江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试卷 (1)
2019-2020学年江苏省苏州中学高二下学期阶段调研数学试题(解析版)
3
3
3
3
所以，函数 y f x 有两个极值点，且函数 y f x 的极大值为 f
23 3
16 3
，
9
23 极小值为 f
3
16 3
.
9
Qf 2
3
24
2
0
f 2 ，所以， f x max
16 3 ， f 9
x min
所以，函数 y f x 的最大值和最小值之和为零 .
综上所述， A 、 C、 D 选项正确， B 选项错误 . 故选： ACD.
C． z1 z2 z1 z2 z1 z2
D． |z1z2| z1 z2
【答案】 BCD
【解析】 利用复数的几何意义可判断 A 选项的正误； 利用椭圆的定义可判断 B 选项的正误；
利用复数模的三角不等式可判断 C 选项的正误；利用复数的乘法运算和模长公式可判断
D
选项的正误 .综合可得出结论 .
【详解】
从而可得
，解得 k e 3 .
k1 0
故选： D． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立问题， 化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
考查函数与方程思想、转
4
二、多选题
9．如果函数 y f x 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（
）
A ．函数 y f x 在区间
故选： A.
【点睛】
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出
z.
8．已知函数 f (x)
lnx x k ，在区间 [ 1 ,e] 上任取三个实数 a ， b ， c 均存在以
e
f ( a), f (b), f (c) 为边长的三角形，则实数 k 的取值范围是 (
(3份试卷汇总)2019-2020学年江苏省苏州市高二数学下学期期末联考试题
12．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品 （吨）与相应的生产能耗 (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，那么表中 的值为（ ）
A．4.5B．3.75C．4D．4.1
二、填空题：本题共4小题
13．设随机变量 的分布列为 为常数，则 ______
【详解】
因为 的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以
通项为 ，
令 得
所以展开式中含 项的系数是
故选C.
【点睛】
本题考查二项展开式的系数，解题的关键是求出 ，属于简单题。
2．C
【解析】
试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若 的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是( )
A．792B．-792C．330D．-330
2．观察下列各式： 则 （）
A．28B．76C．123D．199
3．已知 为虚数单位，复数 满足 ， 是复数 的共轭复数，则下列关于复数 的说法正确的是（ ）
14．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.
15．已知 ，且 ，则 ， 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．
16．若交大附中共有 名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．
2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （其中i是虚数单位）的实部是（）
A．1B． C． D．0
【答案】D
【解析】化简复数 即可得答案.
【详解】
，
的实部是0.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
2．如果一质点的运动方程为 （位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在 秒时的瞬时速度为（）
【详解】
将甲乙两人中间安排一人，则有 种排法；将三人绑定，看成一个元素，再与剩余的两人组成三个元素进行全排列，共有 种排法.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查了用捆绑法解决实际问题.
7．已知 ，则 的值为（）
A．6B．8C．12D．8或12
【答案】D
【解析】由 ，可得 或 ，即可求得答案.
三、填空题
13．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是________.
【详解】
或 ，
解得： 或
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题.
8．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知，只需比较 的大小就可得 ， ， 的大小关系.
【详解】
由 知，只需比较 的大小，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
当 时，由 知，函数 在 上是单调增函数，因为 时， ， ，所以 ，所以 不正确；
当 时，由 知，函数 在 时取得最小值 ，要使得函数 有两个零点，必须且只需函数 的最小值小于0即可，即 ，
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知实数a,b满足a+b>0,b<0，则a,b,-a,-b的大小关系是（）A . a>-b>b>-aB . a>b>-b>-aC . a>-b>-a>bD . a>b>-a>-b3. （2分） (2019高一上·临河月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·集宁月考) 函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为（）A . (2, 5)B . (-1,2)C . (-∞,2)D . (2,+∞)5. （2分）(2020·兴平模拟) “ ”是“ ”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要6. （2分） (2017高一下·长春期末) 若x, y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·宁德期中) 已知，函数的最小值是A . 6B . 5C . 4D . 39. （2分） (2016高一上·汉中期中) 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，又f（7）=6，则f（x）（）A . 在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B . 在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C . 在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D . 在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是610. （2分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .11. （2分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A . 6B . 5C . 4D . 312. （2分） (2017高三上·静海开学考) 已知x∈（0，+∞）时，不等式9x﹣m•3x+m+1＞0恒成立，则m的取值范围是（）A . 2﹣2 ＜m＜2+2B . m＜2C . m＜2+2D . m二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高一上·仁化期中) 用“二分法”求方程x3﹣2x﹣5=0，在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是________．14. （1分）(2020·鹤壁模拟) 已知函数在函数的零点个数________．15. （1分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是________ ．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分）函数g（x）是函数f（x）=loga（x﹣2）（a＞0，且a≠1）的反函数，则函数g（x）的图象过定点________17. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.18. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．19. （10分） (2017高三下·赣州期中) 在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：编号12345成绩物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（参考公式：b= ， = b ，）参考数据：902+852+742+682+632=2939490×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．（1）求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ （b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．20. （10分） (2016高二下·北京期中) 已知函数f（x）= x3﹣（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（2）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．21. （5分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点Ⅰ 求椭圆的标准方程；Ⅱ 求面积的最大值．22. （5分）(2018·中山模拟) 设函数 .(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共51分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
【精准解析】江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题
一、单选题（共 8 题，共 40 分）
1.若 i 是虚数单位，复数 2 i ( ) 1 i
A. 1 3 i 22
B. 1 3 i 22
【答案】B
C. 3 3 i 22
【解析】
【分析】
将
2i 1 i
的分子分母都乘以分母的共轭复数 1
i
，即可化简出．
【详解】
2i 1 i
2 i1 i 1 i1 i
-4-
A.
函数
y
f
x
在区间
3,
1 2
内单调递增
B.
函数
y
f
x
在区间
1 2
,
3
内单调递减
C. 函数 y f x 在区间 4,5 内单调递增
D. 当 x 2 时，函数 y f x 有极大值
【答案】CD 【解析】 【分析】 根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.
【详解】对于 A 选项，当 3 x 2 时， f x 0 ，则函数 y f x 在区间 3, 2 上单
的距离之和为 3 ， 且 MN 5 3 ，所以，点 A 的轨迹是椭圆，B 选项正确； 对于 C 选项，由复数模的三角不等式可得 z1 z2 z1 z2 z1 z2 ，C 选项正确；
对于 D 选项，设 z1 a bi ，z2 x yi ，则 z1z2 a bi x yi ax by ay bxi ，
【详解】任取三个实数 a ， b ， c 均存在以 f (a), f (b), f (c) 为边长的三角形，
等价于 f (a) f (b) f (c) 恒成立，可转化为 2 f (x)min f (x)max ，且 f (x)min 0 ．
江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期学业质量阳光指标调研(期末)数学试题 含答案
江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列导数运算正确的是A ．1C '=（C 为常数）B ．211()x x '=C ．(e )e xx'=（e 为自然对数的底数） D ．(sin )cos x x '=- 2．已知2i 1iz=++（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z ＝ A ．1﹣3i B ．﹣1﹣3i C ．﹣1＋3i D ．1＋3i 3．函数()f x x a =+图象的对称轴为直线x ＝1，则实数a ＝A ．﹣1B ．0C ．1D ．1或﹣1 4．已知随机变量ξ服从正太分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.8，则P(﹣2＜ξ＜1)＝ A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5 D ．0.6 5．3523()x x-展开式中的常数项是 A ．﹣270 B ．﹣90 C ．90 D ．270 6．现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p ，且12＜p ＜l ，则恰有三个人译出密码的概率是A ．335C pB ．2235(1)C p p - C ．3325(1)C p p -D ．2251(1)C p -- 7．若椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0，2)，则实数k ＝ A ．521B ．1C ．15D ．25 8．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观 赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛， 且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种 数最多是A ．8B ．12C ．16D ．24二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下图展示了2月14日至29日肺炎疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是A ．16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大B ．16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500C ．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量D ．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和 10．已知定义域为R 的函数()f x ，且函数()f x y x'=的图象如右图，则下列结论中正确的是A ．(1)(1)0f f ''=-=B ．函数()f x 在区间(-∞，﹣1)上单调递增C ．当x ＝1时，函数()f x 取得极小值D ．方程()0f x '=与()0f x =均有三个实数根 11．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的一个动点，下列结论中正确的是 A ．A 1D ⊥D 1PB ．平面PAD 1⊥平面BCC 1B 1C ．存在唯一的点P ，使得∠CPD 1为90° D ．当点P 为BC 1中点时，CP ＋PD 1取得最小值12．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k (120k k ≠)，若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是A ．双曲线的方程为2214x y -= B ．双曲线的离心率为5C ．函数log (15)a y x =++(a ＞0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．直线x ﹣y ＝0与双曲线C 有两个交点三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．不等式2log 5x a -<对任意x ∈[4，16]恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 14．如图，直线l 是曲线()y f x =在x ＝4处的切线，则(4)(4)f f '+＝ ．15．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为 ． 16．已知F 为抛物线22x py =(p ＞1)的焦点，点A(1，p )，M 为抛物线上任意一点，MA +MF 的最小值为3，则p ＝ ；若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q两点，则四边形APFQ 的面积为 ．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解下列关于x 的不等式： （1）(2)1(3)x x x x +-≥-； （2）237223x x x -≥+-．18．（本小题满分12分）已知函数1()lg1xf xax+=+(a≠1)为奇函数．（1）求实数a；（2）设函数2()()12xg x f x=++．①求11()()22g g+-；②试证明函数()g x的图象关于点(0，1)对称．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）若E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CD⊥EF；（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为35，求二面角P—BC—A的余弦值．20．（本小题满分12分）苏州市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分[30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男性人数40 90 120 130 110 60 30女性人数20 50 80 110 100 40 20（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分不太了解比较了解总计男性女性总计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同m (m N*∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m的最小值．附公式及表如下：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．P(20K k ≥)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）如图，已知椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的右焦点为F(1，0)，离心率e ＝12，过F 作一直线l 1交椭圆E 于A ，B 两点（其中A 在x 轴的上方），过点A 作直线l 2：x ＝4的垂线，垂足为C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得B ，T ，C 三点共线？若存在，求出T 的坐标;若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）对于函数()f x ，()g x ，如果存在实数s ，使得()()f s g s =，()()f s g s ''=同时成立，则称函数()f x 和()g x 互为“亲密函数”．若函数32()f x ax bx cx d =+++，()e xg x =（其中a ，b ，c ，d 为实数，e 为自然对数的底数）．（1）当a ＝0，b ＝﹣l ，c ＝d ＝1时，判断函数()f x 和()g x 是否互为“亲密函数”，并说明理由；（2）当b ＝c ＝d ＝0时，若函数()f x 和()g x 互为“亲密函数”，求证：对任意的实数x 都满足()()f x g x ≤．。
江苏省苏州大学附属中学2019-2020学年高二下学期6月阶段调研数学试卷
苏大附中2019-2020学年第二学期6月阶段调研高二年级数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．复平面内，复数（为虚数单位）对应点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．曲线()x f x e =（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）．A ．0ex y -=B ．0ex y +=C ．10ex y --=D ．20D ex y e ⋅--= 3．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（ ）．A ．0.8B ．0.65C ．0.15D ．0.5 4．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y a bx =+必过点（ ）．A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4) 5．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）． A ． B ．34 C ． D ．547．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数()2~11,2X N ，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（ ）．（附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=） A ．6 B ．7 C ．9 D ．108．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得一30分；选乙题答对得10分，答错得一10分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）．A ．24B ．36C ．40D ．44 二、多选题（每题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分）9．若随机变量~(0,1)N ξ，()()x P x ϕξ=≤，其中0x >，下列等式成立有（ ）． A ．()1()x x ϕϕ-=- B ．(2)2()x x ϕϕ=C ．{)2()1P x x ξϕ<=-∣ D ．()2()P x x ξϕ>=- 10．已知P 是双曲线上任一点，A ，B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t ，则下列说法正确的是（ ）． A ．双曲线的方程为22:13x C y -= B ．双曲线的离心率为2C ．函数的图象恒过C 的一个焦点D ．直线230x y -=与C 有两个交点11．如图，在棱长为1的正方体中，P ，M 分别为棱CD ，1CC 的中点，Q 为面对角线1A B 上任一点，则下列说法正确的是（ ）．A ．平面APM 内存在直线与11A D 平行B ．平面APM 截正方体所得截面面积为98C ．直线AP 和DQ 所成角可能为60︒D ．直线AP 和DQ 所成角可能为30︒12．关于函数()sin xf x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）． A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点x ，且()010f x -<< C ．对任意0a >，()f x 在上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在上有且只有一个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．正态总体的概率密度函数2()2()x f x μ--=，x R ∈的图象关于直线________对称．14．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示22⨯列联表：已知()2 3.8410.05P x ≥≈，()25.0240.025P χ≥≈．根据表中数据，得到2χ的观测值2250(1320107) 4.84423272030χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，则有________的把握认为选修文科与性别有关．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________．16．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）． 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知复数，其中为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列． （1）求n 的值；（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值； （3）求展开式中系数最大的项．19．（12分）若关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费y （万元）有如下统计资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（精确到两位小数）参考公式：1221ˆ()niii nii x ynxbxn x ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，，30BAC ︒∠=，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值． 21．（12分）已知椭圆，四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．22．（12分）已知函数，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x 在区间存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．苏大附中2019-2020学年第二学期6月阶段调研高二年级数学试卷参考答案一、单选题（每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 解：故答案为B 7．C解：由正态分布的对称性得54540.6827(13)92N x -⨯≥≈≈，答案选C8．D二、多选题（每题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分） 9．AC 10．ACD 11．AC解：建立空间坐标系有 ，其中[0,1]λ∈那么1cos λ-<>===故得答案为AC 12．ABD解：()sin xf x e a x =+，()cos xf x e a x '=+，()sin xf x e a x ''=- 若1a =，0x >时，()1sin 1f x x x ''>+->；(,0)x π∈-时，()0f x ''> 故：()f x '↑，()0f π'-<，为唯一极小值点 ，故：AB 选项都正确 当0a e π-<<时，，故C 错误()0f k π>，故()f x 有唯一零点，那么不存在()0f x <，即：零点同时为极值点．0024000sin 0cos 24k x x e a x e a x x k a e ππππ++==+⇒=+⇒=比如：，(0,,)x π∈，()0,4f x x π⎛⎫'↑⇒∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>那么上有唯一的零点4π，其他的(2,(21))x k k ππ∈+，()0f x >，有三角周期性 而((21),2)k k ππ-上，()0f x > 综上所述：正确选项为ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．x μ= 14．95% 15．(,1)e 16．660解：3226643!32120540660C C C +⨯⨯⨯=+=⋅四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（1）Z 为纯虚数，那么：22430,03m m m m m -+=-≠⇒=（2）Z 在复平面第一象限，那么2430m m -+>，20(,0)(3,)m m m ->⇒∈-∞⋃+∞18．解：（1）0n C，，24n C 成等差，即：(1)4482n n n n -=+⇒=，或1n =（舍去） （2）32k k =+时，即1k =显然成立32k k ≠+时，由二项式得单调性和对称性得：3282k k k ++=⇒=（3）令82kk k C a =，不等式解为：{3,4,,5,7}k ∈…类似解得：，故：展开项中系数最大为237a a == 19．解：（1）4x =，ˆ5 1.2340.08a⇒=-⨯=，线性回归方程为：ˆ 1.230.08y x =+ （2）10x =，备注：我们判断此模型相关性 ，相关性极高1ˆ 2.2 1.2320.080.34e=-⨯-=-，2ˆ 3.8 1.2330.080.03e =-⨯-= 3ˆ 5.5 1.2340.080.5e=-⨯-=，4ˆ 6.5 1.2350.080.27e =-⨯-=6ˆ7 1.2360.080.46e=-⨯-=- 我们对这个回归模型效果做个判断： ，非常接近1，回归效果佳 20．解：（1）连接1A E11A A AC =，E 为中点1A E AC ⇒⊥，又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，且公共线为AC 1A E ⊂平面111A ACC E A ⇒⊥平面ABC ，结合BC ⊆平面1A C B A B E C ⇒⊥ 1111A B BC ⊥，{}111AF AE A BC ⋂=⇒⊥面1AFE ，结合FE ⊂面1A FE BC EF ⇒⊥ （2）法1设BC t =，那么1111111111222F A BC B A BC C A BB C A BA A ABC V V V V V -----==== 1111122E A BC A A BC A ABC V V V ---==，即EF 在面1A BC 法线方向投影长度为：EF =⇒夹角正弦值为45，故余弦值为35法2：EF 在面1A BC 法线方向投影长度可以直接根据投影比得法3：根据面共线定理计算出EF 与面1A BC 交比，令交点为O ，即12λ=即O 为EF 中点．1AOF 中1AO 高为FD ，那么FD ⊥面1A BC ，即1FOA ∠为所求线面夹角 解得：FO =， 21．解：（1）34,P P ⇒至少有一点在椭圆上，结合代数平方34,P P ⇒都在椭圆上因为12222311141P a b a b +>+=⇒不在椭圆上2P⇒在椭圆上 代入点得椭圆方程为2214x y +=（2）法4：令直线AB 为y kx m =+，1m ≠，1y f x -=，那么：，fm ky f k-=-由题意可知12211kf f m +==⇔+直线AB 过定点 22．解：（1）1()cos ()1f x x p x x '=-=+，21()sin ()(1)p x x q x x '=-+=+， 32()cos 0,(0)0(1)q x x p x ''=--<>+，，，0,()2x x p x π⎛⎫∈⋅↓ ⎪⎝⎭其中002x π<<，又因为(0)0f '=，，且存在唯一，有：(1,0)x ∈-，()0f x '<；()20,x x ∈，()0f x ''>；，()0f x '< 即得证：()f x 在上有唯一的极大、极小值点 （2）由第一问可知：()2x x π∈，()0f x '<因为(0)0f =，故()2(1,0)0,x -⋃上无零点，()20f x >，又因为()0,f π<，故上有一个零点x π≥，()sin 10f x x <-≤，故上不可能有零点综上所述得证。
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。
1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。
2019-2020学年江苏省苏州市第一中学高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．复数(2‒i )i （i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2i B ．2 C ．1+2i D ．‒2【答案】B【解析】化简复数即得复数的虚部. 【详解】由题得(2)12i i i -=+， 所以复数的虚部为2. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ） A ．72种 B ．48种 C ．54种 D ．8种【答案】B【解析】因为每对师徒必须相邻，所以，三对师徒进行捆绑，则有2222228A A A ⋅⋅=，捆绑后再次进行排列，则有336A =种组合拍列，所以，每对师徒相邻的站法共有6848⨯=种 【详解】由题意得每对师徒相邻的站法共有2223222348A A A A ⋅⋅⋅=故选：B 【点睛】本题考查排列组合中的相邻问题，属于简单题 3．已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.023P ξ>=，则()22P ξ-≤≤等于（ ） A ．0.477 B ．0.628C ．0.954D ．0.977【答案】C【解析】根据正态密度曲线的对称性得出()()22122P P ξξ-≤≤=->，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，则()()22122120.0230.954P P ξξ-≤≤=->=-⨯=，故选C. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40 B ．50 C ．60 D ．70【答案】D【解析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 5．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．()0,1 D ．()0,∞+【答案】C【解析】求出函数的定义域，解导数小于0的不等式，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为(0,)+∞，且1'y x x=-， 令'0y <，解得01x <<，∴函数的单调递减区间为()0,1. 故选C. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的运用.6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 6050110由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++算得，22110(40302020)7.860506050χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.附表：220()P x χ≥2χ参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”． 【答案】C【解析】根据给定的2K 的值，结合附表，即可得到结论. 【详解】由 22110(40302020)7.8 6.63560506050χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中正确理解附表中数据的意义是解答本题的关键，属于基础题.7．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，12)，则P (ξ≤3)等于（ ） A ．2132B ．732 C ．1132D ．764【答案】A【解析】由P(3)P(0)P(1)P(2)P(3)ξξξξξ==+=+=+=及二项分布的概率公式即可求解. 【详解】P(3)P(0)P(1)P(2)P(3)ξξξξξ==+=+=+=666601236666111122223221C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题考查二项分布及其概率求解，属于基础题.8．已知5250125()a x a a x a x a x -+⋯+++＝，若280a ＝，则012345a a a a a a +++++=（ ） A ．－32 B ．1 C ．32 D ．1或－32【答案】B【解析】由280a ＝求出a ，再利用赋值法令1x =代入等式即可得解. 【详解】由题意知2335808C a a =⇒=，2a ∴=，令1x =得5012345(21)a a a a a a -=+++++=1.故选：B 【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数、赋值法求二项式系数和，属于基础题.二、多选题9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为710的事件是（ ） A ．至多一件一等品 B ．至少一件一等品 C ．至多一件二等品 D ．至少一件二等品【答案】AD【解析】从5件产品中任取2件，有25C 种结果，至多一件一等品有112322C C C +种情况，至少一件一等品有112323C C C +种情况，至多一件二等品有112323C C C +种情况，至少一件二等品有112322C C C +种情况，结合古典概型概率计算公式可得结果.【详解】从5件产品中任取2件，共有2510C =种结果，∵“任取的2件产品至多一件一等品”有1123227C C C +=种情况，其概率是710，故A 正确； “任取的2件产品中至少一件一等品”有1123239C C C +=种情况，其概率是910，故B 错误； “任取的2件产品中至多一件二等品”有1123239C C C +=种情况，其概率是910，故C 错误； “任取的2件产品在至少一件二等品”有1123227C C C +=种情况，其概率是710，故D 正确；故选：AD. 【点睛】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦，属于中档题.10．定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在0x =处取得极小值 【答案】ABD【解析】根据导函数图像判断出函数()f x 的单调性和极值，由此判断出正确选项. 【详解】根据导函数图像可知，()f x 在区间(),0-∞上，()'0fx <，()f x 单调递减，在区间()0,∞+上，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在0x =处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题 11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29【答案】AC【解析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可 【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为211413327⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭,故A 正确；对于B,用A 、B 、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1()5P A =,1()3P B =,1()4P C =,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=,所以此密码被破译的概率为23155-=,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则82()123P A ==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则61()122P B ==,故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=,故C 正确； 对于D,易得()()P AB P BA =,即()()()()P A PB P B P A ⋅=,即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-,∴()()P A P B =,又1()9P AB =,∴1()()3P A P B ==,∴2()3P A =,故D 错误 故选AC 【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键12．已知函数()21xx x f x e +-=，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 存在两个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC【解析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项. 【详解】A.()2010f x x x =⇒+-=,解得152x -±=，所以A 正确； B.()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图像可知，t 的最大值是2，所以不正确. 故选A,B,C 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是()2,+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图像是无限接近x 轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题13．已知复数z 满足(1)z i i +=，其中i 是虚数单位，则||z =_____________．【答案】2【解析】复数z 满足 z (1＋i)＝i ，所以()111z 1222i i i i i -===++.所以z ==故答案为2. 14．nx⎛⎝的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________． 【答案】15【解析】∵二项式nx⎛⎝的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，6n ∴= ，则展开式中的通项公式为36216 1?r r rr TC x -+=⋅-（） ．令3602r -=，求得4r = ，故展开式中的常数项为426115.C （）⋅-= ， 故答案为15.15．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种． 【答案】30【解析】先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有24C 种，减去,A B 在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果． 【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有246C =.再减去,A B 在一起的情况，就是615-=种．把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有336A =种．∴根据分步计数原理知共有5630⨯=种． 故选：C ． 【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．16．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是__________．【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】采用构造函数法，设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，则原问题转化为存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，对()g x 求导可判断函数在12x =-处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，即可求解【详解】设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，由题设可知存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，因为()(21)xg x e x '=+，故当21x <-时，()0g x '<，函数()(21)=-xg x e x 单调递减；当21x ≥-时，()0g x '>，函数()(21)=-xg x e x 单调递增；故12min 1()22g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而当0x =时，(0)10g =-<，(1)0g e =>，故当(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，解之得312a e≤<故答案为：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题四、解答题17．已知函数()()32123f x x x ax x R =-+∈，在曲线()y f x =的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y x =垂直．求实数a 的值和切线l 的方程． 【答案】3a =，:3380l x y +-=.【解析】求得()24f x x x a '=-+，根据题意可知方程()1f x '=-只有一个实数解，可知二次函数()y f x '=的最小值为1-，求得实数a 的值及对应的x 的值，可得出切点的坐标，利用点斜式可得出切线l 的方程. 【详解】 因为()32123f x x x ax =-+，所以()24f x x x a '=-+. 由题意可知，方程()241f x x x a '=-+=-有两个相等的实根．则()min 1f x '=-，又()()224f x x a '=-+-，()()min 241f x f a '∴==-=-，解得3a =，则()321233f x x x x =-+，所以切点坐标为22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，切线l 的方程为()223y x -=--，即3380x y +-=. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.18．设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值. 【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力. 19．某设备的使用时间x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下统计数据：若由数据知x 与y 具有线性相关关系.（1）试求线性回归方程ˆybx a =+； （2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少参考公式：线性回归方程ˆy bx a =+中，1122211()(),()().nni i i ii i nni ii i x x y y x y nx yb x x xn x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1） 1.2308ˆ.0y x =+；（2）使用年限为10年时的维修费用是万元.【解析】（1）根据所给数据，求出,x y 的平均数，再由公式计算出,b a 即得；（2）将10x =代入（1）中的线性回归方程，即得维修费用的估计值. 【详解】（1）由题得，2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==，则()51522155i ii i i x y xyb x x ==-=-∑∑2222222 2.23 3.84 5.55 6.567.05452345654⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=++++-⨯ 1.23=，54 1.230.08a y bx =-=-⨯=，故线性回归方程为 1.230.08y x =+.（2）由（1）知线性回归方程为 1.230.08y x =+，当10x =时，1.23100.0812.38y =⨯+=（万元），即使用年限为10年时，估计维修费用是12.38万元. 【点睛】本题考查求线性回归方程，以及它的应用，解题关键是掌握线性回归方程的求法，难度不大.20．已知函数f (x )＝()1x xa x be e-+(a ≠0)． （1）当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；（2）当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为21e-，无极大值； （2）2(,0)e - . 【解析】（1）当1,0a b =-=时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解；（2）把函数()f x 没有零点，转化为方程ax －a ＋e x ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当1,0a b =-=时，函数()1x x f x e -+=，则()2xx f x e-'=， 当(,2)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减； 当(2,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增． 所以()f x 的极小值为()212f e=-，无极大值． （2）当1b =时，函数()xxax a e f x e-+=， 因为函数()f x 没有零点，即方程0xxax a e e-+=无实根，即ax －a ＋e x ＝0无实根， 令()xh x ax a e =-+，则()xh x a e '=+， 若0a >时，则()()0,h x h x '>在R 上单调递增，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→-∞ 此时存在0x ，使得0()0h x =，不合题意；若0a <时，令()0h x '>，即0x a e +>，得ln()x a >-； 令()0h x '<，得ln()x a <-，所以当ln()x a =-，函数()h x 取得最小值，最小值为()min (ln())ln()2h x h a a a a =-=--，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞要使得函数()f x 没有零点，则满足()min 0h x >，即ln()20a a a -->，解得20e a -<<，综上所述，实数的取值范围为()2,0e -． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.21．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买,,A B C 商品的概率分别为23，1p ，212()p p p <，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34．假设该网民是否购买这三种商品相互独立． （1）求该网民分别购买,B C 两种商品的概率；（2）用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列． 【答案】(1) 1213,24p p ==;(2)见解析. 【解析】(1)由题意和概率的乘法公式可得()()1221111,324p p ⎛⎫---= ⎪⎝⎭122134p p =进而可求购买,B C 两种商品的概率.(2)由题意知列出X 的可能取值,再求出每种取值下的概率. 【详解】解:(1)由题意知,至少购买一件的概率为2324,所以一件都不买的概率为23112424-=.()()1221111324p p ⎛⎫∴---= ⎪⎝⎭①.因为最多购买两件商品的概率为34所以三件都买的概率为31144-=.即122134p p = ②.联立①②解得121234p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或123412p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因为12p p <,所以1213,24p p ==. (2) .由题意知0,5,10,15X =.则()1024P X ==,()1154P X == ()211111113153243243244P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()211213113111032432432424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,则X 的分布列为【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了相互独立事件的概率.对于列分布列的问题,在写出分布列后,可将得到的概率加起来,判断是否为1,从而可以检验自己的计算有没有出错.22．已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.【答案】（1）0,a a R ≠∈且1b =，（2）当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞，（3）{}1.【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义分别求出曲线()y f x =与()y g x =在0x =处的切线斜率，再根据两者相等得到a ，b 满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件0a ≠，（2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小关系分别讨论单调减区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（3）本题恒成立转化为函数()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--最小值不小于零，难点是求函数()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明.另外，本题易想到用变量分离法，但会面临10,?x e x x-→→问题，而这需要高等数学知识.001(1)(0,||1)()x x x x x e e x e x x ==--='→→='试题解析：（1）()x f x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+， 2分又()2g x ax b =+'，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线 4分（2）由1a =，21()e x x bx h x ++=，∴2(2)1()xx b x b h x e -+-+-'=， ∴2(2)1(1)((1))()x xx b x b x x b h x e e-+-+----'==-， 7分 由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. 10分（3）由1a =，则()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--，∴()xx e b ϕ=-'，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 单调递增，又(0)0ϕ=，∴(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， 12分 ②当0b >时，∴()0x ϕ'>，ln x b >；∴()0x ϕ'<，ln x b <∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时，ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. 16分【考点】利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立.$。
2019-2020学年江苏省苏州市数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年江苏省苏州市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．322．已知i 为虚数单位，则复数21ii+= （） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z i +=-，则z =（ ） A ．2 B ．1i -C ．2D ．14．函数sin ()ln xf x x=的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A ．0.28 B ．0.12C ．0.42D ．0.166．在中，，且，则的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．7．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．108．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．将5件不同的奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（ ）A ．150B ．210C ．240D ．30010．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．411．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则(|)P B A = A ．1247 B ．211 C ．2047D ．154712．已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l αβ=I ，则下列是a β⊥的充分条件是（ ） A ．//a αB ．a α⊂C ．a l ⊥D ．,a l a α⊥⊂二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设集合A ＝1|2164x x N ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭，B ＝{x|y ＝ln(x 2－3x)}，则A∩B 中元素的个数是________. 14．设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为________．15．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 16．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有_____辆.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（江苏省南通市高三最后一卷 --- 备用题数学试题）已知函数()215ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈.（1）当1a =时，求函数()1f x x =在处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求()()12f x f x +的取值范围； （3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数()1,x ∞∈+恒成立，求实数a 的取值范围. 18．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()14，，求MA MB +的值． 19．（6分）如图所示，球O 的表面积为16π，球心O 为空间直角坐标系O xyz -的原点，且球O 分别与,,x y z 轴的正交半轴交于,,A B C 三点，已知球面上一点()()0,3,0D t t ->.（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）过点A 作平面DCB 的垂线，垂足H ，求H 的坐标，并计算四面体A BCD -的体积； （3）求平面ADC 与平面AOB 所成锐二面角的大小.20．（6分）为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据： 每周使用次数 1次2次3次4次5次6次及以上男 4 3 3 7 8 31 女 6 5 4 4 6 21 合计1187111451认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 不喜欢骑共享单车 喜欢骑共享单车 合计 男 女 合计附表及公式：，其中.1.15 1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.172 2.7163.841 5.124 6.6357.879 11.82821．（6分）已知数列{}n a 满足()()*11142n n n a a a n +++=-∈N ，且12a=.（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）是否存在实数a ，b ，使得1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对任意正整数n 恒成立？若存在，求出实数a 、b 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.22．（8分）我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图： 定价x （元/kg ） 102030405060年销售()y kg1150 643 424 262 165 862ln z y =14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9图（1）为x y -散点图，图（2）为x z -散点图.（Ⅰ）根据散点图判断y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立y 关于x 的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额=定价⨯年销售） 参考数据：35x =，455y =，11.55z =，621()1750ii x x =-=∑，621()776840i i y y =-=∑，61()()34580iii x x y y =--=-∑，61()()175.5iii x x zz =--=-∑，61()()3465.2i i i y y z z =--=∑，参考公式：61621()()()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”. 2．A 【解析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案. 【详解】由复数的运算，可得复数()()()2121111i i i i i i i ⋅-==++++，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．A 【解析】分析:先根据已知求出复数z,再求|z|. 详解：由题得22(1)2211(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-，所以||z ==故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z =4．A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】 解：f （﹣x ）()sin x sinxln xln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）16266sinln ln ＜πππ==0，排除C ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键． 5．B【分析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可. 【详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】 通过，可求出A,B 角度，从而利用面积公式即得结果.【详解】 由于，，可知，而，或（舍），故，又，所以，故选B.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大. 7．C 【解析】设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==， 综上可得：220,10mn mn =∴= 则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 8．D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 9．A 【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种， 分成1、1、3时，有C 53•A 33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式22353322••C C A A =90种分法， 所以共有60+90=150种分法， 故选A ．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数． 10．D 【解析】 【分析】计算()39114P X <<=，根据题意得到101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()1314nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为()210,X N σ:，且()198P X <=，所以()39114P X <<=， 即每个零件合格的概率为34. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为101131C C 444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()1310.14nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①，令()()()1314nf n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．D 【解析】分析：先求取出的两个球颜色不同得概率，再求取出一个黄球，一个绿球得概率可，最后根据条件概率公式求结果. 详解：因为221212545343475315(),(),6666P A P AB C C ⨯+⨯+⨯⨯==== 所以()15(|)()47P AB P B A P A ==,选D.点睛：本题考查条件概率计算公式()(|)()P AB P B A P A =，考查基本求解能力. 12．D 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】当//a α时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，A 错误； 当a α⊂时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，B 错误； 当a l ⊥时，不能得到a β⊥，C 错误；当a l ⊥，a α⊂时，则a β⊥，充分性；当a β⊥时，l β⊂，故a l ⊥，a 与α关系不确定，故不必要，D 正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．1.【解析】【分析】求出A中不等式的解集，确定出解集的自然数解确定A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集，即可作出判断．【详解】由A中不等式变形得：2﹣2≤2x≤24，即﹣2≤x≤4，x∈N，∴A={0，1，2，3，4}，由B中y=ln（x2﹣3x），得到x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，即B={x|x＜0或x＞3}，则A∩B={4}，即A∩B中元素个数为1，故答案为：1．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14．1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z=-+，找到z的最大值．【详解】x，y满足约束条件331x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：，则z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由33yx y=⎧⎨+=⎩，解得()3,0A，所以z x y=+的最大值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键． 15．10 【解析】 【分析】根据题意可知，随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭满足二项分布，根据公式()(1)D X np p =-，即可求出随机变量的方差，再利用公式2()()D aX b a D X +=即可求出()3D X 。
江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中数学试卷及解析
江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题5名同学中的3人，每人1张，则不同的分法有（ ） A.120种B.60种C.20种D.10种2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB 与1C B 所成的角为（ ）A.6π B.3π C.2π D.23π 3.已知函数()sin 2f x x =，则的导函数（ ）A.cos2xB.cos2x -C.2cos2xD.2cos2x -4.5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ） A.144 B.72C.36D.125.已知(x 2+1x )n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4 的系数( )A. 5B. 40C. 20D. 106.若函数()22f x x ax x +＝ln ﹣在区间()1,2内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.31,82⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ） A.32π B.3π C.5π D.4π8.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ） A.(,]e -∞B.(,)e -∞C.(,)e -+∞D.[,)e第II 卷（非选择题）二、填空题9.计算778C C C ++的值为___________.10.二项式(1)n x +的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n 的值为___________. 11.已知定义在R 上的可导函数f （x ）满足：f （1）＝1，f ′（x ）+f （x ）＜0，则不等式f （x ）≥e 1﹣x 的解集为________．三、解答题.(结果用数字作答) （1）A ，B ，C 三人必须入选有多少种不同的选法？ （2）A ，B ，C 三人只有一人入选有多少种不同的选法？ （3）A ，B ，C 三人至多二人入选有多少种不同的选法？13.已知三次函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣6x +b ，a ，b ∈R ，f （0）＝1，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为﹣6. （1）求函数y ＝f （x ）的解析式； （2）求f （x ）在区间[﹣2，4]上的最值.14.已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，AD =120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.15.如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC =BC ．(Ⅰ)求证：AM⊥平面EBC ；(Ⅱ)求二面角A −EB −C 的大小．16.已知2020220200122020()(1)f x x a a x a x a x =-=++++.（1）求1232020a a a a ++++的值； （2）求1232020232020a a a a ++++的值；（3）求12320201111a a a a ++++的值.17.已知函数2()ln ,01f x x m x m x=++<<. （1）若()f x 在43x =时取得极值，求实数m 的值； （2）求()fx 的单调区间； （3）证明：()f x >.四、新添加的题型18.若1717C C =，则正整数x 的值是（ ）A.1B.4C.6D.819.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A.()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B.单调递增区间为(),e -∞ C.()f x 的极大值为1eD.方程()1f x =-有两个不同的解20.将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是（ ） A.11114323C C C CB.2343C AC.3143A CD.21342322C C A A ⋅21.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论中正确的有（ ）A.11DC D P ⊥B.1APD ∠的最大值为90°C.1AP PD +D.1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围是23⎣⎦22.棱长为1的正四面体ABCD 内有一个内切球O ，M 为CD 中点，N 为BM 中点，连接AN 交球O 于P ，Q 两点，则球O 的表面积为___________，PQ 的长为___________.参考答案1.B【解析】1.先从5人选3人，再给这3个人分配门票即可得到不同的分法.先从5人选3人，再给这3个人分配门票，故不同分法有335360C A =，故选：B. 2.B【解析】2.连接1AD ，11B D ，得出11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角，即可求解. 如图，连接1AD ，11B D ， 因为11//AB D C 且11AB D C =， 所以11ABC D 为平行四边形， 所以11//BC AD ，所以11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角， 因为11AB D 为等边三角形，所以113B AD π∠=.故选：B 3.C【解析】3.试题根据正弦函数的导数公式及复合函数的求导法则可得：令sin ,2y u u x ==，则()(cos )22cos 2u x f x y u u x =⨯=''='⋅，故选C.4.B【解析】4.利用插空法，先对除甲､乙两人的其他3人排列，然后甲､乙两人去插4个空即可 解：先对除甲､乙两人的其他3人排列，有33A 种，3个人排列后有4个空，然后甲､乙两人从这4 个空中选2个空排列即可，所以共有3234324372A A ⋅=⨯⨯⨯=种方法，故选：B 5.D【解析】5.试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在(x 2+1x)n中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到(x 2+1x )5∴T r+1=C 5r x10−3r ∴10−3r =4,r =2∴二项展开式中x 4的系数C 52=10，故选D.6.D【解析】6.求出函数的导数，将问题转化为2112a x x ≥-在()1,2x ∈恒成立，令211()2g x x x=-，求出()g x 的最小值，从而可求得a 的取值范围． 由函数()22f x lnx ax x +-＝可得()122f x ax x'=+-， 若()f x 在区间()1,2内单调递增， 则()0f x '≥在x ∈()1,2恒成立， 即2112a x x≥-在x ∈()1,2恒成立， 令2211111()1,222g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1()(1),2g x g <= 故12a ≥， 即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 7.D【解析】7.设内接圆柱的底面半径为x ，根据题中条件，得到内接圆柱的高42h x =-，由圆柱的侧面积公式，表示出侧面积，进而可求出结果.圆锥的底面半径为2，高为4， 设内接圆柱的底面半径为x ， 则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D. 8.A【解析】8.由题意知()'f x 有唯一的变号零点，等价于()0f x '=有唯一实数根1x =，对()'f x 因式分解可得1()x x e k f x x x ⎛⎫--= ⎝'⎪⎭，转化为0x e k x -=无实根，也即y k =与()x eg x x =两个函数图象没有交点，利用导数研究()xe g x x=，即可求出实数k 的取值范.()()2211()111x x xx xe e ek x e f x k x x k x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭， 因为1x =是函数()f x 唯一极值点，所以()0f x '=有唯一实数根1x =，所以0x e k x -=无实根，也即y k =与()xe g x x=两个函数图象没有交点，()()221xx x e x e x e g x x x--'==，所以()x e g x x =在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()11eg x g e ≥==，所以k e ≤， 故选：A 9.126【解析】9.利用组合数的性质计算即可 解：3458954577889!98761265!4!4321C C C C C C ⨯⨯⨯===+⨯+==⨯⨯⨯+， 故答案为：126 10.10【解析】10.利用二项式系数的最值，直接计算结果.由二项式的形式可知，每一项的系数和二项式系数相等，所以第6项的二项式系数是5n C ，所以52n=，得10n =. 故答案为：10 11.（﹣∞，1]【解析】11.根据条件构造函数g （x ）＝e x f （x ），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式问题转化为函数单调性问题进行求解即可．解：不等式f （x ）≥e 1﹣x ，等价为e x f （x ）≥e ，设g （x ）＝e x f （x ），则函数的导数g ′（x ）＝e x （f （x ）+f ′（x ））， ∵f （x ）+f ′（x ）＜0，∴g ′（x ）＜0，即函数g （x ）在定义域上为减函数， ∵g （1）＝ef （1）＝e ，∴e x f （x ）≥e 等价为g （x ）≥g （1），则1x ≤， 即不等式f （x ）≥e 1﹣x （e 为自然对数的底数）的解集是（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1].12.（1）36种；（2）378种；（3）756种.【解析】12.（1）相当于从剩下的9人选2人的方法种数；（2）先选1人，再从剩下的9人选4人的方法种数；（3）利用间接法计算结果. 从12人中选出5人去参加一项活动.（1）A ，B ，C 三人必须入选，再从剩余的9人里选2人，共有2936C =种不同的选法；（2）先从A ，B ，C 三人选一人，再从剩余的9人里选4人，共有1439378C C =种不同的选法；（3）先从12人中选5人，再减去A ，B ，C 都入选的情况，所以A ，B ，C 三人至多二人入选有59212756C C -=种不同选法.13.（1）()323612f x x x x =--+；（2）最大值为17，最小值为﹣9.【解析】13.（1）先求函数的导数，进而根据(1)6f '=-求出a 的值，然后根据f （0）＝1，求出b 的值即可求出函数的解析式；（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间[﹣2，4]上的最值.（1）2()326f x x ax +'=-，由导数的几何意义，(1)6f '=-，32a ∴=-， ∵f （0）＝1，∴b ＝1，323()612f x x x x ∴=--+.（2）2()3363(1)(2)f x x x x x ==+'---，令()0f x '=得121,2x x =-=，当[2,1)x ∈--时，()0f x '>，f （x ）单调递增； 当(1,2)x ∈-时，()0f x '<，f （x ）单调递减； 当x ∈（2，4]时，()0f x '>，f （x ）单调递增， ∴函数f （x ）在x ＝﹣1取得极大值为9(1)2f -=， 在x ＝2时取得极小值为f （2）＝﹣9，9(2)1(2),(4)172f f f -=->=>， ()f x ∴在区间[2,4]-上的最大值为17，最小值为﹣9.14.（1）见解析（2）7【解析】14.（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.解：（1）连接DE ，在DCE 中，由余弦定理得： 22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒=在ABC 中，AE =则有222AE DE AD +=， 所以AE ED ⊥，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC E ⋂=，所以AE ⊥平面BCD ，（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ， 则DF ⊥平面ABC ，则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，在Rt CDF 中，sin60DF CD =︒，在Rt ADF 中，AF =AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：tan 7DF DAF AF ∠===. 15.(Ⅰ) 见解析.(Ⅱ) 60°.【解析】15.分析：由题意，以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ．则：(Ⅰ)由空间向量的运算法则可得：AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，据此可得AM ⊥平面EBC ；(Ⅱ)由题意可得平面EAB 的一个法向量为n⃑⃑ =(1,−1,0)，平面EBC 的一个法向量为AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,1)，据此计算可得：二面角A −EB −C 的大小为60°. 详解：∵四边形是正方形 ， ，∵平面平面，平面， ∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，∵是正方形的对角线的交点，．(Ⅰ)，，， ，平面．(Ⅱ)设平面的法向量为，则且，且．即取，则， 则．又∵为平面的一个法向量，且，，设二面角的平面角为θ，则，．∴二面角等于．16.（1）1-；（2）0；（3）10101011.【解析】16.（1）利用赋值法，令1x =和0x =，求系数和；（2）求函数的导数，再令1x =，求()1f '；（3）用组合数公式表示2020(1)(02020)kk k a C k =-，再代入组合数公式，变形化简，得20201kC =1202120212021112022k k C C +⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. （1）0(0)1f a ==，0122020(1)0f a a a a ==++++，所以1232020(1)(0)1a a a a f f ++++=-=-；（2）2019220191232020()2020(1)232020f x x a a x a x a x '=--=++++，所以1232020232020(1)0a a a a f '++++==；（3）因为2020(1)(02020)k kk a C k =-，所以12320201232020202020202020202011111111a a a a C C C C ++++=-+-++因为20201!(2020)!2021!(2020)!(20211)2020!20222021!k k k k k k k C ---++==⋅1202120212021(2021)!![2021(1)]!(1)!20211120222021!2022k k k k k k C C +⎛⎫-+-++=⋅=⋅-+ ⎪⎝⎭所以原式12233420202021202120212021202120212021202120212021111111112022C C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2021120212021202111101020221011C C ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦所以12320201111a a a a ++++的值为10101011. 17.（1）16m =；（2）单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】17.(1)求出原函数的导函数，由题意得403f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，求得m 值，代入原函数，验证() f x 在43x =时取得极小值即可; (2)求出原函数的导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,再由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性;(3)由(2)可得原函数的最小值，利用基本不等式证明最小值大于()f x >.解：（1）由题意得222()x mx f x x +-'=，因为()f x 在43x =时取得极值，所以403f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解得16m =， 当16m =时，22212(23)(34)6()6x x x x f x x x +-+-'==，因为0x >，所以230x +>， 所以当40,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递减； 当4,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以()f x 在43x =时取得极小值， 综上16m =；（2）因为222()x mx f x x +-'=，由()0f x '=，解得10(01)x m =<<<舍去，)00||x m m =>>，所以在()00,x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()00,x 单调递减； 在()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()0,x +∞单调递增，所以()f x的单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，()f x的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （3）法一：由222(),01x mx f x m x+-'=<<，则(1)10,02f m f ''=-<=>， 由（2）知，存在唯一的0(1x ∈，使得()00f x '=，即20020x mx +-=，002m x x =- ()min 000000000222()ln ln f x f x x m x x x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭设22()ln ,g x x x x x x x ⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭，22()1ln 0,g x x x x ⎛⎫'=--<∈ ⎪⎝⎭所以()g x g >=所以()f x >（3）法二：因为0x ==又01m <<，所以01x <<0ln 0x >. 又由（2）()min 00002()ln f x f x x m x x ==++，所以002()f x x x >+>18.AC【解析】18.由组合数的性质，直接计算结果.由组合数的性质可知21x x =-或2117x x +-=，解得：1x =或6x =. 故选：AC 19.AC【解析】19.对()f x 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项A ；利用导数分析函数()f x 的单调性，极值可判断选项B ，C ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项D ． 解：因为()ln xf x x=，所以函数的定义域为()0,∞+ 所以()21ln xf x x-'=，()11f '=，()10f =， ∴()f x 的图象在点()1,0处的切线方程为()()011y f x '-=-， 即()111y x x =⋅-=-，故A 正确； 在()0,e 上，()0f x '>，()f x 单调递增， 在()e,+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减，故B 错误，()f x 的极大值也是最大值为()ln e 1e e ef ==，故C 正确； 方程()ln 1xf x x==-的解的个数，即为ln x x =-的解的个数， 即为函数ln y x =与y x =-图象交点的个数， 作出函数ln y x =与y x =-图象如图所示：由图象可知方程()1f x =-只有一个解，故D 错误. 故选：AC . 20.BD【解析】20.将4个不同的小球分成3组，进行全排即可求解. 首先从4个不同的小球分成3组，3组的球数为2,1,1，即24C 或224222C C A ， 再将3组小球放入标有1､2､3号的盒子中，有33A 种， 所以共有2343C A 或21342322C C A A ⋅. 故选：BD 21.ACD【解析】21.证明1DC ⊥平面11A BCD ，即可得出11DC D P ⊥；当112A P =时，求出11,,AP D P AD 的长度，再由余弦定理得出1cos 0APD ∠<，从而判断B 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，可知线段1AD 即为1AP PD +的最小值，再由余弦定理求出最小值；由11B C ⊥平面11A B BA 得出1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，结合直角三角形的边角关系得出1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围. 连接1CD ，如下图所示对于A 项，由于11A D ⊥平面11CDD C ，则111A D DC ⊥，由1DC ⊥1CD ，结合线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面11A BCD ，又1D P ⊂平面11A BCD ，所以11DC D P ⊥ 对于B 项，当112A P =时，AP ==12D P ==，1AD =1APD △中，1552cos 0APD +--∠=<，则1APD ∠可以为钝角，则B 错误； 对于C 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，如下图所示 则线段1AD 即为1AP PD +的最小值 在11D A A △中，11135D A A ︒∠=由余弦定理得1AD ==，即1AP PD +的最小值为对于D 项，由于11B C ⊥平面11A B BA ，且111B C B P ⊥，则1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，则1111sin B PC C P ∠=，因为12C P ≤≤，所以116sin 23B PC ∠，即1C P 与平面11A B BA所成角正弦值的取值范围是,23⎣⎦故选：ACD22.6π【解析】22.取AB 的中点为S ，连接MS 、AM ，设T 为BCD △的中心，连接AT ，则MS 与AT 的交点为球心O 且AT ⊥平面BCD .利用解直角三角形可求球的半径和球心到到直线AN 的距离，故可求PQ 的长度.取AB的中点为S，连接MS、AM，设T为BCD△的中心，连接AT，则MS与AT 的交点为球心O且AT⊥平面BCD.正四面体中，因为棱长为1，M为CD的中点，故2BM AM==.在等腰三角形ABM中，因为S为底边AB的中点，故2SM==，所以1tan BMS∠==，故11tan tan332212OT TM BMS BM BMS=∠=∠=⨯=，故球O的表面积为246ππ⨯=⎝⎭.而AT==AO==，在直角三角形ANT中，12NT BM TM=-==，故4AN====所以sin334NAT∠==，故O到直线AN的距离OG=，故PQ===，故答案为：6π.。
2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）. 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2104．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A ．f （x ）g '（x ）﹣f '（x ）g （x ）B ．f '（x ）g （x ）﹣f （x ）g '（x ）C ．f （x ）g （x ）﹣f '（x ）g '（x ）D ．f '（x ）g '（x ）﹣f （x ）g （x ）5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（ ） A ．100πB ．416√3π3C ．20πD ．500π36．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（ ）种 A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种7．已知C 28x =C 282x−8，则x 的值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．8或128．若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°10．已知复数z =−1+√3i （i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，若复数w =zz ，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|w |＝1C ．w 的实数部分为−12D ．w 的虚部为√32i11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．若复数z 满足|z |＝1（i 为虚数单位），则|z ﹣2i |的最小值是 ．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为．16．函数f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）={f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K，取函数f（x）=52x2−3x2lnx，若对任意x∈（0，+∞），恒有f K（x）＝f（x），则K的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x+ax2+blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极大值．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值；（3）求异面直线A1B与AD的距离．21．已知函数f n（x）＝（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R．（1）若λ＝﹣2，n＝2020，求a0+a2+a4+…+a2020的值；（2）若n＝8，a7＝1024，求a i（i＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑n k=0C n k k n x k f n−k(x)=x．22．已知函数f(x)=lnx x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a b＝b a，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴1−i 1+i的实部是0．故选：D ．2．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒【分析】求出导数，再将t ＝3代入，由此可求得瞬时速度． 解：（法一）∵S ＝2t 3， ∴S ′＝6t 2，∴当t ＝3时，S ′＝6×9＝54， 故选：C ． （法二）∵S ＝2t 3，∴S′|t=3=lim △t→02(3+△t)3−2×33△t=lim △t→02(3+△t−3)[(3+△t)2+(3+△t)×3+9]△t=lim △t→0[54+18△t +(△t)2]=54， 故选：C ．3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得展开式中x 4的系数．解：(x −1x )10的展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 10﹣2r ，令10﹣2r ＝4，可得r ＝3，故展开式中x4的系数为−C103=−120，故选：B．4．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A．f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）B．f'（x）g（x）﹣f（x）g'（x）C．f（x）g（x）﹣f'（x）g'（x）D．f'（x）g'（x）﹣f（x）g（x）【分析】直接利用导数公式求解即可．解：由导数运算法则可知，[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)．故选：B．5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．100πB．416√3π3C．20πD．500π3【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可．解：作出球的轴截面图，由题意知BC＝3，球心到这个平面的距离为4，即OC＝4，∴球的半径OB=√32+42=5，∴球的表面积为4π×52＝100π．故选：A．6．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（）种A．24种B．36种C．48种D．72种【分析】根据题意，分2步进行分析：先在甲乙两人中间安排一个，将三者绑定，将其看作一个元素与剩余的两人组成三个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，考虑甲乙两人站法，甲乙两人顺序有2种情况，中间恰有一个人，从其余三人选一人即可，有三种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有2×3＝6；将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A33＝6种故5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有6×6＝36种；故选：B．7．已知C28x=C282x−8，则x的值为（）A．6B．8C．12D．8或12【分析】由组合数公式的性质直接得到关于x的多项式方程，解出即可．解：∵C28x=C282x−8，∴x＝2x﹣8或x+2x﹣8＝28，则x＝8或x＝12，故选：D．8．若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可令f(x)=lnxx，求导得出f′(x)=1−lnxx2，根据导数符号即可判断出f（x）在（e，+∞）上单调递减，并且a=ln44，从而可得出a，b，c的大小关系．解：令f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx2，∴x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，又a=ln22=ln44=f（4），b=ln33=f(3)，c=ln55=f(5)，∴f（3）＞f（4）＞f（5），∴b＞a＞c．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．10．已知复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若复数w=zz，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．|w|＝1C．w的实数部分为−1 2D．w的虚部为√32i【分析】先根据条件求出w；再结合其定义以及几何意义即可求得答案．解：因为复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则复数w=zz=−1−√3i−1+3i=(−1−√3i)(−1−√3i)(−1+3i)(−1−3i)=−12+√32i；故w 对应的点为（−12，√32）； |w |=(−12)2+(32)2=1；且w 的实部为：−12，虚部为：√32；故选：ABC ．11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n【分析】由组合数的性质分别检验各选项即可判断出结论．解：（1）由组合数的性质可得：∁n m =∁n n−m（0≤m ≤n ），A 正确； mC n m =m ×n!m!(n−m)!=n(n−1)!(m−1)![(n−1)−(m−1)]!=n C n−1m−1，故B 正确； 由组合数的性质可得：∁n+1m+1=∁n m +C nm+1（1≤k ≤n ），故C 错误； 由于（1+x ）n •（1+x ）n ＝（1+x ）2n ，两边展开可得，(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )•(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )=C 2n 0+C 2n 1x +⋯+C 2n 2n x 2n ，比较两边x n 的系数可得，C n 0⋅C n n +C n 1⋅C n n−1+⋯+C n n ⋅C n 0=(C n 0)2+(C n 1)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f ′（x ）＝e x −ax ， 对于A ：∵a ∈（﹣∞，0）∴f ′（x ）＝e x −ax ≥0，是增函数．所以A 正确，对于B：∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）＝e x−ax=0，可以判断函数有最小值，B正确．对于C：画出函数y＝e x，y＝﹣alnx的图象，如图：显然不正确．对于D：令函数y＝e x是增函数，y＝alnx是增函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）＝e x﹣alnx＝0有两个根，正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是1．【分析】复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．解：∵复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．则|z﹣2i|＝|cosθ+i（sinθ﹣2）|=√cos2θ+(sinθ−2)2=√5−4sinθ≥1，当且仅当sinθ＝1时取等号．故答案为：1．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是（0，1]．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数a的取值范围．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AM＝m，DP＝t，则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），∴PM→=(a，m，−t)，CM→=(a，m−2，0)，∵PM⊥CM，∴PM→⋅CM→=a2+m2﹣2m＝0，∴a2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1≤1，∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，又a＞0，∴实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为1330．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求出结果．解：（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为C22+C32+C42+⋯+C202= C213=1330，故答案为：1330．16．函数f （x ）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K （x ）={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，取函数f （x ）=52x 2−3x 2lnx ，若对任意x ∈（0，+∞），恒有f K （x ）＝f （x ），则K的最小值为2e 23 ．【分析】根据新定义的函数建立f k （x ）与f （x ）之间的关系，通过二者相等得出实数k 满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k 的范围，进一步得出所要的结果． 解：∵函数f k (x)={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，对任意的x ∈（0，+∞），恒有f k （x ）＝f （x ）， ∴k ≥f （x ）最大值，由于f ′（x ）＝5x ﹣3x ﹣6xlnx ＝2x ﹣6xlnx ， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝0（舍），或x =e 13， 当0＜x ＜e 13时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＞e 13时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 故当x =e 13时，f （x ）取到最大值f （e 13）=32e 23．故当k ≥32e 23时，恒有f k （x ）＝f （x ）．因此K 的最小值是32e 23．故答案为：32e 23．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f （x ）＝x +ax 2+blnx ，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f ′（1）＝2及f （1）＝0联立不等式组求解a ，b 的值，则函数解析式可求．（Ⅱ）求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的极大值即可．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）解：由f （x ）＝x +ax 2+blnx ，得f ′（x ）＝2ax +1+b x（x ＞0）． 由曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0， 得{f′(1)=2a +1+b =2f(1)=1+a =0，∴{a =−1b =3， 即a ＝﹣1，b ＝3．（Ⅱ）f （x ）＝﹣x 2+x +3lnx ．x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝﹣2x +1+3x（x ＞0）．﹣2x +1+3x＞0，解得x ∈(0，32)；﹣2x +1+3x ＜0，解得x ∈(32，+∞)；所以函数的增区间：(0，32)；减区间：(32，+∞)，x =32时，函数取得极大值，函数的极大值为f(32)=−34+3ln 32．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 【分析】（1）根据题意，需要在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：：①，受到限制的男生有4种情况，②，在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；则受到限制的男生有3种情况，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；解：（1）根据题意，有5个男生和3个女生，共8名学生；若某女生一定担任语文科代表，在剩下的7人中任选4人，担任其他4科课代表即可， 则有A 74＝840种不同的选法；（2）根据题意，分2步进行分析：①要求某男生必须在内，但不担任数学科代表，则该男生的安排有4种情况，②在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，有A74＝840种选法；则有4×840＝3360种不同的选法；（3）根据题意，某女生一定要担任语文科代表，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；分2步进行分析：①，某男生必须在内，但不担任语文和数学科代表，则该男生有3种情况，②，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，有A63＝120种选法；则有3×120＝360种不同的选法．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．【分析】（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域解：（I ）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD 中，三角形APQ 为等边三角形，设边长为a ，∵正方形ABCD 边长为2分米，∴AH =√32a =AC−a 2=2√2−a 2，解得a =√21+3=√6−√2∴正四棱锥的棱长a =√6−√2∴PO =√22a ，AO =√AP 2−PO 2=√22a ，∴V =13×a 2×AO =√26a 3=√26×（√6−√2）3＝4√3−203（II ）∵AH =12PQ ×tan x =AC−PQ 2=2√2−PQ 2=√2−12PQ∴PQ =2√21+tanx ，AH =√2tanx 1+tanx∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH ＝2×2√21+tanx ×√2tanx 1+tanx=8tanx(1+tanx)2 x ∈[π4，π2） ∵S =8tanx(1+tanx)2=8tanx 2=81tanx+tanx+2≤82+2=2 （当且仅当tan x ＝1即x =π4时取等号） 而tan x ＞0，故s ＞0∵S 等于2时三角形APQ 是等腰直角三角形，顶角PAQ 等于90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥，∴S 的范围为（0，2）．20．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值； （2）求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值； （3）求异面直线A 1B 与AD 的距离．【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值．（2）求出平面C 1AD 的法向量，利用向量法能求出直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值．（3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ，A 1B ∥平面C 1AD ，由此能求出异面直线A 1B 与AD 的距离．解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （2，0，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），D （1，1，0）， A 1B →=（2，0，4），AC 1→=（0，2，4）， ∴cos ＜A 1B →，AC 1→＞=A 1B →⋅AC 1→|A 1B →|⋅|AC 1→|=−16√20⋅√20=−45，∴异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值为45． （2）AB 1→=（2，0，4），AD →=（1，1，0）， 设平面C 1AD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AC 1→=2y +4z =0n →⋅AD →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，12），设直线AB 1与平面C 1AD 所成角为θ， 则sin θ=|AB 1→⋅n →||AB 1→|⋅|n →|=4√515，∴直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值为4√515． （3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ， ∴A 1B ∥平面C 1AD ，∴点A 1到平面C 1AD 的距离为d ，则d =|AA 1→⋅n →||n →|=232=43，∴异面直线A 1B 与AD 的距离为43．21．已知函数f n （x ）＝（1+λx ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，其中λ∈R ． （1）若λ＝﹣2，n ＝2020，求a 0+a 2+a 4+…+a 2020的值；（2）若n ＝8，a 7＝1024，求a i （i ＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑ n k=0C n k kn x k f n−k (x)=x ．【分析】（1）令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可求得结果；（2）先假设a t 最大，利用{a t ≥at−1a t ≥a t+1求得t 的值，进而求得a i 中的最大值；（3）先说明C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，再利用二项式定理求证出结果． 解：（1）当λ＝﹣2，n ＝2020时，f 2000（x ）＝（1﹣2x ）2000＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2000x 2000， 令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可得a 0+a 2+a 4+…+a 2020=32000+12；（2）由题知f 8（x ）＝（1+λx ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，a 7=C 87λ7＝1024，解得λ＝2．不妨设a i 中a t （t ＝0，1，2，…，8）最大，则{a t ≥a t−1a t ≥a t+1⇒{C 8t 2t≥C 8t−12t−1C 8t 2t ≥C 8t+12t+1， 解得t ＝5或6，故a i 中的最大值为a 5＝a 6=C 8525=C 8626＝1792；（3）证明：若λ＝﹣1，f n （x ）＝（1﹣x ）n ，∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）=C n 00n x 0(1−x)n +C n 11n x1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n n nn x n (1−x)0．因为C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，所以∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）＝0+C n−10x 1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1x n （1﹣x ）0＝x [C n−10x 0（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1xn ﹣1（1﹣x ）0]＝x [x +（1﹣x ）]n ﹣1＝x ． 22．已知函数f(x)=lnx x． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设a ＞0，求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a 、b （a ＜b ），使a b ＝b a ，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围（不需要解答过程）． 【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用导数，可求函数f （x ）的单调区间； （2）根据f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，结合函数的定义域，分类讨论，可求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）a 的取值范围是1＜a ＜e ，利用f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，即可求得．解：（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=1−lnx2， 令f′(x)=1−lnxx 2=0，则x ＝e ， 当x 变化时，f '（x ），f （x ）的变化情况如下表：x （0，e ）e （e ，+∞）f '（x ）+﹣f （x ） ↗1e↘∴f （x ）的单调增区间为（0，e ）；单调减区间为（e ，+∞）．…（2）由（1）知f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以， 当4a ≤e 时，即a ≤e4时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （2a ）； 当2a ≥e 时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （4a ）当2a ＜e ＜4a 时，即e4＜a ＜e2时，f （x ）在[2a ，e ]上单调递增，f （x ）在[e ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝min {f （2a ），f （4a ）}． 下面比较f （2a ），f （4a ）的大小，… ∵f(2a)−f(4a)=lna 4a， ∴若e4＜a ≤1，则f （a ）﹣f （2a ）≤0，此时f(x)min =f(2a)=ln2a2a； 若1＜a ＜e2，则f （a ）﹣f （2a ）＞0，此时f(x)min =f(4a)=ln4a4a；… 综上得：当0＜a ≤1时，f(x)min =f(2a)=ln2a2a；当a ＞1时，f(x)min =f(4a)=ln4a4a，…（3）正确，a 的取值范围是1＜a ＜e …（16分） 理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x →+∞时，f （x ）→0 又∵f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减 ∴f （x ）的大致图象如右图所示∴总存在正实数a ，b 且1＜a ＜e ＜b ，使得f （a ）＝f （b ），即lna a=lnb b，即a b ＝b a ．。
江苏省苏州市常熟中学2019_2020学年高二数学下学期六月质量检测试题含解析
故选：ABC.
【点睛】本题考查了线性回归方程的性质、意义及应用，熟练掌握知识点是解题关键,属于基础题.
10。已知在 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A. 展开式中所有项的系数之和为256
B. 展开式中含 的一次项为
B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C。 若4个不同的小球放入编号为1,2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1,2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
【答案】BCD
C. 展开式中有3项有理项
D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意写出该二项式展开式的通项公式，由等差数列的性质可得 ;令 即可判断A；令 ，代入即可判断B;令 为整数，即可判断C;令 ，解不等式即可判断D;即可得解。
【详解】由题意 展开式的通项公式为
，
所以 ，解得 或 （舍去），
故选:BCD。
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，合理赋值、细心计算是解决本题的关键，属于中档题。
11。若长方体 的底面是边长为2的正方形,高为4， 是 的中点，则（ ）
A. B。 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为 D. 三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】
以 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标,计算 值即可判断A;分别求出平面 ，平面 的法向量,判断它们的法向量是否共线，即可判断B;利用等体积法,求出三棱锥 的体积即可判断C;三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，故求出长方体 的外接球的表面积即可判断D.
2019-2020学年江苏省苏州市数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年江苏省苏州市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用AB 中点横坐标来求得弦长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212112AB x x x x =+++=++，而AB 的中点的横坐标为1222x x +=，所以426AB =+=.故选C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.2．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种【答案】C【解析】【分析】先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数.【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C. 【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.3．某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】【分析】先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.【详解】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有35C 种；（2）2，2，1，有22532!C C 种.所以不同的安排方法共有223353531502!C C C A ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭种. 故选C.【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.4．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线【答案】C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离． 5．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ）A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】解：对于A ，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A 正确；对于B ，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B 正确；对于C ，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C 错误；对于D ，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x ）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）． 所以选项A 、D 不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-1x）是增函数．故选B．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．8．函数()212sin f x x =-是（）A ．偶函数且最小正周期为2πB ．奇函数且最小正周期为2πC ．偶函数且最小正周期为πD ．奇函数且最小正周期为π【答案】C【解析】【分析】 首先化简为()cos2f x x =，再求函数的性质.【详解】()cos2f x x =()()f x f x -= ，是偶函数， 22T ππ== 故选C.【点睛】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型. 9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．2B ．4C ．442+D ．642+【答案】A【解析】【分析】 根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.10．用反证法证明命题“关于x 的方程30ax b +=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30ax b +=至多有一个实根B ．方程30ax b +=至少有两个实根C ．方程30ax b +=至多有两个实根D ．方程30ax b +=没有实根 【答案】D【解析】【分析】结论“至少有一个”的反面是“至多有0个”即“一个也没有”．【详解】假设是“关于x 的方程30ax b +=没有实根”．故选：D.【点睛】本题考查反证法．掌握命题的否定是解题关键．在有“至多”“至少”等词语时，其否定要注意．不能弄错．11．设x ∈R ，则“28x <”是1<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】分别将两个不等式解出来即可【详解】由28x <得3x <1<得23x ≤<所以“28x <”是1”的必要不充分条件故选：B【点睛】设命题p 对应的集合为A ，命题q 对应的集合为B ，若A B ,则p 是q 的充分不必要条件，若A B ，则p 是q 的必要不充分条件，若A=B ，则p 是q 的充要条件.12．已知集合A ＝{x|y x∈Z}，B ＝{y|y ＋φ)}，则A∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】【分析】利用定义域的的要求可以求出A 集合，利用三角函数的性质求出B 集合，再计算A 与B 的交集的元素个数即可.【详解】集合A 满足－2x ＋x ＋6≥0，(x －3)(x ＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B ＝[，，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B 中元素个数为5.【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，1AA =，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为______. 【答案】4π 【解析】【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,再将异面直线1BD 与1CC 利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可.【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接BD .则因为1AB BC ==,则BD =,又1AA =故1BD DD ==又1BD DD ⊥,故1BDD V 为等腰直角三角形,故14DD B π∠=,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为4π故答案为4π 【点睛】 本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.14．设,0a b >，关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1.则a b的最小值______. 【答案】264【解析】【分析】 化简3232x xx x a b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果 【详解】因为,0a b >， 所以()3212323232x x x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x xa ab b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-⋅+ 1312x a a b b b +=-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭在(0,1)上单调递增， 又关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立，所以11a a b N b b +=-+，1312a ab M b b +=-+， 因为M N -的最小为1， 所以113112a ab b M N b b ++-=-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭…，即23(1)1135222135511131212b b a b b b b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭+===++-++厖，所以4a b …，当且仅当23b b =，即3b =时取“=”， 即a b的最小值为4. 【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力15．已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 【答案】8,05⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 试题分析：0a =时，不等式为20-<，恒成立，当0a ≠时，有20,{94(2)0,a a a a <∆=--<解得805a -<<，综上有805a -<≤． 考点：不等式恒成立问题，二次不等式的解集． 16．条件:25p x -<<，条件2:0x q x a +<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．【答案】5a >【解析】【分析】【详解】解：p Q 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，Q 20x x a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =， 5a ∴>，故答案为：(5,)+∞．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数2()2f x x a x a=-++（0a >）. (Ⅰ)当2a =时，求不等式()3f x ≤的解集；(Ⅱ)求证:()2f x ≥，并求等号成立的条件.【答案】 (Ⅰ) 4{|0}3x x ≤≤ (Ⅱ)见证明【解析】【分析】(Ⅰ)把2a =代入不等式中，利用零点进行分类讨论，求解出不等式的解集； (Ⅱ)证法一：对函数解析式进行变形为2()22a a f x x x x a=-+-++，0a >，显然当 2a x =时，函数有最小值，最小值为22a a +，利用基本不等式，可以证明出222a a+≥，并能求出等号成立的条件；证法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的x 的值.【详解】解:(Ⅰ)当2a =时，原不等式等价于2213x x -++≤，当1x ≥时，2213x x -++≤，解得413x ≤≤ 当11x -<<时，2213x x -++≤，解得01x ≤<当1x ≤-时，2213x x ---≤，x 无实数解∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤ (Ⅱ)证明:法一:222()2222a a a f x x a x x x x x x a a a =-++=-+-++≥-++，当且仅当2a x =时取等号 又222()()2222a a a x x x x a a a-++≥--+=+≥， 当且仅当22a x a -≤≤且2a =时，即11x -≤≤时取等号，()2f x ∴≥，等号成立的条件是1,2x a ==法二:23,222(),2223,a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩()f x ∴在(,)2a -∞上单调递减，在(,)2a +∞上单调递增 2()()222a a f x f a∴≥=+≥，等号成立的条件是1,2x a == 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键. 18．已知函数2()e (e)x f x a x ax =+--，(0)a ≤．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：当0a <时，函数()f x 在区间()0,1内存在唯一零点． 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数求出函数()f x 的单调性，即可得出()f x 的最小值；（Ⅱ）对函数()f x 求导得出()f x ¢，构造函数()()g x f x '=，利用导数得出函数()f x '的单调性，结合零点存在性定理求解即可.【详解】解：（Ⅰ）当0a =时，()e e ,()e e x xf x x f x '=-=-当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,1)-∞上单调递减．当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．故当1x =时，min ()(1)0f x f ==．（Ⅱ） 由2()()x f x e a e x ax =+--可知，(0)1,(1)0f f ==． 当0a <时，()e e (12)xf x a x '=-+-设()()g x f x '=，则()e 20x g x a '=-> 所以()g x 在区间(0,1)内单调递增，即()f x '在区间(0,1)内单调递增．又(0)1e 0,(1)0f a f a ''=-+<=->故存在唯一0(0,1)x ∈，使得()00f x '=．当()0,1x x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在区间()0,1x 内单调递增，此时()(1)0f x f <=．当0(0,)x x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递减．又因为0(0)10,()0f f x =><故函数()f x 在区间0(0,)x 内有唯一零点．所以函数()f x 在区间0(0,)x 内存在唯一零点．【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及零点存在性定理的应用，属于中档题.19．已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】 (1)12a =,1b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】【分析】 （1）先对函数求导，得到()2b f x ax x '=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到()212f x x lnx =-，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间. 【详解】解：（1）()'2.b f x ax x =+Q 又()f x 在1x =处有极值12, ()()112'10f f ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即1220a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得12a =,1b =-． （2）由（1）可知()212f x x lnx =-,其定义域是()0,∞+, ()()()111'x x f x x x x+-=-=．由()'0f x <,得01x <<；由()'0f x >,得1x >．∴函数()y f x =的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞．【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.20．选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x m x =+--.（1）若1m =，求函数()f x 的值域；（2）若1m =-，求不等式()3f x x >的解集.【答案】 (1)[]3,3-.(2)(),1-∞.【解析】分析：（1）当1m =时，()12f x x x =+--，根据绝对值不等式的几何意义即可求出函数的值域；（2）当1m =-时，不等式()3f x x >即123x x x +-->，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果.详解：（1）当1m =时，()12f x x x =+-- ∵12x x +-- ()()123x x ≤+--= ∴3123x x -≤+--≤，函数()f x 的值域为[]3,3-（2）当1m =-时，不等式()3f x x >即123x x x +-->①当1x <-时，得123x x x ---+>，解得15x <，∴1x <- ②当12x -≤<时，得123x x x +-+>。
江苏省苏州大学附中2019_2020学年高二数学下学期6月阶段调研试题含解析
在平面 中,直线 相交，所以直线 与平面 相交，
故直线 与平面 相交，则平面 不存在直线与 平行，
所以选项A错误；
对于选项B,连接 分别为棱 的中点，
所以 ,在正方体 中，
,所以 ，连 ，则梯形 为所求的截面，
，所以等腰梯形 的高为
，
所以梯形 的面积为 ，选项B正确;
江苏省苏州大学附中2019—2020学年高二数学下学期6月阶段调研试题（含解析）
一、单选题（每小题5分,共40分）
1。在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于
A。 第一象限B。 第二象限C. 第三象限D。 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： ，复数对应的点为 ，在第一象限.
故选：A。
6。已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意找到异面直线 与 所成的角 ；设三棱柱 的侧棱与底面边长为 ，利用勾股定理求出各边长，再利用余弦定理，即可求出结果．值的计算方法,回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（ ， ）．
5。校园内移栽4棵桂花树,已知每棵树成活的概率为 ,那么成活棵数 的方差是（ ）
A。 B。 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布的方差直接计算。
【详解】由条件可知
所以
故选：C
【点睛】本题考查二项分布，方差公式，属于基础题型.
【详解】设点 ，则 .又 ，
当 时, ,
点A在曲线 上的切线为 ，
即 ,
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】 先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围.【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减，此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-， 故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题. 2．设抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A ，如果APF 为正三角形，那么PF 等于（ ）A ．B ．C ．6D ．12 【答案】C【解析】【分析】设准线l 与x 轴交于B 点，根据抛物线的定义和△APF 为正三角形，这两个条件可以得出0,60PF PA AF PAF ==∠=，在直角三角形BAF 中，利用正弦公式可以求出AF ，即求出|PF|的长．【详解】设准线l 与x 轴交于B 点，所以3BF =，根据抛物线的定义和△APF 为正三角形0,60AF PA PF PAF ⇒==∠=，030BAF ⇒∠=，在Rt ABF ∆中，sin BF BAF AF∠=， 6AF ∴=，所以|PF|等于6,故本题选C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义．3．在52x⎛- ⎝的展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．40-B ．40C ．80-D ．80 【答案】D【解析】【分析】通过展开二项式即得答案.【详解】 在52x⎛ ⎝的展开式中,2 x 的系数为()22352180C -=，故答案为D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，难度很小.4．若复数z 满足22i 1i z -=+ ，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i -- 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算法则化简21i+，由此可得到复数z 【详解】 由题可得22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-++-； ∴22i =111iz i z i -=-⇒=++； 故答案选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-2．复数12ii -+（i 是虚数单位）的虚部是（） A.13B.13i C.－15D.－15i3．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。
小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A ．17B ．13C ．37D ．3104．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩5．已知函数()22xf x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,Rg x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦6．6的展开式中的常数项是（ ） A ．192B ．192-C ．160D ．160-7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A8．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，()02020f =，则不等式()22018x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞9．已知()21cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设133a =，3log 18b =，5log 50c =，则() A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．设2iz i=+，则||z =（ ） A ．5 B ．25C ．15D ．12512．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为 A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在()61x +的展开式中，含3x 项的系数为______． 14．已知复数z ＝11i+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 15．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++= ______. 16．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知二项式2nx x ⎛-⎝的展开式的二项式系数和为64 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项；18．已知函数2()(1)x f x x e ax =--，32()21g x ax ax x =-+-，（其中,a R e ∈为自然对数的底数，2.71828e =…）.（1）当2ea =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()g x 在区间[1,2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若2ea ≤，当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 19．（6分）已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.20．（6分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C：的参数方程是1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2 C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2C 于 A ，B 两点，求AB . 21．（6分）已知集合{}()1015,20;2A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭（1）若A B =，求实数a 的值；（2）若命题:,p x A ∈命题:q x B ∈且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 22．（8分）已知函数()1f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+，则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12. 本题选择A 选项. 2．C 【解析】 试题分析：()()()12221121212555i i i i i i i i -----===--++-，虚部为15-。
江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题(word无答案)
江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题一、单选题(★) 1 . 若 i是虚数单位，复数( )A．B．C．D．(★) 2 . 设复数 z＝﹣1+2 i，（ i为虚数单位），则复数 z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．5米/秒B．6米/秒C．7米/秒D．8米/秒(★) 4 . 函数在上的最小值是（）A．B．C．D．(★) 5 . 复数满足,则A．B．C．D．(★) 6 . 如图，函数的图象在点处的切线方程是A．B．C．D．0(★★) 7 . 欧拉公式（ i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为 z，则的值为（）A．B．C．D．(★★★★) 8 . 已知函数，在区间上任取三个实数，，均存在以为边长的三角形，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、多选题(★★) 9 . 如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数在区间内单调递减C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极大值(★★) 10 . 已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，以下命题正确的是（）A．的解析式为，B．的极值点有且仅有一个C．的极大值为D．的最大值与最小值之和等于零(★★) 11 . 已知复数对应复平面内点，则下列关于复数、、结论正确的是（）A．表示点到点的距离B．若，则点的轨迹是椭圆C．D．(★★) 12 . 以下命题正确的是（）A．是为纯虚数的必要不充分条件B．满足的有且仅有C．“在区间内”是“在区间内单调递增”的充分不必要条件D．已知，则三、填空题(★) 13 . 复数（是虚数单位）的虚部为 ______ ．(★) 14 . 已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为 _________ .四、双空题(★★) 15 . 如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，则当水深为时，时刻 ________ ，水升高的瞬时变化率 _________ .五、填空题(★★) 16 . 若对任意的都成立，则的最小值为________.六、解答题(★) 17 . 计算：（1）；（2）.(★) 18 . 已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值.(★★) 19 . 已知为坐标原点，向量、分别对应复数、，且，.若是实数.（1）求实数的值；（2）求以、为邻边的平行四边形的面积.(★★) 20 . 已知函数.（1）若时，求在上的最大值和最小值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.(★★) 21 . 如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求解析式；（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．(★★★★) 22 . 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．。
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复习试卷2
2020.04
一、单选题（共8题，共40分）
1.复数i 1i 2+-=（ ） A. i 2321+ B. i 2321- C. i 2323+ D. i 2
323- 2.复数i 21+-=z （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上的对应点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.一个物体的运动方程为s =1－t +t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A. 7米/秒
B. 6米/秒
C. 5米/秒
D. 8米/秒
4.函数x
e y x = 在（0，2）上的最小值是（ ） A. 2
e B. e e 2 C. 32e D. e 5.复数z 满足i 31)i 3(-=+z ，则|z |=（ ）
A. 1
B. 3
C. 2
D.32
6.如图，函数y =f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y =－x +8，则f （5）+f ’（5）=（ ）
A. 2
B. 1
C.2
1 D. 0 7.欧拉公式x x e x sin i cos i +=（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，它建立了三角函数和指数函数
的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将 i 2π
e 表示的复数记为z ，则)i 21(+⋅z 的值为（ ）
A. －2＋i
B. －2－i
C. 2＋i
D.2－i
8.已知函数k x x x f +-=ln )(，在区间],1[e e
上任取三个数 a ，b ，c 均存在 f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）
A. ），（∞+- 1
B. ），（1 -∞-
C. ），（3-∞-e
D. ），（∞+- 3e
二、多选题（共4题，共20分）
9.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A.函数y ＝f (x )在区间）（2
1,3--内单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间 ）（3,2
1- 内单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间（4，5）内单调递增
D.当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值
10.已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在x =±1处的切线斜率均为－1，以下命题正确的是（ ）
A. f (x )的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ;
B. f (x )的极值点有且仅有一个
C. f (x )的极大值为9316 ;
D. f (x )的最大值与最小值之和等于零 11.已知复数z 对应复平面内点A ，则下列关于复数z ，z 1，z 2结论正确的是（ ）
A. |z +2i|表示点A 到点（0，2）的距离;
B. 若|z －1|+|z +2i|=3，则点A 的轨迹是椭圆
C. ||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-;
D. ||||||2121z z z z =
12.以下命题正确的是（ ）
A. a =0是z =a +b i 为纯虚数的必要不充分条件;
B. 满足x 2+1=0的x 有且仅有i
C . “在区间（a ,b ）内f ’(x )>0”是“f (x )在区间（a ,b ）内单调递增”的充分不必要条件
D. 已知x x x x f =)(，则81
'87)(x x f = 三、填空题（共4题；共20分）
13.复数i （1+i ）（i 是虚数单位）的虚部是________.
14.在复平面上的平行四边形ABCD 中， AC uuu r 对应的复数是6+8i ， BD u u u r 对应的复数是－4+6i ，则DA uuu r 对应
的复数是_________.
15.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20cm 3/s 的流量倒入杯中，
则当水深为4cm 时，时刻t =________s ，水升高的瞬时变化率v =_________cm/s.
16.若12sin a x x a x 剟对任意的]2,0[π
∈x 都成立，则a 2－a 1的最小值为________ . 四、解答题（共6题；共70分）
17. 计算：
（1）)33()45(i i --++
（2）10
)1(i +
18.已知函数f （x ）=xlnx.
（1）求函数的图象在点x =e 处的切线方程；
（2）求函数的极值.
19.已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ u u u u r u u u u r 分别对应复数z 1，z 2，且i )10(5
321a a z -++=， i )52(122-+-=a a
z (a ∈R )．若21z z +是实数． (1) 求实数a 的值；
(2) 求以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形的面积．
20.已知函数32()3f x x ax x =--
（1）若a =4时，求f （x ）在x ∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f （x ）在x ∈[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．
21.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ，为方便游客观光，拟定曲线C 上某点P 分别修建与公路OA 、OB 垂直的两条道路PM 、PN ，且PM 、PN 的造价为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数242(19)y x x x =+
≤≤模型，设PM x =，修建两条道路PM 、PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及长度单位均为百米. （1）()f x 的解析式；
（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价.
22.已知函数1()ln f x x a x x
=-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()()12122f x f x a x x -<--．
（第21题）。