范德蒙行列式的历史回顾与应用
[整理版]范德蒙行列式及其应用
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范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
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列）的元素除错误！未找到引用源。
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范德蒙德行列式的应用
前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。
行列式本身有着悠久的历史。
行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。
早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。
1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。
同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。
莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。
1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。
范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。
范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。
范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。
他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。
自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。
19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。
第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。
他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。
1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。
1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。
而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
范德蒙德行列式的研究与应用
范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。
2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。
3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。
1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。
具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。
范德姆行列式
范德姆行列式范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是一个非常重要的行列式，它在数学和工程领域具有广泛的应用。
它是由18世纪的法国数学家亚历山大·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次引入和研究的。
范德蒙德行列式的定义相对简单，但其推理和性质却十分复杂。
在深入研究范德蒙德行列式之前，我们首先需要了解行列式的基本概念。
一个$n$阶方阵$A$的行列式（denoted by $|A|$）是一个数值，它代表了该矩阵$n$个行（或$n$个列）之间的线性相关性。
行列式可以通过不同方法计算，其中最常用的方法是利用矩阵的行列式定义。
对于$n$阶方阵$A$，它的行列式可以由下式计算：\[ |A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdota_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]其中$S_n$表示所有$n$个元素的排列集合，$\sigma$是其中的一个排列，$\text{sgn}(\sigma)$表示排列$\sigma$的符号，$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。
范德蒙德行列式是一个特定形式的行列式，它的元素由一组互不相同的实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$构成，且$n$为正整数。
它的定义如下：\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \]范德蒙德行列式具有以下性质：1. 对任意$i \neq j$，存在常数$r$，使得$x_i^r = x_j^r$。
行列式的发展史及应用
行列式的发展史及应用行列式理论产生于17世纪末，到19世纪末，其理论体系已基本形成。
1693年，德国数学家莱布尼茨（leibnie，1646—1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。
当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。
1729年，英国数学家马克劳林 (maclaurin，1698—1746)以行列式为工具解含有2、3、4个末知量的线性方程组。
在1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念。
1750年，瑞士数学家克拉默 (gramer，1704—1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。
即产生了克拉默法则。
1772年。
法国数学家范德蒙 (vandermonde，1735—1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。
1172年，法国数学家拉普拉斯 (laplace。
1749梷1827)推广了范德蒙展开行列式的方法。
得到我们熟知的拉普拉斯展开定理。
1813一1815年，法国数学家柯西 (cauchy，1789—1857，对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行和列，使行列式的记法成为今天的形式。
英国数学家凯菜 (cayley，于1841年对数字方阵两边加上两条竖线。
柯西证明了行列式乘法定理:。
1841年，德国数学家雅可比(jacobi)发表的《论行列式的形成与性质》一文，总结了行列式的发展。
同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。
到19世纪末，行列式的研究成果仍在发表，但行列式的基本理论体系已经形成。
范德蒙德行列式的几点应用
第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。
范德蒙行列式及其应用
目录摘要及关键词 (1)一、范德蒙行列式 (1)(一)范德蒙行列式定义 (1)(二)范德蒙行列式的推广 (4)二、范德蒙行列式的相关应用 (8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语 (22)四、参考文献 (23)范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。
本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。
关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元x,2x n x的n阶行列式1122221211112111n n nn n n nx x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。
浅析Vandermonde行列式的性质与应用毕业论文
浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vect or space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明 从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............... (01)1...111211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(......... (121121)1222131131123211112a a aa a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a n n nn n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --) =1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明 （1）当2n =时, 221121 1 V a a a a ==-成立.（2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(11 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................n n n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V =122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k nnn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1)其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明 （i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k nn k k k k nk k k k nnn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式 计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解 由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式n nn n n n D 22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解 提取1+n D 各行的公因式，得：n n n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++解 在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明 将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a cba++++++222=222111)(c b a c b a c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明 用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明 用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222111221121+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n n k k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j ik k10)(由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点， 即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析 要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明 设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明 只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ， 因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明 我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k 即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1 而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x x x , , ,12线性无关. 故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆， 使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明 设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ，n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S 中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业 知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde 行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde 行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde 行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde 行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde行列式的相互应用[J].济南大学学报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.。
范德蒙德行列式的应用
前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。
行列式本身有着悠久的历史。
行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。
早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。
1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。
同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。
莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。
1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。
范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。
范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。
范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。
他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。
自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。
19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。
第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。
他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。
1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。
1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。
而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。
范德蒙德行列式在行列式计算中的应用
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １７范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算中的应用Һ侯丽芬㊀（朔州师范高等专科学校数计系，山西㊀朔州㊀０３６００２）㊀㊀ʌ摘要ɔ范德蒙德（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ）行列式是一类重要的行列式，本文结合实例讨论了范德蒙德行列式的计算，以及如何将一些特殊的行列式化为范德蒙德行列式进行计算，以减小计算量，提高计算效率．ʌ关键词ɔ范德蒙德行列式；行列式计算行列式的计算是线性代数中的重要内容，范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它具有独特的标准形式及简明的计算结果．本文从范德蒙德行列式的计算结果出发，结合行列式的计算性质，讨论了将一些特殊的㊁类似于范德蒙德行列式的行列式转化为范德蒙德行列式进行计算，最终化繁为简，使解题达到事半功倍的效果．形如１１ １ａ１ａ２ ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１ｎ的ｎ阶行列式称为范德蒙德行列式．若Ｄｎ为ｎ阶范德蒙德行列式（ｎȡ２），则Ｄｎ＝（ａｎ－ａｎ－１）㊃（ａｎ－ａｎ－２） （ａｎ－ａ１）（ａｎ－１－ａｎ－２）（ａｎ－１－ａｎ－３） （ａｎ－１－ａ１） （ａ３－ａ２）（ａ３－ａ１）（ａ２－ａ１）＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），即ｎ阶范德蒙德行列式等于ａ１，ａ２， ，ａｎ这ｎ个数的所有可能的差ａｉ－ａｊ１ɤｊ＜ｉɤｎ()的乘积．下面结合实例说明一些特殊行列式的计算方法．１．直接利用范德蒙德行列式的结果计算例１㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４．分析㊀该行列式是一个四阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２，ａ３＝３，ａ４＝４．解㊀由范德蒙德行列式的结果，可得Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４＝（４－３）（４－２）（４－１）（３－２）（３－１）（２－１）＝１２．２．利用行列式的性质计算（１）提取公因式法例２㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１２３ ｎ１２２３２ ｎ２１２ｎ３ｎｎｎ．分析㊀该行列式中各列元素都分别是一个数自上而下按升幂顺序排列，方幂次数都是从１到ｎ．如果分别提取各列的公因数，则方幂次数便成为从０到ｎ－１，得到一个标准的ｎ阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２， ，ａｎ＝ｎ．解㊀Ｄｎ＝１２３ｎ１２２３２ ｎ２ １２ｎ３ｎ ｎｎ＝ｎ！１１１ １１２３ ｎ１２２３２ｎ２１２ｎ－１３ｎ－１ｎｎ－１＝ｎ！（２－１）（３－１） （ｎ－１）（３－２） （ｎ－２） ［ｎ－（ｎ－１）］＝ｎ！（ｎ－１）！（ｎ－２）！ ２！１！．（２）行㊁列变换法例３㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１＋ｓｉｎＡ１１＋ｓｉｎＡ２１＋ｓｉｎＡ３１＋ｓｉｎＡ４ｓｉｎＡ１＋ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎＡ２＋ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎＡ３＋ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎＡ４＋ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ２Ａ１＋ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ２Ａ２＋ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ２Ａ３＋ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ２Ａ４＋ｓｉｎ３Ａ４．分析㊀依次将行列式的上一行乘－１加到下一行，所得结果再乘－１加到下一行，则得到一个范德蒙德行列式．解㊀Ｄ＝１１１１ｓｉｎＡ１ｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ３ｓｉｎＡ４ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ３Ａ４＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤ４（ｓｉｎＡｉ－ｓｉｎＡｊ）．（３）升阶法例４㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１１ １１ａ１ａ２ ａｎ－１ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎ－１ａ２ｎａｎ－２１ａｎ－２２ ａｎ－２ｎ－１ａｎ－２ｎａｎ１ａｎ２ａｎｎ－１ａｎｎ．分析㊀根据ｎ阶行列式Ｄｎ的特点，通过加边的方法添加一行一列．在第ｎ行与第ｎ－１行之间加入含有ａｎ－１ｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）的一行，再加入相应的一列１，ｂ，ｂ２， ，ｂｎ，构造一个（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式Ｄｎ＋１间接求出Ｄｎ．解㊀加边，作（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １７Ｄｎ＋１＝１１１１ａ１ａ２ ａｎｂａ２１ａ２２ａ２ｎｂ２ ａｎ－２１ａｎ－２２ ａｎ－２ｎｂｎ－２ａｎ－１１ａｎ－１２ ａｎ－１ｎｂｎ－１ａｎ１ａｎ２ａｎｎｂｎ，将Ｄｎ＋１按第（ｎ＋１）列展开，得Ｄｎ＋１＝Ｍ１，ｎ＋１㊃１＋Ｍ２，ｎ＋１㊃ｂ＋ ＋Ｍｎ，ｎ＋１㊃ｂｎ－１＋Ｍｎ＋１，ｎ＋１㊃ｂｎ．其中ｂｎ－１的系数为：Ｍｎ，ｎ＋１＝（－１）ｎ＋（ｎ＋１）㊃Ｄｎ＝－Ｄｎ．而由范德蒙德行列式的结果，可知Ｄｎ＋１＝（ｂ－ａ１）（ｂ－ａ２） （ｂ－ａｎ）（ａ２－ａ１）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）＝［ｂｎ＋（－１）（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）㊃ｂｎ－１＋ ］ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），其中ｂｎ－１的系数为－（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），比较系数，得Ｄｎ＝（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）．（４）拆项法例５㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１＋ａ１１＋ａ２１１＋ａｎ１１＋ａ２１＋ａ２２ １＋ａｎ２１＋ａｎ１＋ａ２ｎ １＋ａｎｎ．解㊀Ｄｎ⇒升阶１００ ０１１＋ａ１１＋ａ２１ １＋ａｎ１１１＋ａ２１＋ａ２２１＋ａｎ２１１＋ａｎ１＋ａ２ｎ１＋ａｎｎ＝１－１－１ －１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎ ａｎｎ再把第一行拆成两项之和２０００１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ－１１１１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ＝２ａ１ａ２ ａｎᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）－ᵑｎｉ＝１（ｘｉ－１）ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）＝２ᵑｎｉ＝１ａｉ－ᵑｎｉ＝１（ａｉ－１）[]㊃ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）．（５）拉普拉斯展开法例６㊀计算行列式Ｄ＝１０ａ１０ ａｎ－１１００１０ｂ１ ０ｂｎ－１ｎ１０ａ２０ａｎ－１２００１０ｂ２０ｂｎ－１２１０ａｎ０ａｎ－１ｎ００１０ｂｎ ０ｂｎ－１ｎ．分析㊀由拉普拉斯定理，运用公式Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋ ＋ＭｎＡｎ来计算行列式的值．解㊀取第１，３， ，２ｎ－１行，第１，３， ，２ｎ－１列展开，得Ｄ＝１ａ１ ａｎ－１１１ａ２ ａｎ－１２１ａｎａｎ－１ｎ１ｂ１ ｂｎ－１１１ｂ２ ｂｎ－１２１ｂｎｂｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）（ｂｉ－ｂｊ）．（６）行列式乘积变换法例７㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝Ａ０Ａ１ Ａｎ－１Ａ１Ａ２ＡｎＡｎ－１ＡｎＡ２ｎ－２，其中Ａｋ＝ａｋ１＋ａｋ２＋ ＋ａｋｎ＝ðｎｉ＝１ａｋｉ（ｋ＝０，１， ，２ｎ－２）．分析㊀由行列式的乘法规则可以将Ｄｎ化为两个范德蒙德行列式的乘积．解㊀Ｄｎ＝ｎðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａ２ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａ２ｎ－２ｉ＝１１１１ａ１ａ２ａ３ ａｎａ２１ａ２２ａ２３ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１３ａｎ－１ｎ１ａ１ａ２１ ａｎ－１１１ａ２ａ２２ ａｎ－１２１ａ３ａ２３ａｎ－１３１ａｎａ２ｎ ａｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）２．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］郑大川，吴瑞武．线性代数与概率论［Ｍ］．北京：中国农业出版社，２０１２，０１．［３］杨艳丽．范德蒙行列式及其应用［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１５（９）：１３６－１３７．［４］牛海军．范德蒙行列式在行列式计算中的应用［Ｊ］．中国科教创新导刊，２００８（１７）：１４０．. All Rights Reserved.。
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。
它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。
范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。
证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。
当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。
vandermonde行列式的一个推广及其在初等数学中的应用
vandermonde行列式的一个推广及其在初等数学中的应用
拉斐尔·范德蒙德（Rafael de laVandermonde）是一位法国数学家，他发明了一种矩阵，被称为范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）。
范德蒙德矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一行都是一个等差数列，每一列都是一个等比数列。
它的行列式可以用来计算一组数字的组合数。
范德蒙德矩阵的一个推广是多项式矩阵，它是一种特殊的范德蒙德矩阵，它的每一行都是一个多项式，每一列都是一个多项式的系数。
多项式矩阵的行列式可以用来计算一组多项式的组合数。
范德蒙德矩阵和多项式矩阵在初等数学中有着广泛的应用。
它们可以用来计算一组数字或多项式的组合数，这在求解多项式方程时非常有用。
此外，它们还可以用来计算组合数学中的组合数，以及概率论中的概率分布。
总之，范德蒙德矩阵和多项式矩阵是一种特殊的矩阵，它们的行列式可以用来计算一组数字或多项式的组合数，在初等数学中有着广泛的应用。
范德蒙行列式的应用
范德蒙行列式的应用什么是范德蒙行列式范德蒙行列式是线性代数中的一个重要概念，由荷兰数学家范德蒙提出。
它是一个多项式的行列式，其中每一行的元素都是以一定规律排列的。
范德蒙行列式的一般形式如下：∣∣∣∣∣∣∣∣1a 1a 12⋯a 1n−11a 2a 22⋯a 2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1a n a n 2⋯a n n−1∣∣∣∣∣∣∣∣其中，a 1,a 2,…,a n 是给定的实数或复数。
范德蒙行列式的值可以通过高斯消元法等方法求得。
范德蒙行列式的应用范德蒙行列式在数学中有广泛的应用，特别在概率论、信号处理、统计学和机器学习等领域中发挥着重要作用。
1. 描述一组向量的线性相关性通过计算范德蒙行列式的值，可以判断一组向量是否线性相关。
具体来说，对于给定的向量 v 1,v 2,…,v n ，将它们按列排列成一个矩阵 A ，则范德蒙行列式的值可以判断这组向量是否线性相关。
当范德蒙行列式的值为零时，表示这组向量线性相关；当范德蒙行列式的值不为零时，表示这组向量线性无关。
2. 描述多项式插值问题范德蒙行列式可以用于多项式的插值问题。
给定一组已知的点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )，其中 x i 互不相同，我们希望找到一个次数不超过 n −1 的多项式 P (x )，满足 P (x i )=y i 。
这时，我们可以使用范德蒙行列式来表示插值多项式的系数。
具体来说，设V是一个n×n的矩阵，其中V ij=x i j−1，则范德蒙行列式的每一行都是已知点的自变量的幂次，根据多项式插值定理，范德蒙行列式的值的绝对值等于插值多项式中的每个系数的模的值。
3. 生成正交多项式范德蒙行列式也可以用于生成正交多项式。
正交多项式是一类特殊的多项式，满足在某个权函数下的正交性。
根据勒让德正交多项式、切比雪夫正交多项式、拉盖尔正交多项式等的定义，我们可以利用范德蒙行列式来生成这些正交多项式。
具体来说，设V是一个n×n的矩阵，其中V ij=P i−1(x j)，P i−1(x)表示度数不超过i−1的多项式。
范德蒙的行列式
范德蒙的行列式范德蒙的行列式是线性代数中的重要概念之一，它广泛应用于数学、工程、物理等领域。
它的发现与发展不仅推动了行列式理论的进步，也为解决实际问题提供了强有力的工具。
首先，让我们来了解一下行列式的基本概念。
标准的范德蒙行列式是一个n阶矩阵，其中每个元素都是从一个给定的集合中（通常是实数或复数）选择的。
它的特点是具有一定的排列规律，这些排列规律决定了行列式的计算方式。
行列式的排列规律由范德蒙命名，他是17世纪时期的法国数学家。
行列式的计算结果是一个标量，它可以用于描述矩阵的性质和变换的特性。
行列式的计算涉及到元素的排列和符号的确定。
对于一个n阶行列式，它包含n个元素，首先需要将这些元素进行全排列，然后根据排列的奇偶性来确定每个排列的符号。
具体而言，如果排列的逆序数为偶数，则符号为正；如果逆序数为奇数，则符号为负。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的数量。
逆序对是指在一个排列中，如果一个数的序号比它右边的数的序号小，则称这两个数构成一个逆序对。
通过计算每个排列的符号，并将每个排列的元素按照一定的规则进行相乘，最后将所有结果相加，就得到了行列式的值。
行列式的值不仅能够揭示矩阵的性质，还能帮助我们解决方程组、计算面积和体积等实际问题。
例如，在线性代数中，如果一个n阶矩阵的行列式的值为零，那么这个矩阵是奇异的，意味着它不可逆。
这对于解决方程组的存在唯一性以及求逆矩阵等问题非常重要。
此外，行列式的值还可以用来计算多边形的面积和体积。
对于二维平面上的多边形，只需要取多边形的顶点坐标，利用范德蒙的行列式公式，就能够计算出多边形的面积。
对于三维空间中的物体，只需要取物体的顶点坐标，同样可以使用范德蒙的行列式公式计算出物体的体积。
了解了行列式的基本概念和计算方法后，我们不难发现行列式在数学、工程、物理等领域的应用广泛而深入。
在数学领域，行列式是线性代数的基础，它广泛应用于矩阵理论、线性方程组的解法以及向量空间的推导等方面。
范德蒙对行列式的贡献
范德蒙对行列式的贡献好啦，先来点背景知识。
行列式，简单来说就是一种用来表示矩阵“大小”和“性质”的数学工具。
看着复杂，实则简单。
想象一下，你有一个房间，里面放着一些杂乱无章的家具，你需要知道每个家具的大小、形状、位置以及它们之间的关系。
行列式，正好就是用来“量度”这些家具之间关系的一个“尺子”。
至于范德蒙，他的贡献，就像是给了我们一个能精准测量这个房间的超级工具，真心不夸张！他把复杂的行列式问题给化繁为简，降低了难度，也让大家不再像以前那样被一堆复杂公式吓到。
再说到范德蒙当年做的这个贡献，不能不提他提出的“范德蒙行列式”。
这个名字听起来是不是有点高大上？别害怕，它可比听起来要简单得多。
范德蒙行列式本质上是一个特殊的行列式，它不仅在数学上有着广泛应用，而且在物理、计算机科学、工程等领域也是“常客”。
最重要的是，它的结构非常简洁，几乎是行列式的“开山鼻祖”。
你看，它每一列的元素都只是“数列”的某种形式，几乎不需要做复杂的计算。
要说，范德蒙真的是为大家节省了不少脑细胞。
如果你对行列式有点基础知识，你就会知道，行列式的计算往往是一个“痛苦”的过程。
想象一下，要通过一堆公式去解出一个行列式，往往一不小心就弄错了一个符号，结果整个答案就崩了。
谁不想要一种快捷、简单又能高效解决问题的方式呢？范德蒙行列式给的答案，简直是懒人福利！它告诉你，只要稍微懂点规律，你就能很轻松地算出行列式，简直是数学界的小天使啊。
更妙的是，范德蒙行列式不仅仅是“好算”，它还具有超强的“通用性”。
在数学的不同领域，范德蒙行列式都能大展拳脚。
比如，很多时候我们会用它来判断一组向量是否线性无关。
你知道什么是线性无关吗？打个比方，就好像你有三个人，你告诉他们去做一件事，每个人的任务都有点不同。
如果三个人互相独立，没有人做重复的工作，那么他们就是“线性无关”的。
而如果他们的任务是重复的，最后一个人的任务可以被前面两个人的任务“替代”，那就说明他们是“线性相关”的。
范德蒙行列式的证明及其应用
X 德蒙德行列式的证明及其应用摘 要：介绍了n 阶X 德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了X 德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用X 德蒙行列式的结论简化n 阶行列式的计算过程.探究X 德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：X 德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等X 德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索X 德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2X 德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式1121121111---n nn n na a a a a a(1)称为n 阶的X 德蒙（Vandermonde ）行列式.由X 德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥阶X 德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积. 2.2X 德蒙德行列式的证明12112211120011111221111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→−---)()()()()()(12132312221133122123121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→−---展开按上式112312)())((----=n n D a a a a a a仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故)()()())()(())((112242311312j i ni j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=-------=∏≤<≤-已知在n 级行列式 nnnj n in ij i n j a a a a a a a a a D 111111=中,除第i 行（或第j 列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积ij ij A a D =,在113121122322213211111----=n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a D中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((------=n nn n nn n a a a a a a a a a a a a D等式右边的第二个因子是1-n 阶行列式,用1-n D 表示,则上式中111312)())((----=n n n D a a a a a a D同样地,可以得到2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D此处2-n D 是一个2-n 阶X 德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312-------=n n n n n a a a a a a a a a a a a D)(1j i ni j a a -=∏≤<≤3X 德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3>n 时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n 维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为X 德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例 1.设V 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数n m ≥,则在V 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关]7[.证明:因为n F F ≅,所以只须在n F 中考虑.取)3,,3,3,1(121-=n a))3(,,3,1(2122-=n a))3(,,3,1(1m n m m a -=令.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(312112*********1m k k k D n k n k k k n k k k n k n n n nk≤≤≤≤≤=---121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111---=n k k k n k k k n k k k n n n nD是X 德蒙行列式 且0≠n D ,所以n k k k a a a ,,,21 线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例 2.设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有个互异的特征值n λλλ,,,21 ,则与σ可交换的V 的线性变换是12,,,,-n e σσσ 的线性组合,这里e 为恒等变换.证明:由题意,由于σ是n 维向量V 上的线性变换,由线性变换的定义得n i i i i ,,2,1,)( ==αλασ,假设{}F k k V i ∈=|αλ是δ的不变子空间.根据不变子空间的特点,δ是与σ可交换的线性变换.令112210--++++=n n x x x e x σσσδ 且n i k i i i ,,2,1,)( ==αασ,则有以下方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=------111012121021111101n nn n n n n n n x x x k x x x k x x x k λλλλλλ （2）由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j 1j i ni D λλ-∏=≤<≤,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,-n e σσσ 这n 个向量线性无关,题目得证. 3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例 3.设n n x c x c c x f +++= 110)(.若()f x 至少有1+n 个不同的根,则0)(=x f .证明:取121,,,+n x x x 为()f x 的1+n 个不同的根.则有由齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++++000121211022222101212110n n n n n nn n n x c x c x c c x c x c x c c x c x c x c c (3) 其中n c c c ,,,10 看作未知量.且0)(1≠-∏=≤<≤j i ni j x x D .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010====n c c c .即)(x f 是零多项式.3.4微积分中的应用例4.设)(y f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在2阶导数]2[.证明:在b x a <<上有)(21)()()()(''c a b a f b f a x a f x f f=-----.这里),(b a c ∈证明:在],[b a 上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222b f b bx f x xa f a ay f y y y F =是X 德蒙行列式,而函数)(y F 满足中值定理条件: 因)()()(y F x F a F ==.由中值定理,在),(b a 内存在b x x x a <<<<21，使0)()(2''1''==x F x F .故存在),(21x x c ∈,使0)(''=c F .即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''==b f b b x f x x a f a ac f c F .按行列式定义展开,即得所证. 3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式例5.计算nn nn n n n D222333222111=解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n ,由行列式的相关性质,得1212121333122211111321---⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n n D仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n 阶X 德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n D n!1!2)!2()!1(! --=n n n(2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111n b b b n b n b b b b b D n n n n n nn ------=---+ 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1+n 行依次与上面的每一行交换至第1行,第n 行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(+=+++-+-+n n n n n 次交换得到1+n 阶X 德蒙行nn nn n n n n n n b b b n b b b n b b b D)()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(--------------=+n b n b b b b n b b b b b n n!1k nk =∏=(3)用拆行（列）计算行列式n 阶行列式中的i 行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用X 德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++++++++++=分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得:342433233222312124423322221143211111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++ (4) 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得:34243323322231212423222143211111a a a a a a a a a a a a a a a a ++++ (5)再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:343332312423222143211111a a a a a a a a a a a a 因为该行列式为4阶X 德蒙行列式,故)(11114134333231242322214321j i i j a a a a a a a a a a a a a a -∏==≤<≤ (4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显X 德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式444422221111d c b a d c b a d c b aD = 分析：D 不是X 德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的X 德蒙德行列式,再利用X 德蒙德行列式的结果,间接求出D 的值.解：构造5阶X 德蒙行列式按第五列展开得 45534523525155x A x A x A x A A D ++++= 其中3x 的系数为D D A -=-=+5445)1(又利用X 德蒙行列式的结果得))()()(())()()()()((5d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b D ----⨯------= ])([))()()()()((34 ++++-⨯------=x d c b a x c d b d b c a d a c a b 其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=4444433333222225a 11111x d c b a x d c b a x d c b a x d c b D =4结束语参考文献:[1]X臣君.X德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用[J].XX师X大学学报,2015.2(1)[2]万勇,李兵.线性代数[M].XX:复旦大学,2006.[3]何江妮.X德蒙德行列式的证明及其应用[J].科教文化.[4]Kenneth C．Louden．piler Construction Principles and Practice[M]．:机械工业,2002.[5]徐杰.X德蒙行列式的应用[J].科技信息,2009（17）.[6]SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)[M].NeW York:Columbia University,1988.[7]X彦信.高等代数(第三版)[M].西北工业大学,2004.[8]大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].:高等教育，2003.[9]大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].：高等教育，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its ApplicationAbstract:This paper introduces the definition of n-order Vandermonde determinant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications.Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application。
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范德蒙行列式的历史回顾与应用摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。
n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。
本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。
关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。
1 .引言行列式113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d称为n 级的范德蒙行列式。
（见文献[1]）我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于na a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即∏≤<≤-ni j jia a 1)(。
我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。
2.1.预备知识性质1 行列互换，行列式不变，即nnn n n n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a212221212111212222111211=。
在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。
性质2nnn n in i i nnnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=。
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。
性质3nnn n n nnn n n n nnnn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++。
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。
所谓相同就是说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
n n k k i i nnn n kn k k kn k k n nnn n kn k k ini i n nnn n kn k k knin k i k i n aa a aa a aa a a a a a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a212121121121212111211212121112112121221111211=+=+++性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
定理1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k （1≤k ≤n-1）个行。
由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。
定理2（乘法规则）两个n 级行列式nn n n n na a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n n nb b b b b b b b b D2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n n nc c c c c c c c c C212222111211=。
其中c ij 是D 1的第i 行元素分别与D 2的第j 列的对应元素乘积之和：nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211以上性质与定理参考文献[1]。
2.2. n 级范德蒙行列式的证明113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d①，对任意n （n ≥2），行列式等于∏≤<≤-ni j j i a a 1)(。
证明（用数学归纳法）：（1）当n=2时，122111a a a a -=，显然成立。
（2）假设n-1级范德蒙行列式结论成立，现考虑n 级的情况。
在①中，用第n 行减去第n-1行的1a 倍，第n-1行减去第n-2的1a 倍，…，第2行减去第一行的1a 倍，即由下至上每一行依次减去上一行的1a 倍。
23222232211113112123123212211312111131121231232122113120001111--------------=---------=------n n n nn n aa a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d n n n n n n n n n n n n n22322223223211312111)())((------=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a。
最后这个行列式是一个n-1级的范德蒙行列式，根据归纳法的假设可知，它等于所有可能差j i a a -（2≤j ＜i ≤n ）的乘积，即∏≤<≤-ni j jia a 2)(。
又因为包含有1a 的差全部在行列式之前，所以对n 级范德蒙行列式结论成立。
（3）综上所述，根据数学归纳法可知，范德蒙行列式等于结论成立，即113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d=∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。
由上述证明结果可知，范德蒙行列式为零的充要条件为n a a a ,,,21 这n 个数中至少有两个数相等。
2.3.范德蒙行列式的历史发展进程范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) ，法国数学家，在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
行列式出现于线性方程组的求解，是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
1693 年 4 月，莱布尼茨在一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
在范德蒙和拉普拉斯对以范德蒙行列式为主的行列式研究之后，又出现了一位法国大数学家柯西。
1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。
其中主要结果之一是行列式的乘法定理。
另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明。
2.4范德蒙行列式的性质由行列式的性质可推出下列范德蒙行列式的性质： 1.若将范德蒙行列式逆时针旋转90°，得到112111222213233121111----n n n n nn n aaa a a a a a a a a a=Dn n n 2)1()1(--=∏≤<≤---ni j jin n a a 12)1()()1(。
2.若将范德蒙行列式顺时针旋转90°，得到111121323132221212111nnn nn n n a a a a aaa a a a a a ----=Dn n n 2)1()1(--=∏≤<≤---ni j jin n a a 12)1()()1(。
3.若将范德蒙行列式旋转180°，得到111112321222321112131a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ----=Dn =∏≤<≤-ni j j i a a 1)(。
2.5范德蒙行列式在计算中的应用1.用行列式的性质计算范德蒙行列式 例1.文献[2]中有一例题，计算n+1阶行列式1+n D =111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------。
分析：可以根据范德蒙行列式的性质3将上述行列式转换为标准范德蒙行列式，可以计算出结果。
∵不知道n 是奇数还是偶数∴不能将第1行与第n+1行对换，将第2行与第n 行对换∴采用将第n+1行与上面各行进行两两对换，把它换到第1行，共经过n 次对换，再将第n 行与上面各行进行两两对换，把它换到第2行，共经过（n-1）次对换，…依次进行两两对换，直到第2行进行依次对换，把它换到第n 行 ∴总共经过了)12)1((+++-+ n n 次对换∴再对列作类似变换，两次共2)1(2+⨯n n =)1(+n n 次对换解：nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(11112)1(1-------=---+++-++nn n n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a a a n a n a )1()]1([)()1()]1([)(1)1(1111)1()1(11112)1(2)1(--------------=----++!2)!1(! -=n n例2.根据文献[2]，计算43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=∆分析：从第1行开始，依次用上一行的（-1）倍加到下一行，逐级相加，即用第2行减去第1行，第3行减去第2行，第4行减去第3行，可得到标准范德蒙行列式，可以计算出结果。