五年级下册数学扩展专题练习数论.整除性(a级).学生版全国通用(无答案)
【思维拓展】数学五年级思维拓展之数的整除(附答案)
五年级思维拓展之整除问题1.已知45|x1993y求所有满足条件的六位数x1993y。
2.判断42559，7295871能否被11整除？3.32335能否被7整除？4.把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？5.四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=6.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2口元.已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元?7.能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.8.1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.9.能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.10.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.参考答案1.【解答】因为45=5×9，根据整除“性质2”可知5|x1993y，9|x1993y。
所以y可取0或5。
当y=0时，根据9|x1993y及数的整除特征③可知x=5，当y=5时，根据9|x1993y及数的整除特征③可知x=9.所以，满足条件的六位数是519930或919935。
2.【解答】一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
3.【解答】一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
【精品】五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版
知识概述1.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数a 除以整数b（0b≠），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记为|b a，如15能被3整除，即为3|15。
2.整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果|c a，|c b，那么|()c a b±；（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果|bc a，那么|b a，|c a；（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果|b a，|c a，且(,)1b c=，那么|bc a。
（4）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果|c b，|b a，那么|c a。
3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。
（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。
特征3：能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。
特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。
特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。
特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数也能被11整除。
整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】这些数字组成的最大三位数是975，但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为972。
在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。
五年级数论数论综合一学生版
数论综合一知识要点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；常见数的整除问题【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例 2】 173□是个四位数字。
数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例 5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果abcd 是13的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7的倍数，那么abcd是______。
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知识概述1.2.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数除以整数b （ b 0），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）,记为b|a，如15能被3整除，即为3|15 。
整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果c|a , c| b，那么c |（a b）;（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果bc| a ,月S么b | a , c| a ;（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a- 定能被b与c的乘积整除，即如果 b | a , c | a，且（4）如果c能整除b , b能整除a，那么c能整除（b,c） 1，那么bc |a。
a。
即：如果c| b , b |a ,那么 c | a。
3.整除的特征：R特征1 :能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含\两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0 ）。
（下同）1特征2:能被5整除的数的个位是0或5。
特征3:能被3 （或9）整除的数，各个数位数字之和能被 3 （或9）整除。
特征4:能被4 （或25）整除的数其末两位数能被 4 （或25）整除。
,特征5:能被8 （或125 ）整除的数其末三位数能被8 （或125）整除。
I 特征6: 一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11 整除，这个数也能被11整除。
Wi数的整除是数论的基础，而数论又是数学竞赛必考知识点， 所以掌握好数的整除顼0基础闻关例1请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】 这些数字组成的最大三位数是 975,但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“ 0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为 972。
五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版
知识概述1.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数a 除以整数b（0b≠），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记为|b a，如15能被3整除，即为3|15。
2.整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果|c a，|c b，那么|()c a b±；（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果|bc a，那么|b a，|c a；（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果|b a，|c a，且(,)1b c=，那么|bc a。
（4）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果|c b，|b a，那么|c a。
3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。
（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。
特征3：能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。
特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。
特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。
特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数也能被11整除。
整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】这些数字组成的最大三位数是975，但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为972。
在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。
五年级数论_整除
整除知识点精讲整除的性质（1）末尾判断：2、5末位数字能被2、5整除；4、25末两位数字组成的两位数能被4、25整除；8、125末三位数字组成的三位数能被8、125整除.（2）截断求和：9（或3），一位截断后，各段之和能被9（或3）整除；99（或11、33），两位截断后，各段之和能被99（或11、33）整除；9（或3），乱切后，各段之和能被9（或3）整除.这种方法又叫乱切法.（3）截断作差法：11，一位截断后，奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除；101，两位截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被101整除；1001（或7、11、13），三维截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被1001（或7、11、13）整除.课堂例题与练习<珍惜有限，创造无限>一、整除1.判断306371能否被7整除？能否被13整除？2.已知10□8971能被13整除，求□中的数．3.在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除．4.现有四个数：76550，76551，76552，76554．能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？5. 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？6. 求满足下面条件的整数a 、b ：1）8|375a a 2）72|761a b 3）99|14758a b7. 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是 。
8.设六位数N=y x 3795，又知N 是4的倍数，且被11除余3，那么x +y 等于几？9. 有0~9十个数字组成的十位数成为“十全数”． 那么：（1）能被11整除的最小十全数为 ；（2）能被11整除的最大十全数为 。
10. 将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被45整除．请问：N 是多少？课后复习与检测课后总结：练习题A B．1.求无重复数字，能被75整除的五位数3652.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？x y同时是11与25的倍数，求这个五位数．3.一个五位数4754.（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？思考题6.黑板上写有两个多位数123457和14569，如果从两个数中个取出一个数字并且将它们对调位置，可以使得新的两个数中有一个是9的倍数而另一个是11的倍数，请写出调换后的两位数。
五年级下册数学扩展专题练习数论.数的整除、约数倍数(c级).学生版全国通用(无答案)
“0”大约年前，欧洲的数学家们是不知道用“”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
在这种数字的运用里，不需要“”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“”这个符号。
他发现，有了“”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“”的方法向大家做了介绍。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。
教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。
就这样，“”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“”，仍然用“”做出了很多数学上的贡献。
后来“”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
一、常见数字的整除判定方法：1. 一个数的末位能被或整除，这个数就能被或整除；2. 一个数的末两位能被或整除，这个数就能被或整除；3. 一个数的末三位能被或整除，这个数就能被或整除；4. 一各位数数字和能被整除，这个数就能比整除；5. 一个数各位数数字和能被整除，这个数就能被整除；6. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除.7. 特征(家有三子、、)课前预习知识框架数的整除、约数倍数一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以的余数；或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被整除；【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 如果数和数都能被数整除，那么它们的和或差也能被整除．即如果︱，︱，那么︱(±)． 性质 如果数能被数整除，又能被数整除，那么也能被整除．即如果∣，∣，那么∣．用同样的方法，我们还可以得出：性质 如果数能被数与数的积整除，那么也能被或整除．即如果∣，那么∣，∣．性质 如果数能被数整除，也能被数整除，且数和数互质，那么一定能被与的乘积整除．即如果∣，∣，且(，)，那么∣．例如：如果∣，∣，且(，)，那么(×) ∣．性质 如果数能被数整除，那么也能被整除．如果 ｜，那么｜（为非整数）；性质 如果数能被数整除，且数能被数整除，那么也能被整除．如果 ｜ ，且｜ ，那么｜；三、 质数与合数一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.常用的以内的质数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，，或.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是，，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.四、质因数与分解质因数．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中、、叫做的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，、都叫做的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.． 唯一分解定理任何一个大于的自然数都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是，求这三个数.分析：∵×××，∴可知这三个数是、和.. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数2K ，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.例如：很接近1441212=⨯，根据整除的性质不能被、、、、整除，所以是质数.五、约数的概念与最大公约数被排除在约数与倍数之外． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是，那么原来的两个数是互质的)．例如，求和的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以和的最大公约数是．． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． ． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数；求出各个分数的分子的最大公约数；b a即为所求． 六、倍数的概念与最小公倍数. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． . 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． . 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦。
全国通用五年级下册数学扩展数论.带余除法(A级)专题练习
带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲知识框架带余除法【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【例2】除法算式□□=208中，被除数最小等于。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例3】71427和19的积被7除，余数是几?【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
31247【例 4】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 5】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．【例7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【例 8】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
五年级下册数学扩展专题练习几何燕尾模型A级全国通用
学联，知识框架共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
S _共边定理：设直线AB 与PQ 交于点M ,则S A PAB =而特殊情况：当PQ II AB 时，易知^ PAB 与卜QAB 的高相等，从而S A PAB=S A QAB⑸例题精例题精讲【例 1】如图，三角形ABC中，BD: DC = 4:9 , CE: EA = 4:3，求AF: FB .【巩固】如图，三角形ABC中，BD: DC=3:4 , AE: CE = 5:6，求AF: FB.【例2】如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD: DC = 1:2 , AD与BE 交于点F.则四边形DFEC的面积等于【巩固】如图，已知BD = DC，EC = 2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，已知BD =3 DC ，EC =2 AE ，BE 与CD 相交于点0,则4 ABC 被分成的4部分面积各占 △ABC 面积的几分之几？【例4】 如图所示，在△ ABC 中，CP = 2CB ，CQ = |CA ，BQ 与AP 相交于点X ，若△ ABC 的面积为6，则△ ABX 的面积等于【例3】如图，三角形ABC 的面积是200cm 2 , E 在AC 上，点D 在BC 上，且AE : EC = 3:5 , BD : DC = 2:3 , AD 与 BE 交于点 F . 则四边形DFEC 的面积等于 ______B D C【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3 , 7 , 7,则阴影四边形的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD=2DC，CE=2AE，AD与BE相交于点尸，请写出这4部分的面积各是多少？【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE: EC=2:3 , BD: DC=1:2，AD与BE交于点产.四边形DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积.【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC=2 , CD=2 , CB=3 , AM = BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？【例5】如图所示，在△ ABC中，BE: EC=3:1，D是AE的中点，那么AF: FC二【巩固】在^ABC中，BD: DC=3: 2，AE: EC = 3:1，求OB: OE =？如图，三角形BAC 的面积是1, E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2, AD 与BE如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC ,且AD =2DE 。
五年级下册数学扩展专题练习-数论.奇偶分析(C级).学生版-全国通用(无答案)
一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
知识框架完全平方数7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点【例 1】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。
五年级下册数学试题-奥数——数的整除特性(全国通用)(无答案)
第5讲 数的整除特性一、知识点1. 整除概念定义 如果整数a 除以整数b ,商是整数且余数为0,则称a 能被b 整除或b 整除a ,记作a b ,其中a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的约数（因数）.注 （1）零是任何正整数的倍数；（2）1是任何正整数的约数；2. 数的整除性质（1）如果,,c b b a 则.c a（2）如果,,b c a c 则)(b a c .3. 数的整除特性（1）一个整数的个位上是0,2,4,6,8,这个数能被2整除；（2）一个整数的个位上是0,5,这个数能被5整除；（3）一个整数各位上数字的和能被3或9整除,那么这个整数也能被3或9整除；（4）一个整数的末两位数能被4或25整除,那么这个整数也能被4或25整除；（5）一个整数的末三位数能被8或125整除,那么这个整数也能被8或125整除；（6）一个整数既能被2整除,又能被3整除,那么这个数能被6整除；反之,一个整数能被6整除,那么这个数一定能被2或3整除；（7）能被11整除的数的特性：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数,那么这个数是11的倍数；（8）能被7（11或13）整除的数的特性：一个整数的末三位数与末三位之前的数之差能被7（11或13）整除,那么这个数能被7（11或13）整除.二、典型例题例1 下列11个数：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.其中能被4整除的有_____________________；能被8整数的是__________________； 能被25整除的有_____________________；能被125整除的有_____________________； 能被3整除的有______________________；能被9整除的有______________________； 能被11整除的有______________________.例2 173 是一个四位数,在方框内先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是______________.例3 一个五位数y x 362能被55整除,则这个五位数是____________.例4 老师买了72本相同的书,当时没有记住每本书的价格,只记下了用掉的总钱数是13.7 元,回校后发现有两个数字看不清了.你能帮助补上这两个数字吗？例5 已知四位数abcd 是11的倍数,且有,a c b =+bc 为完全平方数,求该四位数.例6 六位数ABABA 3是6的倍数,这样的六位数有多少个？例7 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少？三、水平测试1.下列9个数：48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100.其中能被4整除的有_______________；能被25整除的有_______________；能被9整除的有________________；能被11整除的有________________.x236能被63整除,则这个五位数是______________.2.一个五位数y3.125是一个四位数,在方框中先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是_____________.4.在2、3、4、5、6这五个数字取四个不同的数字组成的四位数中,其中能被45整除的最大四位数是____________.568,能同时被3、4、5整除,这个六位数最小是___________.5.一个六位数abc6. 能被11整除,各位数字的和为14且小于1000的正整数有___________个.。
五年级奥数专题02：数的整除性
二数的整除性（A）年级班姓名得分一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3. 下面一个1983位数99199133 (3)44...4个个中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是___.7. 任取一个四位数乘3456,用A 表示其积的各位数字之和,用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和,那么C 是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10. 所有数字都是2且能被10066...6个整除的最小自然数是_____位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出时,6910A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
五年级下册数学竞赛试题-第九节 数论综合之整除(寒假专版) 全国通用(无答案)
第九节 数论综合之整除1.在□中填入适当的数字。
579□能被13整除 57□9能被13整除 5□79能被13整除。
2.在□中填入适当的数字。
185□能被11整除 485□能被11整除 785□5能被11整除3．任意一个三位数连写两次所得到的六位数，一定能被7、11、13同时整除，为什么？4．四位数b a 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，a 和b 各是什么数字？5．要使六位数615ABC 能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 各是多少？6．有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。
7．已知六位数x1993y能被45整除，求所有满足条件的六位数。
8．在2007□□□后面补上3个数字，组成一个七位数，使它们分别能被3、4、5、11整除，这个七位数最小是多少？9．在□里填上恰当的数字，使七位数□1992□□能同时被9，25，8整除。
10．已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
11．如果六位数1992□□能被95整除，那么它的最后两位数是多少。
12．把三位数3ab连接重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数3ab3ab……3ab 恰好是91的倍数。
试求ab＝？13．下面这个41位数：555…5□99…9(其中5和9各20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?14．仓库里放有6个容积不同的货物。
分别装有20千克、21千克、23千克、12千克、14千克、17千克货物。
两个搬运工人运走了其中五箱货物，而且一个工人运走的货物的重量是另一个工人运走货物重量的3倍。
仓库剩下的货物是多少千克？15．将自然数10，11，12，…，49从左至右依次排列成一个多位数101112…4849，求这个多位数除以11的余数？16．把1至999这999个自然数依次写下来，得到一个多位数123456789…998999，求这个多位数是几位数，并求这个多位数除以9的余数。
人教版小学数学五年级下册重点题型专项练习及参考答案(A卷)
人教版小学数学五年级下册重点题型专项练习一.选择题(共10题，共20分)1.下图中有（）个正方体。
A.3B.4C.5D.62.古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有约数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。
例如：6有四个约数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个约数，6=1+2+3，恰好是所有约数之和，所以6就是“完全数”。
下面数中是“完全数”的是（）。
A.12B.15C.28D.363.2，3，7，11这四个数都是（）。
A.合数B.质数C.奇数D.偶数4.从上面观察，看到的图形是（）。
A. B. C. D.以上都不对5.下面的现象中属于旋转的有( )个。
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动A.2B.3C.46.下面的数，因数个数最多的是（）。
A.8B.36C.407.看一看，下面的图②是由图①（）变化得到的图案。
A.旋转B.平移8.用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（）厘米的长方体教具。
A.1B.2C.39.2和3是12的（）A.因数B.公因数C.最大公因数10.如果□是○的15倍，下面算式正确的是（）。
A.○÷15=□B.○×15=□C.□×15=○二.填空题(共10题，共31分)1.能同时被2，3，5整除的最大两位数是（），最小三位数是（），最大三位数是（）。
2.一个游泳池长65米，宽35米，高5米，这个游泳池占地面积是（）平方米。
3.陀螺的转动属于（）现象，缆车的运动属于（）现象。
4.与表针旋转方向相同的是（）旋转，与表针旋转方向相反的是（）旋转。
5.我们生活中有很多有趣的数学现象，看看下面的这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象，哪些是“轴对称”现象。
（1）张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（）现象。
（2）升国旗时，国旗的升降运动是（）现象。
五年级下学期数学 数的整除_ 课件+作业 均带答案
本节知识点 一、2和5的倍数整除特征： 2的倍数：个位能被2整除的数 5的倍数：个位能被5整除的数
二、4和25、8和125的倍数整除特征： 4或25的倍数：末两位能被4或25整除的数 8或125的倍数：末三位能被8或125整除的数
牛刀小试3-1
填空。 在39、451、511、1234、7569、31128中，能被3整除的数有__3_9_，__7_5_6_9_，__3_1_1_2。8
数的整除
牛刀小试1-1
填空。
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20
20以内能被2整除的数是__________________________________________.
牛刀小试1-2
填50空以。 内能被5整除的数是_5_，__1_0_，__1_5_，__2_0_，__2_5_，__3_0_，__3_5__，__4_0_，__4_5_，__5_0____.
本节知识点
一、2和5的倍数整除特征： 2的倍数：个位能被2整除的数 5的倍数：个位能被5整除的数
二、4和25、8和125的倍数整除特征： 4或25的倍数：末两位能被4或25整除的数 8或125的倍数：末三位能被8或125整除的数
三、3的倍数整除特征： 3的倍数：各个数位数字和能被3整除
牛刀小试4-1
例题1
判断下列数是否能被2或5整除。 11 28 76 6355 1389 745632 71 1615651 56 13300 75 10001
能被2整除的数是____2_8_，__7_6_，__7_4_5_6_3_2_，__5_6_，__1_3_3_0_0_______________________; 能被5整除的数是____6_3_5_5_，__1_3_3_0_0_,__7_5_，________________________________;
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九 进 制
乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。
他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑年执政，希特勒年上台，相隔年。
拿破仑年战败，希特勒年战败，相隔年。
拿破仑年占领维也纳，希特勒在年攻人维也纳，也是相隔年。
拿破仑年进
攻俄国，希特勒在相隔年后进攻苏联。
美国第届总统林肯于年任总统，美
国第届总统肯尼迪于年任总统，时隔年。
两人同在星期五并在女人的参与
下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀
害林肯的凶手出生于年，杀害肯尼迪的凶手出生于年，相隔又是年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数与林肯和肯尼迪的巧合数，把它
们颠倒过去分别是和，用减去，用减去，得数都能被除尽：，；，÷，结果都
有一个十位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特非常吃惊，他对着了迷。
他发现将、、、、、、、、加在一起是，而。
他还发现，用乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是。
取任何一个数，比如说，将每位数加起来是，用减去结果得到，而÷，能被除尽。
他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。
这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。
最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；的余数，这个计算过程被称作是“弃法”。
懂得了弃法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该个个地数数，也不应该个个数数，而应该个个地数数，实行进制。
科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。
但目前对的研究还很不够，对人类来说极具神秘性。
包括兰伯特在内的数学家们正努力探索的奥秘，希望在不久的将来对的研究有更大的突破。
课前预习
数论之整除性
（1） 熟悉常见数的整除性质
（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题
整除性质
（）：个位是偶数的自然数
（）：个位是或的自然数
注：若一个数同时是和的倍数，则此数的个位一定为
（）、：末两位能被、整除
（）、：末三位能被、整除
（）、：各个数位上的数之和能被、整除
（）、、通用性质：①一个数如果是的倍数，即能被、、整除.如×，则其必能被、、整除
②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是、、的倍数，
则其为、、的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为、、的倍数，
则其为、、的倍数
（）：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被整除
（）：两位一段（从右往左），各段的和能被整除
（）：三位一段（从右往左），各段的和能被整除
注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为和确定个位，再、、、来确定十位、百位，接着考虑和，最后、、，
（1） 熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：×
（2） 已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把
重难点
知识框架
考试要求
（3） 看几个数相乘后末尾有多少个，主要是看所有数中能分解出多少个和，如例
【例 1】 在□内填上适当的数字，使五位数□□既能被整除又能被整除.
【巩固】 已知五位数xy 154能被整除，求的值.
【例 2】 六位数是的倍数，其中、表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？
【巩固】 七位数□的末位数字是 的时候，不管千位上是到中得哪一个数字，这个七位数都不是的
倍数
【例 3】 由，，，，，这六个数字所组成的六位数中，能被整除的最大的数是多少？
例题精讲
【巩固】求出一个最大的十位数，它由，…这十个不同的数字组成，并且能被整除？
【例 4】从四个数字中任选三个，排成能同时被、、整除的三位数，这样的三位数共有几个？
【巩固】一个三位数能同时被、、整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 . 【例 5】求被整除且数字和等于的五位数
【巩固】在小于的自然数中，能被整除，并且数字和为的数，共有多少个？
【例 6】（解题能力展示六年级初赛）已知九位数□□既是的倍数，又是的倍数，那么，这个九位数是。