关于网络等效电阻的研究
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究电阻网络是由多个电阻器按照一定的规则连接而成的电路。
在实际应用中，经常会遇到需要求解电阻网络的等效电阻的情况。
本文将介绍一种求解n阶电阻网络等效电阻的方法。
我们需要了解一些基本概念。
假设n阶电阻网络由n个电阻器组成，其中每个电阻器的阻值分别为R1，R2，...，Rn。
那么，n阶电阻网络的等效电阻可以表示为Rn，我们的目标就是求解Rn的值。
在求解等效电阻的过程中，我们可以利用串联和并联的电阻计算公式。
对于两个电阻器R1和R2，串联的电阻计算公式为R1 + R2，而并联的电阻计算公式为(1/R1 + 1/R2)^-1。
对于n阶电阻网络，我们可以使用递归的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 当n=1时，电阻网络只有一个电阻器，等效电阻即为该电阻器的阻值。
2. 当n>1时，我们将电阻器R1与其他n-1个电阻器分成两组，分别记为G1和G2。
根据电阻器的连接方式，G1和G2可以是串联或并联。
- 如果G1和G2是串联关系，我们可以得到公式：R1 = R1' + R2，其中R1'为G1的等效电阻，R2为G2的等效电阻。
3. 我们可以根据上述公式递归计算出G1和G2的等效电阻。
当n=2时，我们可以直接使用串联和并联的电阻计算公式求解，从而得到G1和G2的等效电阻。
4. 接下来，我们再次根据G1和G2的等效电阻，按照步骤2的公式计算R1的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到n阶电阻网络的等效电阻被求解出来。
通过上述方法，我们可以求解出n阶电阻网络的等效电阻。
需要注意的是，以上方法仅适用于电阻网络中仅包含电阻器的情况，不适用于包含电容、电感等元件的网络。
在实际应用中，我们可以利用计算机编程进行求解。
通过编写递归函数，可以更方便地求解出n阶电阻网络的等效电阻。
求解n阶电阻网络的等效电阻需要利用串联和并联的电阻计算公式，并采用递归的方法进行计算。
这一方法在实际应用中非常有用，可以帮助我们更好地理解电阻网络的特性，并进行相关的电路设计和分析工作。
有源二端网络等效参数的测量实验报告
U OCI SC实验3。
3 有源二端网络等效参数的测量一、实验目的（1） 掌握有源二端网络的戴维南等效电路. （2） 验证戴维南定理，加深对该定理的理解。
（3） 掌握测量有源二端网络等效参数测量的方法. （4） 了解负载获得最大传输功率的条件。
二、实验仪器1台直流稳压电源、1块数字万用表、1块直流毫安表、电工试验箱 三、实验原理 1。
有源二端网络任何一个线性含源网络，如果仅研究其中一个支路的电压和电流，则可将电路的其余部分看做是一个有源二端网络。
有源二端网络包含线性电阻、独立电源和受控源. 2.戴维南等效电路及电路参数 戴维南定理指出：任何一个线性有源二端网络，总可以用一个电压源与一个电阻的串联来等效代替,此电压源的电动势U S 等于这个有源二端网络的开路电压U OC ，其等效电阻RO 等于该网络中所有独立源均置零时的等效电阻。
戴维南等效电阻如下图所示，电路参数为U OC (U S ）和R O .3。
有源二端网络等效电阻R O 的测量方法： （1)伏安法测R O 用电压表、电流表测出有源二端网络的外特性曲线，如图所示.根据外特性曲线求出斜率tg ϕ，则电阻为R O =tg ϕ=IU∆∆（2）半电压法4.负载获得最大功率的条件下图1可视为由一个电源向负载输送电能的模型，R O 可视为电源内阻和传输线路电阻的总和，R L 为可变负载电阻,负载R L 上消耗的功率P 可由下式表示：L L OS L R R R U R I P 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==当R L =0或R L =∞时,电源输送给负载的功率均为零。
而以不同的R L 值代入上式，则可求得不同的P 值,其中必有一个R L 值，是负载能从电源处获得最大的功率。
R R L图1RL N 图2 U S根据数学求最大值的方法，令负载功率表达式的R L 为自变量,P 为应变量，并使0=LdR dP，即可求得最大功率传输的条件。
即RL=RO当满足RL=RO 时，负载从电源获得的最大功率为L SL L S L L O SR UR R U R RR U P 42222max =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=这时，称此电路处于“匹配”状态. 四、实验步骤及数据 （一）伏安法测量戴维南等效电路参数（1）实验电路入图2所示.(2)调节直流稳压电源，使输出电压U 1=12V ，并保持不变. (3）将负载R L 开路,测网络a 、b 两端的开路电压U OC ，记录. (4）将负载R L 短路，测该支路短路电流I SC ，记录数据。
[电路分析]二端电阻网络的等效
![[电路分析]二端电阻网络的等效](https://img.taocdn.com/s3/m/1293549baa00b52acfc7cabc.png)
二端电阻网络的等效二端电阻网络的等效一、电阻的串联（ resistors in series ）串联n 个电阻相串联的二端电阻网络可以用一个等效电阻来等效，其等效电阻 R 等于串联的各电阻之和。
分压关系对于串联的电阻网络，电阻上分得的电压与其电阻值成正比，即电阻值越大，其分得的电压也越大。
第 j 个电阻上分得的电压为两个电阻串联时的分压公式为例 2.2-1 电路如图 2.2-1 所示，，，，求各电阻两端的电压。
解：图中 R1 、 R2 、 R3 电阻相串联，其等效电阻为则 10A 电流源两端的电压由分压公式，得到二、电阻的并联（ resistors in parallel ）并联n 个电导相并联的二端网络可用一个等效电导来等效，其等效电导 G 等于相并联的各电导之和，即两个电阻并联时，其等效电阻为分流关系对于并联电阻网络，电阻上分得的电流与其电导值成正比，即与其电阻值成反比。
电阻值越大，其分得的电流越小。
第 j 个电导上分得的电流为两个电阻串联时的分流公式为三、电阻的混联方法对于二端混联电阻网络的等效，关键是要抓住二端网络的两个端钮，从一个端钮出发，逐个元件地缕到另一个端钮，分清每个部分的结构是串联还是并联，再利用串联和并联的等效公式，最终求得该二端混联网络的等效电路。
例 2.2-2 ：求图 2.2-2 （ a ）所示电路 a 、 b 两端的等效电阻 Rab 。
解：电路为多个电阻混联，初一看似乎很复杂，但只要抓住端钮 a 和 b ，从 a 点出发，逐点缕顺，一直缕到另一端钮 b 。
为清楚起见，在图 2.2-4 （ a ）中标出节点 c 和 d 。
就得到图 2.2-4 （ b ），并可看出 5 Ω和 20 Ω的电阻是并联，两个 6 Ω的电阻也是并联，其等效电阻分别是这里，用符号“∥”表示两个电阻的并联关系。
由此，进一步得到图 2.2-4 （ b ）的等效电路图 2.2-4 （ c ）。
再对 2.2-4 （ c ）进行等效化简，得到 2.2-4 （ d ）。
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究电阻网络是电路中常见的一种元件，它由多个电阻组成，可以通过串联或并联的方式连接在一起。
而n阶电阻网络是一种特殊的电阻网络，它由多个电阻依据一定规律组成，具有较为复杂的结构和性能特点。
研究n阶电阻网络的等效电阻，不仅可以帮助我们更好地理解电路的工作原理，还可以为电路设计和性能优化提供重要参考。
本文将从n阶电阻网络的结构特点、等效电阻的计算方法和实际应用等方面进行探讨。
一、n阶电阻网络的结构特点n阶电阻网络是一种由n个电阻组成的网络结构，其中每个电阻都可以根据一定的规律连接在一起，形成一个整体。
这种网络结构通常具有较高的复杂度，需要通过一定的方法和技巧来进行分析和计算。
n阶电阻网络的结构特点主要包括以下几点：1. 多元件连接：n阶电阻网络中通常包含多个电阻元件，这些元件可以通过串联、并联或混合连接的方式组成。
不同的连接方式会影响整个网络的等效电阻值，需要进行分析和计算。
2. 多种结构形式：n阶电阻网络的结构形式多种多样，可以是线性结构、环形结构、树形结构等，而且不同的结构形式会对电阻网络的等效电阻产生重要影响。
3. 复杂的参数关系：n阶电阻网络中的每个电阻元件都有自己的参数，如电阻值、连接方式等，它们之间存在复杂的参数关系，需要通过适当的方法和模型进行描述和分析。
n阶电阻网络具有多个电阻元件、多种结构形式和复杂的参数关系等特点，这些特点决定了对n阶电阻网络的研究需要较为深入和全面的分析。
二、n阶电阻网络等效电阻的计算方法n阶电阻网络的等效电阻是指将整个电阻网络简化为一个等效电阻，其在电路中的作用和性能与原电阻网络相同。
对于n阶电阻网络的等效电阻计算方法，主要有以下几种常用的途径：1.串联/并联法：对于简单的电阻网络结构，可以通过串联和并联的组合方法来计算等效电阻。
对于串联电阻，等效电阻为各个电阻的总和；对于并联电阻，等效电阻为各个电阻的倒数之和再取倒数。
2.节点分析法：对于较为复杂的电阻网络结构，可以采用节点分析法来计算等效电阻。
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究电阻网络是电工电子学中的重要概念，用于描述电路中多个电阻元件之间的连接和电流流动关系。
当电路中存在多个并联或串联的电阻时，我们需要了解如何计算这些电阻的等效电阻，以便更好地分析电路性能和设计电路。
本文将重点研究n阶电阻网络的等效电阻，并探讨其计算方法和应用。
1. n阶电阻网络的概念n阶电阻网络是指电路中存在n个电阻元件连接成的网络。
这些电阻可以并联、串联或混合连接，构成了一个复杂的电路结构。
在实际电路中，我们经常需要分析这样的复杂电路，而了解其等效电阻将有助于简化分析和设计过程。
2. n阶电阻网络的等效电阻等效电阻是指一个电路中多个电阻元件合并后的一个电阻值，使得该电阻值对于该电路的某些特定电性质来说与原电路的行为完全相同。
对于n阶电阻网络，我们需要找到一个等效电阻值，使得用这个等效电阻替代原电路中的n个电阻后，整个电路的电阻特性保持不变。
3. n阶电阻网络的串联和并联在分析n阶电阻网络的等效电阻时，串联和并联是两个最基本的电路连接方式。
对于串联电路，n个电阻依次连接在一起，电流必须流过每个电阻才能到达电路的下一个部分。
而对于并联电路，n个电阻是平行连接的，电流可以选择不同的路径经过其中的任意一个电阻。
4. n阶电阻网络的等效电阻计算对于串联n阶电阻网络，其等效电阻可以通过简单的相加来计算：R_eq = R1 + R2 + R3 + ... + Rn。
而对于并联n阶电阻网络，其等效电阻则需要通过电阻的倒数相加再取倒数来计算：1/ R_eq = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ... + 1/Rn。
5. n阶电阻网络的混合连接在实际电路中，常常存在串联和并联混合连接的n阶电阻网络。
对于这种情况，我们可以采用分步骤的方法来计算其等效电阻：首先将串联和并联的电阻分别简化为一个等效电阻，然后再根据实际的连接方式进行相加或倒数相加计算。
6. n阶电阻网络的应用n阶电阻网络的等效电阻计算在电路设计和分析中有着广泛的应用。
电阻网络的等效电路分析
电阻网络的等效电路分析电阻网络是电路中常见的一种电路元件组合形式，在电子电路设计和分析中扮演着重要角色。
通过等效电路分析，我们可以将复杂的电阻网络简化为一个等效电路，便于电路的计算和设计。
本文将详细介绍电阻网络的等效电路分析方法及应用。
一、电阻网络的基本概念电阻网络由多个电阻器按照一定的连接方式组成。
电阻器是一种被动元件，具有阻抗特性。
在电阻网络中，电阻器的连接方式可以是串联或并联。
1. 串联连接：当多个电阻器相互连接，电流依次经过每个电阻器后流入负载，称为串联连接。
图1为三个电阻器R1、R2和R3串联连接的电阻网络示意图。
```plaintext图1：串联连接示意图```2. 并联连接：当多个电阻器的一端或两端直接相连，电流在各个电阻器中分流，称为并联连接。
图2为三个电阻器R1、R2和R3并联连接的电阻网络示意图。
```plaintext图2：并联连接示意图```二、电阻网络的等效电路分析方法等效电路分析是指将复杂的电阻网络转化为简化的等效电路，以方便电路的计算和分析。
下面将介绍两种常用的等效电路分析方法：串并联电阻法和特殊电阻组合法。
1. 串并联电阻法串并联电阻法是将复杂的电阻网络通过串联和并联电阻的等效性，转化为简化的电阻网络。
具体步骤如下：步骤一：将电阻网络中的串联电阻进行合并。
若电阻网络中存在多个串联电阻，将其合并为一个等效电阻。
例如，图3为一个含有多个串联电阻的电阻网络。
```plaintext图3：含有多个串联电阻的电阻网络示意图```可以将R1和R2合并为一个等效电阻Req1，R3和R4合并为一个等效电阻Req2，得到简化的电阻网络。
```plaintext图4：等效电阻合并后的简化电阻网络示意图```步骤二：将电阻网络中的并联电阻进行合并。
若电阻网络中存在多个并联电阻，将其合并为一个等效电阻。
例如，图4中的电阻网络可以将Req1和Req2合并为一个等效电阻Req。
步骤三：根据需要，继续进行串并联电阻的合并，直到最终得到等效电路。
实验七、含受控源的二端网络等效电路研究
实验7 含受控源的二端网络等效电路研究一、实验目的1)培养学生设计实验进行科学探索的能力；2)加深对含受控源电路、加压求流法求等效电阻的理解；3)培养学生发现问题、独立思考并在实验中解决问题的能力。
二、实验内容1、电路结构如下图所示：其中：M是有源二端网络，N是无源网络，P为VCVS电压控制电压源，其输出的电压受到N网络中某元件两端电压控制，设计N和M电路，证明a,b 两点左边含有受控源的电路可以等效成一个电阻。
自拟实验步骤、数据表格，和最后的结论分析。
2、更高要求：设计一个含有受控源的电路（N+P），其等效电阻为负值。
设计实验方法和步骤，观察并确认这个负电阻。
注意：此设计实验的重点在于验证有受控源的电路可以等效成一个电阻（可能是正电阻，也可能是负电阻），至于受控源电路的设计，不是我们考虑的重点内容，当然，可以自行设计并实现出此受控源电路，这将会是加分项，实验者可结合自己的能力量力而行，据此开拓自己的设计思维，不要纠结于受控源电路的设计。
三、实验要求、步骤及提示1、自主决定N和M电路的复杂程度，建议在达到实验目的的前提下，尽量简单一些。
2、受实验条件限制，受控源类型为VCVS，电压转移比自定。
3、了解实验室所能提供的实验设备及元件，以备后续电路设计使用。
4、首先确定好含有受控源的电路（N+P），计算好其等效电路；5、设计测试电路M，其作用在于：在其辅助下，可以测试出含有受控源的电路（N+P）的等效电路。
6、拟定测试方案。
7、在MultiSim中，先对4、5中的电路进行搭建，按6的方案进行测试，从仿真角度验证其电路的正确性，以及方法的可行性。
8、在第一次实验课前，须完成以上的工作。
9、在仿真通过后，须在实验室进行实验验证，由于实验室没有提供相应的VCVS，故，此环节中，需重点考虑如何实现或是表现出VCVS这一功能。
10、在第一次实验课结束前，须完成出实物实验方案，并由老师确认方案的正确性及可行性。
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究引言电阻网络是电路中常用的元件，在实际的电路中经常会出现各种不同阶数的电阻网络。
对于n阶电阻网络而言，其等效电阻的计算是一个非常重要的问题。
在电路设计和分析中，需要通过等效电阻来简化电路，从而更方便地分析电路的性能和特性。
研究n阶电阻网络的等效电阻具有重要的理论和应用意义。
目前，关于n阶电阻网络的等效电阻的研究已经取得了一定的成果，但是在一些特殊情况下，如n阶电阻网络中电阻值不一致或者不规则排列等情况下，等效电阻的计算方法并不十分完善。
有必要对n阶电阻网络的等效电阻进行进一步的研究和探讨，以得到更加全面和深入的理解。
本文将围绕n阶电阻网络的等效电阻展开研究，首先介绍几种常见的n阶电阻网络结构及其等效电阻的计算方法，然后针对一些特殊情况进行讨论，最后通过实例分析验证所得结论的有效性，从而得出关于n阶电阻网络等效电阻的一些结论和启示。
一、n阶电阻网络的等效电阻的计算方法1.1 串联电阻网络首先考虑最简单的情况，即n个电阻按照串联的形式连接在一起。
对于串联电阻网络而言，其等效电阻可以直接通过电阻串联的性质进行计算，即等效电阻等于各个电阻之和，即R_eq=R1+R2+...+Rn。
这是一个非常简单和常见的计算方法，适用于一般的串联电阻网络。
1.3 混合电阻网络还存在一些混合的情况，即电路中同时存在串联和并联的情况。
对于这种情况，需要先将电路进行简化，将串联和并联的电阻分别合并成一个等效电阻，然后再对合并后的电路进行进一步的简化和计算。
二、特殊情况下的n阶电阻网络的等效电阻的计算2.1 电阻值不一致的情况首先考虑电阻值不一致的情况，如果n个电阻的阻值不同，那么直接使用上述的计算方法就不再适用了。
此时，可以利用电阻分压和电流分流的原理来进行计算。
具体而言，可以采用以下方法进行计算：1）将电阻网络进行分解，将其分解为若干个相互串联或并联的子电阻网络；2）对每个子电阻网络进行等效电阻的计算，可以采用上述介绍的计算方法；3）将各个子网络的等效电阻进行合并，最终得到整个电路的等效电阻。
一类n阶电桥电路网络的等效电阻研究
一类n阶电桥电路网络的等效电阻研究李伟; 谭震; 王明君; 谭志中【期刊名称】《《大学物理》》【年(卷),期】2019(038)009【总页数】5页(P19-23)【关键词】电桥电路网络; 等效变换; 差分方程; 基尔霍夫定律【作者】李伟; 谭震; 王明君; 谭志中【作者单位】南通大学物理系江苏南通226019; 南通大学电子信息学院江苏南通226019【正文语种】中文【中图分类】O441.1; TN711.3170多年前的德国物理学家基尔霍夫(1824—1888)创立了两个基本定律(节点电流定律和回路电压定律)[1],人类在此理论基础之上建立了现代电气化文明社会,一系列复杂的科学问题通过建立电阻网络模型得以解决[1-18].电阻网络模型作为一种理论工具需要人们不断构建与创造,由此为人类的科学应用研究提供理论依据,因为许多实际问题可以通过构建电阻网络模型进行模拟研究[8-18].电阻网络模型是一种跨学科的问题其所涉及问题包括物理晶格问题、电路理论、数学中的图论、统计物理学、平均场理论等等学科问题,因而具有重要的理论研究意义与实践价值.电阻网络模型通常具有多种价值,每一个电阻元素的改变都将改变模型的电特性,因此,利用电阻网络模型研究的创新思想与方法开展基础物理实践创新活动具有较好的教学实践意义.经过科学家们的长期研究,已经建立了一些有效的研究电阻网络的方法,特别是文献[1,2]建立的等效变换方法,文献[9]建立的递推-变换方法,等等.因此不少电阻网络问题得到了比较好的解决[3-18].然而,实际研究中需要解决的问题通常比较复杂,寻找精确的等效电阻解析式通常是比较困难的事情.文献[6]研究了一类多功能n阶蜂巢型网络的等效电阻，文献[7]研究了一种含有交叉电阻的n阶电阻网络的电阻.尽管如此，科研中仍然会出现一些新的电路网络模型需要人们去解决，例如图1所示的内含双反馈电阻的n阶电阻网络模型，我们又称图1为n阶电桥电路网络模型(该名称在后文有详细解释).该模型的右边界上有一个独立的电阻R0并且另外有5个不同的电阻元素.这是本文提出的一个原创性的没有得到解决的问题，图1的网络模型包含了规则的梯形网络[1,2],三角形网络[3]等多个网络模型.本文考虑研究图1所示的n阶电桥电路网络的等效电阻,我们之所以称图1为n阶电桥电路网络模型,是因为当r1r2=r2时存在平衡桥电路,即在此条件下节点An、Bn之间的等效电阻与R0及n均无关,该问题在下文的情形1中给出了详细解释.图1网络模型的电阻参数已经标注在图形之中，含有n网络单元,含有5个不同的电阻，内部有2个不连接的交叉反馈线其电阻分别为r1、r2,这显然是一个之前没有解决的网络问题.本文的研究工作在于推导此网络左端An和Bn两节点间的等效电阻解析式，同时考虑它的一些应用.图1 一个n阶电桥电路网络模型,该网络含有5个不同的电阻元素.1 总的等效电阻公式图1网络的已知条件为: 网络单元数为n,上下水平线上的电阻均为r,竖直方向的电阻元素均为r0,内部交叉反馈线(不连接)上的电阻分别为r1、r2,右端的电阻为R0.在图1网络中,标注节点Ak从右端开始计数,右端的第一个节点记为A0,左边的节点为An,则得到n阶电桥电阻网络An和Bn之间的等效电阻：(1)式(1)中的参数定义为(2)同时(3)并且其中的常数为(4)利用式(3)、(4)计算得到(5)关于图1网络的等效电阻公式(1)为本文第一次发现,其研究是一次理论和方法上的创新.文章所采用的研究方法为文献[1,7]中建立的N-RT方法.2 等效模型和递推方程根据图1的结构特征能够将图1简化成为图2所示的一个简单模型，其中假设n 阶网络左端An和Bn节点间(从左向右看)的等效电阻为Rn,那么n-1阶网络两节点间(从左向右看)的等效电阻为Rn-1.图2 含有电流参数的二端电路网络模型研究发现利用基尔霍夫定律可以建立Rn和Rn-1之间的关系方程.假设分别在节点An和Bn之间输入和输出恒定电流I,并且在图2中分别给出其他的分支电流.在图2中应用基尔霍夫第二定律(回路电压定律)得到3个方程：I1r+I6r1-I3r0=0,I5r2+I4r-I3r0=0,I1r+I2Rn-1-I5r2=0(6)应用基尔霍夫第一定律(节点电流定律)得到3个方程：I5=I-I1-I3, I4=I2+I5, I6=I1-I2(7)解以上6个方程构成的方程组得到一个支路电流I3的解：(8)其中a和b分别由方程式(4)给出.将式(8)代入Rn=U/I=I3r0/I得到(9)至此我们建立了方程式(9)这样一个递推公式,这也是我们研究解决该问题的第一步.3 等效变换及其公式的推导为了推导方程式(9)的解，这里采用文献[1]建立的变量代换方法开展研究.假设一个未知数列{xn},建立以下变换：(10)对于一个未知数列{xn}可以规定其初始项x0=1,在式(10)中取n=0得到方程(11)即作为数列xn的初始条件.由方程式(10)递推之后可以得到Rn-1，以此代入式(9)进行化简，得到(12)此时，我们将一个分数阶方程式(9)转化成为一个线性化方程.设方程式(12)的2个特征根分别为α 和β,解之可以得到(3)的值.因此由式(12)变换得到xn+1=(α+β)xn-αβxn-1(13)利用文献[1,9]中建立的方法可以得到方程(13)的通解：(14)将等式(11)代入式(14),得到(15)另外利用方程式(12)和式(13) 得到(16)将方程式(16)代入式(15)化简得到xn=Fn+1+(R0-p)Fn(17)其中Fn=(αn-βn)/(α-β)定义在式(2)中.另外根据方程式(17)及(a+r0)/b=α+β-p可以将式(10)变形为将式(17)及其递推式xn-1代入式(18)即得到式(1).至此式(1)得到证明.4 特殊情形和比较情形1 考虑图1所示的网络,当r2r1=r2⟺r2=r2/r1 时, 由方程式(4)得到(19)将等式(19)代入式(2)得到将此代入式 (1) 得到(20)这是一个十分有趣的问题,因为式(20)与n和R0无关.为什么等效电阻会是常数,这正是平衡桥电路的必然结果.具体分析如下：不妨考虑一个图3所示的电路,将图3所示的电路实施拓扑变换可以得到图4所示的电路结构,很显然图4的电路存在一个常见的桥电路.如何识别图3与图4的电路等价,我们采用各节点之间所连接的电路来判断：在图3与图4的任何一个电路中,与A节点相连接的电阻有r、r0、r2,与B节点相连接的电阻有 r、r0、r1,与E节点相连接的电阻有r、r1、R0,与F节点相连接的电阻有r、r2、R0.众所周知,当r:r1=r2:r ⟺r1r2=r2时,称图4为平衡桥电路,此时当A与B之间通入电流时,电阻R0中无电流通过,也就是说节点AB之间的等效电阻与R0无关,又因为图3与图4的电路等价，这就解释了结论(20)的正确性(与第一个网孔右边的网络无关).正因为如此,我们称图1为n阶电桥电路网络.图3 一个简单的内含交叉(不连接)电阻的电路,该网络是一种桥电路图4 一个含有5个不同电阻元素的桥式电路情形2. 考虑图1所示的网络,当r1=r2时,根据等式(4)得到以及(22)那么,由式(3) 得到(23)以及(24)因此,根据公式(1)得到(25)其中a,b由式(21) 给出.情形3. 当r1→∞时,n阶电桥电路网络退化成为如图5所示的一种三角形的n阶电阻网络.下面依据公式 (1) 可以推导图5所示网络的等效电阻.图5 一个网格中内含2个三角形的n阶电阻网络模型.当r1→∞ 时,根据方程式(4) 得到(26)因此(27)(28)及特征根(29)其中d=2(r+r0)(r+r2).因此根据式(1)得到(30)文献[3]曾经研究了图6所示的网络问题,这里得到的结论式(30)与文献[3]中的结果完全一致,这说明本文得到的结论是完全正确的.情形4. 当r1、r2→∞ 时,网络图1将退化成图6所示的比较简单的n阶矩形电阻网络.在式(26)—(29)中取极限r2→∞，得到a=2r, b=1, p=r0(31)及(32)因此利用式(30)得到等效电阻(33)文献[1-7]曾经研究过图6所示的电阻网络,将文献[1-7]中的结果对比于式(33)可以发现所有结论完全相同.图6 一个含有任意右边界的n阶矩形电阻网络模型.情形5. 当n→∞时,根据式(4) 得到0<β/α<1,因此(34)根据式(1)得到(35)显然，在n→∞情形下的公式(1)是一个有限常数.情形6. 当R0=p-β时,将此代入(1)得到(36)因为Fn=(αn-βn)/(α-β),所以Fn-βFn-1=αn-1, Fn+1-βFn=αn(37)将方程式(37)代入式(36)得到(38)不难发现方程式(38)与方程式(35)完全相同,但是他们却来自不同的条件.公式(38)通常被称为电阻网络的特征电阻,其成立的条件是R0=p-β.这表明极限电阻值与特征电阻值相同，这是一个有趣的现象.5 小结本文提出了一种n阶电桥电路网络模型，分别采用构建等效模型和实施变量代换的方法(简称为N-RT方法)解决了一个n阶电桥电路网络的等效电阻问题,导出了An和Bn两节点间的等效电阻公式.特别地，文章推导出了一系列特殊情形下的等效电阻结论，同时将特殊结论与其他文献结论进行了比较使得本文的结论与其它结论得到了相互验证.本文的理论推导过程严密和精确，所得结论优美而简洁，是一次比较有意义的创新研究，其理论结果可以应用于未来相关的科学研究.本文的研究思想与方法有助于物理教学活动中开展科学探究教学,既能培养学生的创新实践能力,又能促进物理教学与科研协同相长,同时培养教师的教学与科研能力.【相关文献】[1] 谭志中.电阻网络模型[M].西安电子科技大学出版社,2011,3-230.[2] 陆建隆,谭志中.关于梯形网络等效电阻的普适研究[J].大学物理,2001,20 (10): 26-28.[3] 谭志中,杨建华.一类含有复杂电阻的n阶三角形网络的等效电阻公式[J].大学物理,2005,34 (6): 24-35.[4] 李建新,李保刚.2×n阶梯形电阻网络等效电阻研究[J].大学物理,2012,31 (6): 21-24.[5] 刘松山.基于对称性研究2×n 阶梯形电阻网络等效电阻[J].大学物理,2015,34 (1): 26-29.[6] 谭志中.多功能n阶蜂巢型电阻网络的等效电阻公式[J].首都师范大学学报(自然科学版) 2016,37(6): 34-40.[7] 谭志中.内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络的等效电阻研究[J].南通大学学报(自然科学版),2016,15(1):49-56.[8] 谭志中,张庆华.基于递推-变换方法计算圆柱面网络的等效电阻及复阻抗[J].物理学报,2017,66,070501.[9] Tan Z-Z.Recursion-transform approach to compute the resistance of a resistor network with an arbitrary boundary[J].Chin Phys B，2015,24 (2): 020503.[10] Tan Z-Z,Fang J-H.Two-point resistance of a cobweb network with a 2rboundary[J].Commun Theor Phys,2015,63 (1): 36-44.[11] Tan Z-Z.Two-Point Resistance of a Non-Regular Cylindrical Network with a Zero Resistor Axis and Two Arbitrary Boundaries[J].Commun Theor Phys,2017: 67 (3),280-288.[12] Tan Z-Z.Two-point resistance of an m×n resistor network with an arbitrary boundary and its application in RLC network[J].Chin Phys B，2016,25 (5): 050504.[13] Tan Z-Z,Asad J H,Owaidat M Q.Resistance formulae of a multipurpose n-step network and its application in LC network[J].Int J Circ Theor Appl，2017,45(12): 1942-1957. [14] Zhou L,Tan Z-Z,Zhang Q-H.A fractional-order multifunctional n-step honeycomb RLC circuit network[J].Front Inform Technol Electron Eng,2017,18(8):1186-1196.[15] Tan Z-Z,Zhu H,Asad J H,et al.Characteristic of the equivalent impedance for an m×n RLC network with an arbitrary boundary[J].Front Inform Technol Electron Eng.2017,18(12): 2070-2081[16] Tan Z-Z.Recursion-transform method and pote ntial formulae of the m×n cobweb and fan networks[J].Chin Phys B,2017,26 (9): 090503.[17] Tan Zhen,Tan Z-Z,Zhou L.Electrical Properties of an m×n HammockNetwork[J].Commun Theor Phys,2018,69: 610-616[18] Tan Zhen,Tan Z-Z.Potential formula of an m×n globe network and itsapplication[J].Scientific Reports,2018,8: 9937.。
加强型多边形电阻或电容网络的等效值研究_谭志中
图3 图1 三角形的电阻网络模型
n 边形的电阻网络模型
4］ 文献［ 第一次将图 3 所示的多边形概念拓展
收稿日期： 2011 － 01 － 12 ；
修回日期： 2011 － 06 － 20
基金项目： 江苏省教育科学十一五规划 2009 年度立项课题（ D / 2009 / 01 / 127 ） 资助 作者简介： 谭志中（ 1965 —） ， 男， 江苏兴化人， 南通大学理学院副教授， 硕士， 主要从事创新方法研究与物理教学研究工作．
图2 三角形的电容网络模型
c0 = c 特殊情 上述所提及的研究均为在 r0 = r， 形下的规则联接的电阻和电容网络， 本文拟对加强 r， c0 ， c 为任意情形 ） 规则联接的 n 阶电阻 型（ 即 r0 ， 和电容网络进行统一研究， 研究等效电阻 R AO （ n ） 和 研究等效电容 C AO （ n） 的通用公式． 其加强型网络如 图 3、 图 4 所示， 获得了无需考虑奇数多边形还是偶 数多边形的电阻和电容网络的等效值的统一方法建 4］ 构， 推广了文献［ 的结论．
30
大
学
物
理
第 30 卷
到二边形情形， 使抽象的概念成为具体的模型． 设图 3、 4 3， 4， …） 图 多边形的边数或点顶数为 n （ n = 2 ， （ 拓展到二边形情形） ， 为了研究方便， 标记图 3 中相 2， 3， …， n） 和边上电阻 应点顶为 A k （ 沿顺时针 k = 1 ， 2， 3， …， n ） ． 相对应的多边形 为 r k （ 沿顺时针 k = 1 ， 电容网络中的参数值如图 4 所示． 由于电容与电阻 的计算存在反比映射运算关系， 因此只要研究图 3 所示的多边形电阻网络的通用公式， 就能够获得图 4 所示的多边形电容网络的通用公式． 下面首先研 究图 3 所示的多边形电阻网络的等效电阻 ．
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究一、概述电阻网络是电子电路中一个重要的组成部分，它由若干电阻按一定规律连接而成，通常用于构建复杂的电路结构以达到特定的功能要求。
在实际电子电路中，电阻网络往往由大量单个电阻组成，因此其等效电阻的研究非常重要，可以简化电路分析的复杂程度，同时也为电路优化提供了参考。
本文对电阻网络的等效电阻进行研究，通过对串联电阻、并联电阻、混合电阻等几种典型的电阻连接方式进行分析，给出了计算等效电阻的方法，并结合实例进行了详细说明。
二、串联电阻的等效电阻串联电阻指的是将若干个电阻依次连接在一起，使电流依次通过每个电阻后再进入电源的电路结构。
如图1所示，其中R1、R2、R3三个电阻串联在一起，经过电源V的驱动，电流I的大小通过三个电阻按顺序递减，最后恰好等于电源电压V下流过整个串联电阻的总电流。
对于串联电阻，其总电阻等于各电阻之和，即：R_eq = R_1 + R_2 + R_3 + … + R_n其中，R_eq表示串联电阻的等效电阻，R_1、R_2、R_3...R_n表示电路中每个电阻的电阻值。
举个例子，假设有一个串联电路，其中R_1=10Ω，R_2=20Ω，R3=30Ω，求其等效电阻R_eq：R_eq = 1/(1/10Ω + 1/20Ω + 1/30Ω) ≈ 6.67Ω混合电阻指的是在电路中同时存在串联电阻和并联电阻两种连接方式，如图3所示。
这种情况下，可以将电路分解为几个串联电阻和几个并联电阻，然后依次计算每个串并联电阻的等效电阻，最后将所有等效电阻求和得到混合电阻的等效电阻。
[图3] 混合电阻的等效电阻具体来说，假设图3中R_1和R_2串联，并且与R_3并联，而R_4、R_5和R_6并联，并且与R_7串联。
则混合电阻的等效电阻为：五、总结电阻网络的等效电阻是电子电路中的重要参数，在电路设计、分析和优化中起着关键的作用。
本文介绍了串联电阻、并联电阻和混合电阻等几种典型的电路连接方式，并给出了计算等效电阻的方法。
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究引言电阻网络是电路中常见的一种元件，它由若干个电阻按照一定的连接方式组合而成。
在实际电路中，我们常常需要计算电阻网络的等效电阻，以便于简化和分析电路。
对于简单的串联或并联电阻网络，我们可以很容易地求得等效电阻。
当电阻网络变得更加复杂时，比如n阶电阻网络，迅速求得等效电阻就变得更加困难。
对n阶电阻网络的等效电阻进行研究具有重要的意义。
本文将对n阶电阻网络的等效电阻进行研究，探讨不同的计算方法和求解技巧，以便于更好地理解和应用这一问题。
1. 基本理论在进行n阶电阻网络的等效电阻研究之前，首先需要了解一些基本理论。
对于一个简单的串联电阻网络，其等效电阻可以通过简单地加总每个电阻得到。
而对于并联电阻网络，则可以通过并联电阻的公式进行求解。
当电阻网络的连接方式更加复杂时，我们需要借助一些更加高级的方法来求解等效电阻。
对于一般的n阶电阻网络，如果我们知道每个电阻的数值和连接方式，就可以通过欧姆定律和基尔霍夫电压定律来搭建方程组，从而求解出等效电阻。
随着电阻网络的复杂度增加，这种方法往往显得繁琐而不实用。
我们需要寻找更加高效的方法来求解n阶电阻网络的等效电阻，以便于应对实际中更加复杂的电路。
2. 求解方法在研究n阶电阻网络的等效电阻时，我们可以采用几种不同的方法来求解。
下面将介绍几种主要的方法。
（1）等效电路法等效电路法是一种比较常见的求解n阶电阻网络等效电阻的方法。
通过等效电路法，我们可以将n阶电阻网络简化为一个等效电路，从而求解出其等效电阻。
在等效电路法中，我们首先需要将n阶电阻网络按照一定的规则进行简化，将其中的一些电阻合并或拆分，从而得到一个更加简单的等效电路。
然后，我们可以通过串联和并联的组合规则，求解出得到等效电阻。
等效电路法在理论上是比较完备的，可以针对不同的电阻网络采用不同的简化规则，从而得到更加高效的求解方法。
在实际应用中，等效电路法往往需要依赖一定的经验和技巧，对于复杂的电路很难直接得到等效电路，因此其应用范围受到一定限制。
【电路分析基础实验】有源二端网络等效参数的测定
实验三有源二端网络等效参数的测定一、实验目的1．学习有源二端网络的开路电压和入端电阻的测量方法。
2．分析负载获得最大功率的条件。
3．理解戴维南定理。
二、实验原理与方法1．戴维南定理戴维南定理指出，任何一个含源线性二端网络，对其外部而言，都可以用一个电压源与电阻相串联的组合来等效代替。
如图1所示，该电压源的电压等于二端网络的开路电压Ｕ，该电阻等于网络内部所有独立电压源短路、独立电流源开路（即成为线性无源二端网络，OC如图2所示）时的入端等效电阻R i。
图1 戴维南定理等效电路图2 含源线性二端网络的开路电压和无源线性二端网络的入端等效电阻2．开路电压ＵOC的测量方法（1）直接测量法当含源线性二端网络的入端等效电阻R较小，与电压表的内阻相i比较可以忽略不计时，可以用电压表直接测量该网络的开路电压ＵOC。
较大时，采取直接测量法的误差较（2）补偿法当含源线性二端网络的入端电阻Ri大，若采用补偿法测量则较为准确。
测量方法如图3所示，图中虚线方框内为补偿电路，Ｕ为直流电源，滑线变阻器RP接为分压器，G为检流计。
将补偿电路的两端A′、B′与S被测电路的两端Ａ、Ｂ相连接，调节分压器的输出电压，使检流计的指示为零，此时电压表所测得的电压值就是该网络的开路电压ＵOC。
由于此时被测网络相当于开路，不输出电流，网络内部无电压降，所以测得的开路电压较直接测量法准确。
图3 补偿法测量网络开路电压的电路3．入端等效电阻R的测量方法i（1）外加电源法将含源线性二端网络内部的电源去除，且电压源作短路、独立电流源作开路处理，•使其成为线性无源二端网络，然后在其Ａ、Ｂ二端加上一合适的电压源ＵS （图4）•，测量流入网络的电流Ｉ，则网络的入端等效电阻为R i＝ＵS/Ｉ。
如果无源二端。
网络仅由电阻元件组成，也可以直接用万用电表的电阻挡去测量Ri因为在实际上网络内部的电源都有一定的内阻，当电源被去掉的同时，其内阻也被去掉了，这就影响了测量的准确性。
电阻网络模型的研究
2×n 阶蛛网模型的等效电阻和电容研究1研究背景定义m n ⨯阶蛛网模型（cobweb model ）：有m 个相似的多边形，多边形的边数为n ，多边形的角点与中心相连成如图1所示的结构，我们称图1的结构为m n ⨯阶有心蛛网模型（简称蛛网模型），而称图2的结构为2n ⨯阶蛛网模型。
上述定义的m n ⨯阶蛛网模型是人类未来长期研究的目标，任意m n ⨯阶蛛网等效电阻普适公式的研究属于世界级难题，也许需要数十年才能够彻底攻克，我们目前只能从简单结构开始研究。
文献[8-9]研究了最简单的1×n 阶蛛网模型，得到了理想的结果。
本文拟进一步研究2×n 阶蛛网模型的等效电阻。
研究图2蛛形电阻网络中的等效电阻(),(),()AB AO BO R n R n R n 的普适公式，以及相互间的关系．我们的研究得以深入得益于文献[10]构建的物理问题解决的认知模式。
2 计算等效电阻公式的通用方法根据人们对规则连接的k×n 阶（1,2,k =…5时）矩形电阻网络等效电阻的研究成果，笔者在文献[4]中归纳出计算一般矩形网络等效电阻的通用方法——5个步骤，具体的5个步骤是（1）网络分析．根据KCL ，KVL 和元件VCR ，建立电流参数的差分方程组模型； （2）解方程．根据适当的方法给出差分方程组的通解，可能涉及高次方程的解； （3）边界条件．根据KCL ，KVL 和元件VCR ，建立边界条件的差分方程组模型； （4）边界电流的通解．基于电流连续性方程，结合差分方程组的通解，综合计算； （5）根据适当方法求出所求节点间的电压表达式，应用欧姆定律计算等效电阻． 上述五个步骤构成了一套解决电阻网络问题的系统方法．对于k 为给定的一个较大的具体自然数时（如4,5k =…），可以认为每一个具体的k n ⨯阶电阻网络等效电阻的研究都是一项系统工程，计算量比较大．高阶的矩形电阻网络等效电阻的研究主要采用矩阵变换方法[4]，矩阵变换方法的建立使得高阶电阻网络等效电阻的研究得以顺利进行．文献[4]根据以上5个步骤，给出了任意k×n 阶电阻网络等效电阻的普适公式以及一些猜想，其中6n =的情形就是猜想之一．本文拟根据以上5个步骤证明这一猜想公式(1)的正确性．AO图1 m n ⨯阶有心蛛网模型A 1r 1r A nO A 2 A 3A kr r 2r 3 rrr A 4图2 2×n 阶有心蛛网模型B k B 1 B 2 r' r'3. 2×n 阶蛛形网络的等效电阻()AO R n对于图2所示结构的2×n 阶有心蛛网模型（cobweb model ），该蛛网模型有2个相似的多边形，多边形的边数为n ，多边形的角点与中心相连．记图2中内多边形的所有电阻单元的阻值均为r 0，外多边形的所有电阻单元的阻值均为r 1，半径A k B k 之间和半径B k O 之间的电阻值均为r ，研究计算,k A O 两节点间的等效电阻的普适公式．1.1 电阻网络中的电流规律为研究方便，记图2中所记多边形的点顶为k A （沿顺时针1,2,3k n = ）及边上电阻为k r （1,2,3k n = ）．这里只研究电阻值10r r r ==的情形．文中表明电阻单元的不同阻值是为了便于在研究过程中检查所建立方程过程的正确性．根据网络分析方法，设在电阻网络中通入恒定电流I ，电流从A 输入至O 输出．含有电流参数及其方向的子电阻网络模型如图3所示．记k k A B 之间电阻r 中通过的电流分别为kI （n k ≤≤1）；半径k B O 之间电阻r 中通过的电流分别为kI '（1k n ＃）．多边形边上电阻通过的电流分别为,ak bk I I （1k n ＃）．根据网络分析，由图2得节点电流方程1ak ak k I I I --= （1）1bk bk k kI I I I -'-=- （2）第k -1个回路的网孔电压方程分别为：111010ak k bk k I r I r I r I r ---+--= （3）1010bk kk I r I r I r --''+-= （4） 第k 个回路的网孔电压方程分别为：1100ak k bk k I r I r I r I r ++--= （5）010bk kk I r I r I r +''+-= （6） 分别由（5）-（3），由（6）-（4）得到111110()(2)()0ak ak k k k bk bk I I r I I I r I I r -+---++---= （7）1011()()()0bk bk kk k k I I r I I r I I r -+-''''-+---= （8） 分别将（1）、（2）代入（7）、（8）化简整理得（考虑10r r r ==）114k k kk I I I I +-'=-- （9） 图3 含电流参数的子网络模型 B k +1 O B k -1 B k I bkI'k -1I bk -1I bk +1 I'kI'k +1I bk -2A k +1A k -1 A k I akI ak -1 I ak +1 I ak -2 I k -1 I k I k +1113kk k k I I I I +-'''=-- （10） 将上述差分方程组模型写成矩阵方程形式11114113k k k k k k I I I I I I +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--'''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（11） 如何求解矩阵方程（11）是解决问题的关键.这里拟采用矩阵变换方法重新构建新的差分方程模型. 设存在二阶待定方阵()1211λλ=A ，并且存在常数12,t t ，使得1112221011041131t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- （12）将（12）左右展开，并且根据（12）的矩阵左右相等，解得121115,(15)22λλ=(-+) =-- （13） 121175,(75)22t t =(-) =+ （14） 所以, 将矩阵（11）左乘二阶矩阵A 可以将矩阵方程（11）转化成11111200k k k k k k x t t x x y y y +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （15） 其中 1k kk x I I λ'=+，2k k k y I I λ'=+．由（15）得差分矩阵方程的特征方程 21220101t x x t y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （16）设关于x 的方程的两根分别为αβ,；关于y 的方程的两根分别为γδ,,解（16）得 ()22111111,(4),(4)22t t t t αβ⎛⎫=+- -- ⎪⎝⎭（17）()22222211,(4),(4)22t t t t γδ⎛⎫=+- --⎪⎝⎭（18） 根据解差分方程的方法解方程（15）得()()()()11212111212111k k k k k k x x x x x y y y y y βααβαβδγγδγδ----⎛⎫⎛⎫⎡⎤---⎣⎦- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎡⎤--- ⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭（19） 其中 1k kk x I I λ'=+，2k k k y I I λ'=+（1,2,3k = ）. 式（19）即为任意子网络中通过纵向电阻r 中的电流通用规律.1.2 边界电流的通用规律当电流从1A 输入至O 输出时，边界电流关系如图4所示．由图4可得到关于边界电流的方程组．对图4中的子网络进行节点电流分析得到(注意应用对称性1an a I I =-，1bn b I I =-)112a I I I =- （20）1112b I I I '=- （21） 第1个回路的网孔电压方程为1121010a b I r I r I r I r +--= （22）10210b I r I r I r ''+-= （23） 将（20）（21）代入（22）（23）化简整理得到（考虑10r r r ==）21124I I I I '=-- （24）21123I I I ''=- （25） 式（24）（25）即为关于边界节点1A 的电流方程模型．将（24）（25）写成矩阵形式2121411320I I I I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝--⎭⎝⎭ （26） 由（26）进行矩阵变换，将（26）左乘一个已知矩阵A ，化简整理得到211212()2()x x I y y αβλγδλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭（27）根据图2、图4的电路结构特点，由于多边形的顶点数为n ，所以根据对称性分析，必然有11n I I +=，11nI I +''=，所以由（19）得到 ()()()()121212121111n n n nx x x x x y y y y y βααβαβδγγδγδ⎛⎫⎛⎫⎡⎤---⎣⎦- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎡⎤--- ⎪ ⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭（28） 将（27）代入（28）化简整理解出11,x y ，得到1121()()(2)()()(2)n n n n n nn n I x I y λαβαβαβλγδγδγδ⎧-=⎪-+-⎪⎨-⎪=⎪-+-⎩（29） 式（29）即为多边形电阻网络的边界电流通用公式．1.3 等效电阻()AO R n 的计算由于1111x I I λ'=+，1121y I I λ'=+，由此解得[]112111121(1)(1)I I x y λλλλ'+=----.由图4可知 11()AOU I I r '=+，所以，根据欧姆定律()11AO AO U I I R n r I I'+==得到()211112(1)(1)AO x y r R n I λλλλ---⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（30） II图4 2×n 阶蛛形网络的边界电流条件B 2 OB n B 1 I b 1I'nI bnI b 2I'1 I'2I bn -1 A 2A nA 1I a 1 I anI a 2 I an -1I nI 1 I 2将（29）代入（30）得到()211212(1)()(1)()1()(2)()(2)n n n n AO n n n n R n rλλαβλλγδλλαβαβγδγδ⎛⎫----=- ⎪--+--+-⎝⎭根据（13）得到12121λλλλ+==-，所以212(1)λλλ-=-，121(1)λλλ-=-，所以由上式化简得到()1212()()1()(2)()(2)n n n n AO n n n n R n rλγδλαβλλγδγδαβαβ⎛⎫--=- ⎪--+--+-⎝⎭（31） 式（31）即为1,A O 二节点间的等效电阻()AO R n 的普适公式，该式对一切自然数2,3,4,5n =……均成立．根据双曲余切函数的定义，能够得到()cth ln 2n n n n n αβααβ-=+-；()cth ln 2n nn nn γδγγδ-=+- （32） 所以等效电阻()AO R n 的普适公式可以重新表示成()()()12121cth ln cth ln AO R n n n r λλγαλλγδαβ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭（33） 其中,αγ分别由（17）、（18）确定．式（33）即为用双曲余切函数表达的普适公式，表达结果比较简洁．2 2×n 阶蛛形网络的等效电阻()AB R n下面拟继续研究计算图2中,k k A B 两节点间的等效电阻()AB R n 的普适公式．当电流从1A 输入至1B 输出时，图3所示的含有电流参数及其方向的电阻网络图仍然适用于该情形，由此获得的任意子网络中通过纵向电阻r 中的电流规律（19）仍然成立，但边界电流的规律需要重新研究．当电流从1A 输入至1B 输出时，边界电流关系如图5所示．对图5中的子网络进行节点电流分析得到(注意应用对称性1an a I I =-，1bn b I I =-)112a I I I =- （34）1112b I I I I '=-- （35） 第1个回路的网孔电压方程为1121010a b I r I r I r I r +--= （36）II 图5 2×n 阶蛛形网络的边界条件 B 2 O B n B 1 I b 1I'n I bnI b 2I'1 I'2 I bn -1A 2 A n A 1I a 1I an I a 2 I an -1 I n I 1 I 210210b I r I r I r ''+-= （37） 将（34）（35）代入（36）（37）化简整理得到（考虑10r r r ==）211242I I I I '=-- （38） 21123I I I I ''=-+ （39） 式（38）（39）即为关于边界节点1A 的电流方程组模型，可写成矩阵形式2121224113I I I I I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''-⎝⎭⎝⎭-⎝-⎭⎝⎭ （40） 进行矩阵变换，将（40）左乘一个上文已经求出的矩阵A ，化简整理得到211212()212()21x x I y y αβλγδλ+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（41）根据图2、图5的电路结构特点，由于多边形的顶点数为n ，所以必然有11n I I +=，11nI I +''=，所以，由（19）得到 ()()()()212112121111n n n n x x x x x y y y y y βααβαβδγγδγδ⎛⎫⎡⎤---⎛⎫⎣⎦- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎡⎤--- ⎪⎝⎭⎣⎦-⎝⎭（42） 将（41）代入（42）化简整理解出11,x y ，得到1121(21)()()(2)(21)()()(2)n n n n n n n n I x I y λαβαβαβλγδγδγδ⎫--=⎪-+-⎪⎬--⎪=⎪-+-⎭（43）式（43）即为2×n 阶蛛形网络在电流从1A 输入至1B 输出时的边界电流通用公式．由于1111x I I λ'=+，1121y I I λ'=+，所以解得111121()I x y λλ=--．由图2、图5可知：1AB U I r =，所以，根据欧姆定律得到()11112()AB AB U I x y rR n r I I Iλλ-===-，由此应用（43）得到()1212(21)()(21)()1()(2)()(2)n n n n AB n n n n R n rλαβλγδλλαβαβγδγδ⎛⎫----=- ⎪--+--+-⎝⎭（44） 式（44）即为11,A B 二节点间的等效电阻()AB R n 的普适公式，该式对一切自然数2,3,4,5n =…均成立．根据（32）可以将等效电阻()AB R n 的普适公式重新表示成()()()121212121cth ln cth ln AB R n n n r λλαγλλαβγδ⎛⎫--=- ⎪---⎝⎭（45） 其中,αγ分别由（17）、（18）确定．式（45）即为用双曲余切函数表达的普适公式，表达结果比较简洁．3 2×n 阶蛛形网络的等效电阻()BO R n下面拟继续研究计算图2中,k B O 两节点间的等效电阻()BO R n 的普适公式．研究等效电阻()BO R n 所采用的方法与思路与上文采用的思路与方法基本相同．当电流从1B 输入至O 输出时，图3所示的含有电流参数及其方向的电阻网络图仍然适用于该情形，由此获得的任意子网络中通过纵向电阻r 中的电流规律（19）仍然成立，但边界电流的规律需要重新研究．当电流从1B 输入至O 输出时，边界电流关系如图6所示．由图6可得到关于边界电流的方程组．对图6中的子网络进行节点电流分析得到(注意应用对称性1an a I I =-，1bn b I I =-)112a I I =- （46）1112b I I I I '=-+ （47） 第1个回路的网孔电压方程为1121010a b I r I r I r I r +--= （48）10210b I r I r I r ''+-= （49）将（46）（47）代入（48）（49）化简整理得到（考虑10r r r ==）21124I I I I '=-+ （50）21123I I I I ''=-- （51） 式（50）（51）即为关于边界节点1A 的电流方程模型，可写成矩阵形式212124113I I I I I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''-⎝⎭⎝⎭-⎝-⎭⎝⎭ （52） 由（52）进行矩阵变换，将（52）左乘一个上文已经得到的矩阵A ，化简整理得到211212()12()1x x I y y αβλγδλ+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（53） 根据图2、图6的电路结构特点，由于多边形的顶点数为n ，所以必然有11n I I +=，11nI I +''=，由（19）得到 I I 图6 2×n 阶蛛形网络的边界条件 B 2O B n B 1 I b 1I'n I bnI b 2 I'1 I'2I bn -1A 2 A n A 1I a 1 I an I a 2 I an -1I n I 1 I 2()()()()121212121111n n n n x x x x x y y y y y βααβαβδγγδγδ⎛⎫⎡⎤---⎛⎫⎣⎦ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤--- ⎪⎣⎦⎝⎭-⎝⎭（54）将（53）代入（54）解出11,x y ，得到1121(1)()()(2)(1)()()(2)n n n n n nn n I x I y λαβαβαβλγδγδγδ⎧--=⎪-+-⎪⎨--⎪=⎪-+-⎩（55） 式（55）即为2×n 阶蛛形网络在电流从1B 输入至O 输出时的边界电流通用公式．由于1111x I I λ'=+，1121y I I λ'=+，解得11121121()I y x λλλλ'=-- ，由图6可知1BO U I r '=，根据欧姆定律()1112112BO BO U I y x r R n r I I I λλλλ'-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭，由此应用（55）得到()122112(1)()(1)()1()(2)()(2)n n n n BO n n n n R n rλλγδλλαβλλγδγδαβαβ⎛⎫----=- ⎪--+--+-⎝⎭根据（13）得到12121λλλλ+==-，所以212(1)λλλ-=-，121(1)λλλ-=-，所以由上式化简得到()1212()()1()(2)()(2)n n n n BO n n n n R n rλαβλγδλλαβαβγδγδ⎛⎫--=- ⎪--+--+-⎝⎭（56） 式（56）即为1,B O 二节点间的等效电阻()BO R n 的普适公式，该式对一切自然数2,3,4,5n =…均成立．根据（32）可以将等效电阻()AB R n 重新表示成()()()12121cth ln cth ln BO R n n n r λλαγλλαβγδ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭（57） 其中,αγ分别由（17）、（18）确定．式（57）即为用双曲余切函数表达的普适公式，表达结果比较简洁．4 具体讨论与比较4.1等效电阻的恒等式上文中分别得到等效电阻()AO R n ，()AB R n ，()BO R n 的普适公式，我们研究发现所得三个普适公式之间存在恒等关联。
实验1戴维宁定理——有源二端网络等效参数的测定
实验1戴维宁定理——有源二端网络等效参数的测定引言：有源二端网络是电路中常见的一种电路，常用于放大电路、滤波电路等。
在电路设计和分析中，需要测定有源二端网络的等效参数，以便更好地理解和利用该电路。
本实验将通过测定有源二端网络的等效电阻、等效电压和等效电流，来验证戴维宁定理在实际电路中的应用。
实验目的：1.理解有源二端网络的概念和特点；2.学习使用戴维宁定理测定有源二端网络的等效参数；3.掌握实验仪器的基本操作和测量方法。
实验仪器和材料：1.实验箱：包括电源、信号源、万用表等仪器；2.电阻器：用于模拟负载；3.电容器：用于构建滤波电路。
实验步骤：1.将实验箱中的电源连接到有源二端网络的电源端口，设置电源的电压和电流值；2.将信号源连接到有源二端网络的输入端口，设置输入信号并调节频率；3.使用万用表测量有源二端网络的电压和电流值；4.同时测量有源二端网络的输入电压和输出电压，记录数据；5.拆卸有源二端网络，将电阻器和电容器连接到原有的电源和信号源线路上；6.使用万用表测量电阻器和电容器的电压和电流值；7.根据测量数据，通过戴维宁定理计算有源二端网络的等效电阻、等效电压和等效电流。
数据处理和实验结果分析：结论：实验中通过对有源二端网络的测量和计算，得出了该电路的等效电阻、等效电压和等效电流。
通过对实验结果进行分析和总结，验证了戴维宁定理在实际电路中的应用，并深入理解了有源二端网络的特性。
实验中可能遇到的问题和改进方法：1.实验中测量的数据受到测量仪器的精度和误差的影响，可以使用更高精度的仪器来改善测量结果的准确性；2.输入信号频率的选择会影响等效参数的测量结果，在实验中可以尝试不同频率的输入信号，观察其对等效参数的影响。
总结：本实验通过测定有源二端网络的等效参数，验证了戴维宁定理在实际电路中的应用。
实验结果对于理解和分析有源二端网络的特性具有重要意义，为进一步研究和利用该电路提供了基础。
2×n阶电阻网络等效电阻的再研究
ｂ ｒ ｆｃ ． ｓ ｄ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔ ｒ ｉ ａ ｏ ｄ ｔ ｎ ，ａ ｇ ｎ ｒ ｏ ｕ ａ ｆ ｒｔ ｅ ｉ ｌｔｒ ｓｓ ｎ ｅ ｏ ｎ ｎ ｔ ｒ ｎ ｙ ａｔ ｅ Ｂａ ｅ ｎ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｉ ｍａ ｇ ｎ ｌ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｅ ａ ｆ ｒ ｌ ｏ ｎ ｅ ｅ ｉｔ ｃ ｆ２ｘ ｅｗｏ ｋ ａ ｄ ａ ｃ ｉ ｉ ｍ ｈ ａ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ： ｘ ｅ ｏ ｋ； ｑ ｉａｅ ｔ ｅｉｔｎ ｅ ｙｗｏ ｄ ２ ｎｎ ｔ ｒ ｅ ｕｖ ｎ ｓｓ ｃ ；ｍａｒ ｒ ｓｏ ；ｇ ｎ ｒ ｏ ｕａ ｉ ｉ ｎｔｅｆｒ ｗ ｌ ｒ ａ ｔｘ ｔ ｆｒ ｉ ａ ｎ ｍ ｅ ｅａ ｆｒ ｌ ；ｆ ｔ ｉ ｏ ｌ ｍ ｘｙ ｈ ｍ
收 稿 日期 ：２ ０ — ０ １ ０９ １— ６
的普 适 公式 ， 且研 究 了 当 一 。 的极 限 规 律． 并 。时
基 金 项 目：江 苏 省 教 育科 学 “ 一 五 ” 划 立项 课 题 （ ／０ ９０ ／２ ） 十 规 Ｄ２ ０ ／１１７
作 者 简 介 ：谭 志 中 （９ ５ ） 男 ，副 教授 ，硕 士 ，主 要 从 事创 新 方 法 研 究 与 物 理教 学 研 究 工 作 ． — ｉ ｔｎ＠ｎｕｅｕｃ １６ 一 ， Ｅ ｍａ ：ａｚ ｔ．ｄ ． ｌ ａ
网络 技术 是 当今 社 会 研 究 最 为 广 泛 的实 际 问
题， 无论 是对 实 际应用 还是科 研 与教学 工作 都有 很 重 要 的 意义 ． 文献 【一 ］ ｌ ５研究 了 图 １中 ｒ ＝ｒ 形 时 情
ｒ ｌ
ｒ
ｒ
的 ２ ｎ阶 电阻 网络 不 同节 点 间的等效 电阻． ｘ 文献『— １
本 文 进 一 步研 究 了 图 ｌ 示 的 ２ ｎ阶 电 阻 网 所 ｘ
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络的等效电阻研究
n阶电阻网络是由n个电阻器按一定规律连接而成的电路网络。
在实际电路中，我们常常需要求解n阶电阻网络的等效电阻，以便分析电流和电压分布。
我们可以根据电阻器的连接方式来确定n阶电阻网络的拓扑结构。
常见的连接方式有串联和并联。
在串联连接中，电阻器依次连接在一起，电流在电路中的各个电阻器之间依次流过。
若电阻器的阻值分别为R₁、R₂、...、Rn，则总电阻等于这些电阻的总和：R =
R₁+R₂+...+Rn。
对于一般的n阶电阻网络，我们可以通过递归的方式求解等效电阻。
假设n阶电阻网络可以分解为两个子网络，其中一个子网络是m阶电阻网络，另一个子网络是(n-m)阶电阻网络。
我们可以利用这个分解关系来计算等效电阻。
设m阶电阻网络的等效电阻为Rm，(n-m)阶电阻网络的等效电阻为R(n-m)，则n阶电阻网络的等效电阻可以表示为：Rn = Rm + R(n-m)。
根据这个递归关系，我们可以首先求解一阶电阻网络的等效电阻，然后根据等效电阻的求解结果，逐步求解高阶电阻网络的等效电阻。
通过迭代计算，最终可以得到n阶电阻网络的等效电阻。
除了上述的方法外，还可以利用矩阵运算的方法求解n阶电阻网络的等效电阻。
我们可以将电阻网络表示为一个电阻矩阵，通过对矩阵进行逆阵运算，可以求得等效电阻。
n阶电阻网络的等效电阻可以通过串联、并联、递归等方法来求解。
根据具体情况选择合适的方法，可以简化计算，得到准确的等效电阻值。
在实际应用中，我们可以利用这些方法来分析和设计电路，优化电路性能。
内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络的等效电阻研究
内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络的等效电阻研究谭志中【摘要】研究了一类内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络模型,这是一个之前一直没有解决的问题.该网络模型含有8个任意参数使得该网络包含了多个不同的网络类型.解决该问题包括以下4个步骤:首先建立一个简化的等效模型;其次应用基尔霍夫定律建立一个非线性差分方程模型;再次采用变换的方法给出非线性差分方程的解;最后建立了一个负电阻元素概念,得到了理想的研究结果,并给出数个有趣的特殊结论.该研究方法和得到的结论也适用于复阻抗网络的研究.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)001【总页数】9页(P49-57)【关键词】内嵌交叉电阻;多功能网络;等效变换;非线性差分方程;基尔霍夫定律;负电阻【作者】谭志中【作者单位】南通大学理学院, 江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O441.1;TN711.3引文格式：谭志中.内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络的等效电阻研究［J］.南通大学学报（自然科学版），2016，15（1）：49-57.电阻网络模型的建立与研究已经历了170多年的历史［1］.自从1845年德国物理学家基尔霍夫（1824—1888）创立了节点电流定律和回路电压定律以来，人类就开始通过建立电阻网络模型解决许多抽象和复杂的科学和工程问题［1-46］.由于电阻网络模型具有具体直观以及便于分析研究等特征，电阻网络模型的构建与研究已成为一系列科学问题研究的基本方法，许多实际问题可以通过构建电阻网络模型进行模拟研究［29-45］.在自然科学领域与工程技术领域研究电阻网络模型具有重要的理论与实践意义，其研究方法的创造性对于开展大学物理教学与科研协同相长具有很好的方法论意义与实践创新意义.170多年以来，研究者已经建立了研究电阻网络的数个主要方法，如基尔霍夫定律［1］、格林函数技术［29-30］、拉普拉斯矩阵方法［31-36］、递推-变换方法［37-45］、等效变换方法［1-3，46］等，因此，不少规则的电阻网络模型问题得到了比较好的解决.然而，实际生活中的电阻网络通常比较复杂，寻找复杂网络的精确等效电阻公式是很困难的事情，原因在于需要电路理论知识和数学方法的创新.我们称图1为一类内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络模型，该模型中有7个不同的任意电阻元素，并且右边界为一个任意负载R0.这是一类之前从来没有得到解决的深刻问题.因为7个不同的电阻是任意元素，因而该网络模型包含了大量特殊的电阻网络模型，例如规则的梯形网络［1-7］、三角形网络［8］，以及一些新型的网络模型等.图1 为一般形式的内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络模型.这类网络的特点是：网络单元数为n，上下边界上的电阻元素分别为r和r1，竖直截面方向的电阻元素为r0，交叉线上的电阻分别为r2，r3，r4，r5，右端的负载电阻为R0.也就是说该电阻网络中有8个不同的任意电阻参数，显然这是一个复杂的电阻网络，多参数网络包含了多种网络功能.本文拟研究n阶网络左端An和Bn两节点间的等效电阻公式，以及任意Ak和Bk两节点间的等效电阻公式.该问题的解决包括以下4个步骤：首先将原图形等效成为一个简单模型；其次利用基尔霍夫定律，依据网络结构建立节点电流方程和回路电压方程，消去一些电流参数进而得到一个关于电阻的非线性差分方程模型；再次通过构建变换方法获得非线性差分方程的解，从而获得了左端节点的等效电阻公式；最后创造一个负电阻元素，通过建立等效模型得到任意Ak和Bk两节点间的等效电阻公式.在图1网络中，设Ak是上轴线A0An之间的第k个任意节点（从右端计数，右端的第一个节点记为A0），Bk是下轴线B0Bn之间的第k个任意节点，电阻参数如图1所示.我们研究得到了如下2个主要结论.结论1图1的n阶电阻网络中左端An和Bn两节点间的等效电阻公式为其中以及及其中结论2图1的n阶电阻网络中任意Ak和Bk两节点（从右端计数，右端的第一个节点分别记为A0和B0）间的等效电阻公式为或者写成其中根据图1的结构特征，假设n阶网络的左端An和Bn两节点间的等效电阻为Rn，那么n - 1阶网络的左端两节点间的等效电阻为Rn - 1.因此我们可以将图1简化成为图2所示的一个简单模型.接下来我们利用基尔霍夫定律建立Rn和Rn - 1之间的关系方程.假设在节点An输入恒定电流I并且让电流在节点Bn输出，同时定义其他的分支电流于图2中.在图2中利用基尔霍夫定律得到回路电压方程在图2中利用基尔霍夫定律得到节点电流方程解以上诸多方程得到一个关键的递推关系其中a，b，c，d由式（5）给出.因为Rn= U/I = I3r0/ I，所以利用式（12）代入得到方程（13）就是我们寻找的一个关键的递推公式，属于非线性差分方程.下面的工作就是研究方程（13）的通解和特解.3.1 结论1的推导这里利用文献［1］中建立的变量代换方法去解非线性差分方程（13）.假设存在数列｛xn｝，并且采用下列变换关系可以规定初始项x0= 1，根据式（14）得到将方程（14）及其递推式Rn - 1代入式（13）化简得到设α和β分别为特征方程xk的2个根，解方程（16）可以得到式（4）的值.因此由式（16）得到根据文献［1，46］中建立的方法解差分方程（17）得到将初始项（15）代入式（18），得到进一步对式（19）进行化简，由式（16）和（17）得到将等式（20）代入式（19）得到根据方程（17）及c/d =α+β-λ可以将式（14）变形为将式（21）及其递推式xn - 1代入式（22），得到根据式（16）和（17）得到αβ= r0（bc - ad）/d2，因此将式（5）代入αβ即得到等式（3）.当我们定义Fn=（αn-βn）/（α-β）时，即由式（23）推导出式（1）.至此公式（1）得到证明.3.2 结论2的推导为了研究需要，我们创造了一个负电阻元素，即将电阻变换成为3个并联电阻，其中2个r0和1 个-r0，如图3所示.根据并联电阻的计算方法得到显然负电阻-r0的引入是一个非常巧妙的方法，但不改变整个电路的特性.当我们计算任意两节点Ak和Bk之间的等效电阻时，利用图3可以将图1变换成为图4的结构模型.根据图4的等效模型，从Ak和Bk之间的负电阻分别向左右两边考虑，记向右和向左的等效电阻分别为Rright（k）和Rleft（n - k），根据并联电阻的计算方法显然得到Ak和Bk两节点间的等效电阻其中等效电阻Rright（k）和Rleft（n - k）可以根据公式（1）直接给出，进而得到公式（8）和（9）.至此公式（6）获得了证明.再次从公式（6）经过简单计算可以立刻得到公式（7）.显然负电阻元素的建立是一个理论上的创新，破解了一个深刻的等效电阻难题，是一个非常有趣的创新.实际上，我们可以简单地验证公式（6）的正确性.例如，当k = n时，从式（8）得到Rleft= r0，因此，从式（6）得到RAnBn= Rright（n），这就表明公式（6）包含了公式（1）.情形1 在图1的网络中，当r3= r4= r5= r2时，根据（5）得到那么，由式（4）得到以及因此，根据式（1）得到其中Fn=（αn-βn）/（α-β），a，b，c，d定义在式（25）中.情形2在图1的网络中，当r1= r2= r3= r4= r5= r时，根据式（5）得到根据式（4）得到因此，根据式（1）得到其中Fn定义在式（2）中，并且由式（28）代入式（2）导出λ= 4rr0/（4r +3r0）.情形3当r3→∞时，内含交叉电阻的N阶电阻网络图1退化成为一个含有3个三角形的N阶电阻网络，如图5所示.当r3→∞时，根据式（5）得到将式（31）代入式（1），即可以得到等效电阻RAnBn，其公式结构仍然由公式（1）给出但其参数由式（31）给出.特别地，当r3→∞，r1= r2= r4= r5= r时，根据式（31）得到因而根据式（4）得到因此，根据式（1）得到其中Fn定义于方程（2），并且λ由式（2）得到λ= 5rr0/（5r + 3r0）.情形4 当r3，r5→∞及r4= 0时，内含交叉电阻的N阶电阻网络图1退化成为一个网格中内含2个三角形的N阶电阻网络，如图6所示.下面依据式（1）可以推导图6网络的等效电阻.当r4= 0及r3= r5=∞时得到网络模型6，根据式（5）得到因此及因此根据公式（1）得到其中λ由式（36）给出.图6的网络模型也是文献［8］研究的问题，本文得到的结果（38）与文献［8］中的结论完全相同，这就间接地验证了本文结论的正确性. 情形5当rk→∞（k = 2，3，4，5）时，复杂电阻网络模型图1退化成为一个简单的N阶矩形网络模型，如图7所示.在式（36）、（37）和（38）中取极限r2→∞得到及因此得到图7的网络模型已经被不少文献研究过，如文献［1，4］的研究，比较式（41）与文献［1］中的结果，可以发现2种结论完全相同.情形6在图1的网络中，当R0= br0/d时，根据式（1）和（2）得到其中b和d定义于式（5）中.情形7当n→∞时，根据式（4）得到0 <β/α< 1，因此根据式（1）得到将式（4）代入式（44）得到结论（45）表明公式（1）在n→∞情形下的结果是一个有限常数.情形8 当R0=λ-β时，根据式（22）立刻得到注意式（46）与式（44）相同，但是他们的来源不同.式（46）是电阻网络的特征电阻，该特征电阻值与极限电阻值完全相同.显然，当负载电阻R0=λ-β为特征电阻值时，等效电阻是一个有限常数，并且等于极限情形时的电阻值，这是一个有趣的发现.情形9本文建立的方法和得到的结论也适用于复阻抗网络的研究，只要我们采用变量代换方法即可以根据等效电阻公式推导出复阻抗网络的等效复阻抗公式.如假设电阻元素rk（k = 0，1，2，3，4，5）是由电阻、电感和电容构成，如图8所示，则通过变换关系得到复阻抗其中ω为输入电路电流的圆频率，i为虚数单位，即i2= -1.如果我们将式（47）代入式（1），那么就可以立刻得到等效复阻抗公式.当然，由于复阻抗的表达结构比较复杂并且需要讨论特征方程根的复数情形，此处不再给出具体公式.具有多个不同参数的复杂电阻网络是一个科学难题，如果没有方法的创新，人们很难计算该网络的等效电阻.本文采用多个不同的变换方法解决了一个内嵌交叉电阻的N阶多功能电阻网络的等效电阻问题.由于研究的网络模型中有8个不同的任意电阻元素，因此依据总的等效电阻公式推导出了一系列特殊的等效电阻结论.作为应用，对结论中的电阻元素分别取不同的值而得到一系列有趣的等效电阻公式.通过特殊结论与其他文献结论的比较研究而间接地证明了本文结论的正确性.当然，由于本文的理论推导是严密和精确的并且是自洽的，因而得到的结论必然是正确的.特别地，根据式（47）的变量代换可知本文的研究方法与结论也适用于复阻抗网络的研究.需要强调的是目前的现实世界中还没有真正的“负电阻”，但是不排除将来发现的暗物质中可能存在“负电阻”.当然“负电阻”可能相似于“数学中的虚数”看上去没有用其实能够帮助人们解决许多复杂的问题.本文的研究获得了2个总的等效电阻公式，为未来科学研究建立了新的理论工具.本文的研究思想与方法对于开展大学物理教学与科研协同相长教学具有很好的理论与实践意义，将为广大物理教师提供有益的实践案例与指导.在文章的最后，我们基于文献［29-45］中关于m× n电阻网络的研究拟提出一个深刻的问题：如果一个任意的m×n电阻网络中嵌入交叉的电阻元素，如图9所示，那么如何计算该复杂网络中任意2节点间的等效电阻.这是一个暂时无法解决的问题，我们期待着研究者未来对该问题的深入研究.【相关文献】［1］谭志中.电阻网络模型［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2011：3-230.［2］陆建隆，谭志中.关于梯形网络等效电阻的普适研究［J］.大学物理，2001，20（10）：26-28.［3］谭志中，陆建隆.建构非线性数列研究二端梯形网络的等效值［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2001，25 （3）：339-344.［4］李建新，刘栓江. n级梯形电阻网络的研究［J］.大学物理，2003，22（7）：20-21.［5］李永安.梯形网络等效电阻网络分析的再研究［J］.大学物理，2003，22（10）：12-14. ［6］谭志中，赵素英. N阶电阻网络等效电阻的研究［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2004，28（2）：149-154.［7］谭志中，陆建隆.二端梯形网络等效复阻抗的普适研究［J］.大学物理，2009，28（7）：29-33.［8］谭志中，杨建华.一类含有复杂电阻的n阶三角形网络的等效电阻公式［J］.大学物理，2015，34（6）：24-26.［9］汤华，谭志中. n阶网络任意节点的等效电阻的研究［J］.大学物理，2012，31（11）：18-22.［10］谭志中.三端梯形网络等效电阻的再研究［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2004，28（5）：480-482.［11］谭志中，曹秀华，李颂，等. 2×N阶梯形网络侧端等效电阻的普适规律［J］.南通大学学报（自然科学版），2006，5（2）：10-13.［12］谭志中，罗达峰，李颂. 2×N阶网络对角等效电阻的再研究［J］.南通大学学报（自然科学版），2008，7（2）：73-76.［13］谭志中，方靖淮，罗达峰. 2×n阶网络对角等效电阻的另一种公式［J］.南通大学学报（自然科学版），2009，8 （4）：69-72.［14］谭志中，罗礼进.加强型2×n阶电阻网络的两个普适公式［J］.杭州师范大学学报（自然科学版），2010，9 （1）：37-42.［15］谭志中，罗礼进. 2×n阶电阻网络等效电阻的再研究［J］.南通大学学报（自然科学版），2010，9（1）：86-89.［16］谭志中，方靖淮. 3×n阶电阻网络等效电阻的研究［J］.大学物理，2008，27（9）：7-10. ［17］谭志中，李颂. 3×n阶网络等效电阻的另一个普适规律［J］.大学物理，2009，28（4）：23-25.［18］谭志中，罗达峰，杨建华. 3×n阶网络等效电阻的再研究［J］.南通大学学报（自然科学版），2011，10（2）：67-72.［19］谭志中，罗达峰. 4×n阶网络的2个等效电阻公式［J］.南通大学学报（自然科学版），2011，10（3）：87-94.［20］谭剑，谭志中. 5×n阶网络等效电阻的两个普适公式［J］.南通大学学报（自然科学版），2012，11（2）：88-94.［21］谭志中，周玲，杨建华. 6×n阶矩形网络等效电阻猜想的证明［J］.大学物理，2012，31（12）：17-22.［22］谭志中. 7×n阶矩形网络的等效电阻和电容及2个猜想［J］.大学物理，2014，33（2）：28-35.［23］谭志中，陈翠萍. 8×n阶矩形网络的等效电阻和电容及2个猜想［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2013，37（6）：579-586.［24］谭志中，陆建隆.多边形电阻网络等效电阻的统一建构［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2011，35（2）：140-144.［25］谭志中.加强型多边形电阻或电容网络的等效值研究［J］.大学物理，2011，30（12）：29-32.［26］谭志中. 2×n阶蛛网模型的等效电阻公式及2个猜想［J］.大学物理，2013，32（4）：16-21.［27］谭震，谭志中.构建等效模型研究三维网络的等效电阻及复阻抗［J］，大学物理，2014，33（5）：53-59.［28］汤华.无穷球面网络任意两节点间的等效电阻公式［J］.大学物理，2015，34（9）：15-18.［29］CSERTI J. Application of the lattice Green′s function for calculating the resistance of an infinite network of resistors ［J］. American Journal of Physics，2000，68（10）：896-906.［30］GIORDANO S. Disordered lattice networks：general theory and simulations［J］. International Journal of Circuit Theory and Applications，2005，33（6）：519-540. ［31］WU F Y. Theory of resistor networks：the two-point resistance［J］. Journal of Physics A：Mathematical and General，2004，37（26）：6653-6674.［32］TZENG W J，WU F Y. Theory of impedance networks：the two-point impedance and LC resonances［J］. Journal of Physics A：Mathematical and General，2006，39（27）：8579-8591.［33］IZMAILIAN N Sh，HUANG M C. Asymptotic expansion for the resistance between two maximum separated nodes on a M×N resistor network［J］. Physical Review E，Statistical，Nonliner，and Soft Mattrer Physics，2010，82：011125.［34］IZMAILIAN N Sh，KENNA R，WU F Y. The two-point resistance of a resistor network：a new formulation and application to the cobweb network［J］. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2014，47：035003.［35］IZMAILIAN N Sh，KENNA R. A generalised formulation of the Laplacian approachto resistor networks［J］. Journal of Statistical Mechanics：Theory and Experiment，2014，9（9）：09016.［36］ESSAM J W，IZMAILYAN N Sh，KENNA R，et al. Comparison of methods to determine point-to-point resistance in nearly rectangular networks with application toa ′hammock′network［J］. Royal Society Open Science，2015，2（4）：140420.［37］TAN Z Z，ZHOU L，YANG J H. The equivalent resistance of a 3×n cobweb network and its conjecture of an m×n cobweb network［J］. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2013，46（19）：195202.［38］TAN Z Z，ESSAM J W，WU F Y. Two-point resistance of a resistor network embedded on a globe［J］. Physical Review E，Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2014，90（1）：012130.［39］ESSAM J W，TAN Z Z，WU F Y. Resistance between two nodes in general position on an m×n fan network［J］.Physical Review E，Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2014，90（3）：032130.［40］TAN Z Z. Recursion-transform approach to compute the resistance of a resistor network with an arbitrary boundary ［J］. Chinese Physics B，2015，24（2）：020503. ［41］TAN Z Z. Recursion-transform method to a non-regular m× n cobweb with an arbitrary longitude［J］. Scientific Reports，2015，5：11266.［42］TAN Z Z. Recursion-transform method for computing resistance of the complex resistor network with three arbitrary boundaries［J］. Physical Review E，Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2015，91（5）：052122.［43］TAN Z Z，FANG J H. Two-point resistance of a cobweb network with a 2r boundary ［J］. Communications in Theoretical Physics，2015，63（1）：36-44.［44］TAN Z Z，ZHANG Q H. Formulae of resistance between two corner nodes on a common edge of the m×n rectangular network［J］. International Journal of Circuit Theory and Applications，2015，43（7）：944-958.［45］TAN Z Z，ZHOU L，LUO D F. Resistance and capacitance of 4×n cobweb network and two conjectures［J］. International Journal of Circuit Theory and Applications，2015，43（3）：329－341.［46］谭志中.二阶方阵n次幂的普适公式及应用［J］.南通大学学报（自然科学版），2012，11（1）：87-94.。
关于网络等效电阻的研究
关于网络等效电阻的研究初中物理竞赛中常见一种关于网络电阻的计算问题，题型变化虽然很多，有些题的难度甚至很大，但它们几乎都利用了“等效”这种物理学常用的思想。
当然，具体分析问题时还要用到“对称”、“割补”、“循环”等一些数学方法。
【引例】把一段均匀导线围成正方形，测得A 、B 两点间的电阻为15/16欧，如图所示，B 点为该边的中点，则正方形各边的电阻为多大？【小结】此题把每边的电阻设为定值，然后再利用串、并联的知识和等效的思想。
【例一】由12根阻值均为1欧的电阻组成了如图所示的网络，求A 、B 间的电阻R AB 的大小。
【小结】此题属于“位置等效”！【练习】如图所示，由许多阻值均为1欧的小电阻组成了一个网络，求A 、B 间的阻值多大？【例二】如图所示是由12根电阻均为R 的导线组成的立方网络，求R AB =？分析：这是一道典型的、具有竞赛特点的有限网络电阻问题，对于此类问题，要仔细观察，它们一定具有某些规律性的特点 ，本题通过观察会发现，各电阻之间有明显的对称性，这是解题的突破口。
【小结】对于有限网络电阻的求法解，方法很多。
但仔细研究会发现，大多网络电阻都具有对称性。
本题中的网络就关于A 、B连线对称。
因此，无论何种解法，无BABABB不利用了其对称性的特点。
【例三】如图所示是由12根电阻均为R 的导线组成的网络，求R AB =？【小结】此题的特点是“明明是连接的，却等效于没有连接”，值得玩味！【例四】图中是由50个电阻连接而成的电路，其中R 1=R 3=R 5=…R 49=50欧,R 2=R 4=R 6=……R 48=10欧, R 50=5欧,电源电压是10伏,求R 2消耗的电功率.分析：这又是一种有限网络的电阻问题，同学们不妨从最右边开始研究！！！看看有什么收获？【例五】如图表示由很多R=1欧的相同的电阻组成的无穷多个网络，求A 、B 间的总电阻。
提示：此题与上题的最大区别和关键在于“无穷多个”，也就是说多一个或少一个网格对整个网络的阻值没有影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于网络等效电阻的研究
初中物理竞赛中常见一种关于网络电阻的计算问题，题型变化虽然很多，有些题的难度甚至很大，但它们几乎都利用了“等效”这种物理学常用的思想。
当然，具体分析问题时还要用到“对称”、“割补”、“循环”等一些数学方法。
【引例】把一段均匀导线围成正方形，测得A 、B 两点间的电阻为15/16欧，如图所示，B 点为该边的中点，则正方形各边的电阻为多大？
【小结】此题把每边的电阻设为定值，然后再利用串、并联的知识和等效的思想。
【例一】由12根阻值均为1欧的电阻组成了如图所示的网络，求A 、B 间的电阻R AB 的大小。
【小结】此题属于“位置等效”！
【练习】如图所示，由许多阻值均为1欧的小电阻组成了一个网络，求A 、B 间的阻值多大？
【例二】如图所示是由12根电阻均为R 的导线组成的立方网络，求R AB =？
分析：这是一道典型的、具有竞赛特点的有限网络电阻问题，对于此类问题，要仔细观察，它们一定具有某些规律性的特点 ，本题通过观察会发现，各电阻之间有明显的对称性，这是解题的突破口。
【小结】对于有限网络电阻的求法解，方法很多。
但仔细研究会发现，大多网络电阻都具有对称性。
本题中的网络就关于A 、B
连线对称。
因此，无论何种解法，无
B
A
B
A
B
B
不利用了其对称性的特点。
【例三】如图所示是由12根电阻均为R 的导线组成的网络，求R AB =？
【小结】此题的特点是“明明是连接的，却等效于没有连接”，值得玩味！
【例四】图中是由50个电阻连接而成的电路，其中R 1=R 3=R 5=…R 49=50欧,R 2=R 4=R 6=……R 48=10欧, R 50=5欧,电源电压是10伏,求R 2消耗的电功率.
分析：这又是一种有限网络的电阻问题，同学们不妨从最右边开始研究！！！看看有什么收获？
【例五】如图表示由很多R=1欧的相同的电阻组成的无穷多个网络，求A 、B 间的总电阻。
提示：此题与上题的最大区别和关键在于“无穷多个”，也就是说多一个或少一个网格对整个网络的阻值没有影响。
请大家再仔细想想！！！，你会有办法的。
A
B
A。