广义积分敛散性判别法的应用
微积分学广义积分敛散性判别说课讲解
(5) 无穷积分也可 分按 的照 换定 元积 法.进行计算
( 6 ) 若 [ a , ) 上 在 f ( x ) g ( x ) ,则 f ( x ) d x g ( x ) d x .
a
a
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际, 我 上们可以将定 无义 穷式 积写 分成 的下 : 面
a
a
则(1 由 )立即可: 得 f(x 出 )dx收 矛.敛 盾 a
与级数的情 , 比 形较 类判 似别法也 穷是 积判 分别 敛散性的重 . P要 积方分法是重要的 之比 一 . 较标
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f(x ),g (x )为定 [a , 义 )上在 的, 非 A [a ,负 ), 函
a f( x ) d x F ( x )0 x l iF ( m x ) F ( a ) . b f( x ) d x F ( x )b F ( b ) x l iF m ( x ). f( x ) d x F ( x ) x l i F ( m x ) x l i F ( m x ) .
x
G (x) g(t)dt
在 [a, )上有 . 上界
a
由 a x 时 , 0 f( x ) g ( x )得
x
x
0af(t)dtag(t)dt,
从而, 积分上限函数
x
F(x) f(t)dt
在 [a, )上有, 上界
a
故积 f分 (x)dx收.敛 a
(2) 运用反证.法
如 f果 ( x ) d x 发 ,积 散 g 分 ( x 时 ) d x 收 , 敛
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例5
讨P 论 －积a 分 d xp x (a0)的敛散性，
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性分析_唐廷载
的还是发散的,数P的选取就带有一定的盲目性,常常出现不是把P选大了就是把P
选小了,因而不能判定的情况.究其原因,就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或x、
b一0时的数量级进行必要的估计、分析,或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
表2广义积分敛散性同被积函数数量级和P的选取范围的关系
一
一-----,-----~-~
f(x,的数”一丁卜x)As一}一丁:f(x)d劣-
p的选取范围{敛散性
(l,+co)!收敛
P的选取范围{敛散性
常量零(一OO,1)1收敛敛
严巫阵l一阵一呼一阵阶数不低于入(入>l)的无穷小量(1,入〕敛}(一入,1)收敛1阶无穷小量散1(一‘,士…收,
二
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
作者：余小飞郭洪林
来源：《开心素质教育》2017年第07期
【摘要】本文首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，重点研究了柯西极限判别法在无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，并用例题加以说明。
【关键词】广义积分收敛发散
广义积分是定积分的推广形式，实际应用非常广泛，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要。
一、无穷区间上的广义积分
（1）定义
设函数f（x）在[a，+∞）上有定义，对？b>a，记
柯西极限判别法用极限的形式研究了广义积分的敛散性，为我们提供了很好的判别方法，非常值得推广运用。
（作者单位：河南工业职业技术学院）
参考文献：
[1]白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报，2000，14（1）：49-50.
[2]李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报：自然科学版，1996，13（2）：65-70.
[3]数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社，2001.。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
正函数广义积分敛散性的判别法的推广
正函数广义积分敛散性的判别法的推广
杨青
【期刊名称】《安徽电子信息职业技术学院学报》
【年(卷),期】2017(016)005
【摘要】通过对广义积分与无穷级数基础理论的研究,利用数学知识规律的变化推导出新的运用形式并应用于不同的广义积分敛散性的判定中.
【总页数】3页(P58-60)
【作者】杨青
【作者单位】正德职业技术学院, 江苏南京 211106
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6
【相关文献】
1.正函数广义积分敛散性的两个判别法 [J], 郭才顺;黄绍斌
2.试论级数敛散性的判别法在广义积分中的推广 [J], 董振华
3.正函数无穷积分敛散性的一种判别法 [J], 玉璋
4.广义积分敛散性的一个判别法：“0”收敛法 [J], 王敬有
5.正函数广义积分敛散性的两个判别法 [J], 李录书
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高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的敛散性
广义积分的敛散性
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。
但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。
因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。
广义积分敛散性的一个判别准则
［ 关键 词］ 无 穷小 ； 穷 大； 穷积分 ； 无 无 瑕积 分 ； 敛散 性 ［ 中图分 类号］ Ｏ１ ２ ２ ［ ７． 文献 标识 码］ Ａ ［ 文章 编号］ １０ —７ ８ ２ １ ） １０ ９ —３ ０ ８４ ３ （ ０ ２ ０ —０ ５０
韩建 玲
（ 闽南理 工学 院 信息 管理 系 ，福建 石 狮 ３ ２ ０ ） ６ ７ ０
［ 摘
要］ 运 用定 义及 比较 审敛 法在判 断 广义 积分 的 敛散 性 时 ， 由于被 积 函数 不存 在初 等 函 会
数 的原 函数或 用 来比小与 无 穷大 出发 ， 从 研
韩 建玲 ： 义积 分敛 散性 的一 个判 别准 则 广 由于 ． ｚ 厂 ）是 一 。 （ × 的无 穷小 ， ｉ 厂ｚ 。时 ｌ （ ）一 ｍ
０且 ｌ ｆ（ ｉ ｍｘ ）一 ０ 因此 ｌ 厂（ ）一 ０， ｉ 厂 ｉ ａ ｒ ｌ ａ ｒ （ ）一 ０ （） ３
广义 积 分包 括 两类 ， 一类 为 无穷 积 分， 第 如 无穷 大 ） 。
ｒ ∞ ． ＋ ｔ ＇ ｂ
Ｉ ｆ ｘ ｄ 第 二 类 为 瑕 积 分， Ｉ （ ）ｘ， （）ｘ； 如 ｘｄ 且 ｆ
Ｊ ｄ Ｊｎ
１ ２ 无 穷 积 分 敛 散 性 的判 定 嘲 ．
设 函数 ， ｚ 在 区 间［ ， 。 连续 ， ｆ ｘ ≥ （） ｎ ＋。 ） 且 ｉ） ０ 若 ｚ一 。 。 。时 ｆ ｘ ｉ ）是 的 高 阶无 穷 小 ， 积 分 则
无穷大） ， ｆｘ 时 称 ｉ ）与 ｇ ） 同 阶无穷 小 （ 同阶 （ 是 或
ｌ （ 一ｂ ］ ｉ ｍ［ ｆ（）
因为 ｂ ＜ ＜ Ｃ Ｃ ＋ 。 ， 是 一 ＋ ∞ 。 ，一 。于
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
广义积分敛散性对数判别法的两点注记
广义积分敛散性对数判别法的两点注记
1. 广义积分敛散性对数判别法：
广义积分敛散性对数判别是一种基于信息理论的机器学习方法，是一种用于判断给定数据是否从已知分布中取样的方法，其中包括克鲁格曼和霍夫曼熵。
它是一种基于最大似然估计法来比较观察到的数据分布和假设分布之间的相对对比度的有效方法。
它可以在无参数选择空间中根据当前数据的特性来构建最优参数，以使估计的参数接近真实的分布参数。
2. 注记：
（1）广义积分敛散性对数判别法是一种数据分析方法，能够比较不同分布间的对比度，用于判断给定数据是否从已知分布中取样。
（2）广义积分敛散性对数判别法是基于最大似然估计法和参数选择空间的方法，以便于使估计参数接近真实的分布参数。
汤家凤广义积分的敛散性判断
汤家凤广义积分的敛散性判断
汤家凤广义积分又称为广义模量积分，是一种广义分析的工具，它通过对一个把定的的函数的不同变量的偏导数，有效地定义了积分。
丙丁且，在汤家凤广义积分的敛散性判断中，还有一些重要的要素需要考虑：
一、解的有界性：使用汤家凤广义积分的数学模型是否有一定的解？对汤家凤广义积分来说，若所求解不存在无穷大或无穷小，则解为有界。
二、不变系统：汤家凤广义积分数学模型的系数是否不变？如果系数不变，则需要考虑其他参数如几何情况是否确定，以及单位根和零点是否已知。
若变量系数，则定义不唯一，不能得出有效的敛散性结论。
三、存在环境：汤家凤广义积分的计算环境是一个重要考虑因素，即数学模型的变量以及上下文的变化是否独立于汤家凤广义积分的要求。
这个考虑因素可以帮助决定积分的敛散性。
四、计算的精度：当汤家凤广义积分的计算精度较高时，它可以有更快的收敛速度，从而对散度敛定义更为准确。
这也是考虑和确定敛散性判断的关键性参数。
五、考虑权重：应该考虑汤家凤广义积分所承担的各种权重情况，比如权重的改变和计算的精度等，都会影响敛散的结果。
通过考虑汤家凤广义积分的多种权重情况，可以有效地辅助进行散度敛定义。
六、外围变量：若将外围变量加入汤家凤广义积分，可以有效地平衡积分值的散度结果，使结果更加准确。
因此，一定要考虑外围变量的变化，以便得出理想的结论。
总之，通过全面注意上述要素，可有效地得出汤家凤广义积分的敛散性判断，从而更加准确地预测数据变化，改善数学模型的精度。
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
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再看下例
例2讨论介黔d·的敛散性解x一0为被积函数的瑕点。
考虑极限limx‘一InsinX
x~。十
一InsinX
x./10x~。+x一入+9/10
~~_一,_.9/。d,_,9,,.、一一.,~__,、I_翻.~.~、小。策了月又入俩足一入十下下盏之U,肚目入岌下万,田叹火)工、们U~十co,1旦入<、l,故刊别法大义又。1UtU
犷’f(·)d益收敛;
犷一“·,d·发散,
(b一x)人f(x)~d,也有同1)、2)的判别结果。需注意的是定理中
被积函数f(x)是非负的。
上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x)=x一奉或(x一a)一盖作为
比较对象,利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X一a,(a>0)的敛散性推导得出的。这在分析教材
的黎曼积分的极限来定义的。要判别它们的敛散性,可考虑函数在
其任一内闭子区间上的黎曼可积性,借助积分性质以及积分方法:
换元法、分部积分法等直接计算,对于被积函数是单调函数或含有
周期函数因子的无穷积分,可利用广义积分与级数的关系讨论其
收敛性,即转化为级数的敛散性问题。但是在大多数的情况下.都
是通过使用判别方法、准则来确定,如柯西收敛准则,绝对收敛的
厄一厂万二要不蕊弃
虑石子一x‘海石不;可取、一音
于是,lim
*1‘_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二=~1im
—=VZ一‘/-./,r一-;x~+,x了xVx一Vx一星这里、一合,d一吓,故原积分发散,2,、要判另”瑕积分丈,“·,‘d·(a是瑕点,的敛散性,由极限黑}f(x)}I
x入
,需考虑当x~a干
2)若
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
从而考虑选取、在斋与;之、;
又户补,‘a是瑕点),当‘<,时收敛,就可初步判断有晶<l,
比一19dx
2、在使用判别法时,如果遇到取久(l(或)l)得d二O,取入>l,得d~+co,说明判别法失
效,应当改用其它方法。
如对积分犷一摇汤,(a>。),由极限:呱一忌万-x入一1:二军益(Inx).+co,入>10,O<入提l,不能
推论2:假设下列条件成立:
(l)r(t,y,,…,yN)是强次线性的;(2)条件(H,)一(H、)成立
(3)条件(H。)(或H。)成立,且对充分大的t有g食(t)<t(或g*(t)<:(t))
那么方程(2)的所有解振动的必要与充分条件是(39)成立。
参考文献
[1〕x,oopa一samyandBG劝ang.05记lationandnonoseiuationinfirstorderneutra一d让介rontialegua-
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
时发散,由比较判别法知厂一f(X).d·发散.证毕
注:l)当百=d时,表明柯西极限判别法中极限存在,于是可得出柯西判别法的极限形式;
4、对判别法极限形式本质的认识
,)、要判另,犷一f(x)}‘·的敛散性,由极限式:竺乳}f(·)./赤,需考虑一+一时,f(·)一”
的速度:当它超过赤一。的速度,而、>1时,该,分收。;当它不超过赤一。的速度,而入、1
时,该积分发散,于是讨论f(x)一O的阶就成为判断积分是否收敛的关键。
例3
解
讨论犷一合·的敛散性考虑lim
tions.J.Mat卜^nal.and^PPI.151(1990),42一57
[2〕l一1andB.0zhang.osei一ationoffirstorderneutraldifferentiazequations^ppz.^nal,39
|日勺心!门
别讨论只一‘与丁广-一xdx,从而得出a>。时,r(a)w敛。但如果用狄利克雷判别法,有.知一‘卜,价.言一如一)!<M(常数),而:蚁告一。,卜(。,+一)单调,
广义积分敛散性判别法的应用
本文讨论的广义积分指无穷积分与瑕积分,即函数在无穷
区间上的积分与无界函数的积分。它们是借助于可变上(或下)限
。___3___.,~~,、,,‘,_
送里入~丁丈1,d~U,砍原积分收双。悦
分析讨论:能否取入一告呢?‘
由极限lim、奋
x~。+
一InX
V下~lim(一inx)~一co,不满足O<入<1,O簇d<十、的条件。x一O+
怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘
x~。十
Inx
侧丁~1jm,要使该极限值为有限,而O<久<l,x~。+x专一‘
2)判定出犷一f(x)d·发散、但犷一f(·)d·是否发散或条件收敛,还需另作判断,
3)对瑕积分也有类似定理3的推广形式.在具体应用推广的定理时容易判断广义积分的
敛散性.
例7讨论丁)一学d·的敛散性
安顺师专学报‘自然科学版)1995年第‘期
co,入>l
解由于
,·1e.恤加
1111】X
一
一
{不存在0,入<l,入~1,皿~+.X故柯西判别法失效,改用推广形式,取入一l,这
)仃,a>0,且一smx入f(x)=d(0镇d镇+co)
,)若、>,,0、d<+co,贝。犷一“·)d·收敛;
安,师守攀报(自鹅科攀压》1995年筑4期
1
limx!一工一。+一
,去一一。.这里、一告,d一。,故「:弓些-收敛;
Vxlnx
“
盲Vxlnx
由一im(l一x)
:~l一
1
一侧丁Inx
x一1
11见万下=干甲x~1一VXlnX二l,这里入~l,d=l,
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积分
瑕点是
dX
、/丁一。x
dx,,‘,~,.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
中都有介绍。
在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结
论—收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取
入后;还要结合考虑x性(x)的极限,当入,d符合判别法条件l)或幻后,才有相应的结论。对入、d
一、‘~_一~二9,‘.,一,.、~、,“00.一,_~_、.~、,_...一~班远取入俩足一入十1下又U,从阅气育,六刀一二二~型。田歹必堵活州月得:二tI、月J
lim一Insinx
七O‘X
妈坑x
”贝丫‘详./l0’’t~O宁品,1imx,.+,“’二L厂犷、’_、工气一人州卜;下,X一川1Ulim:二导.9‘~,人-吧尸二lU吕InX(**)
如对积”方一器‘一有两个奇“”“+一必须考虑且器‘·与厂一器‘:然””
别讨论。
另由狄利克雷判别法可知积分收敛。
事实上,.几一、dx}-:siox一’sinA’‘’,而六在(0,十二)单调,且Iim十一。+。Vx人0
又如oamma函数:P(a)=x~’e一xdx,+oo是奇点脚<1时,x=。是奇点,故必须分
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
比较判别法、柯西判别法、积分判别法以及条件收敛的阿贝尔判别
法,狄利克雷判别法等来判别确定广义积分的敛散性。
现就常用的柯西判别法的极限形式判别广义积分的敛散性作
一些探讨,并予以推广。
一、对判别法的应用
为行文方便起见,给出柯西判别法的极限形式如下:
定理,对于无穷积分犷一f(·)d一设v·。[a,十一),f(·)
x一+目
X.
l+x.~lim一x一十的X1一(轰+一,+x.一一x,可取入二n一m,就有】jmx一.一+的X.l+x.
当、-。一>l时,厂一品dX收熟当、-。一。时,犷一湍dX发散·
有时候不知道需要进行比较的六的次“、,可以利用泰勒公式看出.
例4积”方一万君清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥