函数图象的变换在分式函数中的应用
五个重要的初等函数的图像和性质
五个重要的初等函数的图像和性质：一、羊角线：y=|x-a|（1）图像性质：单调性，对称性，（2）应用：①方程|x-2|=2a-1有两个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|=(1/2)x+a 有两个不等实根，求a 的取值范围；③若y=|x-2a+1|是偶函数，求a 的取值范围；二、槽形线：y=|x-a|+|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1有2个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|+|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|+|x-3a+1|是偶函数，求a 的值；④若|x-2|+|x-3|> 3，求a 的取值范围.三、Z 形线：y=|x-a|-|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1仅有一个实根，求a 的取值范围；②若|x-2|-|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|-|x-3a+1|是奇函数，求a 的值；④若|x+2|-|x-3|> 3，求a 的取值范围.引申：无解问题，有解问题 四、最简分式函数：bc)ad 0,(c dcx b ax y ≠≠++= （1）图像：定义域、值域、单调性、对称性、对称中心原式化为：dcx c a d cx b d cx y c ad bc c ad ca ++=++-+=-)(，移项整理则有：)(c d cad bc c ad bc x d cx c a y --=+=---故有： ⅰ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠⎪⎩⎪⎨⎧=-=-≠≠++=;)2(),,()1(),0(的一切实数值域为渐近线为双曲线中心为c a y c a y c d x c a c d bc ad c d cx b ax y ； ⅱ当02>-cad bc 即ad bc >时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，再经过横向的伸缩变换（102<-<c ad bc 时横向伸长，21cad bc -<时横向缩短）而得； ⅲ当20cad bc -<即ad bc <时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，然后做关于X 轴的对称变换，再经过横向的伸缩变换而得（1||02<-<c ad bc 时横向伸长，||12cad bc -<时横向缩短）而得。
2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{14}P x x =∈<N ∣，集合{}260Q x x x =--∣，则P Q =（ ） A ．(1,3] B ．{2，3} C ．{1，2，3} D ．(1,4]【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合Q ，再用列举法表示集合P ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由260x x --，即()()320x x -+，解得23x -≤≤，所以{}{}223|60|Q x x x x x =---≤=≤，又{}{14}2,3,4P x x =∈<=N ∣，所以2,3P Q，故选：B2．已知α为第三象限角，且5cos 13α=-，则tan α的值为（ ） A ．1213-B ．125C ．125-D ．1213【答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系可得sin α，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】∵α为第三象限角，且5cos 13α=-，∴12sin 13α==-， 故12sin 1213tan 5cos 513ααα-===-. 故选：B. 3．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为11x<，所以10x x -<，(1)0x x ∴-<，(1)0x x ∴->，0x ∴<或1x >，当1x >时，0x <或1x >一定成立，所以“1x >”是“11x<”的充分条件；当0x <或1x >时，1x >不一定成立，所以“1x >”是“11x<”的不必要条件． 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件． 故选：A4．已知函数()y f x =对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()20.8a f =，()()0.82log 0.8,2b f c f ==，则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．a c b <<【答案】A【分析】由题意可得()f x 是增函数，再根据20.82log 0.80.82<<，即可求出答案.【详解】由对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可得()f x 是增函数， 再由20.820.8(0,1),log 0.80,21∈<>，所以20.82log 0.80.82<<，所以b a c <<. 故选：A.5．若{}210,,a a ∈，则a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】本题首先可根据{}210,,a a ∈得出1a =或21a =，然后对1a =、21a =进行分类讨论，即可得出结果.【详解】因为{}210,,a a ∈，所以1a =或21a =，若1a =，则21a a ，不满足元素的互异性，排除；若21a =，则1a =-或1（舍去），1a =-，此时集合为{}0,1,1-， 故选：A.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数，集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性，考查计算能力，是简单题.6．已知函数()log 11a y x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点()00,A x y ，且满足001mx ny +=，其中m ，n 是正实数，则21m n+的最小值（ ） A ．4 B．C ．9D【答案】C【分析】由对数函数解析式易知(2,1)A ，则有21m n +=，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.【详解】由log (1)1a y x =-+过定点(2,1)， ∴21m n +=， ∴22(21(521)2)m n m n m n m n n m +=++=++59≥+=，当且仅当22m n n m =，即13m n ==时取等号． 故选：C ．7．下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（ ） A ．21xy x =+B ．21x xy x +=+C ．y x =D ．1y x x=-【答案】C【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A ：函数定义域为R ，且22()()1()1x xf x f x x x --==-=-+-+，故为奇函数，当0x >时1()1f x x x=+，而1y x x =+在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 故()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合； B ：函数定义域为{|1}x x ≠-，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合； C ：函数定义域为R ，且()()f x x f x -=-=-，故为奇函数，函数单调递增，符合； D ：函数定义域为{|0}x x ≠，且11()()()f x x x f x x x-=--=--=--，故为奇函数，函数分别在(,0)-∞、(0,)+∞上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C8．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 2【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图是一个半圆，求得l 与r 之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，22l r l r ππ∴=⇒=， 圆锥的表面积为27π，22327r rl r ππππ∴+==， 3r ∴=， 故圆锥的底面半径为3cm ， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.9．已知函数()10,0{?,0x x f x lgx x -≤=>，函数()()()()24g x f x f x m m R =-+∈,若函数()g x 有四个零点，则实数m 的取值范围是 A ．[)lg5,4 B ．[)34， C ．[){}34lg5⋃， D ．(],4-∞【答案】B【详解】画出函数()10,0,0x x f x lgx x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图所示．设()t f x =，由()()()240g x f x f x m =-+=，得240t t m -+=，由题意得方程240t t m -+=在[1,)+∞上有两个不同的实数解，所以216401410m m ∆=->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得34m ≤<．点睛：已知方程解的个数（或函数零点的个数）求参数的取值范围时，可通过分离参数的方法将问题转化为求函数的值域问题处理；也可构造两个函数，在同一坐标系内画出两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解．二、多选题10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x =()g x =B ．()f x x =与()g x =C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+【答案】BCD【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.【详解】解：对于A 选项，函数()f x =(][),11,-∞-⋃+∞，()g x =定义域为[)1,+∞，故错误；对于B 选项，()f x x =与()g x =R ，且()g x x =，满足，故正确； 对于C 选项，函数()xf x x =与()1,01,0xg x x >⎧=⎨-<⎩的定义域均为{}0x x ≠，且()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，满足，故正确；对于D 选项，()21f x x x =-+与()21g t t t =-+的定义域与对应关系均相同，故正确.故选：BCD11．已知函数)123f x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，然后逐一判断即可.故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD12．已知函数1|ln(2),2()12,22x x x f x x -⎧-⎪=⎨+≤⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间是[1,2][3,)+∞B ．若函数()()g x f x m =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是35,22⎧⎫⎛⎫+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭C ．若函数()()g x f x m =-有四个零点123,,x x x ，4x ，则3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦D ．若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A ，数形结合将问题转化为()f x 的图象与直线y m =有三个交点即可判断选项B ，根据题意，作出图象，确定有四个交点时122x x +=，43122x x =+-，利用双勾函数性质求出34x x +的取值范围，即可求解选项C ，根据一元二次方程的根结合()f x 的图象，数形结合可判断选项D. 【详解】利用函数图象变换，作图如下：由图可知，函数()f x 的单调递增区间是[1,2],[3,)+∞，故A 错误； 函数()()g x f x m =-恰有三个零点，即()f x 的图象与直线y m =有三个交点，所以3m =或5m >，故B 正确；函数()()g x f x m =-有四个零点，则3522m <≤， 不妨设123x x x <<<4x ， 令3|ln(2)|2x -=，解得32e 2x -=+或32e 2+， 令5|ln(2)|2x -=，解得52e 2x -=+或52e 2+， 所以由图可知， 53352222123401,12,e2e2,e 2e 2x x x x --≤<<≤+≤<++<≤+，则有12|1||1|112222x x --+=+，即1211112222x x -+-+=+， 所以1211x x -+=-，所以122x x +=，34|ln(2)||ln(2)|x x -=-，即34ln(2)ln(2)x x --=-， 则43122x x =+-，所以3433331122422x x x x x x +=++=-++--， 设532232e ,e t x --⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则对钩函数1()4f t t t =++在5322e ,e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以555333222222max ()(e )e e4,()(e )e e4f t f f t f ----==++>=++，所以335522224()4,f e e t e e --⎛⎤++++ ⎝∈⎥⎦，即33552242234,4x e e x e e --⎥+⎛⎤+++∈+ ⎝⎦又因为122x x +=，所以3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦，故C 正确；令2[()]2()0f x af x -=，解得()0f x =或()2f x a =， 由()0f x =解得3x =，所以()2f x a =有三个不同的解，由B 选项分析过程可知322a =，或522a >，解得34a =，或54a >，所以实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，故D 正确；故选:BCD.有三个交点，选项C 中，根据()f x 的图象与直线y m =有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定122x x +=和43122x x =+-，利用换元思想将34x x +变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.三、填空题13．已知函数()()2f x g x =()()⋅f x g x __________.【答案】()()(()2,f x g x x x =∈-+∞【分析】相乘后得到新函数，定义域需要也需要求解.【详解】()()2f x gx x ⋅=10x x +>⎧⎪⎨⎪⎩，所以(()2,x ∈-+∞.【点睛】利用已有的函数求解新的函数解析式时，一定要注意函数的定义域，若定义域非实数集一定要记得将定义域写在末尾.14．已知函数2()x f x e ax =-，对任意12,(,0)x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】(,]2e-∞【分析】确定函数为偶函数，再判断函数的单调性得到2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】|()|2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=--=-=，即()f x 为偶函数， 又对120,0x x <<且12x x ≠，都有2121()(()())0x x f x f x --<， 知()f x 在(,0)-∞上单调递减，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则当0x >时，()20x f x e ax '=-≥，即2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立， 令()x e g x x =，0x >，则2(1)()x e x g x x '-=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)1e g e ==， ∴2a e ≤，即2e a ≤．故答案为：(,]2e-∞．15．已知集合sin 2,,123A y y x x ππ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}cos ,0B y y x x π==<<，则A B =_______．【答案】112⎛⎫⎪⎝⎭， 【分析】分别求两个集合，再求交集.【详解】,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,12y x ⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦，()0,x π∈ ()cos 1,1y x ∴=∈-，所以1,12A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，()1,1B =-，所以1,12A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭16．函数()2()lg 2f x x x =+-定义域是___________．【答案】(1,]2π-【解析】利用余弦函数的性质、结合对数的定义进行求解即可.【详解】由题意可知：2cos 022()12220212x k x k k Z x x x x πππππ⎧≥-≤≤+∈⎧⎪⇒⇒-<≤⎨⎨+->⎩⎪-<<⎩. 故答案为：(1,]2π-四、解答题17．计算：（1）112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3332log 2log32log 8-+；（3） （4）2345log 3log 4log 5log 2⨯⨯⨯． 【答案】（1）1；（2）0；（3）18；（4）1.【解析】利用指数与对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】（1）11224162522514-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.（2）3333333342log 2log 32log 8log log 32log 8log 8log 10324⎛⎫-+=+=⨯== ⎪⎝⎭-.（3）111362233 1.512⨯⨯⨯⨯111136623233342⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭22318=⨯=.（4）234513141512log 3log 4log 5log 2112131415g g g g g g g g ⨯⨯⨯=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质、换底公式，掌握运算性质是解题的关键，属于基础题. 18．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）cos 2y x =+； （2）4sin y x =； （3）1cos32y x =；（4）π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析. 【分析】（1）根据五点法列表描点作图即可； （2）根据五点法列表描点作图即可； （3）根据五点法列表描点作图即可； （4）根据五点法列表描点作图即可； 【详解】解：（1）列表描点，并用光滑的曲线连接即可cos 2y x =+在[]0,2π上的图象，（2）列表 x2π π32π2πsin y x =0 10 1-0 4sin y x =4 04-描点，并用光滑的曲线连接即可得4sin y x =在[]0,2π上的图象，（3）列表3x2π π32π2πx6π3π 2π23π1cos32y x =1212-12描点，并用光滑的曲线连接即可得1cos32y x =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，（4）列表π26x -2π π32π2πx12π3π712π56π1312ππ3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 033-描点，并用光滑的曲线连接即可得π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在13,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，19．已知函数()243f x ax x =++．(1)若关于x 的不等式2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求,a b 的值． (2)求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集． 【答案】(1)7a =-；37b =-(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式解的特点可得1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，由此可代入1x =求得7a =-，再将7a =-代入不等式求得37b =-；（2）由题意得()()410ax x ++>，对0a =，a<0，04a <<，4a =与4a >五种情况分类讨论即可得到结果.【详解】（1）因为2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<， 所以1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，且a<0， 将1x =代入2430ax x ++=，得430a ++=，则7a =-，所以不等式2430ax x ++>为27430x x -++>，转化为()()1730x x -+<， 所以原不等式解集为317xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以37b =-.（2）因为()243f x ax x =++，所以由()1f x ax >--得2431ax x ax ++>--，整理得()2440ax a x +++>，即()()410ax x ++>，当0a =时，不等式为440x +>，故不等式的解集为{}1x x >-； 当0a ≠时，令()()410ax x ++=，解得4x a=-或=1x -， 当a<0时，()4410a a a ----=>，即41a ->-，故不等式的解集为41x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； 当04a <<时，41a -<-，故不等式的解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当4a =时，41a-=-，不等式为()210x +>，故其解集为{}1x x ≠-； 当4a >时，41a->-，故不等式的解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭；综上：①当a<0时，原不等式解集为41xx a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； ②当0a =时，原不等式解集为{}1x x >-；③当04a <<时，原不等式解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；④当4a =时，原不等式解集为{}1x x ≠-； ⑤当4a >时，原不等式解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭.20．在①()()()b a b a c b c +-=-；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积．问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =，_________？【答案】条件选择见解析，【分析】选①：结合正弦求出边c ，利用余弦定理求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果； 选②：合正弦求出边c ，利用平面向量数量积的定义求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；选③：合正弦求出边c ，利用二倍角公式以及降幂公式得到关于角A 的方程，进而解方程求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；【详解】解：因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==， 选①：因为()()()b a b a c b c +-=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选②：若4AB AC ⋅=，故||||cos 4AB AC A ⋅⋅=， 则1cos 2A =，∵(0,)A π∈，故3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=， 故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去）， ∵(0,)A π∈，故3A π=．所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=21．若{},0,1A a =-，1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，且A B =，()2f x ax bx c =++. （1）求()f x 解析式；（2）若[]1,2x ∈-时，求()f x 的值域；（3）若[]1,x m ∈时，()[]1,f x m ∈，求实数m 的值.【答案】(1)()222f x x x =-+；(2)[] 1,5；(3)2. 【分析】（1）由集合相等，可求得,,a b c ，从而求得函数解析式； （2）简单二次函数的值域求解，配方即可；（3）由对称轴知，二次函数在该区间上单调递增，则该二次函数过点()1,1和(),m m ，解方即可. 【详解】（1）由A B =，可得：1a =，1b a +=-，0b c +=，解得：1,2,2a b c ==-=，故：()222f x x x =-+.（2）()222f x x x =-+=()211x -+故：当1x =时，取得最小值1； 当1x =-时，取得最大值5.故该函数的值域为[]1,5.（3）由解析式可得，对称轴为：1x =， 故该二次函数在[]1,m 上单调递增，故： ()()11f f m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =，又1m >， 故2m =.【点睛】本题考查集合的相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质，属基础题.22．某工厂第一季度某产品月生产量分别为100件､120件､130件.为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：件）与月份x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+（其中a ，b ，c 为常数）.已知4月份的产量为136件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？【答案】135件比130件更接近于4月份的产量136件，选用指数型函数，()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.【分析】利用待定系数法得到函数的表达式，即可作出判断.【详解】解：选二次函数作为模拟函数时，设2()(0)f x px qx r p =++≠，由已知1004212093130p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得53570p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故2()53570f x x x =-++，2(4)5435470130f =-⨯+⨯+=件；选指数型函数()(0)x g x ab c a =+≠作为模拟函数时，由已知23100120130ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得800.5140a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()800.5140x g x =-⨯+，4(4)800.5140135g =-⨯+=件，经比较可知，135件比130件更接近于4月份的产量136件，故选用指数型函数 ()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
一次分式函数
归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结一、基本概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在高中数学课程中，函数是一个重要的内容，学生需要掌握函数的基本概念以及相关的解题技巧。
1.1函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
数学上通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用一个公式、一个图象、一个表格或者一段描述来表示。
1.2函数的分类函数可以根据其性质进行分类，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每种函数都有其特定的表达式和性质。
1.3函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
学生需要了解这些性质，以便在解题中灵活运用。
二、题型及解题技巧在高一数学中，关于函数的题型多种多样，接下来我们将针对常见的函数题型及解题技巧进行总结。
2.1函数的图象和性质这种题型要求学生根据函数的表达式画出函数的图象，并分析其性质。
解题时，学生需要掌握函数的图象特征，如开口方向、交点、极值点等，可以通过计算一阶导数和二阶导数来判断函数的单调性和凹凸性。
2.2函数的定义域和值域在这类题型中，学生需要根据函数的表达式确定其定义域和值域。
解题时，可以通过分析函数的分式和根式部分来确定函数的定义域和值域，需要注意的是，对于分式函数，分母不能为0。
2.3函数的性质和变化这类题型要求学生根据函数的表达式和图象，分析其性质和变化规律。
解题时，学生可以通过变换函数的参数来研究函数的性质和图象的变化。
2.4函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如匀速运动、生长模型、利润最大化等。
在解决这类问题时，学生需要将实际问题转化为数学模型，并根据函数的性质来解决问题。
2.5函数的求值与方程这类题型包括函数值的计算和方程的解法。
解题时，学生需要根据函数的表达式和条件，求出函数的值或解出方程。
在解决方程时，可以通过化简、配方、倒代入等方法来得到解。
高一数学必修一知识点总结
高一数学必修一知识点总结高一数学必修一知识点总结高一数学必修一的学习，需要大家对知识点进行总结，这样大家最大效率地提高自己的学习成绩，今天公文小编收集整理了高一数学必修一知识点总结，欢迎阅读!高一数学必修一知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。
函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。
所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。
一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。
选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。
在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。
多考查函数的单调性、最值和图象等。
误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
高一数学必修一知识点总结篇2一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性,(2)元素的互异性,(3)元素的无序性,3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-
第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
基本初等函数的图像与性质
力。以函数的图像为载体，重点考查函数
的性质等有关知识。数形结合是重要的数
学思想，并且是高考考查的重点。
知识梳理一
一、中学基本初等函数
1.一元一次函数
3.指数函数
2.一元二次函数
4.对数函数
5．幂函数
7．绝对值函数
6.三角函数
8．分式函数
9．根式函数
10.三次函数
② 画图：把题目中涉及的基本条件在图像中反映 出来，特别是一些特殊点、特殊线以及图像的 变化规律等。
③ 求解：根据题目所要求的结论结合图像特点直 观判断、分析并求解，即数形结合综合求解。
数形结合思想
• 1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略, 它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”. “以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐 明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数” 为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质，应用数轴直观表达不等式组的解 集. “以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以 “形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲 线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.
2 2 4 x x 0, x 4 x 0, x 0, 解析 方法一 x 0, x2 4x x2 2 x 2 4 x
0 x 4, x 0, 2 x 4. x 2或x 0,
典型例题2（图像法）
以上10种基本初等函数的图像要会画。
知识梳理二
二、基本初等函数的图像的变换 1．平移变换：水平平移和竖直平移
2．对称变换：关于x轴、y轴和原点对称
3．翻折变换： y | f ( x) | 与 y f ( x ) 图像画法 4．伸缩变换：主要指的是三角函数中的周期变换和 振幅变换
2023届上海市华东师大一附中高一上数学期末联考模拟试题含解析
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
f (x) cos 4x 1 cos2 x sin2 x
19．已知函数
2
cos
2
2x
．
（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间
3 8
,
11 8
的图象（只作图不写过程）．
20．已知函数 f (x) = ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设 g x f x 6x 10
5
D.幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则 f 3 9
2．命题"x (0, ), x 1 x
A. x (0, ), x 1 3 x
C. x (0, ), x 1 3 x
3 的否定是（
）
B. x (0, ), x 1 3 x
D. x (0, ), x 1 3 x
.3．
f
x
sin
2x
6
向左平移
6
个单位，再向上平移
1
个单位后与
g x 的图象重合，则 (
)
A. g x 为奇函数
B. g x 的最大值为 1
C.
g
x
的一个对称中心为
3
,1
D. g x 的一条对称轴为 x
高中数学人教A版必修1《函数的图象变换》PPT
例：作出下列函数的图象． (1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2xx－－11.
分析：作函数图象的方法有：列表描点法（列表， 描点，连线）和图象变换法(平移变换、对称变换、 翻折变换）
解析：(1)作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图象中 x≥0 部分，加上 y＝12x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，
答案：A
课堂总结：
本节课从特殊到一般的思路学习函数图 象的三种变换（平移变换、对称变换、翻 折变换）及其应用。利用图象变换解题， 关键是理清图象变换的过程，掌握好基本 初等函数的图象及变换的实质（要通过具 体的实例作为载体来理解掌握三种变换）。 在后续的学习中我们将进一步学习它的应 用。
谢谢！！！
翻折到y轴左侧，便得到g(x) x2 2 | x | f (| x |)的图象，
（2）画函数h(x) | x2 2x |的图象，并说由函数
f (x) x2 2x的图象怎样变换而得到？
解析：h(
x)
x2
x
2
2x (x 2x (0
0或x x
2) 2)
保留f (x) x2 2x图象在x轴上方部分，把位于x轴下
5
f (x) x2
4
3
2
h(x) x2 - 2
1
又h(x) f (x) 2
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
g (x) x2 2的图象是由f (x) x2的图象向上平移2个单位得到， h(x) x2 - 2的图象是由f (x) x2的图象向下平移2个单位得到。
平移变换—竖直平移
A．向右平行移动 2 个单位长度 B．向右平行移动 1 个单位长度 C．向左平行移动 2 个单位长度 D．向左平行移动 1 个单位长度
一些常用函数的曲线图及应用简说
一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
专题01 三角函数的图象与综合应用(精讲精练)(原卷版)
专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：ω的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．125．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________． 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换； （3）伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω（倍）（纵坐标y 不变）；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A （倍）（横坐标x 不变）． （4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ； cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ，单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ；tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =，sin ||y x =， |cos |y x =，cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 （1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z ；若为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k ϕ=π∈Z ；若为奇函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z ． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：αααα++sin cos sin cos a b c d （一次显型齐次化）或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c （二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以αcos （一次显型）或者α2cos （二次隐型），构造成αtan 的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．25B ．25-C ．65D ．65-例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．310-D ．310例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） AB．C ．12D ．1例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若ππ2θ<<，tan 3θ=-，=（ ） A ．35 B ．54-C ．45-D ．45核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ） ABC ．47D ．17例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．D．[0,3+例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x=的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎣ D．0,3⎡⎣例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值是（ ） A ．23πB ．4πC ．3πD ．6π例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b -+-最小值是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y -+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sin x ，cos x 与cos2x 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系，第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 例13．（2022·全国·高考真题（文））函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为___________.例16．（2022·全国·高三专题练习）若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A．12+B．12-+C ．1 D核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ，如图，=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留，x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到，故=sin y x 是最小正周期为π的函数，同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数；=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下，左边的删除，再将y 轴右边图像作对称至左边，故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示：ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，，sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ，⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f xC ．()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18．（2022·全国·高三专题练习）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①④例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()f x 的值域为[D ．函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f xC ．()f x 在[5,7]ππ上单调递减D ．()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1； ②()f x 的最小正周期是2π；③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴；④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()2,π上递增； ③()f x 在[]π,π-上有4个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五：ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____.例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______． 例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（ ）A ．18B ．12C ．76D ．32核心考点六：三角函数的综合性质 【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π； ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是（ ） A ．ϕ的值可唯一确定B ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C ．当52()6x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值 D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（ ） A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '．若()1y f x =+是奇函数，()()cos g x x π'=，()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0-对称B ．()f x '的图象关于直线1x =对称C ．()g x 的图象关于直线12x =对称D ．()1mi i i x y m =+=∑例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=，且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =，2，⋯，)n ，则14πn i i x ==∑ D ．若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为2πB ．函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C ．函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D ．将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知()44cossin 22x xf x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．5π12B ．5π6 C ．π2D ．π2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），其图象相邻两条对称轴的距离为π2，且对任意x ∈R ，都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则在下列区间中，()f x 为单调递减函数的是（ ） A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·江苏南通·高三期中）已知112tan sin =-αα，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．17-C ．19D ．436．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ） ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭， A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题，正确的有（ ）个（1）它的最小正周期是π2（2）π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 （3）π6x =是它的一条对称轴 （4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，给出下列命题①()f x 是偶函数；②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ω是奇数；④ω的最大值为3；其中正确的命题有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B ．()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D ．曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．直线7π6x =是()fx 的对称轴B ．点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C ．()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设()()sin f x x ωϕ=+（其中ω为正整数，π2<ϕ），且()f x 的一条对称轴为π12x =-；若当0ϕ=时，函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω=B ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D ．将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2，且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A ．该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；B ．函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位，得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于原点对称，则b 的最小值为π3.14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称；②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π； ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若1sin cos 2θθ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______．16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数()sin ||f x x x =，若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是_________． 四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<，且_____．从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1[0,]2x π∈，存在2[0,]2x π∈，()()21m g x f x =-成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()32g x f x =-在区间（0，π）上恰有2个零点()1212,x x x x <，求()12cos x x -的值．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图象，再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象，求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式；(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
函数专题1、函数的根本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域〔特别是抽象函数的定义域问题〕3、如何求一个函数的解析式。
〔常见方法有哪些〕4、如何求函数的值域。
〔常见题型对应的常见方法〕5、函数单调性的判断，证明和应用〔单调性的应用中参数问题〕6、函数的对称性〔包括奇偶性〕、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法那么f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ；〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=1212++n n x ，g 〔x 〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2；〔5〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1.二、函数的定义域〔请牢记：但凡说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围〕 1、求以下函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax 〔ａ为常数〕2、〔1〕f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； 〔2〕f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、假设函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
人教A版数学(文)复习课件：2.7函数的图象
【互动探究】若本例题(1)中，函数y=f(2x+1)是“偶函数”改
为“奇函数”，则函数y=f(2x)的图象关于下列哪个点成中心
对称( )
(A)(1，0)
(C)( 1 ，0)
2
(B)(-1，0) (D)( 1 ，0)
2
【解析】选C.∵y=f(2x+1)是奇函数，
∴f(2x+1)的图象关于原点(0，0)对称. 又f(2x)的图象可由f(2x+1)的图象向右平移 1 个单位得到，
_______.
【解析】∵y=f(x)的对称轴为x=0， 又y=f(x) 左 移y=f(x+1)，
一个单位
∴y=f(x+1)的一条对称轴为x=-1. 答案：x=-1
4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是 _______. 【解析】在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象， 如图所示：
【拓展提升】1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调 性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究， 但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根， 方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方 程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 3.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等 式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结 合求解.
【思路点拨】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据 解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求 解(2)(3)(4)(5)四个小题.
2022-2023学年安徽省示范高中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年安徽省示范高中高一（上）期末数学试卷1. 下列函数中与y =x 是同一个函数的是( ) A. y =(√x)2B. v =uC. y =√x 2D. m =n 2n2. 设集合M ={1,3,5,7,9}，N ={x|2x >7}，则M ∩N =( ) A. {7,9}B. {5,7,9}C. {3,5,7,9}D. {1,3,5,7,9}3. 已知函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x)√3x−1的定义域为( ) A. (13,4)B. (13,2)C. (13,6)D. (13,1)4. 函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是( )A. 54，√3，13，12 B. √3，54，13，12 C. 12，13，√3，54D. 13，12，54，√35. 将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有( ) (1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； (3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； (4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； (5)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)={a+a x,x≥03+(a−1)x,x<0(a>0且a≠1)，则“a≥3”是“f(x)在R上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设a=log53，b=log85，c=log138，则( )A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b8. 设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是( )A. [83,16 3)B. [4,163)C. [4,203)D. [83,20 3)9. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax−1)(x+1)<0的解集可能是( )A. {x|−1<x<1a}B. {x|x≠−1}C. {x|1a<x<−1}D. R10. 已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是( )A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B=⌀，则a≤−6或a≥6D. 若B⫋A时，则−6<a≤−3或a≥611. 已知函数f(x)=sin4x+cos2x，则下列说法正确的是( )A. 最小正周期是π2B. f(x)是偶函数C. x=π8是f(x)的一条对称轴D. f(x)在(−π4,0)上递增12. 已知x>0，y>0且3x+2y=10，则下列结论正确的是( )A. xy的最大值为625B. √3x+√2y的最大值为2√5C. 3x +2y的最小值为52D. x2+y2的最大值为1001313. 若x>−1，则x+3x+1的最小值是__________.14. 已知sinα=2cosα，则sin2α+2sinαcosα=______.15. 已知函数y=lg(√x2−x+1+ax)的定义域是R，则实数a的取值范围是______.16. 若x，y∈R+，(x−y)2=(xy)3，则1x +1y的最小值为______.17. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x.(1)求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；(2)当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)首先将函数f(x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]内的值域．19. 在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC 段可近似地用函数y =asin(ωx +φ)+20(a >0,ω>0,0<φ<π)的图象从最高点A 到最低点C 的一段来描述(如图)，并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线l ：x =34对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12).(1)请你帮老张确定a 、ω、φ的值，写出ABC 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围； (2)请你帮老张确定虚线DEF 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；(3)如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？20. 已知_____，且函数g(x)=x+b.2x2+a①函数f(x)=x2+(2−a)x+4在定义域[b−1,b+1]上为偶函数；②函数f(x)=ax+b(a>0)在[1,2]上的值域为[2,4]；在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题．(1)判断g(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)设ℎ(x)=−x−2c，对∀x1∈R，总∃x2∈[−2,2]，使得g(x1)=ℎ(x2)成立，求实数c的取值范围．21. 已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数．(1)当x≥0，函数y=f(x)−x+a存在零点，求实数a的取值范围；(2)设函数ℎ(x)=log3(m⋅3x−2m)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)，g(x)=4x+2x+1m−m+1.2(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若存在两不相等的实数a，b，使f(a)+f(b)=0，且g(a)+g(b)≥0，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A ，y =(√x)2的定义域为[0,+∞),与y =x 的定义域为R 不同，故A 错误； 对于B ，函数v =u ，与函数y =x 为同一函数，故B 正确； 对于C ，y =√x 2=|x|与y =x 的对应关系不同，故C 错误； 对于D ，m =n 2n =n(n ≠0)与y =x 的定义域不同，故D 错误． 故选：B.直接利用同一函数的概念判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为N ={x|2x >7}={x|x >72}，M ={1,3,5,7,9}， 所以M ∩N ={5,7,9}. 故选：B.直接根据交集的运算性质，求出M ∩N 即可． 本题考查了交集及其运算，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，即−3<x <4， ∴x +2∈(−1,6)，即f(x)的定义域为(−1,6).又3x −1>0，∴x >13，取交集可得函数g(x)的定义域为(13,6). 故选：C.由已知求得f(x)的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g(x)的定义域． 本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ， 由√3>54>12>13， 故选：C.只需明确直线x =1与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案． 本题考查指数函数的图象，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12， (1)根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误； (2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； (3)根据(2)得(3)错误；(4)曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； (5)正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S′=π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误． 综上，正确的有2个． 故选：B.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12，根据定义逐一判断即可得出结论． 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：若f(x)在R 上单调递增， 则{a >1a −1>0a +1≥3， 所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出“a ≥3”， 所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A.先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了三个数大小的判断，对数的运算，属于中档题．根据a b，可得a <b ，然后由b =log 85<0.8和c =log 138>0.8，得到c >b ，再确定a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵a b =log 53log 85=log 53⋅log 58<(log 53+log 58)24=(log 5242)2<1，∴a <b ； ∵55<84，∴5<4log 58，∴log 58>1.25，∴b =log 85<0.8； ∵134<85，∴4<5log 138，∴c =log 138>0.8，∴c >b ， 综上，c >b >a. 故选：A.8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题． 令函数f(x)=0得sin(ωx +φ)=12，根据正弦函数y =sinx 的图象与性质，得出函数y =sinx 相邻4个零点满足的条件，求出相邻三个零点和相邻四个零点占区间长度的最小值，由此求得ω的取值范围． 【解答】解：令函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1=0，解得sin(ωx +φ)=12， y =sin(ωx +φ)是由y =sinx 图象变换得到的，且最小正周期为T =2πω， 在[0,2π]内，sin π6=sin5π6=12，所以函数y =sinx 相邻4个零点x 1、x 2、x 3、x 4满足：x2−x1=x4−x3=5π6−π6=2π3，x3−x1=x4−x2=2π，x3−x2=(x3−x1)−(x2−x1)=2π−2π3=4π3，相邻三个零点占区间长度为d1=2π，即区间长度为2π时至少有2个零点，相邻四个零点占区间长度最短为d2=x4−x1=(x4−x3)+(x3−x1)=2π3+2π=8π3，x∈[π4,3π4]时，ωx∈[π4ω,3π4ω]，区间宽度为(3π4−π4)ω=π2ω，d1≤π2ω<d2，即2π≤π2ω<8π3(π2ω=d1至少有2个零点，π2ω=d2至少有4个零点)，解得4≤ω<163，所以ω的取值范围是[4,163).故选：B.9.【答案】AB【解析】解：关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，当a>0时，1a >−1，故不等式的解集为(−1,1a)，当a<0时，②若a=−1，则1a=−1，∴不等式解集为{x|x≠−1}，②若−1<a<0，则1a <−1，∴不等式的解集为(−1,+∞)∪(−∞,1a)，③若a<−1，则1a >−1，∴不等式的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)，故选：AB.先求出关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，再对a进行讨论，解不等式即可．本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．【解答】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，当a=−3时，A=B，故D错误，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B =⌀时，a 2−4(a 2−27)≤0，解得a ≤−6或a ≥6，故C 正确. 故选：ABC.11.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)=sin 4x +cos 2x =sin 4x +1−sin 2x =(sin 2x −12)2+34=(1−cos2x 2−12)2+34=cos 22x 4+34=cos4x+18+34=cos4x+78. 对于A ：函数的最小正周期为T =2π4=π2，故A 正确；对于B ：函数f(−x)=cos(−4x)+78=f(x)，函数为偶函数，故B 正确；对于C ：当x =π8时，f(π8)=78，故函数的对称中心为(π8,78)，故C 错误；对于D ：由于x ∈(−π4,0)，所以4x ∈(−π,0)，函数f(x)在该区间上单调递增，故D 正确； 故选：ABD.直接利用三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查了基本不等式的应用以及二次函数求最值，属于中档题．A 选项，直接运用基本不等式，即可求解；B 选项，平方后再利用基本不不等式，即可求解；C 选项，运用巧用“1”，即可求得结果；D 选项，首先代入消元，再利用二次函数求最值即可． 【解答】解：对于A 选项，∵3x +2y =10， ∴3x +2y ≥2√6xy ，∴√6xy ≤102=5，∴xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时等号成立．选项A 错误； 对于B 选项，∵(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy ≤10+10=20，∴√3x +√2y ≤2√5，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时等号成立．故选项B 正确； 对于C 选项，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y)≥110(13+2√36)=52， 当且仅当6yx =6x y ，即x =y =2时等号成立．故C 选项正确； 对于D 选项，x 2+y 2=(10−2y3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)，当y=2013时，取得最小值为10013，因为y取不到5，所以无最大值；故D选项错误．故选BC.13.【答案】2√3−1【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．利用基本不等式，即可得解．【解答】解：因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√(x+1)⋅3x+1−1=2√3−1，当且仅当x+1=3x+1，即x=√3−1时，等号成立，所以x+3x+1的最小值是2√3−1.故答案为：2√3−1.14.【答案】85【解析】解：∵sinα=2cosα，即tanα=2，∴sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=22+2×222+1=85.故答案为：85.将已知等式左右两边同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后将所求的式子利用同角三角函数基本关系式化简后，把tanα的值代入即可求出值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数基本关系式是解本题的关键，属于基础题．15.【答案】(−√32,1]【解析】解：∵函数y=lg(√x2−x+1+ax)的定义域是R，∴√x2−x+1+ax>0对于任意实数x恒成立，即ax>−√x2−x+1对于任意实数x恒成立，当x=0时，上式化为0>−1，此式对任意实数a都成立；当x >0时，则a >−√x 2−x+1x=−√1x 2−1x +1，∵x >0，∴1x >0，则1x 2−1x +1=(1x −12)2+34≥34， 则−√1x 2−1x +1≤−√32，可得a >−√32； 当x <0时，则a <√x 2−x+1−x =√1x 2−1x +1，∵x <0，∴1x<0，则1x 2−1x+1=(1x−12)2+34>1，则√1x 2−1x +1>1，可得a ≤1. 综上可得，实数a 的取值范围是(−√32,1].故答案为：(−√32,1].问题转化为ax >−√x 2−x +1对于任意实数x 恒成立，然后对x 分类，再由配方法求最值，即可求得实数a 的取值范围．本题考查函数的定义域及其求法，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】2【解析】解：∵x ，y ∈R +，(x −y)2=(xy)3， ∴1x 2−2xy +1y 2=xy ，∴xy +4xy =(1x +1y )2，∴1x +1y =√xy +4xy ≥√2√xy ⋅4xy =2， 当且仅当xy =2时“=”成立， 故答案为：2.求出xy +4xy =(1x +1y )2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是基础题．17.【答案】解：(1)令x ∈(−∞,0)，则−x ∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x 2+2x ； (2)由m >0，|f(m)|=|m 2−2m|=1， 所以m 2−2m =±1，解得m =1或m =1+√2或m =1−√2(舍).【解析】(1)根据偶函数的性质，令x ∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解； (2)m >0，有|m 2−2m|=1，解方程即可得解． 本题考查了偶函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)由图象得A =2，13π12−π3=34T =34⋅2πω⇒ω=2，由2×13π12+φ=π2+2kπ， 可得φ=−5π3+2kπ(k ∈Z)， ∵0≤φ≤π， ∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3).(2)g(x)=2sin[4(x −π8)+π3]+1=2sin(4x −π6)+1， 当x ∈[0,π2]时，4x −π6∈[−π6,11π6]，sin(4x −π6)∈[−1,1]，∴g(x)∈[−1,3].【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换以及由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想和逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.(1)由图象可求A 的值，利用三角函数的周期公式可求ω的值，再代入点(13π12,2)计算出φ的值即可得解；(2)由题意根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求g(x)的解析式，进而根据正弦函数的图象与性质即可得解．19.【答案】解：(1)由图及B 、D 的纵坐标可知，a =20−12=8，T 4=12，T =48，则ω=2π48=π24，由π24×24+φ=3π2，解得φ=π2，则ABC 段的函数表达式为f(x)=8sin(π24x +π2)+20=8cos π24x +20，x ∈[0,24]；(2)由题意结合对称性可知，DEF 段的函数解析式为y =8cos[π24(68−x)]+20，x ∈[44,68]； (3)由8cos[π24(68−x)]+20=24，解得x =60， ∴买入60−44=16天后，股票至少是买入价的两倍．【解析】(1)由已知图中B 与D 的坐标求得a 与T ，进一步求得ω，再由五点作图的第三点求解φ，则函数解析式可求，并求得x 的范围； (2)由对称性求解DEF 段的解析式；(3)由8cos[π24(68−x)]+20=24解得x =60，减去44得答案．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：选择条件①，(1)若函数f(x)=x 2+(2−a)x +4在定义域[b −1,b +1]上为偶函数， 则有{2−a =0b −1+b +1=0，解可得a =2，b =0，则g(x)=x2x 2+2，易知g(x)=x2x 2+2为奇函数，证明：g(x)的定义域为R ，有g(−x)=−x 2x 2+2=−g(x)，则g(x)为奇函数；(2)由(1)的结论，g(x)为定义域为R 的奇函数， 当x >0时，g(x)=12(x+1x )，设t =x +1x ，则有x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1时等号成立，则有t ≥2， 对于g(x)=12(x+1x )=12t .则有0<g(x)≤12×2=14，又由g(x)为奇函数，则g(0)=0， 当x <0时，有−14≤g(x)<0，综合可得：−14≤g(x)≤14，即函数g(x)的值域为[−14,14]； ℎ(x)=−x −2c ，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2c,2−2c]，对∀x ∈R ，总∃x 2∈[−2,2]，使得g(x 1)=ℎ(x 2)成立，则有{−2−2c ≤−142−2c ≥14， 解可得：−78≤c ≤78，故c 的取值范围为[−78,78]. 选择条件②，(1)函数f(x)=ax +b(a >0)在[1,2]上的值域为[2,4]； 有a >0，f(x)在[1,2]上为增函数，则有{f(1)=a +b =2f(2)=2a +b =4，解可得a =2，b =0， 则g(x)=x 2x 2+2，易知g(x)=x 2x 2+2为奇函数，证明：g(x)的定义域为R ，有g(−x)=−x2x 2+2=−g(x)， 则g(x)为奇函数；(2)由(1)的结论，g(x)为定义域为R 的奇函数， 当x >0时，g(x)=12(x+1x )，设t =x +1x ，则有x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1时等号成立，则有t ≥2， 对于g(x)=12(x+1x )=12t .则有0<g(x)≤12×2=14，又由g(x)为奇函数，则g(0)=0， 当x <0时，有−14≤g(x)<0，综合可得：−14≤g(x)≤14，即函数g(x)的值域为[−14,14]； ℎ(x)=−x −2c ，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2c,2−2c]，对∀x ∈R ，总∃x 2∈[−2,2]，使得g(x 1)=ℎ(x 2)成立，则有{−2−2c ≤−142−2c ≥14， 解可得：−78≤c ≤78，故c 的取值范围为[−78,78].【解析】(1)根据题意，由函数奇偶性的性质求出a 、b 的值，即可得函数g(x)的解析式，由函数奇偶性的定义分析可得结论；(2)结合函数的奇偶性求出函数g(x)的值域以及ℎ(x)在[−2,2]上的值域，分析可得关于c 的不等式，解可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即log 3(9−x +1)−kx =log 3(9x +1)+kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx =log 3(9−x +1)−log 3(9x+1)=log 39−x +19x+1=log 33−2x =−2x ，∴k =−1.即f(x)=log 3(9x +1)−x ，因为函数y =f(x)−x +a 有零点，即方程log 3(9x +1)−2x =−a 有实数根．令g(x)=log 3(9x +1)−2x ，则函数y =g(x)与直线y =−a 有交点，∵g(x)=log 3(9x +1)−2x =log 3(9x+1)−log 39x=log 39x +19x=log 3(1+19x)， 又1+19x>1，∴g(x)=log 3(1+19x)>0，∴−a >0，所以a <0，即a 的取值范围是(−∞,0).(2)解：因为f(x)=log 3(9x +1)−x =log 3(9x +1)−log 33x=log 3(9x +13x )=log 3(3x +3−x )，又函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)=log 3(3x +3−x )只有一个解， 所以m ⋅3x −2m =3x +3−x ，令t=3x(t>0)，得(m−1)t2−2mt−1=0，①当m−1=0，即m=1时，此方程的解为t=−12，不满足题意，②当m−1>0，即m>1时，此时Δ=4m2+4(m−1)=4(m2+m−1)>0，又t1+t2=2mm−1>0，t1t2=−1m−1<0，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当m−1<0，即m<1时，由方程(m−1)t2−2mt−1=0只有一正根，则需{4m2−4(m−1)×(−1)=0−−2m2(m−1)>0，解得m=−1−√52，综合①②③得，实数m的取值范围为：{−1−√52}∪(1,+∞).【解析】(1)利用偶函数的定义f(−x)=f(x)，即可求出实数k的值，从而得到f(x)的解析式；令f(x)−x+a=0，得−a=f(x)−x，构造函数g(x)=f(x)−x，将问题转化为直线y=−a与函数y=g(x)的图象有交点，从而求出实数a的取值范围；(2)依题意等价于关于x的方程log3(m⋅3x−2m)=log3(3x+3−x)只有一个解，令t=3x，讨论(m−1)t2−2mt−1=0的正根即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．22.【答案】解：(1)由{1−x>01+x>0，解得−1<x<1，所以函数的定义域为(−1,1)，又f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−[ln(1−x)−ln(1+x)]=−f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为f(a)+f(b)=0，且f(x)为奇函数，所以a+b=0，且a≠0，即b=−a，又f(x)的定义域为(−1,1)，所以a∈(−1,0)∪(0,1)，而g(x)=4x+2x+1m−m2+1=(2x)2+2m⋅2x−m2+1，所以g(a)+g(b)=g(a)+g(−a)=(2a)2+2m⋅2a−m2+1+(2−a)2+2m⋅2−a−m2+1，令k=2a，则k∈(12,1)∪(1,2)，所以g(a)+g(b)=k2+2mk−m2+1+1k2+2m⋅1k−m2+1=k2+1k2+2m(k+1k)−m+2=(k+1k )2+2m(k+1k)−m，令t=k+1k ，则t∈(2,52)，g(a)+g(b)=t2+2mt−m，故可将问题“存在两不相等的实数a ，b 使得g(a)+g(b)≥0“转化为t 2+2mt −m ≥0在t ∈(2,52)上有解， 即−m ≤t 22t−1在t ∈(2,52)上有解，设ℎ(t)=t 22t−1，t ∈(2,52)，则问题进一步转化为求ℎ(t)的最大值，因为ℎ(t)=t 22t−1=1−(1t )2+2⋅1t=1−(1t −1)2+1在t ∈(2,52)上单调递增，所以ℎ(t)max <ℎ(52)=1−(25−1)2+1=2516，所以−m ≤2516，即m ≥−2516， 故实数m 的取值范围为[−2516,+∞). 【解析】(1)先写出函数的定义域，再计算f(−x)，并判断与f(x)的关系，得解；(2)由f(x)为奇函数，推出b =−a 且a ∈(−1,0)∪(0,1)，再运用两次换元法，将原问题转化为t 2+2mt −m ≥0在t ∈(2,52)上有解，然后结合参变分离法与二次函数的性质，得解．本题主要考查函数的存在性问题，熟练掌握函数的奇偶性，灵活运用换元法是解题的关键，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。
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函数图象的变换在分式函数中的应用
在函数的学习过程中，我们经常会遇到形如(00)cx d
y a ad bc ax b
+=
≠-≠+，的函数，下面我们从函数图象变换的角度出发，研究这类函数的性质：
对cx d y ax b +=+分离常数，可得2bc ad bc
d cx d c c a a y b ax b a ax b a x a
--
+==+=++++，由于2ad bc a -是常数，所以我们可以把函数cx d y ax b +=+的图象看做由反比例函数2ad bc
a y x
-=的图象经过
横、纵坐标的平移变换得到。
由于图象的平移变换不改变图象的形状，所以函数cx d
y ax b
+=
+的图象与反比例函数2ad bc
a y x
-=的图象一样，也是双曲线，只不过双曲线的对称中心由原来反比例函数的坐标原点平移到了（b c
a a
-，），渐近线方程由原来的x 轴、y 轴变成了现在
的b x a =-与c
y a
=。
我们知道，反比例函数的单调性由反比例系数的正负决定，由于图象的平移变换不改变
函数的单调性，只改变函数的单调区间，又因为2
0a >，反比例系数
2
ad bc
a
-的正负完全由ad bc -的正负决定，所以当（1）0ad bc ->时，函数cx d y ax b +=
+在（,b
a
-∞-）上为减函数，（,b a -+∞）上为减函数；（2）0ad bc -<时，函数cx d y ax b +=+在（,b
a -∞-）上为
增函数，（,b
a
-+∞）上为增函数。
由图象我们还可以看出，函数cx d y ax b +=+的定义域为()()b b
a a
-∞--+∞，，，值域为
()()c c a a
-∞+∞，，。
综上我们可以得出，形如(0,0)cx d
y a ad bc ax b
+=≠-≠+的函数：
1.图象为双曲线：（1）双曲线的对称中心为（,b c a a -）；（2）渐近线方程为b x a
c y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
2.定义域与值域：定义域为()()b
b a a -∞--+∞，
，，值域为()()c c a a
-∞+∞，，。
3.单调性：（1）0ad bc ->时，在（,b a -∞-）上为减函数，（,b a
-+∞）上为减函数； （2）0ad bc -<时，在（,b a -∞-）上为增函数，（,b
a
-+∞）上为增函数
例1.函数x
x
x f -+=43)(的值域为__________。
解析：由上面性质直接得出，函数值域为(1)(1)-∞--+∞，，。
例2.函数2()21
x
f x x -=
-的单调区间为__________ 解析：由于22(1)(1)30⋅--⋅-=>，所以函数()f x 在1()2
-∞，上减，1()2
+∞，上减。
例3.函数2
5
---=
a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________
解析：由上面性质可知，函数如果递增，1(5)(2)10a ⋅----⋅<，所以3a <，而且函数是在(2)a -∞+，上增，(2)a ++∞，上增，所以21a +≤-，3a ≤-，综上，a 的取值范围为(3]-∞-，。
例4.函数1
2+-=
x x
y 的图像关于__________对称 解析：由上面性质直接得出，函数图象关于点(11)--，对称。