五年级下册数学扩展专题练习数论.整除性(a级).学生版全国通用(无答案)

九 进 制

乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑年执政，希特勒年上台，相隔年。拿破仑年战败，希特勒年战败，相隔年。

拿破仑年占领维也纳，希特勒在年攻人维也纳，也是相隔年。拿破仑年进

攻俄国，希特勒在相隔年后进攻苏联。美国第届总统林肯于年任总统，美

国第届总统肯尼迪于年任总统，时隔年。两人同在星期五并在女人的参与

下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，杀

害林肯的凶手出生于年，杀害肯尼迪的凶手出生于年，相隔又是年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数与林肯和肯尼迪的巧合数，把它

们颠倒过去分别是和，用减去，用减去，得数都能被除尽：，；，÷，结果都

有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对着了迷。他发现将、、、、、、、、加在一起是，而。他还发现，用乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是。取任何一个数，比如说，将每位数加起来是，用减去结果得到，而÷，能被除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；的余数，这个计算过程被称作是“弃法”。懂得了弃法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该个个地数数，也不应该个个数数，而应该个个地数数，实行进制。

科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对的研究还很不够，对人类来说极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力探索的奥秘，希望在不久的将来对的研究有更大的突破。

课前预习

数论之整除性

（1） 熟悉常见数的整除性质

（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题

整除性质

（）：个位是偶数的自然数

（）：个位是或的自然数

注：若一个数同时是和的倍数，则此数的个位一定为

（）、：末两位能被、整除

（）、：末三位能被、整除

（）、：各个数位上的数之和能被、整除

（）、、通用性质：①一个数如果是的倍数，即能被、、整除.如×，则其必能被、、整除

②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是、、的倍数，

则其为、、的倍数

③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为、、的倍数，

则其为、、的倍数

（）：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被整除

（）：两位一段（从右往左），各段的和能被整除

（）：三位一段（从右往左），各段的和能被整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为和确定个位，再、、、来确定十位、百位，接着考虑和，最后、、，

（1） 熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：×

（2） 已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把

重难点

知识框架

考试要求

（3） 看几个数相乘后末尾有多少个，主要是看所有数中能分解出多少个和，如例

【例 1】 在□内填上适当的数字，使五位数□□既能被整除又能被整除.

【巩固】 已知五位数xy 154能被整除，求的值.

【例 2】 六位数是的倍数，其中、表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？

【巩固】 七位数□的末位数字是 的时候，不管千位上是到中得哪一个数字，这个七位数都不是的

倍数

【例 3】 由，，，，，这六个数字所组成的六位数中，能被整除的最大的数是多少？

例题精讲

【巩固】求出一个最大的十位数，它由，…这十个不同的数字组成，并且能被整除？

【例 4】从四个数字中任选三个，排成能同时被、、整除的三位数，这样的三位数共有几个？

【巩固】一个三位数能同时被、、整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 . 【例 5】求被整除且数字和等于的五位数

【巩固】在小于的自然数中，能被整除，并且数字和为的数，共有多少个？

【例 6】（解题能力展示六年级初赛）已知九位数□□既是的倍数，又是的倍数，那么，这个九位数是