函数图象的变换在分式函数中的应用

函数图象的变换在分式函数中的应用

在函数的学习过程中，我们经常会遇到形如(00)cx d

y a ad bc ax b

+=

≠-≠+，的函数，下面我们从函数图象变换的角度出发，研究这类函数的性质：

对cx d y ax b +=+分离常数，可得2bc ad bc

d cx d c c a a y b ax b a ax b a x a

--

+==+=++++，由于2ad bc a -是常数，所以我们可以把函数cx d y ax b +=+的图象看做由反比例函数2ad bc

a y x

-=的图象经过

横、纵坐标的平移变换得到。由于图象的平移变换不改变图象的形状，所以函数cx d

y ax b

+=

+的图象与反比例函数2ad bc

a y x

-=的图象一样，也是双曲线，只不过双曲线的对称中心由原来反比例函数的坐标原点平移到了（b c

a a

-，），渐近线方程由原来的x 轴、y 轴变成了现在

的b x a =-与c

y a

=。

我们知道，反比例函数的单调性由反比例系数的正负决定，由于图象的平移变换不改变

函数的单调性，只改变函数的单调区间，又因为2

0a >，反比例系数

2

ad bc

a

-的正负完全由ad bc -的正负决定，所以当（1）0ad bc ->时，函数cx d y ax b +=

+在（,b

a

-∞-）上为减函数，（,b a -+∞）上为减函数；（2）0ad bc -<时，函数cx d y ax b +=+在（,b

a -∞-）上为

增函数，（,b

a

-+∞）上为增函数。

由图象我们还可以看出，函数cx d y ax b +=+的定义域为()()b b

a a

-∞--+∞，，，值域为

()()c c a a

-∞+∞，，。

综上我们可以得出，形如(0,0)cx d

y a ad bc ax b

+=≠-≠+的函数：

1.图象为双曲线：（1）双曲线的对称中心为（,b c a a -）；（2）渐近线方程为b x a

c y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

2.定义域与值域：定义域为()()b

b a a -∞--+∞，

，，值域为()()c c a a

-∞+∞，，。

3.单调性：（1）0ad bc ->时，在（,b a -∞-）上为减函数，（,b a

-+∞）上为减函数； （2）0ad bc -<时，在（,b a -∞-）上为增函数，（,b

a

-+∞）上为增函数

例1.函数x

x

x f -+=43)(的值域为__________。

解析：由上面性质直接得出，函数值域为(1)(1)-∞--+∞，，。

例2.函数2()21

x

f x x -=

-的单调区间为__________ 解析：由于22(1)(1)30⋅--⋅-=>，所以函数()f x 在1()2

-∞，上减，1()2

+∞，上减。 例3.函数2

5

---=

a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________

解析：由上面性质可知，函数如果递增，1(5)(2)10a ⋅----⋅<，所以3a <，而且函数是在(2)a -∞+，上增，(2)a ++∞，上增，所以21a +≤-，3a ≤-，综上，a 的取值范围为(3]-∞-，。

例4.函数1

2+-=

x x

y 的图像关于__________对称 解析：由上面性质直接得出，函数图象关于点(11)--，对称。