界的理解存在一定的局限性。
不确定关系也对技术应用产生了影响。
在一些技术领域，比如电子显微镜和粒子加速器，我们需要精确地测量微观粒子的位置和动量。
然而，由于不确定关系的存在，我们无法完全消除测量误差，从而限制了这些技术的精确性和准确性。
不确定关系还对量子计算和量子通信等领域产生了影响。
量子计算是一种利用量子力学中的量子比特进行计算的新型计算方法。
然而，由于不确定关系的存在，我们无法在量子计算中同时确定量子比特的状态和动量，这对量子计算的可靠性和精确性提出了挑战。
在量子通信中，我们利用量子力学中的纠缠态来实现安全的通信。
然而，由于不确定关系的存在，我们无法同时准确地确定纠缠态的位置和动量，这可能导致通信的安全性受到威胁。
不确定关系是量子力学中的重要概念，它揭示了我们无法同时准确确定粒子的位置和动量。
这一不确定性限制了我们对微观世界的认识，并对技术应用产生了影响。
在未来的研究中，我们需要进一步理解不确定关系，并在实际应用中找到解决方案，以推动科学和技术的发展。
§16. 2 不确定关系 (uncertainty relation)
③√粒子的动量和坐标不可能同时确定。 ④√不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于
其它粒子。
(二) 不确定关系的应用 (1)估算体系的基态能量：
①一维谐振子的零点能
不确定关系的应用
x p x
任何情况下 和x 不可p 能同时为零，所以微观 x
零点能的存在是微观粒子波动性的表现,因为” 静止的波”是没有意义的。
不确定关系的应用
（2）解释原子谱线的自然宽度
E
E
基态E0稳定
t , E 0, E0确定
E0 激发态E不稳定
t 0, E , E不确定 t
能 级 宽 度E
E E0 跃迁，辐射谱线宽度
(E
E ) 2
E0
(E
E ) 2
E0
微观粒子具有波粒二象性 用物质波的强度 作概率性描述
如何将微观粒子的波动性和粒子性统一起来?
所以，微观粒子的运动具有一种不确定性 ——（海森堡）不确定关系
位置与动量的不确定关系
一、位置与动量的不确定关系
以电子束 的单缝衍 射为例来 说明
x
p
a
y
1) 无法判定电子是从狭缝的哪一点通过的； 2) 也不知道从狭缝出来的电子是如何到达屏上的，只
1)认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰 连续减小，限制在所需的测量精度内。 2)认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论， 可以估算和控制干扰，修正测量值。
观察到电子落在屏上各处有不同的可能性(概率)。
位置与动量的不确定关系
电子如何进入中央明纹区的？
a sin
x
p
a
位置不确定量：
y
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
量子力学中，动能算符 量子力学中，
h2 2 h2 ˆ T =− ∇ =− 2µ 2µ r 2
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂r r ∂r + sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ ˆ ˆ h2 1 ∂ 2 ∂ L2 pr2 L2 =− = + r + 2 2 2 µ r ∂r ∂r 2 µ r 2µ 2µ r 2
∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
五、平均值公式
ˆ 态下， 在ψ 态下，力学量 F 的平均值为
F = ∑ f n cn
n
n
2
= ∑ f n cn ∫ψ nψ *dτ = ∫ψ * (∑ cn f nψ n )dτ
n n
ˆ ˆ = ∫ψ * F (∑ cnψ n )dτ = ∫ψ * Fψ dτ
或者
* * ˆ * * ˆ ψ * Fψ dτ = ∑ cn cm ∫ψ n Fψ m dτ = ∑ cn cm f m ∫ψ nψ m dτ ∫ nm
px = hk （连续取值） 连续取值）
xψ = x′ψ ( x − x′)ψ = 0 ψ = δ ( x − x′)
x′
（连续取值） 连续取值）
4.任意力学量算符 本征值方程 本征值 本征函数 值。
ˆ A
ˆ Aψ = λψ λ = A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
量子力学中的不确定关系
量子力学中的不确定关系量子力学是描述微观世界的一种物理理论，其基本原理是不确定性原理。
不确定性原理是由德国物理学家海森堡于1927年提出的，它指出在测量一个粒子的位置和动量时，无法同时精确地确定它们的值。
这种不确定关系在量子力学中被称为不确定关系。
不确定关系是量子力学的核心概念之一，它对我们理解微观世界的性质和行为具有重要的意义。
量子力学认为，粒子的位置和动量是无法同时确定的，即我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和速度。
这是因为在测量位置时，我们会对粒子的动量产生扰动，而在测量动量时，我们会对粒子的位置产生扰动。
这种扰动的存在导致了不确定性的产生。
不确定关系具体表现为海森堡不确定关系原理，它可以用数学公式来表示。
根据不确定关系原理，位置和动量的不确定度满足以下关系：Δx * Δp ≥ h/4π其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式表明，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常数的一半。
不确定关系的存在意味着我们无法完全确定粒子的状态。
这与我们在日常生活中的经验相反，因为在经典物理中，我们可以同时知道一个物体的位置和速度。
然而，在微观世界中，量子力学告诉我们，粒子的性质是模糊和不确定的。
不确定关系的存在对科学研究和技术应用产生了深远的影响。
首先，不确定关系限制了我们对微观粒子的测量精度。
无论我们使用多么精密的仪器，都无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
这对实验物理学家来说是一个挑战，因为他们需要设计新的实验方法来克服不确定关系的限制。
其次，不确定关系也对量子计算和量子通信等前沿技术的发展产生了影响。
量子计算是利用量子力学中的超导性质来进行计算的一种新型计算方法。
然而，由于不确定关系的存在，量子计算机的稳定性和可靠性仍然是一个挑战。
量子通信是利用量子纠缠和量子隐形传态等量子力学现象进行信息传输的一种新型通信方式。
不确定关系对量子通信的安全性和传输距离等方面也产生了一定的影响。
海森堡不确定性原理百科名片
海森伯的测不准原理得到了玻尔的支持，但玻尔不同意他的推理方式，认为他建立测不准关系所用的基本概念有问题。双方发生过激烈的争论。玻尔的观点是测不准关系的基础在于波粒二象性，他说：“这才是问题的核心。”而海森伯说：“我们已经有了一个贯彻一致的数学推理方式，它把观察到的一切告诉了人们。在自然界中没有什么东西是这个数学推理方式不能描述的。”玻尔则说：“完备的物理解释应当绝对地高于数学形式体系。”
海森堡不确定性原理百科名片
海森堡不确定性原理又名“测不准原理”、“不确定关系”,英文"Uncertainty principle"，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 h/2π （h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。
玻尔
玻尔更着重于从哲学上考虑问题。1927年玻尔作了《量子公设和原子理论的新进展》的演讲，提出著名的互补原理。他指出，在物理理论中，平常大家总是认为可以不必干涉所研究的对象，就可以观测该对象，但从量子理论看来却不可能，因为对原子体系的任何观测，都将涉及所观测的对象在观测过程中已经有所改变，因此不可能有单一的定义，平常所谓的因果性不复存在。对经典理论来说是互相排斥的不同性质，在量子理论中却成了互相补充的一些侧面。波粒二象性正是互补性的一个重要表现。测不准原理和其它量子力学结论也可从这里得到解释。
实验基础
海森伯在1927年的论文一开头就说：“如果谁想要阐明‘一个物体的位置’（例如一个电子的位置）这个短语的意义，那么他就要描述一个能够测量‘电子位置’的实验，否则这个短语就根本没有意义。”海森伯在谈到诸如位置与动量，或能量与时间这样一些正则共轭量的不确定关系时，说：“这种不确定性正是量子力学中出现统计关系的根本原因。” 海森伯测不准原理是通过一些实验来论证的。设想用一个γ射线显微镜来观察一个电子的坐标，因为γ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，所用光的波长λ越短，显微镜的分辨率越高，从而测定电子坐标不确定的程度△q就越小，所以△q∝λ。但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长λ越短，光量子的动量就越大，所以有△p∝1/λ。经过一番推理计算，海森伯得出：△q△p＝h/4π。海森伯写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。” 海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E就越小。再加上德布罗意关系λ＝h/p，海森伯得到△E△T＜h，并且作出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。”
量子力学中的动量和不确定性原理
量子力学中的动量和不确定性原理量子力学是20世纪最重要的科学理论之一，它给我们提供了一种全新的视角来理解微观世界。
在量子力学中，动量和不确定性原理被广泛讨论和研究。
一、动量的概念和性质在经典力学中，动量被定义为物体质量与其速度的乘积。
然而，在量子力学中，我们必须使用波粒二象性来描述物质粒子。
波粒二象性意味着粒子可以同时表现出粒子和波动的性质。
对于粒子的波函数来说，动量有一个与之相对应的算符。
这个算符被称为动量算符，通常用符号P表示。
量子力学告诉我们，动量算符的本征值（即可测得的数值）对应着粒子的动量。
这是与经典力学类似的，但是量子力学中的动量有一个独特的特性，即它是离散的。
量子力学的一个基本假设是，物质粒子的动量是量子化的，即只能取某些特定的数值。
这个现象被称为动量的量子化，它是量子力学不同于经典力学的一个重要特点。
二、不确定性原理的提出在20世纪初，德国物理学家海森堡提出了著名的不确定性原理。
不确定性原理指出，在某些物理量之间存在着固有的不确定性，即无法同时精确确定两个共轭变量的值。
其中最著名的就是动量和位置的不确定性。
不确定性原理的数学表达式为Δx·Δp ≥ ℏ/2，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
这个表达式告诉我们，越精确地测量一个粒子的位置，就越不能精确地测量其动量，反之亦然。
这是由于测量精度的限制和波粒二象性导致的。
三、解释和应用不确定性原理的提出引起了物理学界的广泛关注和讨论。
它挑战了我们对自然界的直觉认识，打破了经典物理学的束缚。
不确定性原理表明，微观粒子的性质并非完全确定的，而是具有一定的随机性，这对我们对世界的认知产生了深远的影响。
不确定性原理在许多领域有重要应用。
例如，在量子力学中，测量粒子的位置和动量是我们研究粒子行为的基本手段。
由于不确定性原理的存在，我们必须在精确度和测量范围之间进行权衡。
同时，不确定性原理也影响到了电子显微镜的分辨率、精密仪器的设计等实际应用。
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
量子力学中的位置与动量不确定关系
量子力学中的位置与动量不确定关系量子力学是描述微观世界的科学理论，它与经典力学有着本质的不同。
在量子力学中，存在一个非常重要的原理，即位置和动量的不确定关系。
这个原理被称为海森堡不确定原理，它揭示了微观粒子的本质和行为。
海森堡不确定原理是由德国物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出的。
它指出，对于小尺度、高能量的粒子，比如原子和亚原子粒子，我们不能同时精确测量它们的位置和动量。
换句话说，我们无法确定一个微观粒子的位置和动量的值，只能确定它们的概率分布。
这个原理非常重要，因为它意味着我们无法使用经典力学的观点来精确描述微观粒子的运动。
在经典力学中，我们可以通过测量粒子的位置和动量来准确预测它的轨迹和行为。
然而，在量子力学中，由于不确定关系的存在，我们只能描述粒子的概率分布，无法确定它的具体状态。
这个不确定关系的数学表达式是ΔxΔp≥h/4π，其中Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，h是普朗克常数。
这个不等式表明，位置和动量的不确定度的乘积大于或等于一个常数，也就是说，我们越精确地测量位置，就越无法确定动量，反之亦然。
这个不确定关系的物理意义非常深远。
首先，它限制了我们对微观粒子的观测能力。
无论我们使用多么精密的仪器，都无法同时测量一个粒子的位置和动量。
这在实践上给科学家们带来了很多困扰，也促使他们开发出一些新的测量技术和方法。
其次，不确定关系揭示了微观世界的本质。
在经典力学中，我们认为粒子的状态完全由它的位置和动量决定。
然而，在量子力学中，粒子的状态是模糊的，只能用概率来描述。
不确定关系告诉我们，微观粒子的位置和动量并非独立存在，它们之间存在着某种固有的联系。
最后，不确定关系也与量子力学的测量原理有关。
根据量子力学的测量原理，测量过程会破坏系统的状态，使其塌缩到某个确定的状态中。
而不确定关系告诉我们，测量的结果受到位置和动量的不确定度的限制，我们无法同时获得它们的准确值。
总结起来，量子力学中的位置与动量不确定关系是一项非常重要的原理，它揭示了微观世界的本质和行为。
量子力学算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系专题培训课件
所以： [Hˆ,Lˆ2], 0 [H 。ˆ,Lˆz]0
说明：[ Fˆ , ]Gˆ=0不一定是不同力学量同时具有确定值的 条件。
实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学 量可同时取确定值是两回事。
例如：[ Lˆ2 ,]Lˆ=z0，则由定理知它们有完全的共同的本征
3. 算符对易关系的运算法则：
<1>[A ˆ,B ˆ]=[Bˆ,A ˆ]； <2>[Aˆ,Aˆ] =0； <3>[A ˆ,c]=0（ c 为 复 常 数 ） ； <4>[A ˆ,B ˆC ˆ]=[A ˆ,B ˆ]+[A ˆ,C ˆ]； <5>[A ˆ,B ˆC ˆ]=B ˆ[A ˆ,C ˆ]+[A ˆ,B ˆ]C ˆ ；
证明：设有两力学量
Fˆ 和
Gˆ 有一组共同的本征函数
，
n
Fˆn nn
G ˆn nn
而
组成完全系，即对于任意的波函数
n
都可按{
}展 为n
级数：
。 ann
n
则： (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) = (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) a n n
n
= a n (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) n
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
[L ˆy,L ˆz]= [z ˆp ˆxx ˆp ˆz,x ˆp ˆyy ˆp ˆx] = [z ˆp ˆx,x ˆp ˆy y ˆp ˆx] [x ˆp ˆz,x ˆp ˆy y ˆp ˆx]
= [z ˆ p ˆx ,x ˆ p ˆy ] [ z ˆ p ˆx ,y ˆ p ˆx ] [ x ˆ p ˆz ,x ˆ p ˆy ]+ [ x ˆ p ˆz ,y ˆ p ˆx ] = z ˆ[p ˆx,x ˆ]p ˆy+ y ˆ[x ˆ,p ˆx]p ˆz =i(y ˆp ˆzz ˆp ˆy)
量子力学与不确定度关系
量子力学与不确定度关系不确定度关系是量子力学最引人注目的问题之一，应当指出，其原名曾为“测不准关系”，测不准关系中的“测不准”一词是名词翻译的不准确。
我国物理学名词审定委员会在)1998 年7月提出的《物理学名词》中，已将“测不准关系”更改为“不确定度关系”。
不确定度关系反映了微观粒子运动的基本规律，它是量子力学中一个极为重要的关系式，也是与经典物理学的主要差别的标志。
对其物理实质，不同的物理学派有不同的理解及解释。
不确定度关系究竟包含了多少物理内涵，通过分析或多或少可以再认识一些。
1 不确定度关系的产生背景1.1 不确定度关系的理论推导1926年，当量子力学的数学框架确定以后，玻恩采用了几率波的观念，在《论碰撞过程的量子力学》的论文中提出了波函数的统计解释。
以后人们从理论上推导出了不确定度关系，做出了比较严格的证明,因篇幅所限。
下面只给出结果1.2 不确定度关系的历史由来1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动力学的直觉内容》的论文，公布了他所建立的不确定度关系。
他的结论主要是通过“射线显微镜”假想实验来论证的，是对假想实验的分析以及利用德布罗意义关系得出的，仪器的分辨能力概念在他的论证中起了重要作用。
下面作一简单引述。
设想用光子去碰撞一个静电子，碰击后电子获得的动量为，能量为。
对光学仪器而言，根据波动论，光子的波长越短，仪器的分辨能力越高，电子的位置测得会越准确。
若代表测量电子位置的某种误差，上述分析意味着光子的波长越短，光子的动量、能量就越大，这意味着碰撞中动量、能量的转移越大。
即电子的动量改变量与光子的动量成正比例：由德布罗意关系：由上两式可得联立可得显然，海森伯得出的不确定度关系是一种测量效应，是为仪器测量精度规定的上限。
应该指出，这种假想实验是无法在现实中实现的，它仅仅是一种假想。
1.3不确定度关系的实验证实直到1974年，江森等人做出了电子束的单缝衍射实验，不确定度关系才在实验上得到了证实，这个证明在现有各种量子力学文献中都有叙述，这里也只给出结论。
用不确定关系估算氢原子基态半径
用不确定关系估算氢原子基态半径氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
在氢原子的基态中，电子处于最低能量状态，即处于1s轨道中。
由于电子的位置是不确定的，我们无法精确地确定氢原子基态的半径。
但是，我们可以使用不确定关系来估算氢原子基态的半径。
不确定关系是量子力学中的一个基本原理，它表明我们无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
这意味着，如果我们知道一个粒子的位置，我们就无法精确地知道它的动量，反之亦然。
不确定关系可以用数学公式表示为：ΔxΔp ≥ h/4π其中，Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，h是普朗克常数。
对于氢原子基态，我们可以假设电子在一个球形区域内运动，其半径为r。
根据量子力学的理论，电子的动量可以表示为：p = h/λ其中，λ是电子的波长。
根据德布罗意假设，电子的波长可以表示为：λ = h/p将上述两个公式代入不确定关系中，得到：ΔxΔp ≥ h/4πΔxΔ(h/λ) ≥ h/4πΔx ≥ h/4πΔpΔx ≥ h/4π(h/p)Δx ≥ h/4π(h/(h/λ))Δx ≥ λ/4π因此，我们可以得到氢原子基态的半径估算公式：r ≥ λ/4π根据电子的质量和电荷以及氢原子的基态能量，可以计算出氢原子基态的波长为0.529 Å。
代入上述公式，得到氢原子基态的半径估算为0.053 nm。
需要注意的是，这个估算值只是一个近似值，实际的氢原子基态半径可能会有一定的偏差。
但是，这个估算值可以帮助我们更好地理解氢原子的基态结构和量子力学的基本原理。
通过使用不确定关系，我们可以估算出氢原子基态的半径。
这个估算值虽然只是一个近似值，但是它可以帮助我们更好地理解量子力学的基本原理和氢原子的基态结构。
不确定度计算公式量子力学
不确定度计算公式量子力学量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，它提供了一种描述和解释微观世界的理论框架。
其中一个重要的概念是不确定度原理，它揭示了测量一个粒子的位置和动量的不确定性。
不确定度原理是由德国物理学家海森堡在1927年提出的。
它表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量，而只能得到它们的近似值。
这是因为测量位置会干扰粒子的动量，测量动量又会干扰粒子的位置。
因此，在测量中存在一种固有的不确定性，无法完全消除。
不确定度原理可以用一个简单的例子来解释。
设想我们要测量一颗微小的粒子的位置和动量，我们可以使用光子来照射这个粒子，并观察光子在粒子上的散射情况来得到粒子的位置信息。
然而，光子的动量会改变粒子的动量，因此我们无法同时得到粒子的准确位置和动量。
不确定度原理的数学表达形式是海森堡不确定度关系：Δx·Δp ≥ ħ/2。
其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ是普朗克常数的一半。
这个关系式告诉我们，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常数的一半。
不确定度原理的意义在于，它限制了我们对微观世界的认识。
无论我们使用何种方法进行测量，都无法完全确定一个粒子的位置和动量。
这对于量子力学的发展产生了重要影响，使得我们必须采用概率论的方法来描述粒子的行为。
不确定度原理的提出引起了物理学界的广泛讨论和研究。
它挑战了传统物理学中对粒子的确定性描述，使得我们必须重新思考微观世界的本质。
虽然不确定度原理给我们带来了认识上的限制，但也为我们提供了一种全新的理论框架，使得我们能够更好地理解和解释微观世界的奇妙现象。
不确定度原理是量子力学中的重要概念，它揭示了测量微观粒子时存在的不确定性。
尽管我们无法完全确定粒子的位置和动量，但不确定度原理为我们提供了一种新的方式来理解和解释微观世界。
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t
108
hc 6.63 10 34 3108 3.67 10 7 m
E E 3.39 1.6 10 19 0
hc E 7.131015 m
(E E )2 0
四.说明
1. 不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的体现。 2. 对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。 因此，微观粒子：(1) 没有“轨道”，(2) 不可能静止（对 任何惯性系）。
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系
微观粒子的运动要由概率波来描述，概率波只能给出粒 子在各处附近出现的概率。即：微观粒子任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
电子的单缝衍射
x
电子束
电子一个一个 地通过单缝
a 缝 2 衍射图样
屏
y
幕
X方向电子的位置不准确量为：x a 长时间积累后
出现衍射图样
x
x a
不确定关系是量子力学的基础
例1：一电子具有200 m/s 的速率，动量的不确定 范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范 围有多大？ 解：电子的动量为 p mv 9.11031 200 1.8 1028 动量的不确定范围为 p 0.01% p 1.81032 电子位置的不确定范围为 x 2.95103 m
3. 当 x x, p p ( 即L>> ) 时，可作为经典
粒 子处理。
们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . (2). 不确定的根源是“波粒二象性”这是微观粒子的根本属性 .
(3) . 对宏观粒子，因 h 很小, xpx 0 可视为位置和动量
能同时准确测量 . 对于微观粒子, h 不能忽略, x、px 不能同时具有确定值 . 此时，只有从概率统计角度去认识其运动规律 . 在量子力学 中，将用波函数来描述微观粒子.
不确定关系可以用来判别系统行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写
例4：已知电子处于某能级 t 108s, E E0 3.39eV,
求：该能级能量的最小不确定量E；
由该能级跃迁到基态，辐射光子的 、 。
解： E t
E
E0
h
hc
E
1.0551034
1.0551026 J
6.59106 eV
§不 确 定 关 系
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系 二. 海森伯时间和能量的不确定关系 三. 不确定关系的物理意义及应用 四. 说明
海森伯(W.K.Heisenberg，1901—1976）
德国理论物理学家. 建立了 新力学理论的数学方案，为量 子力学的创立作出了最早的贡 献. 1927年提出“不确定关系”， 为核物理学和（基本）粒子物理 学准备了理论基础；于1932年获 得诺贝尔物理学奖.
vx v
所以电子运动速度相对来说仍然是相当确 定的，波动性不起什么实际影响。
例3：小球质量 m=10-3千克，速度V=10-1 米/秒，
△x=10-6 米，则速率的不确定范围为多大？
解：px
2x
5.28 10 29
Vx
5.28 1029 m
5.28 1026m / s
不确定关系对宏观物体来说,实际上是不起作用的
屏
电子束
a缝
2
幕
动量沿X方向Biblioteka 量 px 的不确定量为： pxpx psin
a sin 2k
2
hh
p
py
考虑到在中央明纹之外还有电子出现，故：
xpx h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准 确的量值关系.量子力学严格证明给出：
xpx h ypy h zpz h
这就是著名的 海森伯不确定关系式
2p
电子位置的不确定范围甚至比原子的大小还要 大几亿倍。
例2： 电视显像管中电子的加速度电压为10 kV，电子 枪的枪口的直径为0.01 cm。试求电子射出电子枪后的 横向速度的不确定量。
解：电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx
2mx
0.58m
s
v 2eU 6 107 m/s m
二. 海森伯时间和能量的不确定关系
如果微观粒子处于某一状态的时间为 t，则其
能量必有一不确定量 E，且满足不确定关系
式
E t
E P2 / 2m
P E / v
x t v
E PP / m vP E t
三. 不确定关系的物理意义及应用
(1) .微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量, 它