勾股定理4(PPT)4-4

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2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版

网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；

【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .

探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，

∴OB＝ a，

∴OF＝OB＋BF＝，OA＝OC＝ .

∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，

∴ ＝3，即a＝2.

∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋（ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝＋＝13，即 +
＋（ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.

勾股定理

勾股定理勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

古埃及人利用打结作RT三角形定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。

那么这个三角形是直角三角形。

（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。

例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。

问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图：设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。

《周髀算经》简介青朱出入图《周髀算经》算经十书之一。

小学数学勾股定理 PPT+作业+答案

例题3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AC 垂直于 CD， AB=3 厘米，BC=4 厘米，CD=12 厘米，求 AD 的长。
练习3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AD 垂直于 AC，AB=5 厘米，BC=12 厘米，DC²=178 平方厘米，求 AD 的长。
练习1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形。已知小正方形的面积是 4平方厘米，长方形的宽是 3 厘米，求大正方形的面积。
小正方形边长：2cm 大正方形边长：2+3+3=8（cm）、大正方形面积：8×8=64（cm²）
例题2
下面的“赵爽弦图”是由四个完全一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。其中 AE=3cm，ED=4cm ，请问：（1）大正方形的面积是多少？（2）直角 △AED 的三条边长有什么关系？
【答案】连接两棵树的顶端
作业7
7、四个一样的长方形和一个小的正方形（如下图）拼成了一个大正方形，已知大正方形的边长是 6 米，一个长方形的面积是 8 平方米，小正方形的边长是多少？【答案】2 米【解析】小正方形的面积是： 6 ✖️6－4 ✖️ 8 = 4 （平方米），因此边长是 2 米。
作业8 8、下图是一幅“赵爽弦图”，已知每个直角三角形的两条直角边分别长 6 分米和 8 分米，那么大正方形的面积是多少？
例题1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形。已知大正方形的边长是10 米，小正方形的边长是 4 米，求每个长方形的面积。
边长为 10 米的正方形面积是:10 ×10=100（平方米）边长为 4 米的正方形面积是: 4 × 4=16（平方米）面积和是：100-16=84（平方米) 小长方形面积：84÷4=21（平方米）

《勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)

求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A′B′C′,
使∠
C′=900,
B′C′= a,
A'
A
B
b
b
a
C
B'
a
C'
在△ ABC和△ A′B′C′中
BC = a = B′C′,
CA = b = C′A′，
AB = c = A ′B′
C′A′=b
∵ ∠ C′=900
∴ A′B′ 2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
c
b
C
作用：已知三角形的三边长，判断
这个三角形是否为直角三角形。
a
B
，
自主学习
例1：注意归纳例题的解题步骤和解题技巧！
已知三角形三条边的长度分别是：（1）1，
,
（2）2，3，4；
（3）3n，4n，5n（n > 0），它们是否分别构成直角三角形？
解
（1）在 1，，,
中，
）2 ，所以，边长为1，
（
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
B
1
= -AB×AD+
2
1
= -×3×4+
2
1
-BD×CD
2
1
-×5×12
2
= 36
所以四边形ABCD的面积
为36.
C
知识升华
满足
a b的三个正整数，
c
2
称为勾股数组.
2
2
自主检测
1、满足________
勾股数组。
的三个____
__
正整数
如:

勾股定理的证明(比较全的证明方法)

传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)， ∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK．由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
c
b
A
E a B
美国第二十任总统伽菲尔德
返回
向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 2 1 (a b b)(a b) a ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD SEBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
探索勾股定理
数学家毕达哥拉斯的发现：
探索 C 勾股 A、B、C的面积有什么关系？定 SA+SB=SC 理
A
B
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
返回
SA+SB=SC
C
A a
c
b B
探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股定 2 2 2 a +b =c 理
2
a
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、 B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º ,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º .∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º ,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º . 又∵ ∠GHE = 90º ,∴ ∠DHA = 90º + 90º = 180º . ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于（a+b）² ， ∴（a+b）² =4×½ab+c² ， ∴a² +b² =c²

勾股定理知识点总结

练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图，避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

勾股定理复习课件

4
44
4
∴AC2+AD2=CD2, ∴∠CAD=90°．
12+（3）2=5. 44
∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AD·AC=12×1×34+12×3×54=94
第十七章勾股定理
素养提升
专题一方程思想——折叠问题
例 1 如图, 将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠, 点 B 落在点 E 处, AE 交 DC 于点 F, 已知 AB=4 cm, BC=2 cm. 求折叠后重合部分(△ACF)的面积.
如图, 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
由勾股定理, 得 AB= AC2+BC2= 92+122=15.
根据等积法 12AC·BC=
12AB·CD,
则 CD=
36. 5
第十七章勾股定理
专题二：勾股定理的实际应用
例 3 如图, 在公路 l 旁有一块山地正在开发, 发现需要在 C 处进行爆破. 已知点 C 与公路上的停靠点 A 的距离为 300 m,与公路上的另一停靠点 B 的距离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 400 m,且 AC⊥CB, 为了安全起见, 以爆破点 C 为圆心, 250 m 为半径的圆内不得有人进入. 则在进行爆破时, 公路 AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？
相关题 2 [广州中考]在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=9, BC=12, 则
点 C 到 AB 的距离是( A ).
A．356
B．1225
C．94
D．3 4 3
分析：
先根据题意画出图形, 再结合勾股定理求出直角三角形的斜边长, 最

第04讲勾股定理(解析版)-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课(人教版)

第04讲勾股定理【学习目标】1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应的关系．3．能运用勾股定理进行有关的计算和解决实际问题．【基础知识】1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=． 2．勾股定理的证明方法图形证明赵爽“勾股圆方图”因为大正方形的边长为c ，所以大正方形的面积为2c ．又大正方形的面积=()2142ab a b ⨯+-，所以222a b c +=bca伽菲尔德总统拼图设梯形面积为S ，则()()12S a b a b =++，又2111222S ab ab c =++，所以222a b c +=毕达哥拉斯拼图由图（1）得大正方形面积=2142c ab +⨯，由图（2）得大正方形面积=22142a b ab ++⨯，比较两式易得222a b c +=总结以上证法都是通过拼摆图形，运用图形面积与代数恒等式的关系互相转化证明勾股定理3．勾股定理的应用勾股定理的主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．【考点剖析】ccb baa（2）（1）ccbb a a考点一：运用勾股定理进行计算例1．在Rt ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，90C ∠=︒．（1）已知3a =，4b =，求c ；（2）已知13c =，5a =，求b ；（3）已知:3:4a b =，10c =，求b ．【答案】（1）5；（2）12；（3）8 【解析】解：（1）因为90C ∠=︒，3a =，4b =，所以222223425c a b =+=+=，所以5c =．（2）因为90C ∠=︒，13c =，5a =，所以22222135144b c a =-=-=，所以12b =．（3）因为90C ∠=︒，:3:4a b =，所以43b a =．因为90C ∠=︒，10c =，43b a =，所以2224103a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得6a =（负值舍去），所以8b =．考点二：运用勾股定理求面积例2．如图，已知直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作1S 、2S 、3S ．结论Ⅰ：1S 、2S 、3S 满足123S S S +=只有（4）；结论Ⅱ：∵a b c +＞，∴123S S S +＞的有（1）（2）（3）．对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（）A ．Ⅰ对Ⅱ不对B ．Ⅰ不对Ⅱ对C ．Ⅰ和Ⅱ都对D ．Ⅰ和Ⅱ都不对【答案】D 【解析】解：∵直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ， ∴222a b c +=，图1中，21133224S a a a =⨯⨯=，2234S b =，2334S =，则)22123S S a b +=+，233S =， ∴123S S S +=，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：123S S S +=，故选：D ．考点三：勾股定理的简单应用例3．如图，为测量河宽BC ，某人选择从点C 处横渡，由于受水流的影响，实际上岸地点A 与欲到达地点B 相距50米，结果发现AC 比河宽BC 多10米，求该河的宽度BC ．（两岸可近似看作平行）【答案】120米【解析】解：根据题意可知50AB =米，10AC BC =+米，设BC x =cm ，由勾股定理得222AC AB BC =+，即()2221050x x +=+，解得120x =．答：该河的宽度BC 为120米．考点四：运用勾股定理解决折叠问题例4．如图，在长方形ABCD 中，点E 在DC 上，将长方形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若3AB =，5BC =，求EC 的长．【答案】43【解析】解：∵四边形ABCD 为长方形， ∴5AD BC ==，3AB CD ==，∵长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴5AF AD ==，EF DE =，在Rt ABF 中，2222534BF AF AB -=-=，∴541CF BC BF =-=-=，设CE x =，则3DE EF x ==-，在Rt ECF 中，∵222CE FC EF +=， ∴()22213x x +=-，解得43x =，故EC 的长为43．考点五：会画长度为无理数的线段例5. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为．51 【解析】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：22125+=即点A 到表示15 那么点A 到原点的距离为)51个单位，∵点A 在原点的右侧，∴点A 51， 51．考点六：运用勾股定理求最短路径例6. 如图，圆柱的底面周长为24cm ，AC 是底面圆的直径，高6BC =cm ，点P 是BC 上一点，且5PC BP =，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是___________．【答案】13cm 【解析】解：如图展开，连接AP ，则线段AP 的长是从A 点出发沿着圆柱的表面爬行到点P 的最短距离，∵6cm BC =，56PC BC =， ∴5cm PC =，∵圆柱的底面周长为24cm ， ∴12cm AC =，在Rt ACP 中，由勾股定理得：222212513cm AP AC PC =+=+=【真题演练】1．如图，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，AD 是ABC 的中线，则AD 长为（）A ．22B ．6C ．8D ．261【答案】C 【解析】解：∵12BC =，AD 是ABC 的中线， ∴6BD CD ==， ∵10AB AC ==， ∴AD BC ⊥， ∴22221068AD AB BD =-=-=．故选：C ．2．线段AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()1,4A -，()5,1B -，线段AB 的长为（）A ．5B ．42C ．4D ．3【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，22435AB +=，故选：A ．3．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 长为半在作弧交数轴正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（）A 10B 101C 101D ．2【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 是长方形，1AD =，∴1BC AD ==，90ABC ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，1BC =，3AB =， ∴223110AC =+= ∴10AM AC ==∴点M 101．故选：B ．4．如图，在ABC 中，20AB =，15AC =，7BC =，则点A 到BC 的距离是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥交BC 的延长线于点D ，在Rt ABD 与Rt ACD 中，由勾股定理得，22222AB BD AD AC CD -==-，即()222220715CD CD -+=-，∴9CD =， ∴2212AD AC CD -=，即点A 到BC 的距离是12，故选：C ．5．一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，则它所爬行的最短路线的长是（）A ．10B ．14C 130D ．8【答案】A【解析】解：将长方体展开，分两种情况，第一种展开方式如下图：∴226810AB +=，第二种展开方式如下图： ∴22311130AB +=∵10130＜∴A 点沿纸箱爬到B 点，所爬行的最短路线的长是10，故选：A ．6．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ．若 10cm AB =，6cm AC =，则BE 的长为 cm ．【答案】4cm【解析】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，90C ∠=︒，即AC CD ⊥，∴CD DE =．在Rt ACD 与Rt AED 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACD Rt AED HL ≌．∴AC AE =．又10cm AB =，6cm AC =，∴()4cm BE AB AE AB AC =-=-=．故答案是：4cm ．7．已知x ，y 分别为直角三角形的两边长，并且满足()()()22230x y y ---=，则第三边长度为．【答案】2或135【解析】解：∵()()()22230x y y -+--=，∴20x -=，()()230y y --=，∴2x =，2y =或3y =；（1）当2x =，2y =时，x 、y 为直角边长，斜边长222222+=；（2）当2x =，3y =时，分两种情况：①y 为直角边长时，斜边长222313+=②y 为斜边时，第三边长22325-=综上所述：第三边的长为22135故答案为：21358．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、 D 的面积依次为4、6、20，则正方形B 的面积为．【答案】10【解析】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，∴A B D C S S S S +=-正方形正方形正方形正方形．∵正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、20，∴4206B S +=-正方形，∴10B S =正方形．故答案为：10．9．等腰三角形的两条边长为4和6，则这个等腰三角形的面积为．【答案】237【解析】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则6AB AC ==，4BC =，∵AD BC ⊥，∴2BD CD ==， ∴22226242AD AB BD -=-=， ∴三角形的面积为1442=822⨯⨯； ②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则4AB AC ==，6BC =，∵AD BC ⊥，∴3BD CD ==， ∴2222437AD AB BD -=-= ∴三角形的面积为167=372⨯ 综上所述，三角形的面积为8237 故答案为：23710．有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高．解：设竹竿高为x 尺，则门高尺．（用x 的代数式表示）根据题意，可列关于x 的方程：．解得：x ＝．答：【答案】()1x -，()22214x x -+=，8.5【解析】解：设竹竿高为x 尺，则门高()1x -尺．根据题意，得：()22214x x -+=，解得：8.5x =，答：竹竿高为8.5尺．故答案为：()1x -，()22214x x -+=，8.5．11．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AEFG 的位置，连接CF ，此时90FAC ∠=︒，AB a =，BC b =，AC c =．请利用直角梯形BCFG 的面积证明勾股定理：222a b c +=．【答案】见解析【解析】证明：∵2211112222AFG AFC ACB BCFG S S S S ab ab c ab c =++=++=+梯形， ()()()2211112222BCFG S FG BC BG a b a b a ab b =⋅+⋅=++=++梯形， ∴222111222ab c a ab b +=++，整理得：222a b c +=．12．八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得9BD =米；（注：BD CE ⊥）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线15BC =米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE ．【答案】13.6米【解析】解：在Rt CDB 中，由勾股定理得，22222159144CD BC BD =-=-=，所以，12CD =±（负值舍去），所以，12 1.613.6CE CD DE =+=+=米，答：风筝的高度CE 为13.6米．【过关检测】1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A ．25B ．7C ．5或7D ．7或25【答案】D【解析】解：当边长为4的边为斜边时，第三边的平方为22437-=；当边长为4的边为直角边时，第三边的平方为224325+=；故选：D ．2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积（）A ．144B ．64C ．49D ．25【答案】C【解析】解：由题意可得：小正方形的边长2213557-=，∴小正方形的面积为7749⨯=，故选：C ．3．如图，ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于点E ，则DE 的长为（）A ．125 B ．8C ．245D 5【答案】C【解析】解：如图，连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，162BD BC ==，在Rt ABD 中，由勾股定理得，22221068AD AB BD -=-=，∵DE AB ⊥， ∴1122ABD S AB DE BD AD =⋅=⋅，∴6824105BD AD DE AB ⋅⨯===，故选：C ．4．一直角三角形的两直角边分别是8和6，下列说法正确的是（）A ．斜边长24B ．三角形的周长是25C ．三角形的面积为48D ．斜边长10【答案】D【解析】解：∵直角三角形的两直角边分别是8和6， ∴斜边长228610=+=，三角形的面积=186=242⨯⨯，三角形的周长=6810++=24，∴选项D 正确，选项A 、B 、C 错误，故选：D ．5．如图，Rt ABC 的直角边AB 在数轴上，点A 表示的实数为0，以A 为圆心，AC 的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D ．若1CB =，2AB =，则点D 表示的实数为．【答案】5【解析】解：2222215AC AB BC =+=+= 则5AD =∵A 点表示0，∴D 点表示的数为：5- 故答案为：56．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，9AB =，6BC =，则BD 的长为．【答案】4【解析】解：在Rt ABC 中，由勾股定理得，22229635AC AB BC =--=， ∵1122ABC S AB CD BC AC =⋅=⋅， ∴63525BC AC CD AB ⋅⨯=== 在Rt ACD 中，由勾股定理得，2245205AD AC CD -=-=，∴954BD AB AD =-=-=，故答案为：4．7．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【答案】3.75【解析】解：若设湖水的深度x 尺．则荷花的长是()0.5x +米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：()2220.52x x +=+，解之得： 3.75x =，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．8．如图所示，一棵18m 高的树被风刮断了，树顶落在离树根12m 处，则折断处的高度AB 为 m ．【答案】5【解析】解：由题意得：12m BC =，18m AC AB +=，90ABC ∠=︒，∴222AB BC AC +=，设m AB x =，则()18m AC x =-，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即()2221218x x +=-，解得：5x =，∴ 2.5AB =米，∴折断处的高度AB 为5m ．故答案为：5．9．如图，圆柱的底面周长是10cm ，圆柱高为12cm ，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A 爬到与之相对的上底面点B ，那么它爬行的最短路程为．【答案】13cm【解析】解：把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点B 展开后的对应点为B '，则蚂蚁爬行的最短路径为AB '，如图，12AC =，5CB '=，在Rt ACB '，2251213AB '=+=，所以它爬行的最短路程为13cm ．故答案为：13cm ．10．阅读与思考两点之间的距离公式如果数轴上的点1A ，2A 分别表示实数1x ，2x ，两点 1A ，2A 间的距离记作12A A ，那么1221A x x =-．对于平面上的两点1A ，2A 间的距离是否有类似的结论呢？运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．（1）如图1，已知平面上两点()0,4A ，()3,0B ，求A ，B 两点之间的距离AB ；（2）如图2，已知平面上两点()1,2A ，()5,5B ，求这两点之间的距离AB ；（3）一般地，设平面上任意两点()11,A x y 和()22,B x y ，如图3，如何计算A ，B 两点之间的距离AB ？对于问题3，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足分别为点A '，B '；作AA y ''⊥轴，垂足为点A ''；作BC AA '⊥，垂足为点C ，且延长BC 与y 轴交于点B ''，则四边形BB A C ''，ACB A ''''是长方形． ∵CA = ，CB = ， ∴222AB CB CA =+= ． ∴()()222121AB x x y y =-+-这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：()1,2A -，()2,1B -．【答案】（1）5；（2）5；（3）12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）32【解析】解：（1）∵()0,4A ，()3,0B ， ∴4OA =，3OB =，由勾股定理得22345AB =+=；（2）∵()1,2A ，()5,5B ， ∴4AC =，3BC =，由（1）同理得，5AB =；（3）∵12AC y y =-，21CB x x =-， ∴()()222221221AB CB CA y y x x =+=-+-， ∴()()222121AB x x y y =-+-．故答案为：12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）由两点间距离公式得： ()()22211232AB =++--=。

华东师大版八年级数学上册1勾股定理课件

练习
5.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，己知AB=3,AD=9,求BE的长。
【答案】BE=5
【解析】设BE=x,则DE=BE=x,AE=AD-DE=9-x.在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2
∴32+(9-x)2=x2,解得x=5.
练习
6.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从
结论
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，有
a2 + b 2 = c 2
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2
+
2
b
=
直角三角形。
2
c ，那么这个三角形是
趁热打铁
判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
A．14 cm2
B．13 cm2
C．12 cm2
D．8 cm2
练习
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14，c＝10，求Rt△ABC的面积．
解：∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2＝100.
∴(a＋b)2－2ab＝100.
∴142－2ab＝100.
∴ab＝48.
∴S△ABC＝ab＝24.
C
b
图甲
B
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
02
章节
PART
探究与证明
• 合作探究
• 趁热打铁
• 理论证明
合作探究
小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出

苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共34张PPT)

……
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积
D
13
A
12 3┐
B4 C
变式有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
A
4
13
5
B
3
∟
C
12
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件(第2课时)

13
4
12
┐
3
探究新知
解：连接BD 在Rt△ABD中
∵AB=3，AD=4 ∴BD= AB 2 AD 2 =5
在△BCD中 ∵CD=13 , BC=12
∴CD2=BC2+BD2
13
45
12
┐
3
∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 1×3×4+ 1×5×12=36
此时四边形ABCD 的面积是多少?
5、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直则径作是半直圆角，三若角S形1+吗S2=？S3成立，
C
S2
A
b
ca
能替工人师傅想办法完成任务吗?
9.三个半圆的面积分别为S1=3π， S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如右图所示的图形，则△ABC一定是
直角三角形吗？
B
C
D
B'
A'
A
B
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
B
反过来，如果一个 a
c
三角形的三边长a、b、
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
3. 三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形;
B. 是锐角三角形;

人教版八年级数学课件《勾股定理》

(1)分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否
仍成立?说明理由.
解: (1) 成立.理由如下:
1
2
1
2

8
1
2
1
2

8
1
2
1
2

8
S1= ×π( a)2= a2, S2= ×π( b)2= b2
S3= ×π( c)2= c2
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3
即(1)中的结论仍然成立.
纸片，把它们按图②放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无
4
缝隙)，则图②中阴影部分面积为______.
达标检测
人教版数学八年级下册
11.设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10，求b;
(2)已知a=8，b=15，求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
2
2
2
a 2 b2 c2
知识精讲
人教版数学八年级下册
命题1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么
a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理.(我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，
24
△ABC的周长是_____.
达标检测
人教版数学八年级下册
8.如图(3)，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1, EC=2,则正方形
ABCD的面积为_____.
3
-4
9.点P(a,3)在第二象限，且到原点的距离是5，则a=____.

《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)

判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。

《勾股定理》模型(四)——风吹树折模型

《勾股定理》模型（四）——风吹树折模型“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x ）尺.由勾股定理得 x2＋32=（10—x ）2，解得 x= 4.55.答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x ，通过勾股定理建立方程，求出答案.典例1☆☆☆☆☆由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8 m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是（）A.8mB.10 mC.16 mD.18 m【答案】C【解析】如图，根据勾股定理得 AB==10（m ），所以大树的高度是 10＋6=16（m ）.故选 C.模型讲解典例秒杀典例2 ☆☆☆☆☆如图，已知一根长8m 的竹竿在离地面3 m 处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部______m.【答案】4【解析】设竹竿顶部距离底部 x m ，则 32＋x ²=（8-3）2，解得 x ＝ 4.故竹竿顶部距离底部 4 m.1（★★☆☆☆）如图，一旗杆在离地面6 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 m 处，则旗杆折断之前的高度是 _______ m.2.（★★★☆☆）一阵大风把一棵高为9m 的树在离地 4 m 的 B 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 的 D 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗?为什么?1. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”题意是∶一根竹子原高1丈小试牛刀直击中考（1丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答∶折断处离地面_______尺高。

八年级下册《勾股定理》公开课PPT课件

A
四.学以致用，体会美境
如图，校园里有一块长方形草坪（尺寸如图）， 4
大部分同学为了避开草坪，均沿A到C再到B的路线
行走，而也有小部分学生为了走捷径，直接从A穿过
草坪到B，请问：这小部分同学少走了多长的路？
C
3
B
已知：RtΔABC中, ∠C = 90º ，AC = 4, BC = 3, 求AB的长．解：∵Rt△ABC中，∠C=90°
问题4:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?
a2 + b2 = c2
a
问题5:去掉正方形结论会改变吗？
A
问题6:那么直角三角形两直角边
a、b与斜边c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
我们通过实验猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b, 斜边长为c，那么a2+b2=c2.
②运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方. 开平方时，由于边长为正，所以取算术平方根；
⑤勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第20 届总统加菲尔德也提供了一种面积证法.请同学们课下阅读书上相关内容.
∴AB2=AC2 + BC2 （勾股定理）
∵AC = 4, BC = 3,
∴ AB = AC2 +BC2 = 42 +32 = 25 =5 ∴AC+BC-AB=3+4-5=2
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积
A=625
225
400

人教版八年级数学课件《勾股定理在实际生活中的应用》

在Rt △ 中，∠ = 60°，
∴∠ = 30°，
1
∴ = = 2 2，
2
答：点A到墙面BC的距离为2 2米．
总结提升
人教版数学八年级下册
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
达标检测
人教版数学八年级下册
4.如图，长方体的长为3,宽为2，高为4，则从点A1到C点(沿着
长方体表面)的最短距离是(A )
A. 41
B. 53
C.9
D.3 5
达标检测
人教版数学八年级下册
5.如图是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚高h=2.5m,棚长d=10m，则
解：能放得进去；理由如下：如图所示：
根据已知条件得： = 120 ， = 30 ， = 30 ，
连接、，
在 △ 中，
2 = 2 + 2 = 302 + 402 = 2500，
在Rt △ 中，
= 2 + 2 = 2500 + 1202 = 130() > 125，
30海里，问乙船的航速是多少？
解：根据题意得： = 12 × 2 = 24， = 30，
∠ = 90°，
∴ 2 + 2 = 2 ．
∴ 2 = 2 − 2 = 302 − 242 = 324
∴ = 18．
∴乙船的航速是：18 ÷ 2 = 9（海里/时）．
典例解析
股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出

4第四节勾股数

商高方程的本原解的一个重要应用

推论
单位圆周上坐标都是有理数的点(称为有理点), 总可以写成 2ab a b a b 2ab ( 2 , ) 或 ( , ) a b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 的形式, 其中a与b是不全为零的整数.

2
2
2
2
这给出了求单位圆周上有理点的一般方法。
2 则l1 2 n1

2 m1 ,且(l1, n1 )
1, 由定理2，a, b Z ,(a, b) 1 m1 (a 2 b2 ),

使：l1 2ab,
n1 (a 2 b2 ), m1 (a 2 b2 )
或l1 (a 2 b2 ), n1 2ab,
应用举例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
解 : 由z a 2 b 2 30, a b 0, 得a 5. 又a , b一奇一偶, 故可枚举出所有a , b互质的解如下 : a 5 4 b 2 3 x 20 24 8 12 4 y 21 7 15 5 3 z 29 25 17 13 5 或： x 21 7 15 5 3 y 20 24 8 12 4 z 29 25 17 13 5
应用举例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
分析 : 由定理2，商高方程的解为： x 2ab, y a 2 b2 , a b 0, (a, b) 1, z a 2 b2 , a, b 一奇一偶.
2 2 2
而条件已知0 z 30，故由此出发，枚举出所有可能的a, b，即得全部解。 z a 2 b2 30, a b 0, a 5, 又a, b一奇一偶，故有： a 5, b 4(但52 42 30), 2; a 4, b 3,1; a 3, b 2; a 2, b 1.

勾股定理

Байду номын сангаас
C
图2
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和等于斜边的平方
B
图3
直角三角形三边关系
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得：
两直角边的平方和等于斜边的平方
∟
b
c c
∟
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
b
依据科学理论的证实：三 b
a (a + b)2 = c2 + 4(½ab) c a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
A
B
C A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？两直边的平方和等于斜边的平方
（2）观察图1—2：
C A B 图1—2
目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方法。
定理：
经过证明被确认是正确的命题叫做定理。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么

勾股定理4(PPT)4-4

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4第四节 勾股数

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