高三基础知识天天练 数学检测4.人教版

单元质量检测(四)

一、选择题

1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是

( )

A ．1

B ．3

C ．1或3

D ．－1

解析：由题意知⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2－4a ＋3＝0

a －1≠0，解得a ＝3.

答案：B

2．复数1－2＋i ＋1

1－2i

的虚部是

( )

A.1

5i B.15 C ．－15

i

D ．－15

解析：∵1－2＋i ＋1

1－2i

＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i

(1－2i )(1＋2i )

＝

－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋1

5

i ， ∴虚部为15.

答案：B

3．平面向量a ，b 共线的充要条件是

( )

A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．∃λ∈R ，b ＝λa

D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0

解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．

若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．

当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．

对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2

λ1b ，因此a ，b 共线；

反之，若a ，b 共线，则a ＝n

m b ，即m a －n b ＝0.

令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D

4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →

可表示为

( )

A ．e 2＋1

6e 1

B ．e 2－1

2e 1

C ．e 2－1

3

e 1

D ．e 2＋1

3

e 1

解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12

(MD →＋MD →＋DC →

)

＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →

]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C

5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为

( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，

|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C

6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →

( )

A ．反向平行

B ．同向平行

C ．互相垂直

D ．既不平行也不垂直

解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →

，

∴BD →＝13

BC →.

∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13

BC →.

∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →

.

∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13

BC →.

∴AD →＋BE →＋CF →与BC →

反向平行． 答案：A

7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b |

|a ＋2b |

等于

( )

A.14 B ．2 C.12

D ．1

解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2

a 2＋4

b 2＝1.

答案：D

8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是

( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，

故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.

答案：B

9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为