小学_六年级_数学奥数_分数运算_练习题_带答案

六年级分数运算

1．凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化．

例＋＋＋×－．

解：原式＝＋＋＋×－1 (314623134813)(2)[(314134)(623813)](2)

720

7

20

＝＋×－

＝×－×＝－＝．(515)(2)20220407337

207

20

例×＋÷＋×．

解：原式＝×＋×＋÷÷＋××＝＋＋＋＋＝．

2 41525324

7

40.2512442525324+4

40.2543110058311441

7157

17

2．约分法

例××××××××××××．

解：原式＝

××××××××××××××××3

12324671421

135261072135

12321237123135213571353333++++++++()()

()()

=

++++=

=()()()()

1231271351271231352

5

1213141

993333××××××××××．例×－×－×－×…×－．

4 99(1)(1)(1)(1)

解：原式＝××××…×＝．99112233498

99

3．裂项法

根据

×＝－其中，是自然数，在计算若干个分d n n d n n d

()++11

(n d )

数之和时，若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则

能大大简化运算．

例＋＋＋＋＋．

解：原式＝×＋×＋×＋×＋×＋×．

5 1216112120130142

1121231341451561

67

＝－＋－＋－＋－＝－＝．

111212131314141515161617

1767

+-+-

例×＋×＋×＋…＋×．解：原式＝××＋×＋×＋…＋×6

11(213 )

313515719799

122352572

9799

＝×－＋－＋－＋…＋－＝×－＝×＝．121313151517197199

121991298994999

(1 )(1)

例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1．

分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不

同的分数的和等于，似乎无从下手．但是如果巧用“－＝”11111

1n n n n ++()

来做，就非常简单了．

因为＝－＋－＋－＋－＋－…，所以可根据11 121213131414151

5

题中所求，添上括号．此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：

1(1)(12)(13)(14)(15)

(16)(17)(18)(19)＝－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋121314151

6

171819110110

＝

×＋×＋×＋×＋×＋××××＝．11212313414515616717818919101

101216112120130142156172190110++++

+++++++++ 所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10．

本题的解不是唯一的，例如由＋＝＋推知，用和110130191

45

945

替换答案中的10和30，仍是符合题意的解．

4．代数法

例＋＋＋×＋＋＋－

＋＋＋＋×＋＋．

8 (1)(12)(1)(12)12131413141

5

121314151314

分析与解：通分计算太麻烦，不可取．注意到每个括号中都有

12131412131

4

＋＋，不妨设＋＋＝，则A 原式＝＋×＋－＋＋×＝＋＋＋－－－＝．

(1A)(A )(1A )A

A A A A A A 22151

5

15151515

例2 计算：

分析与解 题中的每一项的分子都是1，分母不是连续相邻两个自然数之积，而是连续

三个自然数的乘积.下面我们试着从前几项开始拆分，探讨解这类问题的一般方法.因为

这里n是任意一个自然数.

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果.

例3 计算：

分析与解仿上面例1、例2的解题思路，我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律，再用裂项法求解.

这几个分数的分子都是2，分母是两个自然数的积，其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数，另一个自然数比这个自然数大3.把这个想法推广到一般就得到下面的等式：

连续使用上面两个等式，便可求出结果来.

因为第一个小括号内所有分数的分子都是1，分母依次为2，3，4，…，199，所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的分子也都是1，分母依次为5，6，7，…，202，所以也一共有198个分数.这样分母分别为5，6，7，…，199的分数正好抵消，

例4 求下列所有分数的和：

分析与解这是分数求和题，如按异分母分数加法法则算，必须先求1，2，3，…，1991这1991个数的最小公倍数，单是这一点就已十分麻烦，为此我们只好另找其他的方法.先计算分母分别为1，2，3，4的所有分数和各等于多少.

这四个结果说明，分母分别为1，2，3，4的上述所有分数和分别为1，2，3，4.如果这一结论具有一般性，上面所有分数的求和问题便能很快解决.下面我们来讨论一般的情况.

假定分数的分母是某一自然数k，那么分母为k的按题目要求的所有分

这说明，此题中分母为k的所有分数的和为k，利用这一结论，便可得到下面的解答.