(1)角的概念·弧度制
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
1.1.2(2)弧度制
解：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)到分针与
时针第一次重合，设时针转过x弧度，则分针走过2π+x
弧度.
因为时针走1弧度相当于经过 6 小时= 360分，分针走
一弧度相当于经过 30分，故有360
x=
30
(2π+x)，
所以x= 2 .
11
因此到分针时针第一次重合，分针转过角的弧度数是
2 +2π= 24.
比较α与β的系数
A A
B B
所21以A=
1 2 ，B=
1
所以2α-β= (α+β)+
(α3-β).
而＜
2
2
1 (α+β)＜
2，2-
2
3
3
＜
2
3(α-β)＜2
所以-π＜2α-β＜ .
6
3
.
2
2
2
评析 此题易犯如下错误解法
因为π＜α+β＜ 4， -π＜α-β＜- 两同 向不等式相加得0＜
2α＜π
解：(1)因为蒸汽机的飞轮每分钟转300周，故每秒
钟应转 300 =5周，因此飞轮每1秒转过的弧度数为
10π. 60 (2)由弧长公式l=α·r=10π·
1.=2 6π(米)
2
∴轮周上一点每1秒所转过的弧长为6π米.
【知识验证实验】 1.在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次 重合，分针所转过角的弧度数是多少?
的方法可确定 所ai 在的象限，分布情况如上图.
2
(终2边)若所已在知象角限α呢所?在在的直象角限坐，标如系何中确，定画一n(个n＞单1位,n圆∈，Z并)的
将圆周角分成4n等分，即将每个象限分为n等分，然后
高一数学同步测试(1)角的概念弧度制
高一数学同步测试（1）—角的概念·弧度制第I 卷（共50分）一、选择题（每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．下列命题中的真命题是（ ）A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是 （ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C 3．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k 3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin5．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 6．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对7．已知A(1，2) 、B(5，4) 、C(x ，3) 、D(－3，y) 且∥， 则x 、y 的值分别为（ ）A ．－7，－5B ．－7，5C ．7，－5D ．7， 5 8．将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数是（ ）A ．4πB ．－4π C ．6π D ．－6π 9．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为（ ）≠A ．22-B ．22C ．1D ．22或22- 10．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）A ．2)1cos 1sin 2(21R ⋅- B ．1cos 1sin 212⋅R C ．221RD ．221cos 1sin R R ⋅⋅-第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，共16分。
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
高中数学任意角与弧度制(原卷版)
5.1 任意角和弧度制考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：（根据旋转方向）名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角与轴线角（根据终边所在位置）把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化利用弧度与角度换算公式 考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则（1）弧长公式：l ＝αR .（2）扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.（3）扇形的周长公式：r lC 2+=. （4）弓形的面积公式：∆-=s s s 扇弓考点九：象限角与轴线角10.017451801801801(57.30rad rad radrad ππππ⎧=≈⎪⎪=⎨⎪=≈⎪⎩）考点十.成特殊关系的两角：1.若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：，Z k ∈2.若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：,Z k ∈3.若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：,Z k ∈4.若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：,Z k ∈5.与终边反向的角：6.终边在y=x 轴上的角的集合：7. 终边在轴上的角的集合：αβαββα-=k 360αβαββα-+= 180360k αβαβ 90360±+=βαk αβαββα+=k 180α{(21)180,}k k Z ββα︒=++⨯∈{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββx y -={}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ题型一：任意角的概念1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）A ．第一象限角一定不是负角B ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C ．第二象限角必大于第一象限角D ．钝角的终边在第二象限 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．锐角是第一象限的角 B ．终边相同的角必相等C ．小于90︒的角一定为锐角D ．第二象限的角必大于第一象限的角3．下列命题中正确的是（ ） A ．第一象限角是锐角 B ．锐角是第一象限角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角4．终边落在直线y =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈ZD ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈5．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-6．下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53π B ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈题型三：象限角7．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（ ） A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角8．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．150-︒是第二象限的角 D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角9．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：确定n 倍角所在象限10．若α是第一象限角，则2α-是（ ） A ．第一象限角 B ．第一、四象限角 C ．第二象限角 D ．第二、四象限角11．下列有4个命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，2α一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角；其中正确的命题有（ ） A ．（1）（2）B ．（3）（4）C ．（2）D ．（1）（2）（3）（4）12．角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）13．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-14．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（ ）A ．π2B ．7π8C ．34π D ．16π315．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（ ） A ．23π B ．2336πC ．1118πD ．712π 变式.下列说法中正确的是（） A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位题型六：角度与弧度的互化16．下列结论错误的是（ ） A ．－150°化成弧度是7rad 6π- B ．10rad 3π-化成度是－600° C ．6730︒'化成弧度是3rad 8π D ．rad 12π化成度是15°17． 把下列各角从弧度化为度： (1)2π-； (2)103π； (3) 1.5-； (4)25．18．把下列各角从度化为弧度：(1)15° (2)36° (3)105-︒ (4)145°题型七：、与扇形的弧长、面积有关的计算19．已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或520．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A．32B ．24C ．D ．21．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据： 3.14 1.73π≈）A ．572m 2B ．1448m 2C ．1828m 2D ．2028m 2【双基达标】一、单选题22．2022°是第（ ）象限角． A ．一B ．二C ．三D ．四23．下列选项中与角30α︒=-终边相同的角是（ ） A ．30B ．240C ．390D ．33024．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．4sin1B ．2sin1C ．2sin1D ．4sin125．给出下列四个命题:①-75°是第四象限角； ①小于90的角是锐角；①第二象限角比第一象限角大； ①一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. 其中正确的命题有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm27．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l 上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ） A ．563πB ．14πC ．24πD ．10π28．设α是第三象限角，且sin sin22αα=-，则2α的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1) (2)30．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【高分突破】一、单选题31．若角α的终边与函数()1f x x =-的图象相交，则角α的集合为（ ） A ．π5π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．3π7π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭ C ．3ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．5ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭32．已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．33．一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（ ） A ．53B ．23C ．35D ．3234．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈，3 1.73≈） A ．0.01 B ．0.05 C ．0.13 D ．0.53二、多选题35．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．下列给出的各角中，与53π-的终边相同的角有（ ） A ．3π B ．133πC ．23π-D ．53π37．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：5 2.236≈）（ ） A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035- 38．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S 的比值为510.6182-≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C ．2(51)απ=-D ．12512αα-=40．下列说法正确的是（ ） A ．150-化成弧度是76π-B ．103π-化成角度是600- C ．若角2rad α=，则角α为第二象限角D ．若一扇形的圆心角为30，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 2π41．下列说法错误的是（ ） A ．与735°终边相同的角是15°B ．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 4πC ．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角三、填空题42．一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度． 43．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．44．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．45．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．46．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 四、解答题47．已知α是第二象限角． (1)指出2α所在的象限，并用图形表示其变化范围； (2)若24α+≤，求α的取值范围．48．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大并求出最大值．49．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ⋂，A C ，A D ．。
高二数学角的概念与弧度制
2
3
, R 10, l R
解析：∵ 是第四象限的角，
2
2k (k Z ),
3 2k 2k , 2 k 2 k , 2 2
∴
是第三象限角．
题型二 扇形弧长、面积公式应用 已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R. (1)若 =60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形 面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当 为多少弧度时，该 扇形有最大面积？
3
3 3
2
2 k k (2) ×360°+30°＜ ＜ ×360°+60°，k∈Z.
①当k=3n，n∈Z时，n×360°+30°＜ ＜n×360°+60°，
n∈Z，则 3 是第一象限角；
3
②当k=3n+1，n∈Z时，n×360°+150°＜ ＜ n×360°+180°，
n∈Z，则 是第二象限角；
2. 已知角a的终边与角-690°的终边关于y轴对称，则 150°+k×360°(k∈Z) a=_____________________. 解析：角a的终边与角-690°的终边关于y轴对称，即角a与角(690°+720°)的终边关于y轴对称，即角a与角(180°+690°-720°) 的终边重合．故a=150°+k×360°(k∈Z)． 3. (必修4P10第2题改编)在集合A={a|a=120°+k×360°，k∈Z} {120°，-240° 中，属于区间(-360°，360°)的角的集合是_____________ ．} 解析：根据定义，与角a终边相同，且在区间(-360°，360°)的 角的集合是{120°，-240°}． 4. (2011×烟台模拟)已知角a的终边过点P(-4m,3m)(m 2 2 或 则2sina+cosa的值为________ 5 5．
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
角的概念弧度制
角的概念弧度制角的概念在几何学中是非常重要的，它是两条射线共享一个端点所围成的部分。
角可以用度数制或弧度制来度量，而本文将着重介绍弧度制。
弧度制是一种用弧长比来度量角的方法。
在弧度制中，一个单位角被定义为半径长度等于弧长的角。
具体来说，如果一个圆的半径为r，那么弧长等于r的角就是一个单位角。
而其他角的大小则可以通过比较其对应的弧长与单位角的弧长来度量。
为什么要使用弧度制呢？因为度数制是基于圆的划分，而弧度制则是基于圆的性质。
当我们进行很多数学运算时，使用弧度制更加方便和自然。
另外，使用弧度制也能更好地理解和应用微积分、三角函数等数学工具。
我们来看个例子，假设一个圆的半径为1，那么它的周长就是2π（π是圆周率）。
在度数制中，一个周角是360度，而在弧度制中，一个周角是2π弧度。
从这个例子可以看出，弧度制下的角度与周长之间有一个直观的联系。
弧度制可以与度数制进行转换。
一个周角等于2π弧度，也等于360度。
所以，一个圆的弧长等于半径乘以角度，可以用公式s = rθ表示，其中s是弧长，r是半径，θ是角度。
如果要将角度转换成弧度，可以使用公式radian = degree ×π/180。
弧度制还有一些特点和应用：首先，弧度制下的角度大小没有上限。
在度数制中，一个角的大小最大只能是360度，但在弧度制中，角的大小可以超过这个范围。
比如一个圆的全角就是2π弧度，或者说等于360度。
换句话说，弧度制下的角度是无限的，可以超过360度。
其次，弧度制很适合用来计算弧长和扇形面积。
当我们需要计算一个弧的长度或者一个扇形的面积时，可以直接使用弧度制下的角度来计算，而不需要进行转换。
这是因为弧长等于半径乘以角度，而扇形的面积等于半径平方乘以角度再除以2。
此外，弧度制还可以用来定义三角函数。
在三角函数中，我们常常会遇到正弦、余弦、正切等函数，这些函数的定义都是基于弧度制的角度。
通过将角度转换成弧度，我们可以直接得到三角函数的值。
任意角和弧度制三角函数的概念
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23Leabharlann 走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
三个三角函数的性质如下表：
三角 函数
定义域
sin α
R
cos α
R
第一 象限 符号 ＋ ＋
第二 象限 符号 ＋ －
第三 象限 符号 － －
第四 象限 符号
－ ＋
tan α
__α_α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z____
＋
－＋－
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1.判断象限角的两种方法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直 图象法 接判断已知角是第几象限角 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找 转化法 出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断 已知角是第几象限角
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2.确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的步骤 (1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围； (2)写出kα或αk的范围； (3)根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置．
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
3．任意角的三角函数 设 α 是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x， y)，则 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝yx(x≠0)．
三角函数-任意角与弧度制
三角函数-任意角与弧度制知识点1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
2. 角的分类为了区别起见，我们规定:（1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角（2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。
3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： {}360,S k k Z ββα==+⋅∈ 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。
5.弧度与角度的互化（1）弧度制的定义比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。
因此我们有如下定义：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr（2）. 弧度角的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度单位：rad 。
（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ⋅=α（4）. 角度与弧度的换算3602π=rad ；180π=rad 。
1°＝π180rad ；1 rad ＝(180π)° (3)特殊角的度数与弧度制对应表：（5）. 弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2题型一 终边相同的角的表示【例1】写出与75角终边相同的角的集合，并求在1080~360范围内与75角终边相同的角【例2】写出终边落在如图所示直线上的角的集合．【例3】如图βα，分别是终边落在OA,OB 位置上的两个角.且31560==βα，. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的所有角的集合;(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角θ.且3600≤≤θ的所有角的集合.【过关练习】1.下列各对角中终边相同的角是（ ）。
角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式
三角函数专题一角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式一、基本知识 1、角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上(3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．（3）.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．4．三角函数的诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan α二、题型精炼 题型一 角的认识例题 （多选）(1) 若角α是第二象限角，则α2可以是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案 AC【解答】 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ．当k为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C ．(多选）（2）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为（ ）．A ．135°B ．－675°C ．－315°D ．215° 答案 BC【解答】 所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．所以选择BC 练习 (1) 给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②－400°是第四象限角；③4π3是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．③④ 答案 C【解答】 －3π4是第三象限角，故①错误．4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．所以选择C (2) 已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B【解答】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限． 题型二 扇形的弧长与面积公式例题 （1）．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为 答案3【解答】 由扇形面积与弧长公式可得，21242S r α==，12l r α==，故4r =，解得弧度数3α=（2）．已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10，则该扇形的周长为（ ） A ．10sin 2B ．10sin1C ．20sin 2D ．20sin1答案D【解答】 由题意得：扇形的半径5sin1r =，则该扇形的弧长102sin1l r ==， ∴该扇形的周长为202sin1l r +=.故选：D. 练习 (1) 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 答案 1【解答】 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1． (2) 若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm ． 答案833π 【解答】 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝122r ，得r ＝43，又α＝2π3，所以l ＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)． 题型三 任意角的三角函数例题 (1) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案 D【解答】 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．(2) 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43答案 D【解答】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．练习 （1）．已知角α的终边与单位圆交于点13,2A ⎛⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】A【解答】根据三角函数的定义可知，3sin y α==A ． （2）．已知角α的终边经过点()1,2P -， 则tan α=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】B【解答】解：由题意得2tan 21α==--. 题型四 同角三角函数关系例题 （1）．已知角α的终边经过点P （1，m ），且sin α=−3√1010，则cos α＝（ ） A ．±√1010B ．−√1010C ．√1010D ．13【答案】C【解答】解：因为角a 的终边经过点P （1，m ），所以OP =√1+m 2 因为sin α=−3√1010，所以：√1+m 2=−3√1010；所以m ＝﹣3．（正值舍） 故cos α=1√1+m =√1010；故选：C ．（2）．已知a 是第二象限角，tanα=−13，则cos α＝（ ） A ．3√1010B ．−3√1010C ．√1010D ．−√1010【答案】B【解答】解：∵α为第二象限角，tan α=−13， ∴cos α=−√11+tan 2α=−3√1010． 故选：B ．练习 （1）．(多选）已知3sin 5α=，则cos α=（ ） A ．45B ．45-C ．34D ．34-【答案】AB 【解答】因为3sin 5α=，则α为第一象限角或者第二象限，所以24cos 1sin 5αα=-或45-．故选：AB ． （2）．已知cos α2tan α=1，则sin α=（ ） A ．13B 2C ．37D ．59【答案】B【解答】22sin cos tan 1ααα=⨯==故选：B 题型五 齐次方程例题 （1）．已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+（ ）A ．13-B ．23-C ．49-D ．29-【答案】D【解答】解：因为tan 4θ=，所以2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯，故选：D.（2）．已知1tan 2θ=，则2cos cos sin θθθ+=（ ） A 13+B 33+C ．65D ．56【答案】C【解答】因为1tan 2θ=，故2222211cos sin cos 1tan 621sin cos 1tan 51()2θθθθθθθ+++===+++故选:C. 练习 （1）．已知tan α＝2，则2sin 2α+cos 2αsin 2α−3cos 2α的值为（ ） A ．9 B ．6C ．﹣2D ．﹣3【答案】A【解答】解：因为tan α＝2， 则2sin 2α+cos 2αsin 2α−3cos 2α=2tan 2α+1tan 2α−3=2×4+14−3=9．故选：A ．（2）．已知tan α=−12，则1sin2α−cos 2α=（ ）A ．−54B ．−58C ．58D ．54【答案】B 【解答】解：1sin2α−cos 2α=sin 2α+cos 2α2sinαcosα−cos 2α=tan 2α+12tanα−1=14+12×(−12)−1=−58．故选：B ． 题型六 诱导公式例题（1）．已知sin （π+α）=35，则sin(2π−α)cos(π−α)sin(π2−α)=【答案】−35【解答】解：∵sin （π+α）=35=−sin α，∴sin α=−35， ∴sin(2π−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sin α=−35，（2）．已知sin （π2−α）=35，则cos （π+α）＝（ ）A ．−35B ．35C ．45D ．45【答案】A【解答】解：∵sin(π2−α)=35， ∴cos α=35，∴cos （π+α）＝﹣cos α=−35． 故选：A ．练习 （1）．cos 225︒的值为【答案】22-【解答】解：()2cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒= （2）．若f(x)=()()()sin πcos 2π1sin cos π2θθθθ-+-=++，求tan α的值 【答案】-3 【【解答】()()()sin πcos 2πsin cos 1sin cos πsin cos 2θθθθθθθθ-+-+==++-，分子分母同除以cos θ， tan 11tan 12θθ+=-，解得：tan 3θ=-故选：C。
1.1.1角度和弧度
1.1.1 任意角角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．表示，用语言可表示为起始位置；表示，用语言可表示为终止位置．图示轴的非负半轴重合时，(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．()(2)第一象限的角一定是锐角．()(3)终边相同的角是相等的角．()2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是() A．1B．2C．3D．4 3．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}4．2019°是第()象限角() A．一B．二C．三D．四类型一任意角的概念及应用例1(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．2．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C⊆C3．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个类型二终边相同的角例2写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．（1）α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．5．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.类型三象限角与区间角的表示例3(1)若α是第四象限角，则－α一定在()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练1、(1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2、已知α是第二象限角，则180°－α是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列角中，终边在y 轴非负半轴上的是( ) A ．45° B ．90° C ．180° D ．270° 2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．240°D ．－240° 3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z } 4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)180°(k ∈Z ) 二、填空题(每小题5分，共15分)6．图中从OA 旋转到OB ，OB 1，OB 2时所成的角度分别是________、________、________.7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________． 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．＝0对称，且0°<α<360°13．如图，写出终边在直线上的角的集合．14．已知α是第四象限角，则1.1.2 弧度制度量角的两种制度定义用度作为单位来度量角的单位制角度．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．类型一角度与弧度的换算1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：2、(1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad 化为角度为________．(2)设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6. ①将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；②将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．类型二 用弧度制表示角的集合 例2 已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．（3）用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．方法归纳用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．【例4】(1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________；(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)6．若三角形三内角之比为：：5135°的扇形的半径为分，共20分)将下列角度与弧度进行互化：(1)20°⎩⎭⎪42．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出ππ。
弧度制
3 C.2
B.
3 D. 2
3. 5弧度的角所在的象限为(D )
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
4.与A. C.
7 3
7 终边相同的角中，最小的正确是( C ) 3
B.
5 3
3
D.-
3
) C B.第二象限的角 D.第四角限的角
5.若α是第四象限的角，则π-α是( A.第一象限的角 C.第三象限的角
即2× +1×
2
+
×
+
3× 3 = 9 2
3 π(dm);3段弧所对的扇形的
【同步达纲练习】 一、选择题 1.α、β是第一象限内角，则α＞β是sinα＞sinβ的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是( C ) A.-
解：设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β
比较α与β的系数 所以2α-β=
A B 2 所以A= A B 1
2 1 而 ＜ (α+β)＜ ，2 3 2
所以-π＜2α-β＜
1 (α+β)+ 2
.
1 ，B= 2
(α-β).
3 2
3 . 2
2
＜2nπ+
4
,这时
2
在第一象限.
说明：(1)设αi(i=1,2,3,4)是第i象限的角，用上面同样 ai 的方法可确定 所在的象限，分布情况如上图.
2
弧度制 (1)
S | k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
S 它们构成一个集合： | 2k , k Z
小
弧度制
度量单位
结
角度制 角度
弧度
单位规定 等于半径的长 的圆弧所对应 的圆心角叫1 rad 的角
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角. 如α =-150º.
零角：没有作任何旋转的角.记作 α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
(三)角的位置:
1.象限角
y B1 o B2
x
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角.
l r
注意： (1)正角的弧度数是正数，负角的 弧度数是负数，零角的弧度数是0。 (2)角的弧度数的绝对值 l (l为弧长 r为半径 ) r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角， 单位不同，但量数相同（都是0）。 (5)用角度制和弧度制来度量任一非 零角，单位不同，数量也不同。
三、角度与弧度间的换算
3 3 解： rad 180 108 5 5
写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
例2、把下列各角化为度：
5 (1) rad 6
r
2p r l= n 360
A r
1角的概念和弧度制
或 k 1
代回得 675 或 315 （2）因为 M x | x ( 2 k 1) 45 , k Z 表示的是终边落在四个象限 的平分线上的角的集合；而集合 N x | x ( k 1) 45 , k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N 【点评与感悟】与 角终边相同的角（连同角 在内）， 可以表示为 k 3 6 0 , k Z .
角的概念和弧度制
• 一. 角的概念
• 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形，叫做角。按逆时针方向旋转所 形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一 条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始 位置称为始边，终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶 点。
k （2）设集合 M x | x 180 45 , k Z 2
，
k N x | x 180 45 , k Z 4
，那么两集合的关系是什么？
【思路分析】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出 所有与 角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出 相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情 况展开讨论。
≤α≤
}=[
5 6
6
， 6
]。 6
5
6.终边相同的角：与 角终边相同的角的集合（连同角 在内），可以记为{ ｜ k 360 , k Z }
7.几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置 X轴正半轴 Y轴正半轴 X轴负半轴 Y轴负半轴 角的集合
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
角与弧度制
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第一节 角的概念与弧度制
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作业
Ｐ52 1（偶数）、2（偶数）、 3（偶数）、5、6
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设圆的半径为 r ，圆的弧长为 l ，该弧所对的圆心 角为 ，则角 的弧度数的绝对值是： l r 即圆心角的弧度等于它的弧长与圆的半径的比值.
2 r r
2
360 2 rad
180 rad
X
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4 2 360 30 690
K 360 30
(K Z )
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一般地， 所有与角 的终边相同的角， 有无穷 多个，它们彼此相差 360 的整数倍，可用一般形 式：
解 （1）由于 970 = 2 360 250 ，而 250 是第 三象限的角，所以 970 也是第三象限的角； （2） 由于 1650 = 5 360 150 ， 150 是 而
第二象限的角，所以 1650 也是第二象限的角．
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1、角的概念·弧度制
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=C
C ．A ⊂C
D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是
（ ）
A ．
π2
k 与)(2Z k k ∈+
ππ
B ．)(3k
3Z k k ∈±
ππ
π与
C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈
D ．)(6
6Z k k k ∈±
+
π
πππ与
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
1
sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5
sin
,5
(cos π
π
，则α等于
（ ）
A ．
5
π
B ．5
cot
π
C ．)(10
32Z k k ∈+ππ D ．)(5
92Z k k ∈-
ππ
5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是
（ ）
A ．
3
π B ．－
3
π C ．
6
π D ．－6
π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有
（ ）
A ．)(2
Z k ∈-=
βπ
α B ．)()2
1
2(Z k k ∈-+
=βπα
C ．)(2Z k ∈-=βπα
D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα
7．集合A={},
32
2|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=
ππααπαα， B={},
2
1
|{},3
2|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπ
ββ，
则A 、B 之间关系为
（ ）
A ．A
B ⊂ B ．B A ⊂
C ．B ⊂A
D ．A ⊂B
≠
8．某扇形的面积为12
cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4 9．下列说法正确的是
（ ）
A ．1弧度角的大小与圆的半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D ．用弧度表示的角都是正角
10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．
2
3 11．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）
A ．
2)1cos 1sin 2(21
R ⋅- B ．
1cos 1sin 2
12
⋅R
C ．22
1R
D ．2
2
1cos 1sin R R ⋅⋅-
12．若α角的终边落在第三或第四象限，则2
α
的终边落在 （ ）
A ．第一或第三象限
B ．第二或第四象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限
二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．αα
α
sin 12
sin
2
cos
-=-，且α是第二象限角，则
2
α
是第 象限角. 14．已知βαπ
βαππβαπ-2,3
,34则-<-<-<
+<的取值范围是 . 15．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .
16．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为
.
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）
17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）
（1）（2）（3）
18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.
试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？
（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
20．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方
向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?
21．已知集合A={}810,150|{},135|≤≤-︒⋅==∈︒
⋅=k k B Z k k ββαα
求与A ∩B 中角终边相同角的集合S.
22．单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向
旋转
6π弧度/秒，N 点按顺时针转3
π
弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.
参考答案
一、1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B 二、13．三 14． )6,(ππ- 15．]2,2
(),23(πππ⋃-- 16．16
2
C
三、17．（1）}1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα； （2）}904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；； （3）}360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．
18．（1）设文字长、宽为l 米，则)(01454.0001454.01010m l =⨯==α； （2）设人离开字牌x 米，则)(275001454
.04
.02
m l x ==
=．
19．22102
1
,
220r r r S r
-=⋅⋅=
-=αα，当2,5==αr 时，)(252max cm S =． 20．设需x 秒上升100cm .则
π
π15
,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒）． 21．}360k 1350360|{Z k k S ∈︒⋅=︒-︒-==ααα或．
22．设从P （1，0）出发，t 秒后M 、N 第三次相遇，则ππ
π
63
6
=+
t t ，故t =12（秒）．
故M 走了
ππ
2126
=⨯（弧度），N 走了
ππ
4123
=⨯（弧度）．。