微积分知识在高考物理中应用例析.doc
微元法在高中物理中的运用及技巧简说
微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。
比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。
微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。
微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。
用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。
所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。
如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。
对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。
关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。
例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。
我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。
例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。
知识讲解 物理学中微元法的应用
物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
高考物理解题方法：类比.等效
等效法：利用研究对象（物理量、物理过程、系统等）在某方面的作用效果与另一个对象所起的作用效果相同，在相互间进行变换（相等、替代等）从而解决问题的方法。
我们再来看一个例子：
例题：（2011全国）如图，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平桌面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连。将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起。以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0。求弹簧释放的势能。
A.小球以后将向左做平抛运动
B.小球将做自由落体运动
C.此过程小球对小车做的功为Mv02/2
D.球在弧形槽上升的最大高度为v02/2g
解析见下期。祝师生们愉快！
（本文系叶老师物理原创文章，转载请注明作者和来源于百家号叶老师物理）
A．2FB．1.5FC．0.5FD．0
参考答案：B；难度系数：0.36
解析：我曾经在一本书上看到对此题的解析，如图所示。从受力分析着手，计算出F1、F2的合力进而求解。由于题目中给的是等边三角形线框，F1、F2的的夹角是1200，不难计算出合力。问题是，假如遇上不是等边三角形线框的情况该怎样计算？况且，在高考考场上，能节余一分钟的时间都是宝贵的。我在一次会议上给出这道题，说几秒钟就能口算出来，与会者有的明白，有的则诧异不已。我们以垂直放置在匀强磁场中半径为R的半圆形通电导体为例，解析其所受安培力的情况。
高考有效复习——物理模型的整合
高考有效复习——物理模型的整合近年来，随着高考竞争的日益激烈，对于物理这门科目的学习和复习变得越发重要。
在备战高考的过程中，如何有效地复习物理成为了许多考生的关注焦点。
而物理模型的整合作为一种有效的学习方法，被越来越多的考生所认可和应用。
一、物理模型的概念与作用物理模型是指用来描述某个物理系统或过程的一种具体表示形式。
它通过将复杂的物理现象简化为假设情况，从而让我们更易于理解和应用。
物理模型起到了概括和归纳的作用，可以帮助我们从宏观或微观的角度去理解物理问题，并进行相应的探索和解决。
物理模型整合如同拼图的过程，将各个知识点有机地结合在一起，形成一个完整的知识体系。
通过整合不同的模型，我们可以更全面地了解物理规律，强化对物理概念的记忆和理解。
同时，整合模型还能提供思路和路径，指导我们解决各种复杂的物理问题，增加我们在应对高考考题上的把握能力。
因此，正确应用物理模型整合方法，可以有效提升复习效果，使我们的学习更加高效和有价值。
二、物理模型整合的具体方法1. 概念联系整合法物理知识是相互联系的，概念之间存在着内在的逻辑联系。
利用概念联系整合，我们可以将物理现象分类，找出各种概念之间的联系，形成概念网络。
例如，在力学中，我们可以将概念“力”和“运动”相联系，将概念“功”和“能量”相联系，将概念“动量”和“撞击”相联系等等。
通过形成这种概念网络，我们可以更好地理解物理规律，从而更加深入地学习和掌握物理知识。
2. 数学工具整合法数学是物理的重要工具，物理模型的建立需要借助数学的方法和技巧。
因此，在物理学习和复习过程中，合理运用数学工具进行整合是非常重要的。
例如，在力学中，我们可以运用微积分的方法对速度、加速度进行求导和积分，进而得出位置的函数关系。
在电磁学中，我们可以利用复数的运算方法对交流电路进行计算。
通过灵活运用数学工具，我们可以更准确地建立物理模型，解决物理问题。
3. 名词解释整合法物理学是一门术语较多的学科，理解和掌握其中的各种专业术语对于学习者来说是一个难点。
新课程背景下微元法在高中物理中的应用
新课程背景下微元法在高中物理中的应用随着新课改的深入发展，新教育理念更注重对学生各种能力的培养，尤其在高中物理教学中应注重对学生物理思想方法的渗透。
其中“微元”思想贯穿高中阶段的物理知识体系，自然“微元法”是解决高中物理问题的基本思想方法，它渗透于一些物理概念、公式中。
近年来，“微元法”在高考物理压轴题中的频频应用，既体现了这种方法的重要性，又体现了新课程理念的要求，但许多学生对此感到十分困惑，无从下手。
对此，笔者就“微元法”谈谈在一些物理问题中的具体应用和做法。
一、用微元法解决问题的基本方法“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，其解题思路可概括为：选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题，避开直接求瞬时变化问题的困难；再利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题，既完成求解问题的“转化”，又保证所求问题性质不变且求解更简单。
即采取从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。
具体可分以下三个步骤进行：①选取微元用以量化元事物或元过程；②视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；③在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量。
二、“微元法”在解题中的应用1.极限思想在速度等概念中的应用在学习速度这个知识点时，教材对瞬时速度的概念是物体在某时刻的速度，某时刻在时间轴上对应的是一个点，但在介绍如何求这个瞬时速度时是来自平均速度，对于平均速度只能粗略地描述运动的快慢。
为了使描述精确些，可以把△t取得小一些。
物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。
△t越小，运动的描述就越精确。
如果△t非常小，就可以认为△x/△t表示的是物体在某时刻的速度即瞬时速度。
这其实就是高中生所初步接触到的微元法。
在这里从段到点的转化学生的理解只是粗略抽象的理解，我们可以认为它叫“近似”。
如果学生想这个问题时能上升一个高度，当时间表示一个点的时候，△t=0，△x=0，△x/△t=？。
高中物理中的微积分思想
高中物理中的微积分思想作者：李党飞来源：《新课程学习·下》2013年第08期在现阶段的高中物理教学中，虽然很少有涉及利用微积分直接进行运算的问题，但许多地方用到了“微分”与“积分”的思想，即我们常说的“微元法”。
这就是高等数学中的微积分，只不过在高中阶段我们巧妙利用微元思想避开微积分。
但只要仔细讲解，以高中学生的理解能力是完全可以掌握的，同时也可以使学生对其他物理知识的理解更加透彻。
使用微元法处理问题时，需将其分解为若干微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化曲为直、化整为零，积零为整”解题法。
例1.如图所示，力F作用于半径为R的转盘边缘上一点，力F大小保持不变，方向始终沿作用点的切线方向，求转盘转动一周的过程中力F所做的功。
解析：力F为变力，不能直接用W=FS来求解，可采用微元法来求解。
将圆周分成无限个小段，可认为每小段为直线、力F为恒力，且力F方向与位移方向相同。
设每小段长度为Δs，则力F在每小段中做功为：ΔW=FΔs对一周中所有小元段内做功求和，可得转动一周过程中力F做功为：W=ΣΔW=FΣΔs=F2πR例2.电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。
■解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。
选电荷元：它在P点产生的电场的场强的x分量为：由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例3.如图1所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？■解析：水平地从a向b看，金属杆在运动过程中受力如图2所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，可采用微元法来求解。
高考数学中的微积分与物理及其他应用
高考数学中的微积分与物理及其他应用高考数学中的微积分和物理是有着密切联系的。
微积分是对一连串数的变化过程进行研究和处理的数学分支，而物理学则是对世界的自然现象进行研究和探究的学科。
那么，微积分在物理中起到的作用又是什么呢？微积分在物理中的应用物理学是一个数学应用非常广泛的学科，其中微积分也是被广泛应用的一种工具。
主要表现在以下几个方面。
1. 运动学运动学是研究物体运动状态和规律的学科。
在运动学中，速度和加速度这些物理量都需要用到微积分的知识。
加速度可以通过速度随时间的导数来定义，而速度又可以通过位移随时间的导数来定义。
所以，在运动学计算中常常需要用到导数和微积分的相关知识。
2. 力学力学是研究物体运动受力和运动规律的学科。
它是物理学的核心内容。
在力学中，物体的运动可以用牛顿运动定律来描述。
其中，第二定律 F=ma（力等于质量乘以加速度）就涉及到力和加速度这两个物理量。
而加速度的定义又与速度的导数相关联。
所以，在力学中，微积分的应用也是必不可少的。
3. 热学热学是研究热现象和热力学规律的学科。
在热学中，温度梯度、热流等物理量需要用到微积分的相关知识。
4. 光学光学是研究光和光现象的学科。
在光学中，波长、反射、折射等物理量需要用到微积分的相关知识。
这只是微积分在物理学中应用的几个方面，实际上微积分在物理学中的应用非常广泛。
其他应用微积分在物理学以外的领域中也有广泛的应用。
例如，在工程学、计算机科学、经济学以及生物医学等领域，微积分的应用也非常广泛。
在工程学中，微积分被广泛应用于研究结构物的强度和稳定性、电路的设计、流体力学以及工业生产的优化等方面，可谓是数理工程学不可或缺的学科。
在计算机科学中，微积分被广泛应用于图像和声音信号的处理、数据挖掘、机器学习等领域。
特别是在机器学习中，微积分是深度学习、神经网络等技术的基础，直接影响着人工智能领域的发展。
在经济学中，微积分可以被用来研究经济问题，如市场需求、价格变化、税收等。
微积分知识在高考物理中应用例析
微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析 江苏省常州高级中学 丁岳林物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。
其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。
例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培力。
（2003年江苏省高考物理试题）解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或tB S∆∆=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离221at x =此时杆的速度at v =。
这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此，32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R =回路中的感应电流Ri ε=作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 02223=，代入数据为31044.1-⨯=F N 本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工具。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
探索篇•方法展示微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。
一、高中物理教学中常见的微积分应用1.微元法定义瞬时速度在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。
2.微分与斜率在加速度的定义中a=ΔvΔt，当t→0时a=ΔvΔt=dv dt，与微积分中的微分即求导对应，也就是数学中的斜率，斜率的使用在高中物理中比较常见，如，加速度a=ΔvΔt对应v-t图像的斜率还有E=ΔϕΔt对应ϕ-t图像的斜率，此外借助斜率还可求出函数的最值。
3.积分与面积在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。
该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。
可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。
因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。
二、高考中常见微积分思想应用实例分析高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。
例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。
已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
高考数学中的微分方程应用及实例题解析
高考数学中的微分方程应用及实例题解析一、微分方程的应用微分方程在数学中有着广泛的应用，而在高考数学中尤为重要。
微分方程可以用来描述各种物理和工程问题中的连续变化。
在高考数学中，微分方程的应用主要包括解决物理和工程问题，并用微分方程模型求解。
下面，我们将以几个实例来解释微分方程的应用。
二、实例题解析1. 一个水箱有一个进水口和一个排水口，进水口的水速是10升/分钟，排水口排水的速度是6升/分钟。
在水箱的初态下，水箱的水量是7升。
求15分钟之后水箱的水量是多少？解答：由于水箱的进水口和排水口都是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
不妨设水箱的初始状态下的水量为y，当t时间后，进水和排水的水量都为10-6=4升/分钟，因此有：y'(t)=4根据微分方程得：y(t)=4t+C由于初态下，水量为7升，因此C=7。
当t=15时，有：y(15)=4*15+7=67因此，15分钟后水箱的水量是67升。
2. 某商品的回报率为r，市场容量有限，其市场占有率y变化满足dy/dt=ry(1-y)，y初始为0.2，求当市场占有率达到60%时所需的时间。
解答：由于市场占有率随时间的变化是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
设市场占有率为y，时间为t，有：dy/dt=ry(1-y)将该微分方程分离变量得：1/(y(1-y))dy=rdt两边积分得：ln|y/(1-y)|=rt+C由于当y=0.2时，t=0，因此C=ln(1/4)。
当y=0.6时，有：ln|0.6/(1-0.6)|=0.4r+C代入C得：ln(3/2)=0.4r+ln(1/4)解得r=ln3/16，因此所需的时间为：t=[ln(3/2)-ln(1/4)]/0.4ln3/16≈8.25因此，市场占有率达到60%时所需的时间为8.25。
三、总结微分方程在高考数学中的应用极为广泛，需要考生有扎实的微积分和数学建模的基础。
通过多做微分方程的实例题目，可以帮助考生更好地掌握微分方程的应用方法和技巧。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分是一门重要的数学课程，在高中物理教学及高考中有重要的应用。
首先，在高中物理教学中，微积分可以帮助学生理解物理学的深层次的概念和原理。
例如，在力学和弹性中，知道力和位移之间的关系，学生需要用到微积分，例如需要用到曲率来计算曲线上力的变化情况，或者用梯度和位移之间的关系来分析影响力的改变等。
此外，散度和积分也在物理学中有实际的应用，例如在电动力学中，学生可以运用微积分的知识确定电流的变化情况。
其次，在高考中，微积分也是非常重要的科目之一，它不但是数学竞赛中的重要科目，而且也在高考的多项科目中得到了普遍的应用。
例如，在物理学中，考生可以利用提高后的微积分知识分析曲线上的力、磁力场和重力场等问题；在电动力学中，考生可以运用微积分知识计算电势和电压；在力学中，考生可以利用微积分知识求出运动弹性曲线；在热力学中，考生可以利用梯度来分析热力学问题；而在化学中，考生可以利用积分来分析反应的反应速率等。
总之，在高考中，微积分的应用是不可分割的部分。
最后，微积分在高中物理教学及高考中的应用，不仅可以扩大学生们在物理学和化学中的知识面，而且可以提高学生的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，在高中物理教学及高考中，加强对微积分的学习和学术研究是非常有必要的。
综上所述，在高中物理教学及高考中，微积分有着重要的应用，它可以帮助学生更深入地理解物理学和化学中的问题，同时提高学生
的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，加强对微积分的学习及学术研究，有助于提高高中物理教学及高考中的教学水平。
例谈微元法在高中物理中的应用
同,故摩擦力也不同,用 常 规 方 法 无 法 求 解,本 题 利 用 微 元 法 电量?
和对称的特点,巧妙 地 求 出 了 摩 擦 变 力 所 做 的 功。 利 用 微 元
解 :设 某 时 刻 棒 的 速 度 为 v,加 速 度 为 a,则 有 :
法求解变力功的题目还有好多,关键是要 选 好 位 移 元,在 这 段 位 移 内 ,力 可 视 为 恒 力 ,按 照 恒 力 求 元 功 后 ,再 求 和 。
解析:取 软 绳 中 Δl(Δl 趋 近 于 零 )长 为微元段,对应质量元为 Δm。
可以作出俯视受力图,如图4所 示,设 质量元 Δm 两 端 所 受 张 力 为 T,其 合 力 为 F。因为 它 所 对 的 圆 心 角 θ 很 小,所 以 有
图3
sinθ≈θ,即 F=2Tsinθ2 =Tθ。
再 作 出 正 视 受 力 图 ,如 图 5 所 示 ,质 量 元
l R2 +l2
=n(Rk2Q+ll2)3 2 。
所以
EP
=nEx
=
kQl (R2 +l2 )3 2
。
微元法除了求场 强 外,在 电 场 中 电 容 器 充 放 电 时 的 电 荷
量,点电荷电场中求解静电力的功、电势 等 相 关 计 算 在 某 些 情
况下也可用到微元法。
七 、微 元 法 在 电 磁 感 应 中 的 应 用
-B2RL2v=ma。
五 、利 用 微 元 法 解 决 流 体 问 题
例5 水力采煤时,用水 枪 在 高 压 下 喷 出 强 力 的 水 柱,打 在 煤 层 上 ,若 水 枪 出 水 口 的 横 截 面 积 为 S,出 水 口 水 速 为v,水 流射到煤层上,速 率 减 为 零,水 的 密 度 为ρ,求 水 对 煤 层 的 冲 击力。
中学物理中的微积分
ａ／ｒ＝ｓｉｎＯ ② 联 立 解 得 Ｅ一 ｓｉｎ２ ｃ。ｓ ③
１３８（ｍ ），
一△－ｚ／△￡一 （ｚ２－Ｘ１）／（ｔ２一 ｔ１）一１３８／３—４６（ｍ／ｓ）。 这个 问题让 我们 初步 看 到微 积分在 解 决某 些物 理 问题方面确有独到之处 。 【例 ２】 如图 １所示 ，真空 中有一点 电荷＋Ｑ，在 ＋
ｄｒ
图 １
解 析 ：电荷＋ｑ从 电场 中的 Ｍ 点 （与＋Ｑ相距 Ｒ）移
到无穷 远处 的过程 中，电场 力 所 做 的 功 可用 积 分 法 求
解 。
ｄＷ — Ｆｄｒ一 ｄ 。
ｗ —
。
按照 电势 能的定义 ，电荷＋ｑ在 Ｍ 点所 具有 的电势
ｓｉｎＯ＝√号，ｔａｎ￣一 ，此时，同时有６一 ａ一寺，
专题 论析
即得 ｔａ ＝＝＝Ｖ２，ｓｉｎＯ＝＾／｛ ，ｃｏｓＯ一｛ ，
上 得 到 ：
２ｋＱ 、 ２ 、／ １ — ４，／３ｋＱ
Ｆ一
”
ｎ。
３
一 ９ａ 。
比较 上 述 两 种 方 法 之 后 发 现 ，第 一 种 方 法 虽 然 使 用 的只是初等数学 中的“均值不 等式 ”，表面上 数学要 求不 高 ，其实恰恰相反 ，一是难 以想到“均值不 等式法 ”，二是
当然 ，微积 分 的基本 知 识 只 在 高三 数 学 课 本 才 出 现 ，但是在高三备考时 已经可 以用来分 析解决 物理 问题 了 。也 许 有 的 教 师 认 为 ，这 是 “打 擦 边 球 ”，已 经 不 是 高
中物理 的 主 干 知 识 和 重 要 要 求 ，这 一 点 我 们 并 不 否 认—— 但试想一下 ，高考物理试题 中的 ２１题 、２５题 这类 具有“压轴”性质 的考 题 ，难道 又是 大部 分学 生所 能 “摆 平 ”的 ？ 为 什 么 我 们 明 知 大 部 分 学 生 “摆 不 平 ”，还 要 一 如既往地 搞 “压 轴 题”的教 学 呢？原 因很 简单 ，我 们 搞 “压轴题”教学 并不是 要求 大部 分 学生在 高 考时 “摆平 ” 压轴题 ，而是要 通过 “压 轴题 ”的教 学 来确保 其 他“基本 问题 ”的解 决 。
数学知识在普通物理学习中的应用
排 课堂练 习时 间 ， 让 学 生 了 解 掌 握 学 习 内容 ． 并 展 开 课 程 讨 论， 让 学 生 通 过 实 践 了解 教 学 内容 ， 巩 固学 习效 果 。随 着 物 理 教学 内容增多 ， 课堂教学量增 大 ， 教学节奏 随之加快 ， 学 生 在 学 习上会 产生一 定的 困难 ， 这不 仅影 响物理 教学 效果 ， 而 且 会 挫 伤 学 生 学 习物 理 的 积 极 性 。 因 此 ． 普 通 物 理 学 习 中要 加 强对数 学知识的应用 ， 借 助 数 学 工 具 和方 法 ， 反复练 习 ， 将 复 杂 的公 式 和 解 题 方 法 逐 步 简 化 ． 恰 当 选 用 数 学 工 具 解 决 各 类 物 理 问题 。
（ 一） 运 用数 学语 言和 方 法表 述 物理 概 念 、 物理规律 ， 便 于 理解。 有 很 多 物理 概 念 和 规 律在 课 程 中出 现 并要 求 学 生 掌 握 。 这 些 概念 和物 理 定 律 用 数 学 语 言 描述 更 能 表 达 出 这 些 物 理 概 念 的 内涵 ， 如在物理教学中， 对概 述 的 讲 解 中 引入 比例 系 数 ， 如 电
１ ． 几 何 知 识 的 运 用
平 面 几 何 知 识 是 在 物 理 学 中 应 用 最 广 泛 的 数 学 知 识 之 在 物理 学 多 个 章 节 的 学 习 中 都 涉 及 这 一 专 业 知 识 。 如 双 方 互相垂直或平行位于角的两侧 ． 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比例 时 ， 使 用 该 两 种 方 法 分 析 力 学 情 况 。如 涉 及 光 反 射 与 折射 的 知 识 点时 ， 都 运 用 了大 量 的平 面 几 何 的 专 业 知识 。
学 习 中 的 应 用 进 行 了研 究
学完微积分秒杀高中数学物理
学完微积分秒杀高中数学物理微积分作为一门高等数学课程，对于学生来说可能是一座看似高不可攀的大山，但实际上，微积分的学习不仅可以帮助提升数学能力，还能在高中数学和物理学科中得心应手。
通过深入学习微积分知识，高中生可以在数学和物理领域中游刃有余，甚至秒杀许多难题。
微积分对高中数学的帮助微积分是高等数学的重要内容之一，它包括微分学和积分学两大部分。
通过学习微积分，高中生可以更深入地理解数学中的变化率和积累效应，从而更好地理解数学概念和解题方法。
以函数为例，通过微积分的学习，我们可以更好地理解函数的导数和不定积分，从而更灵活地处理函数相关的问题，比如函数的极限、极值和定积分等。
在高中数学的教学中，微积分的知识也经常用于解决一些复杂的问题，比如曲线的切线问题、极限求导、定积分求面积等。
通过掌握微积分知识，高中生可以更快速地解决这些难题，轻松驾驭数学课程。
微积分对高中物理的帮助除了对高中数学的帮助外，微积分知识还对高中物理学科有着重要的作用。
在物理学中，许多问题涉及到变化和积累的概念，微积分正是帮助我们更好地理解这些问题的有力工具。
比如，在动力学中，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数，通过微积分，我们可以更好地理解速度和加速度的变化规律，进而解决物理问题。
另外，在力学中，力的功可以表示为力对位移的积分，这也需要用到微积分的知识。
通过学习微积分，高中生不仅可以更深入地理解物理中的各种概念，还可以更快速地解决物理问题，提高物理学科的学习效率。
总结学完微积分并不只是为了应付高考或者大学入学考试，它更是一门强大的学科，能够帮助我们更好地理解自然界和数学世界中的各种变化规律。
通过学习微积分，高中生可以在数学和物理领域中游刃有余，秒杀许多难题，将数学和物理的学习提升到一个新的高度。
希望同学们能够珍惜这次学习机会，努力掌握微积分知识，让它成为你们学习和探索的利器。
高中物理教学中“微元法”教学策略初探
高中物理教学中“微元法”教学策略初探江苏省常熟中学（215500）邹燕［摘要］微元法是最近几年高考常考查的方法，同时也是学生较难掌握的一种方法。
文章从微元法的概念入手，讨论了在高中物理教学中“微元法”的教学策略及相关注意点。
［关键词］微元法；高中物理；教学策略［中图分类号］G 633.7［文献标识码］A ［文章编号］1674-6058（2023）17-0049-03在新课程改革的大背景下，物理学科教学越来越关注学生对科学方法及相关规律的合理应用。
《普通高中物理课程标准》中提到“通过物理概念和法则的学习理解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用”，可见课程标准对物理模型和数学工具提出了较高的要求。
“微元法”是高中物理教学中处理变化问题时常用到的一种方法，也是初中学生没有涉及的思想方法。
本质上，微元法属于高等数学中的微积分，虽然微元法在高中阶段的表现形式仍然是初等数学，但该方法已经需要运用极限、积分等高等数学的思想方法，因此学生掌握起来比较困难，该内容也一直是教学难点。
怎样通过采用一些有效的教学策略帮助学生理解掌握微元法的思想与方法，并使学生能够灵活运用该方法解决实际问题是值得教师思考的问题。
一、微元法的基本概念在高中物理学习过程中，学生因为数学知识的不足而难以解决一些涉及高等数学思想的问题。
例如计算匀变速直线运动的位移、计算变力做功、推导曲线运动向心加速度的表达式等问题。
这些问题对中学生来说是一个很大的难题。
但运用“微元法”能够解决这些问题。
“微元法”是指将一个整体的对象分成无穷多个很小的对象，然后对每个微小的对象进行分析，最后再将每个微小的对象累计起来。
微元法是分析解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思考方法。
通过微元法可以用我们熟悉的物理法则迅速化简复杂的物理过程，并简化所要求的问题。
使用微元法，可以强化对已知法则的再思考，进而加深认识，提高能力。
在大学物理中，微积分是最基本的数学工具，但高中物理教学中并没有用微积分来解决问题。
微元法的应用
微元法在解题中的应用随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。
在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变化率——瞬时速度：dtdxv =，求位移：⎰=vdt x ；速度对时间的变化率——加速度：dtdva =，求速度⎰=adt v ；动量对时间的变化率——力：dt dp F =，求冲量⎰=∆=Fdt p I ；磁通量对时间的变化率——感应电动势：dtd E φ=；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：dtdqI =，求电量⎰=idt q ；功对时间的变化率——瞬时功率：dtdWP =，求功⎰=Fdx W ；穿过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：dtd n E φ=。
学生掌握微元思想对这些物理概念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。
一、用微元法解题的基本方法和步骤例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R 与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B 的匀强磁场。
导轨上有一导体棒ab 质量为m 以初速度v 0向右运动。
求这个过程的总位移？解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动， ma R v L B BIL =-=-22 在某一时刻取一个微元 tvm R v L B i ∆∆=-22 变式 v m t v R L B i ∆=∆-22 两边求和 ∑∑∆=∆-v m t v RL B i 22 因i i x t v ∆=∆ 故 )0(022v m x R L B -=- 得 220LB R mv x =小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。
高考物理试题中“应用性”的体现及教学策略探讨
高考物理试题中“应用性”的体现及教学策略探讨作者：***来源：《中学物理·高中》2021年第10期摘要：对高考评价体系中的“应用性”的内涵进行解读，列举高考试题中应用性的体现特点，根据学生的做题情况对做題错因进行了分析归纳并给出了落实应用性要求的教学建议.关键词：高考评价体系;应用性;错因分析;教学策略;动量定理中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）19-0060-03基金项目：广东省教育科研“十三五”规划课题“落实中国高考评价体系引导教学核心功能的学科实践研究”（项目编号：2020YQJK221）;广东省中山市市级课题“核心素养背景下的高考物理试题分析与试题编制的实践研究”（项目编号：C2018133）;广东省中山市市级课题“物理教学中落实高考评价体系引导教学核心功能的实践研究”（项目编号：Z2020002）.作者简介：胡振欢（1985-），男，广东清远人，本科，中学高级教师，研究方向：试题命制与分析.1 高考评价体系中的“应用性”解读应用性是高考评价体系“一核四层四翼”中的“四翼”，也就是四个考查要求之一，应用性要求以贴近时代、贴近社会、贴近生活的生活实践或学习探索问题情境为载体，将陈述性知识与程序性知识的有机整合和运用作为考查目标，设计生产生活中的实际问题，体现对即将进入高等学校的学习者迁移课堂所学内容、理论联系实际水平的测量与评价.应用性注重学以致用，不仅是对命题的要求，也是考查考生运用所学解决实际问题的能力[1].1.1 学以致用是素质教育的目标我国实行素质教育的目的是为了培养社会主义建设者和接班人，培养出来的人应德智体美劳全面发展，善于观察现实生活的各种现象，并且理论联系实际，洞悉事物运行和发展遵循的规律，能运用自己的知识、能力和素养解决实际问题.如面对雨天路滑的问题，知道物理原因，并采取各种措施如转弯减少速度、穿更为粗糙的鞋子走路等防止事故的发生.1.2 生活实践情境是考查应用性的重要载体《普通高中物理课程标准（2017年版）》中提到：“试题要注重围绕生产生活或科技等设计问题情境，加强对学生运用基础知识解决简单实际问题能力的考查.试题的任务情境要与生产生活、科技发展等紧密联系，要关注物理学前沿与成果应用;要探索设计与现实相关的问题情境，加强对学生应用物理学知识综合解决实际问题能力的考查[2].”其描述和高考评价体系的应用性要求是一致的.如2020年的全国高考Ⅱ卷选择题部分，8道选择题中有6道试题情境属于生活实践情境，占比创历史新高，见表1.1.3 解决应用性问题有助于培养学生的核心素养物理学科的学以致用是要求应用物理知识解决具体问题应结合具体的实际情境，实质上是对学生有没有形成良好的物理学科核心素养的考查.要把实际情境转化为物理问题，需要有较好的物理观念，把情境描述的经历转化为物理过程，把情境文字描述转化为物理语言，建立合适的物理模型，进行分析、推理、探究等行为，形成结论并做出反思.所以，解决应用性问题有助于学生核心素养的培养和提升.2 高考题中应用性的呈现例析动量定理是高中物理的主干知识之一，在2017年成为必考部分后，愈加受重视，现实生活中许多现象与动量定理知识有联系，本文以动量定理在近几年高考中的生活实践情境题目为例，展示应用性在高考题目中的考查特点.例题1 高空坠物极易对行人造成伤害.若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为A.10NB.102NC.103ND.104N答案解析：设每层楼高3m，则总高75m，可取80m方便运算，根据动能定理mgh=12mv2和动量定理F-mg=mvΔt，由于重力较小，忽略重力冲量，解得F≈103N，答案选C.通过本题的运算，学生能充分认识到高空坠物的危害，从而规范学生的道德行为，提升学生的社会责任感，维护公共利益，这也是考查应用性体现出来的巨大价值.例题2 某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出;玩具底部为平板（面积略大于S）;水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力，已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量;（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.答案解析：（1）在一段很短的Δt时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变.该时间内，喷出水柱高度Δl=v0·Δt①喷出水柱质量Δm=ρ·ΔV②其中ΔV为水柱体积，满足ΔV=Δl·S③由①②③可得喷泉单位时间内喷出的水的质量为ΔmΔt=ρ·v0·S（2）设玩具底面相对于喷口的高度为h，由玩具受力平衡得F冲=Mg④其中，F冲为玩具底部水体对其的作用力.由牛顿第三定律F压=F冲⑤其中，F压为玩具底部下面水体的作用力，v′为水体到达玩具底部时的速度，由运动学公式v′2-v20=-2gh⑥在很短Δt时间内，设冲击玩具水柱的质量为Δm，有Δm=ρ·v0·S·Δt⑦由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有F压+Δmg·Δt=Δm·v′⑧由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略，⑧式变为F压·Δt=Δm·v′⑨由④⑤⑥⑦⑨可得 h=v202g-M2g2ρ2v20S2试题来源于2016年全国Ⅰ卷理综试卷第35题的第（2）小题，题目情境取材自平时常见的喷泉，题目要求学生能采用微元分析的方法对不太常见的流体进行分析，建立物理模型，用动量定理解决题目，考查模型建构和推理论证的关键能力.这样的题目情境可以引导学生多关注观察生活，并采用物理知识解释生活现象或者解决生活问题.例题3 最近，我国研制的“长征九号”大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展.若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为A.1.6×102kgB.1.6×103kgC.1.6×105kgD.1.6×106kg答案解析：根据动量定理得Ft=Δmv，则Δm=Ftv=4.8×106×13×103kg=1.6×103kg，B正确.试题来源于2019年全国Ⅰ卷理综试卷第16题，以助推“长征九号”的新型火箭发动机为背景，考查动量定理知识，考查学生的综合分析能力、模型建构能力和推理论证能力.也通过背景材料的介绍，激发学生爱国主义情怀，体现出物理学科应用性试题紧密联系科技的特点，号召学生关注科学前沿和成果.3 学生面对生活情境化试题的错因分析例题4 若一个50g的物体从80m的高度落下，与地面的撞击时间约为2ms，则该物体撞击地面产生的冲击力约为A.10NB.102NC.103ND.104N接着笔者把例1和例4给两个物理学习程度差不多的班级进行测试，并要求学生记下完成题目的时间，测试结果见表2.完成例1需用时更长，得分更低，可以看出生活实践情境对学生而言难度更高，除了例1和例4做了对比训练，笔者布置例2和例3作为课后作业，分析学生做这四个例题的情况，认为学生面对应用性试题主要存在以下三个困难.3.1 缺乏生活常识应用性的试题来源于现实生活，相比于原始问题是有所加工的，介乎于原始问题和纯物理问题之间，这种题目的特点是注重真实情境的创设，甚至有些题目连已知量或者待求量都缺失，让学生自行分析和获取信息和判断有价值的信息，这样就造成题目看似结构不齐，相对其它试题难度更大，像例1中需要估计楼层有多高，并不是所有学生都知道楼层约3m高.又比如2011年江苏物理高考题中，有一道选择题要求估算一个杂技演员将鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功，既没有给鸡蛋的质量，又没有给抛出速度或者上升距离等，具有一定的开放性，要求学生具备估计以上物理量数值的生活常识.3.2 模型建构意识薄弱学生不懂得建立相应的物理模型，如例2中的喷泉是熟悉的场景，但是模型相对陌生的，不少同学连研究对象都不明确，研究的过程更加一塌糊涂，不懂得要研究这种流体模型应取小段时间研究小段过程，相当于建立柱状模型;例3中不知道喷射气体与发动机前进存在的关系，构建不出反冲模型.3.3 信息读取能力欠缺不少同学面对应用性题目，读取题目信息不完整或者不准确，如在例1中有同学对“坠下”有误解，认为是抛下，应该有初速度;例2中很多同学对“悬停”“在水平方向朝四周均匀散开”的物理含义没有读懂，还有同学把v0误认为是撞击玩具时的速度;例3中有些同学单位没转化就直接运算等.4 应对应用性试题的教学策略探讨4.1 把生活引入课堂，创设情境和拟合数据注重真实性学生缺少生活常识，是因为学生把课堂和生活知识割裂了，在生活中缺少思考和观察，因此，作为教师，在物理课堂中应注重“从生活中来，到生活中去”的课程理念，结合生活实例融入相关物理知识对学生进行考核，这样既可以拓宽学科视野，也能增强健康情感的培育，这样既能有效地考查学生知识、能力和素养，也能使学生通过解答过程体验到知识的应用价值，同时还能引导学生关心生活、关注社会，提升政治素质和道德品质.4.2 进行针对性的读取信息训练要完成考查应用性要求的题目，要求学生经过高中三年的学习，可以阅读和理解物理学科的各种文本和基本符号，能够根据图表或者题干知识客观全面地获取相关信息，从生活实践情境中提取相关信息，利用物理规律和知识进行解题;能透过题目描述的基本现象看到隐含的物理意义和物理规律;能够在学习物理知识之后，形成物理知识的结构性理解，形成物理知识网络.如解决本题时能把受力分析、万有引力定律、功能关系、动能定理、牛顿运动定律等知识根据题设要求从自己的知识体系中抽取出来解决问题.所以在做题训练中，应尽量创设一些复杂的情境如数形结合、多物体或者多过程分析等，带领学生进行读题训练，从题目的文字含义、基本物理符号这些基础出发，引导学生进行题目信息的读取和知识整合，培养信息获取能力.4.3 增强模型建构的意识，进行情境变式训练面对考查应用性要求的题目，能否准确抽取信息，建构物理模型是至关重要的，作为教师，在教学中应设计好每个教学环节，少用纯物理情境，或者说在使用纯物理情境后，可以对其变式改造为生活实践情境，以锻炼学生的思维能力.如进行匀变速直线运动教学时，类似例5会常见于学生的训练习题里.例题5 一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和32m，每一个时间间隔为4s.求质点的加速度和初速度.可以将其进行生活实践情境化，如变式成例6.例题6 某蹦床运动员竖直向上跳起后，在向上运动的过程中依次通过O、P、Q三点.已知O、P、Q三点距蹦床的高度分别为5m、7m、8m，并且该蹦床运动员从O至P所用的时间和从P至Q所用的时间相等，重力加速度取g=10m/s2，空气阻力不计，则该蹦床运动员上升到最高点时距蹦床的高度为多少？经过这样的变式改造，新的生活实践情境注意理论联系实际，培养学生进行模型建构、逻辑推理，更具锻炼价值;教师应顺势引导学生注重情境的对比分析，找出相同和不同之处，增强思辨能力;让学生从多角度、多方式观察和思考同一个问题，增强知识迁移能力;相信做好了以上的教学环节，学生能更好地应对考查应用性要求的试題.参考文献：[1]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.[3]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.[4]程力，李勇.基于高考评价体系的物理科考试内容改革实施路径[J].中国考试，2019（12）：38-44.[5]沈玉梅.物理试题情境化对试题难度的影响[J].中学物理教学参考，2013，42（Z1）：41-43.（收稿日期：2021-07-24）。
建立微元模型，巧用动量定理解决四类问题
I= = ，受到的合外力 F=F安 =BIL，即 -
=ma，导
体棒做加速度减小的减速运动，v-t 图像如图 2 所示，最 终导体棒静止。
（1）整个过程中导体棒的位移：v-t 图像与横坐标所围 成的面积表示位移 Δx=vΔt，取非常小的时间段 Δt 为一个 微元过程，vi 表示 Δt 时间间隔内的平均速度，根据牛顿第
（本文系“甘肃省教育科学‘十三五’规划 2020 年度一 般课题”，课题名称：基于数学核心素养的中学数学建模单 元化教学的实践研究。课题立项号：GS〔2020〕GHB3056。）
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位移、电荷量及能量等问题。由于安培力与速度相互关联、 相互影响，因此电磁感应中的非匀变速运动问题用常规动 力学方法往往难以解决。灵活运用微元思想，将运动过程随 时间变化分割成“微元段”，可以帮助我们深刻理解物理过 程，运用数学方法进而使问题得解。
喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为 v，对于 Δt 时间 内喷出的水，由机械能守恒得 (Δm)v2+(Δm)gh= (Δm) v02。在 h 高度处，Δt 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方 向的动量变化量的大小为 ΔP=Δmv，设水对玩具的作用力 的大小为 F，根据动量定理有 FΔt =Δρ，由于玩具在空中悬
二定律有 -
ห้องสมุดไป่ตู้
=m ，变形得到整个过程中动量定理表
达式 -
viΔt= mΔv，即 -
Δx= m(v0)，对
整个过程累加后得 x=mv0，所以整个过程中导体棒的位
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微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析
江苏省常州高级中学 丁岳林
物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。
其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。
例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，
在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠
在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开
始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培
力。
（2003年江苏省高考物理试题）
解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或t
B S
∆∆=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离22
1at x =
此时杆的速度at v =。
这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此，
32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R = 回路中的感应电流R
i ε
=
作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 0
2
223=，代入数据为31044.1-⨯=F N
本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工
具。
)33(2
])[(23233t t t t kla t t t kla t ∆+∆+=-∆+=∆∆Φ=
ε 当0→∆t 时，瞬时电动势为22
3t kla =ε 高考命题组提供的标准答案是直接写出公式Sk Blv +=ε，其实该公式是这样来的，
由BS =Φ，因B 、S 均随时间变化，故dt
dB S dt dS B dt d +=Φ=ε， 其中，Blv Blat dt
at l d B dt dS B ==⋅=)21(2 为导体切割磁感应线产生的电动势分量，Sk dt dB S =为假设回路的面积一定由于B 的变化而产生的电动势分量。
从考生答卷情况来看，考生的实际水平与命题者的要求差距实在是太远了。
反过来说，我们中学阶段法拉第电磁感应定律这一知识点的教学必须适度渗透微分（导数）的数学思想方法。
例2．为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A ＝0.04m 2的金属板，间距L ＝0.05m ，当连接到U ＝2500V 的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个，假设这些颗粒都处于静止状态，
每个颗粒带电量为q ＝+1.0×10－17C ，质量为m ＝2.0×10－15kg ，不考虑烟尘颗粒之间的相互
作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力。
求合上电键后,除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？ （2003年上海市高考物理试题）
解析：电场力对距下（负）极板远近不同的颗粒做功并不相同，解决的基本办法是求出电场力对所有颗粒做的功再求和，由于涉及的是颗粒
数量非常大的均匀介质，这一求和工作可借助于积分来
完成。
在距离下极板为y 远处取平行于极板厚度为dy 的
介质薄层，此微元的体积为Ady dV =……①
微元带电量nqdV dQ =……② （n =10131/m 3
） 这一微元从该处运动至下极板处，电场力做功EydQ dW =……③，其中，L
U E =
……④ 两板间全部尘埃从初位置运动至下极板电场力做的总功为 ⎰=dW W ……⑤ 将①②③④代入⑤得⎰=L ydy L nqAU W 0
解得：2
nqAUL W =，代入已知数据得，4105.2-⨯=W J 高考命题组提供的标准答案是采用的等效法，即将两板间的全部尘埃等效成位于两极板正中间的一个点电荷（类似于重力场中的重心），其总电量为q nAL Q ⋅=，该电荷Q 从两板中点移到下极板，位移为2
L ，电场力做功为：2L QE W ⋅= 事实上，等效法的解是上述积分解的必然结果。
如果本题中两板间的尘埃分布不均匀，例如ky n =，这时等效法就无能为力了，而积分法却照样可行。
从以上两道高考题的分析可以看出，虽然求解过程中所用的数学知识并不限于微积分，但很显然，若考生具备较好的微积分基础这一数学工具，则此类题的求解将会变得非常轻松。
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，以物理题为载体渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题，所以我们的教学必须进一步强化学生数理结合能力的培养。