范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用

摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变

换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。

关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，

子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。

1 .引言

行列式

1

13

12112

23222

1321

1111----=n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a d

称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]）

我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n

a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即

∏≤<≤-n

i j j

i

a a 1)(。

我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。

2.1.预备知识

性质1 行列互换，行列式不变，即

nn

n n n n nn

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a

212221212111212222111211=

。

在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。

性质2

nn

n n in i i n

nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

21

1121121

2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3

nn

n n n n

nn n n n n

nn

n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a

2

12

1

11211212

1112112

1

221111211+=+++。

这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

n n k k i i nn

n n kn k k kn k k n nn

n n kn k k in

i i n nn

n n kn k k kn

in k i k i n a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a

212121

12112

1

212111211212121112112

1

21221111211=+=+++性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

定理1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k （1≤k ≤n-1）个行。由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。

定理2（乘法规则）两个n 级行列式

nn n n n n

a a a a a a a a a D

2122221112111=

和

nn

n n n n

b b b b b b b b b D

2122221112112=

的乘积等于一个n 级行列式

nn

n n n n

c c c c c c c c c C

212222111211=

。

其中c ij 是D 1的第i 行元素分别与D 2的第j 列的对应元素乘积之和：

nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211

以上性质与定理参考文献[1]。

2.2. n 级范德蒙行列式的证明

1

13

121

1223222

1321

1111----=n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a d

①，对任意n （n ≥2），行列式等于∏

≤<≤-n

i j j i a a 1)(。

证明（用数学归纳法）：（1）当n=2时，

122

11

1

a a a a -=，显然成立。

（2）假设n-1级范德蒙行列式结论成立，现考虑n 级的情况。

在①中，用第n 行减去第n-1行的1a 倍，第n-1行减去第n-2的1a 倍，…，第2行减去第一行的1a 倍，即由下至上每一行依次减去上一行的1a 倍。

232

22

2

3221111311

21231232

1221131

21111311

212

3

1232

12

21

131

20001

1

11--------------=

---------=------n n n n

n n a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d n n n n n n n n n n n n n

2

23

222232

2

3211312111

)())((------=n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a

。

最后这个行列式是一个n-1级的范德蒙行列式，根据归纳法的假设可知，它等于所有可能差j i a a -（2≤j ＜i ≤n ）的乘积，即

∏≤<≤-n

i j j

i

a a 2)

(。又因为包含有

1a 的差