2020年全国Ⅰ卷高考理科数学猜题卷(二)
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国统一高考数学试卷2(新课标Ⅰ)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学一、精心选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （ ） A. 0 B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】 【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】 【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可. 【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为21105=. 故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=. 故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x的最小正周期为224332Tπππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.设3log42a=，则4a-=（）A.116B.19C.18D.16【答案】B【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log42a=可得3log42a=，所以49a=，所以有149a-=，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n=（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.12.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】 【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第15~19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20、21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.15.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件； 乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件． 故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．16.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a，b，求ABC 的面积；（2）若sin AC=2，求C .【答案】（1（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面P AB ⊥平面P AC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论. 【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==，2222OD l r =-=，解得1,3r l ==，2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，26AP AC ==， 在Rt PAO 中，226214PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为11236333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题. 18.已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2xea x =+有两个解，令()(2)2xe h x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； （2）若()f x 有两个零点，即(2)0x e a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2x e a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-， 所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线x y e =的切线斜率，结合图形求得结果.19.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y yx =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。
2020年高考全国I卷理科数学试题(含解析)
6)
在[ ,
] 的图像大致如下图，则
f
( x)
的最小正周期为（
）
A.
10 9
C. 4 3
B.
7 6
D.
3 2
答案：C
解析：∵ cos(
4 9
6
)
0 ，∴
4
9
6
2k
2
(k
Z)
，
∴
9k 2
3 2
，根据图像可知
2 | |
4 9
13 9
，
2 | |
，∴
18 13
|
|
2，
2 2 4
故取 k 0，则
（）
A. y 2x 1
B. y 2x 1
C. y 2x 3
D. y 2x 1
答案：B
解答：由题可得 f (1) 1， f (x) 4x3 6x2 ，则 f (1) 2 ，
∴在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 2(x 1) ，即 y 2x 1．
7.设函数
f
( x)
cos(x
底面正方形的边长的比值为
（）
A． 5 1 4
B. 5 1 2
51
C.
4
答案：C
D. 5+1 2
1 2
ah ，
解答：设四棱锥的底面边长为a ，侧面三角形的高为h ，四棱锥的高为h，则有 h2
又 h
h2 ，(又12aha)2，0联，所立以两 式 可 得 (h)2
1 4
a2
1 2
ah
(
h )2 a
1 2
由圆 O 的面积为 4 1
，∴
OA 1
2020年全国I卷理科数学高考试题及答案(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。
2020年高考全国一卷理科数学答案及解析
2020年高考全国一卷理科数学答案及解析2020-12-12【关键字】情况、条件、问题、焦点、建设、建立、了解、研究、位置、关系、检验、倾斜、满足、规划、实现参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%， 【考点定位】简单统计4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5= A 、-12 B 、-10C 、10D 、12 【答案】B【解析】3*(a 1+a 1+d+a 1+2d)=( a 1+a 1+d) (a 1+a 1+d+a 1+2d+a 1+3d)，整理得: 2d+3a 1=0 ; d=-3 ∴a 5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列 求和5、设函数f （x ）=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为： A 、y=-2x B 、y=-x C 、y=2x D 、y=x 【答案】D【解析】f （x ）为奇函数，有f （x ）+f （-x ）=0整理得: f （x ）+f （-x ）=2*(a-1)x 2=0 ∴a=1 f （x ）=x 3+x 求导f ‘（x ）=3x 2+1 f ‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数 6、在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A 、--B 、--C 、-+D 、- 【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2020届河北省、湖南省(全国I卷)高考考前模拟试卷 理科数学(二)解析
绝密★启用前2020年全国I 卷高考考前适应性试卷理 科 数 学（二）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|280}A x x x =+-<，{|0}B y y =≥，则A B =I （ ）A ．[0,4)B ．[0,2)C ．(2,4)D ．∅ 2．记复数z 的共轭复数为z ，已知复数z 满足(2i)5z -=，则||z =（ ）A B C D ．53．下列关于命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≥”的否定是“x ∀∈R ，2220x x -+≥”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题4．已知233a =，cos22b =，12log (2sin 4)c =+，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c b a <<5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．16π3B ．π3C ．2π9D ．16π96．运行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．147．已知平面向量a ，b ，满足(1,3)=a ，||3=b ，(2)⊥-a a b ，则||-=a b （ ）A ．2B ．3C ．4D ．68．已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2- B ．1(,0)6 C ．1(,0)2- D ．9(,0)6- 9．如图所示，ABC △是等腰直角三角形，且AB AC =，E 为BC 边上的中点，ADE △与AEF △为等边三角形，点M 是线段AB 与线段DE 的交点，点N 是线段AC 与线段EF 的交点，若往ABC △中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）参考数据：62sin 75+︒=，62sin15-︒=．A ．332-B ．532-C ．333-D ．533- 10．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC和CD 上，且BP BC λ=u u u r u u u r ，18DQ DC λ=u u u r u u u r ，则AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ） A ．2- B ．32- C ．34 D ．9811．已知函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，函数()y f x =对于任意的(0,π)x ∈满足()sin ()cos f x x f x x '>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．ππ()3()36f ->- B 3ππ2()()42f <-- C ππ3()2()23f >D 5π3π2()()64f < 12．已知关于x 的不等式()x x x x me me ->有且仅有三个正整数解（其中 2.71828e =L 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ）A ．43169(,]54e e B ．3294(,]43e e C ．43169[,)54e e D ．3294[,)43e e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为12，则P 到x 轴的距离是 ．14．已知实数x ，y 满足250340x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最大值为 ．15．在ABC △中，若cos 4AB BC B ⋅⋅=，||BC BA -=u u u r u u u r ABC △面积的最大值为 ．16．已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于 cm ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，110AB =，160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．19．（12分）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示．并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示．（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电视机的生产线上随机抽取4台，记其中使用时间不低于4年的电视机的台数为X，求X的分布列及期望．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，。
2020年高考数学(理)猜题卷02(解析版)
2020年高考理科数学猜题卷（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x|−1<x<3},N={(x,y)|y=x2−2x+2,x∈R}，则M∩N=（）A．∅B．{x|−1<x<3}C．{x|1≤x<3}D．{x|1≤x≤3}【答案】A2．已知复数a+i3+i＝x＋y i(a，x，y∈R，i是虚数单位)，则x＋3y＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A3．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若a2+a4+a6=12(a1+a3+a5)，且a1a3a5=64，则10S=（）A.6364B.10231024C.20471024D. 20472048【答案】B4．(x−1x2)6展开式中含x−3系数（）A.20B.-20C.15D.-15 【答案】B5．已知函数f(x)=x−1x,若a=0.3−0.5,b=log0.30.5,c=log0.53,则有（）A.f(a)<f(b)<f(c), B. f(a)<f(c)<fbC. f(b)<f(c)<f(a)D. f(c)<f(b)<f(a)【答案】D6．“ab＝6”是“直线2x＋ay－2＝0与直线bx＋3y－3＝0平行”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C7．若在田径比赛中，某班接力队预备6人上场，若甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，有（ ）种安排方法？ A.72 B.144 C.168 D.96 【答案】C8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 4B.163C. 323D. 16【答案】B9．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝2|PF 2|，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】因为b 2＝2，c ＝a 2－2，所以|F 1F 2|＝2a 2－2. 又|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a 3，|PF 2|=2a 3,由余弦定理得cos 120°＝(4a 4)2+(2a 3)2−(2√a 2−2)22×4a 3×2a 3＝－12，解得a ＝3.10．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤【答案】B【解析】 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.11．已知为α，β锐角，sin (α+2β)=15， cos β=13，则sin (α+β)值（ ）A.2√6+2√215 B.1−8√315或.1+8√315 C. 1−8√315D.1+8√315【答案】D【解析】由cos β=13∈(0，13)，β为锐角，知∈(π3，π2)，sin β=2√23， 又sin (α+2β)=15∈(0，12)，得α+2β∈(5π6，π)，∴cos (α+2β)=−√1−(15)2=−2√65， 所以sin (α+β)=sin [(α+2β)−β]=sin (α+2β)cos β−cos (α+2β)sin β=15×13-(−2√65)×2√23=1+8√31512．三棱锥中，平面，，的面积为，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如图所示，设，由的面积为，得，因为，外接圆的半径， 因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国I卷理科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）试题及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= ( )D.2 解析：把Z=1+i ，代入计算222(1)2(1)(1)(12)(1)(1)112z z i i i i i i -=+-+=++-=+-+=--=正解答案为D或者 22222211(1)1(11)12z z z z z i -=-+-=--=+--=这里是凑好了一个完成平方的形式，正好抵消了1点评：这是复数的计算题，掌握复数的运算法则就可以，属于送分题。
2.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =( )A.-4B.-2C.2D.4解析：解不等式，集合{|22}A x x =-≤≤集合{|/2}B x x a =≤-而 {}21A B x x =-≤≤，由此可以看出交集的下限是A 集合的-2，上眼1应该是B 集合的，也集12a -= ，解得a=-2。
正确答案为B3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. 514-B. 512-C. 514+D.512+ 解析：设正四棱锥的顶点为H ，底面正方形为ABCD ，中心为O ，AB 的中点F ，则求x=HF/AB 的值，示意图。
面积关系：21*2HAB OH S AB HF ∆==， 三角形HOF 为直角三形，由勾股定理：22214HF OH AB =+则，2211*24HF AB HF AB =+ 把x=HF/AB 代入式中 24210x x --=解得154x += 点评：不要被金子塔吓着，其实题目和它没什么关系，就是考查正四棱锥的几何关系，不题不算难，但过程还是有点复杂，对四棱锥的结构一定要非常熟悉，思路一定要清晰。
2020年高考理科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题及答案
设an 是公比不为 1 的等比数列， a1为 a2 ， a3 的等差中项. （1）求 an 的公比； （2）若 a1 1 ，求数列 nan 的前 n 项和.
18.（12 分） 如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径，
AE AD . △ABC 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形 ， P 为 DO 上 一 点 ， PO 6 DO .
D. a＜2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2x y 2≤0，
13.若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1≥0，
则
z
x
7
y
的最大值为
.
y 1≥0，
14.设 a ， b 为单位向量，且 a b 1，则 a b
.
15.已知 F
为双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1a＞0，b＞0 的右焦点， A 为 C 的右顶点， B 为 C
6 （1）证明： PA 平面PBC ； （2）求二面角 B PC E 的余弦值.
19.（12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者
进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直 至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷，草稿纸和答
上
题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡 上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
2020年高考数学全国I卷(理)预测卷以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则3i(1i )-=（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i +2．已知集合{|lg 2}A x x =>，{|}B x x a =≥，且A B =R R ，则实数a 的取值范围是 （A ）2a > （B ）2a ≥ （C ）100a > （D ）100a ≥3．已知数列{}n a 的首项为1，且11n n n n a a a a +--=-对于所有大于1的正整数n 都成立，3592S S a +=，则612a a +=（A ）34 （B ）17 （C ）36 （D ）184．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③224135%635636≈；④23789937532496.5%635636+≈．不正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．已知π()sin(2)3f x x =+，π()cos(2)3g x x =+，则下列说法中，正确的是（A ）x ∀∈R ，π()()2f x g x =- （B ）x ∀∈R ，π()()4f x g x =+ （C ）x ∀∈R ，π()()2g x f x =- （D ）x ∀∈R ，π()()4g x f x =+6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）(425)π+ （B ）(55)π+ （C ）(55)π+ （D ）(55)π+7．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且23PA PB PC ++=0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中：①向量PA 与PC 可能平行； ②向量PA 与PC 可能垂直； ③点P 在线段EF 上； ④::21PE PF =． 正确的个数为 （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）48．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为（A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A ）0.25 （B ）0.15 （C ）0.1 （D ）0.0310．如果2(25)310x a x a +-+-=在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是（A ）716a <<（B ）716a ≤<或1621425a +=（C ）716a <≤ （D ）716a <<或1621425a +=11．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面1111A B C D 与下底面ABCD 相互平行，且ABCD 与1111A B C D 均为长方形．《九章算术》中，称如图所示的图形为“刍童”．如果AB a =，BC b =，11A B c =，11B C d =，且两底面之间的距离为h ，记“刍童”的体积为V ，则（A ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （B ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++ （C ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （D ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++12．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且11a =-，22a =，37a =．又已知当2n >时，112332n n n n S S S S +--=-++恒成立．则使得12111722()11155k k a a a -+++≥+++ 成立的正整数k 的取值集合为（A ）{|9,}k k k ≥∈N （B ）{|10,}k k k ≥∈N（C ）{|11,}k k k ≥∈N （D ）{|12,}k k k ≥∈N第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．14．已知α是第四象限角，且π3sin()35α+=，则πsin()12α+=_____________． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的一条直线与函数3()1f x x =-的图像交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．16．双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，已知直线1PA ，2PA 的斜率之积为2425，1260F PF ∠=，1F 到一条渐近线的距离为6，则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△12PF F 的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB 边上的高为332． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值．18．（12分）如图，AB ，CD 分别是圆柱1OO 下底面、上底面的直径，AD ，BC 分别是圆柱的母线，ABCD 是一个边长为2的正方形，E ，F 都是下底面圆周上的点，且30EAB ∠=，45FAB ∠=，点P 在上底面圆周上运动．（1）判断直线AF 是否有可能与平面PBE 平行，并说明理由； （2）判断直线BE 是否有可能与平面P AE 垂直，并说明理由；（3）设平面P AE 与平面ABCD 所成夹角为θ（90θ≤），求cos θ的取值范围．19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x 和创新能力得分y ，所得数据如下表所示．x 31 33 35 38 39 42 45 45 47 49 52 54 57 57 60 y 6 6 7 9 9 9 10 12 12 12 13 15 16 18 19 x 63 65 65 68 71 71 73 75 77 80 80 80 83 83 84 y 21 24 25 27 31 33 36 40 42 44 46 49 51 57 54 x 84 85 86 87 90 90 91 92 93 95 y59 62 64 68 71 75 80 88 83 90根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．图2（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.001.3.841 6.63510.828P K k k ≥（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X 表示抽得的人中，知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人数，求(1)P X =．（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y 关于x 的回归方程为ˆ 1.2747.92yx =-： ①根据回归方程计算：当[50,70]x ∈时，ˆy的取值范围． ②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y 与x 关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．20．（12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角为锐角的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 过点(2,0)-，||13AB =（1）求直线l 的方程；（2）如果C 是抛物线上一点，O 为坐标原点，且存在实数t ，使得()OC OF t FA FB =++，求||FC ．21．（12分）已知函数sin ()xf x x =． （1）求曲线()y f x =在ππ(,())22f 处的切线方程；（2）求证：2()16x f x >-；（3）求证：当0 1.1x <≤时，ln(1)()x f x x+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 与直线l 的一般方程，并求直线l 的斜率的取值范围； （2）设(2,2)P --，且::||||57PA PB =，求直线l 的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21||1|f x x x =+--． （1）求不等式()3f x >的解集； （2）如果“x ∀∈R ，25()2f x t t ≥-”是真命题，求t 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷 理科数学（全国I 卷）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A 12．B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 275 14. 210- 15. 26 16. （1）2241256x y -=，（2）27． 三、解答题：（一）必考题：共60分．17．（12分） （1）由三角形面积可知1318338sin 222B ⨯⨯=⨯⨯⨯， ………………………………2分3sin 2B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=．………………………………5分（2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．………………………………7分又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，………………………………9分因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．………………………………12分18．（12分）（1）直线AF 不可能与平面PBE 平行，理由如下： 假设直线AF //平面PBE ，则因为AF ⊂平面ABE ，平面ABE平面PBE BE =，所以AF //BE ，从而可知45EBA FAB ∠=∠=，但是ABE ∆是个直角三角形，而且9060EBA FAB ∠=-∠=，矛盾，因此假设不成立．………………………………3分（2）当PA 或者PE 是圆柱的母线时，直线BE 与平面PAE 垂直，理由如下： 因为E 是圆周上一点，所以BE AE ⊥． 又因为PA AE A =，因此当PA 是圆柱的母线时，有PA BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………5分类似地，因为PE EB E =，因此当PE 是圆柱的母线时，有PE BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………7分（3）以O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，1OO 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，31(,,0)22E -，33(,,0)22AE =-，而且(1,0,0)=m 是平面ABCD 的一个法向量．………………………………8分设(cos ,sin ,2)P t t ，则(cos ,sin 1,2)AP t t =+，设(,,)x y z =n 是平面PAE 的一个法向量，则cos (sin 1)2033022AP x t y t z AE x y ⎧⋅=+++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 因此可取(23,2,3cos sin 1)t t =--++n ．………………………………10分从而可知2||23cos ||||163cos sin 1t t θ⋅==+++（）n m n m ，又因为3cos sin 2sin(60)[2,2]t t t +=+∈-，所以233cos 52θ≤≤． ………………………………12分19．（12分）（1）由题意可知22(24321624)(24241632)(2432)(1624)(2416)(3224)χ+++⨯⨯-⨯=+⨯+⨯+⨯+960.0781225=≈． ………………………………2分又因为195%5%-=，而且查表可得2( 3.841)0.05P χ≥=，因为0.078 3.841<，因此没有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．………………………………3分（2）因为测试结果为“优秀”的青少年共有40人，且知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人只有6人，因此11346240C C 17(1)C 65P X ===．………………………………6分（3）○1因为1.275047.9215.58⨯-=，1.277047.9240.98⨯-=，所以ˆy 的取值范围是[15.5840.98,]．………………………………9分○2图如下．描述y 与x 关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述．………………………………12分20．（12分）（1）设直线l 的方程为2x my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则221212()()13x x y y -+-=，2212(1)()13m y y +-=．………………………………2分由242y xx my ⎧=⎨=-⎩可得2480y my -+=，因此 222121212()()4=1632y y y y y y m -=+--，因此22(1)(1632)13m m +-=，421616450m m --=，22(49)(45)0m m -+=，294m =，解得32m =．从而所求直线方程为322x y =-，即2340x y -+=． ………………………………5分（2）设AB 的中点为M ，则由()OC OF t FA FB =++可知2FC tFM =，因此F ，C ，M 三点共线．………………………………7分设00(,)M x y ，则由（1）知12032y y y +==，0353222x =⨯-=． ………………………………9分因此直线FC 的方程为3(1)2(1)512y x x =-=--．由242(1)y x y x ⎧=⎨=-⎩可得2310x x -+=，因此32x ±=，从而可知35||122FC ±=+=． ………………………………12分21．（12分）（1）因为2cos sin ()x x x f x x -'=，所以2π4()2πf '=-． 又因为π2()2πf =，所以切线方程为2224π42()ππ2ππy x x -=--=-+， 即244ππy x =-+． ………………………………3分（2）22sin ()1166x x x f x x >-⇔>-． 注意到()f x 与216x y =-都是偶函数，因此只需证明0x >时2sin 16x x x >-成立，即3sin 6x x x >-成立即可．………………………………5分设3()sin 6x g x x x =-+，0x ≥，则2()cos 12x g x x '=-+．………………………………6分设2()cos 12x h x x =-+，则()sin 0h x x x '=-≥，因此()h x 在0x ≥时递增，因此()(0)0h x h ≥=恒成立．从而可知()g x 在0x ≥时递增，因此()(0)0g x g ≥=，且等号只在0x =成立．因此当0x >时，3sin 06x x x -+>，即2sin 16x x x >-． ………………………………8分（3）当0 1.1x <≤时，ln(1)sin ln(1)()sin ln(1)x x x f x x x x x x++>⇔>⇔>+． 由（2）可知，当0 1.1x <≤时，3sin 6x x x >-恒成立，因此只需证明当0 1.1x <≤时，3ln(1)6x x x ->+即可．………………………………10分设3()ln(1)6x g x x x =--+，0 1.1x ≤≤，则 2221(2)(1)(2)()121122(1)2(1)x x x x x x x x x g x x x x x ---+'=--=-==++++，因此当01x ≤≤，()g x 递增；1 1.1x ≤≤，()g x 递减．………………………………11分又因为(0)0g =，31.1(1.1) 1.1ln2.16g =--，而且 331.1 1.11.1 1.10.833865->-=．又因为42.119.4481=，32.719.683=，所以4332.1 2.7e <<，从而342.1e <，因此3ln 2.10.754<=，从而 (1.1)0.83380.750g >->．因此可知，当0 1.1x <≤，()0g x >恒成立，即3ln(1)6x x x ->+． ………………………………12分（二）选考题：22．（10分） （1）曲线C 的一般方程为221x y +=．………………………………2分又因为直线l 过点(2,2)--且与圆C 相交，因此直线l 的斜率一定存在，因此其一般方程为2tan (2)y x θ+=+．………………………………3分设直线的斜率为tan k θ=，则直线方程为2(2)y k x +=+1<可知23830k k -+<k <<． ………………………………5分（2）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由P 在圆C 外可知这两个参数均为正数，且12::57t t =．………………………………6分由2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩与221x y +=可得22(2cos )(2sin )1t t θθ-++-+=，24(cos sin )70t t θθ-++=，因此12124(cos sin )7t t t t θθ+=+⎧⎨=⎩………………………………7分从而121124(cos sin )5775t t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此cos sin θθ+=可解得sin θ==………………………………9分因此12k =或2k =，即所求斜率为12或2．………………………………10分23．（10分）（1）因为2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………………2分当1x ≥时，由()3f x >可得23x +>，1x >，此时1x >． 当112x -<<时，由()3f x >可得33x >，1x >，此时无解． 当12x ≤-时，由()3f x >可得23x -->，5x <-，此时5x <-． ………………………………4分综上可知所求解集为(,5)(1,)-∞-+∞．………………………………5分（2）由（1）可算出()f x 的最小值为13()22f -=-. ………………………………7分因此23522t t -≥-． ………………………………8分22530t t -+≤，(23)(1)0t t --≤，解得312t ≤≤． ………………………………10分dx )x sin 1(i ⎰+i- 江西省第二次模拟理科数学一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中，只 有一项符合）1.已知全集，集合 为A. ( - 1, 3)B. ( - 1, 2]C.( - 4, 3)D. ( - 4, 2]2. 已知 （ 2 + i ）y = x + yi ，x, y ∈ R ，则xi y+=A.5B.3C.2D.23.已知等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比为q ，前n 项和为S n ，则“q ＞1”是“S 3+S 5＞2S 4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图，在▱OACB 中，E 是线段AC 的中点，F 是线段BC 上的一点，且BC ＝3BF ， 若＝m，其中m ，n ∈R ，则m +n 的值为A ．1B ．C ．D ．5.函数12)4ln()(--+=x ex x f 的图象大致是A B C D6． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一， 次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴 的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为i ，则 等于A ．6B ．14C ．8D ．127．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．8．将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g （x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）＝4，且x 1，x 2∈[﹣π，π]，则x 1﹣2x 2的最大值为 A ．B ．C ．D ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．9．已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 的直线L 与抛物线C 交于A 、B 两点，且直线L 与圆交于两点.若，则直线L 的斜率为A.B.C.D.11．已知双曲线E ：，点F 为双曲线E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b ，则E 的离心率为A ．B ．C ．2D ．12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续第4题图第6题图第7题图第9题图偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是 A ．3972B ．3974C ．3993D ．3991二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）13.若实数x ，y 满足约束条件错误!未找到引用源。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(含答案解析)
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9．A
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
参考答案
1．D
【分析】
由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
【详解】
由题意可得： ，则 .
故 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
2．B
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式 可得： ，
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10．A
2020年-理科数学高考真题-全国I卷(二)
续上二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y 的最大值为 。
14.设a ，b 为单位向量，且︱a+b ︱=1,则︱a-b ︱= 。
15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.16.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =,AB AD ==AB AC ⊥,AB AD ⊥,30CAE ∠=,则cos FCB ∠=________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项.（1） 求{}n a 的公比；（2） 若1a =1，求数列{}n na 的前n 项和.18.（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD,ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点,66PO DO =. (1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.19. （12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为12. （1） 求甲连胜四场的概率；（2） 求需要进行第五场比赛的概率；（3） 求丙最终获胜的概率.20.已知A ，B 分别为椭圆E ：222x 1(1)y a a+=>的左、右顶点，G 为E 上顶点，8AG GB ⋅=.P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程（2）证明:直线CD 过定点21.（12分）已知函数()2x f x e ax x =+-.（1） 当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2） 当0x ≥时，()31x 12f x ≥+，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
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B.
C.
D.
9.设 ， ，…， 是数列 ， ，…， 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的 的值为（）
A.
B.
C.
D.
10.在三棱锥 中， ， ， ， ， ，且三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥的外接球的半径为（）
A.
B.
C.
D.
11.椭圆 与函数 的图象交于点 ，若函数 的图象在点 处的切线过椭圆的左焦点 ，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
4.汽车以 作变速运动时，在第 至 之间的 内经过的路程是（）
A.
B.
C.
D.
5.为考察 、 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）
A.药物 的预防效果优于药物 的预防效果
B.药物 的预防效果优于药物 的预防效果
此题暂无解答
10.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
球内较多面绕
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
椭圆水明心率
椭于凸定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函数与方都的综合运着
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
A.
B.
C.
D.
12.若关于 的方程 有 个不相等的实数解 ， ， ，且 ，其中 ， ……，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
已知 ， ，则 ________．
已知二项式 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中含 项的系数是________(用数字作答)．
C.药物 、 对该疾病均没有预防效果
D.药物 、 对该疾病均有显著的预防效果
6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）
A.
B.
C.
D.
7.已知数列 满足 ，则其前 项和为（）
A.
B.
C.
D.
8.已知锐角三角形 ，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则 的取值范围是（）
【答案】
此题暂无答案
【考点】
向量的概来与向稳的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二项式射理的应题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
双曲体的某性
【解析】
此题暂无解析
2020年全国Ⅰ卷高考理科数学猜题卷（二）
1.已知集合 ，集合 ，则 等于（）
A.
B.
C.D.2.已知 源自虚数单位，若复数 ，则A.
B.
C.
D.
3.现有 人参加抽奖活动，每人依次从装有 张奖票（其中 张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 人抽完结束的概率为（）
此题暂无解答
3.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
古典因顿二其比率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
微积因基本丙理
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
进行简根的合情亮理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
数使的种和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
正因归理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
程正然图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
求实数 的取值范围；
已知 ， ， ，证明： ．
参考答案与试题解析
2020年全国Ⅰ卷高考理科数学猜题卷（二）
1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
并集较其运脱
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
虚数单较i及严性质
复三的刺算
复根的务
复数三最本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
② 岁以下老人每人每月发放生活补贴 元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 元．
利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， 为 与 的交点， 为 上任意一点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 平面 ，并且二面角 的大小为 ，求 的值．
以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的极坐标方程为 ．
求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；
设曲线 与直线 交于 ， 两点，若 点的直角坐标为 ，求 的值．
[选修4-5：不等式选讲]
已知关于 的不等式 有解．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）证明：当 时， ．
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口 万，其中老人（年龄 岁及以上）人数约有 万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取 人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以 岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：
（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取 人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市 岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
① 岁及以上长者每人每月发放生活补贴 元；
已知 是双曲线 右支上一点，直线 是双曲线的一条渐近线， 在 上的射影为 ， 是双曲线的左焦点，则 的最小值是________．
已知动点 满足 ，则 的最小值是________．
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足 ．
已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ， ，当直线 的倾斜角是 时， 的中垂线交 轴于点 ．
（1）求 的值；
（2）以 为直径的圆交 轴于点 ， ，记劣弧 的长度为 ，当直线 绕 旋转时，求 的最大值．
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
[选修4-4：坐标系与参数方程]