概率1-4 乘法公式与全概率公式

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1-4 乘法公式与全概率公式
一、条件概率
第一章 随机事件及其概率
在10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样, 每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品,求第二 次又取到次品的概率。
解 设第一次取到次品为事件A,第二次又取到次品 为事件B,记所求概率为P(B|A),则
P( A) 3 10
P(B | A) 2 9
70 7
60 3
3
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
二、乘法公式
对于两个事件A与B, 若P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
若P(AB)>0,则有 P(ABC) = P(C|AB)P(AB) = P(C|AB)P(B|A) P(A) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
0(i
பைடு நூலகம்
1,2,
n
, n)
则 对于任何一个事件B,有 P(B)= P(Ai )P(B / Ai )
i 1
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
全概率公式
证明 P(B) P(B) P[B( A1 A2 An )]
P[(BA1) (BA2 ) (BAn )]
|
B)

P(Aj B) P(B)

P(Aj )P(B | Aj )
n
P( Ai )P(B | Ai )
( j 1, 2,..., n)
i 1
P( A1
|
B)

P( A1B) P(B)

P( A1)P(B
P( A1)P(B | A1) | A1) P( A2 )P(B
|
A2 )
L
P(Aj|B)一般称为“后验概率”;Bayes公式又称为“后 验概率公式”或“逆概公式”;P(Aj)对应可以称为 11 “先验概率”
解 设 A 为事件“产品合格”B, 为事件“机器调
整良好”.
P( A | B) 0.98, P( A | B ) 0.55,
P(B) 0.95,
P(B ) 0.05,
12
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
所求的概率为
P(B
|
A)

P(
A|
P( A | B)P(B)
才取到正品的概率 .
解 设 Ai {第 i 次取到正品}, i 1, 2, 3, A {第 三次才取到正品 }, 则 A A1 A2 A3 ,
于是 P( A) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )

10 100

9 99
P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3) =0.025
即市场上该种商品的次品率为 2.5%.
8
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品, 求它是甲厂生产的概率.
分析 所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
例 对以往数据分析结果表明, 当机器调整的良
好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种 故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时,
机器调整良好的概率为 95%, 试求已知某日早上 第一件产品是合格品时, 机器调整得良好的概率 是多少?
• P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1; • 若B1,B2互不相容,则有:
P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)
2
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
一批产品100件
甲厂生产40件 70件正品 乙厂生产30件
30件次品 甲厂生产20件 乙厂生产10件
得到信息 (即生产的第一件产品是合格品) 之后再
重新加以修正的概率 (即0.97) 叫做 后验概率.
13
10
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
四、贝叶斯(Bayes)公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满足,
n
(1)
Ai Aj
(i
j); (2)

i1
Ai

, P( Ai )

0(i
1, 2,L
, n)
则 对于任何一个正概率事件B,有
P( Aj
解:(1) 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示 取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04。 由全概率公式得:
P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)
从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,
试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解: P( A) 70 0.7 100
P(AB) 40 0.4 100
P(B) 60 0.6 100
P(B | A) 40 4 P(A | B) 40 2
设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示取到次品,
P( A1
|
B)

P( A1B) P(B)

P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
=0.4
i 1
即抽取到的次品是甲厂生产的概率为0.4.
9
1-4 乘法公式与全概考率公研式真题 第一章 随机事件及其概率
P(ABCD)= P(D|ABC)P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB)P(D|ABC)
乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率
4
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
例 一批灯泡共 100 只 , 其中 10 只是次品 , 其
余为正品 . 作不放回抽取 , 每次取一只 , 求第三次

90 98

0.0083.
所以, 第三次才取到正品的概率为 0.0083 .
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1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
三、全概率公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满足:
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)

i 1
Ai

, P( Ai )

发生的条件下事件B发生的概率为
P(BAi ) P( Ai )P(B Ai ),

P(B) P(A1)P(B A1) P( A10 )P(B A10 )
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1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂
是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率 分别为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率. (2) 若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是 甲厂生产的概率.
P(BA1) P(BA2 ) P(BAn )
=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
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1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
全概率公式的图解
设有样本空间S及其中某一事件B, 按如下方式构造
一完备事件组 Ai(i 1,2, ,10), 注意到事件 Ai
P( AB)

C32 C120
3 10
P(B | A)
2 9
P( A)P(B P( AB)
|
A)
P( A)
1
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
定义:对于两个事件A、B,若P(A)>0,则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)
为事件A出现的条件下,事件B出现的条件概率。
条件概率P(B|A)满足概率的各种性质
B)P(B) P(A| B)P(B
)

0.97.
概率 0.95是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率
所求的概率为 P(B | A) 0.97.
这就是说, 当生产出第一件产品是合格时, 此时
机器调整良好的概率为 0.97. 这里, 概率 0.95
是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在
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