截面几何性质答案
(材料力学)截面几何性质习题及参考答案
截面几何性质 作业专业班级 姓名 学号1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。
（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。
（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。
（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。
则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。
A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。
A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。
A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。
A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。
A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。
解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。
钢结构基本原理-同济第二版沈祖炎重点习题课后答案
习题1：某管道支架分别采用图1-1、图1-2两种结构布置方案，在柱顶承受轴心压力P 作用。
这两种方案中，l =3000mm ，柱两段铰接，钢材为Q235，截面无孔眼削弱，柱截面采用焊接工字形截面，翼缘为剪切边，翼缘-250×14，腹板-250×10。
试计算这两种方案中，根据整体稳定性确定的柱子所能承受的最大轴心压力P 各是多少？分析比较这两种方案的优劣？图1-1图1-2解：1) 图1-1所示结构布置方案mm l x 60000=；mm l y 30000=mm A 950010250214250=⨯+⨯⨯=()433135103167250240278250121mm I x =⨯-⨯⨯=()4333647916725010214250121mm I y =⨯+⨯⨯⨯=mm A I i x x 3.1199500135103167===；mm AI i y y 0.62950036479167===3.503.11960000===x x x i l λ；4.480.6230000===y y y i l λ此截面对x 轴为b 类，对y 轴为c 类，查表得855.0=x ϕ(附表4-4)；785.0=y ϕ(附表4-5)应根据y ϕ确定柱子整体稳定的承载力kN Af P d y 16032159500785.0max =⨯⨯==ϕ2) 图1-2所示结构布置方案mm l x 60000=；mm l y 30000=mm A 9500=；mm i x 0.62=；mm i y 3.119= 8.960.6260000===x x x i l λ；1.253.11930000===y y y i l λ此截面对x 轴为c 类，对y 轴为b 类，查表得478.0=x ϕ(附表4-5)；953.0=y ϕ(附表4-4)应根据x ϕ确定柱子整体稳定的承载力kN Af P d x 9762159500478.0max =⨯⨯==ϕ3) 分析比较两种结构布置方案所使用的材料完全相同，但是图1-1所示方案（为下文表述的方便，以后简称方案A ）的承载力为1603kN ，而图1-2所示方案（为下文表述的方便，以后简称方案B ）的承载力仅为976kN 。
第4章(截面的几何性质)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第4章）截面的几何性质1、静矩与形心？答：图形几何形状的中心称为形心。
对于图示的任意平面图形，任取一微元dA，设其坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的静矩：S z=∫ydAA平面图形对于y轴的静矩：S y=∫zdAA定义平面图形对于坐标轴（y，z）的惯性积：I yz=∫yzdAA根据积分的性质可知：当选取的y、z轴不一样时，则惯性积I yz也不一样。
若对于某对坐标轴y0、z0使得I y=0，则该对坐标轴y0、z0称为主轴，过0z0形心的主轴称为形心主轴（注：求主轴非常麻烦，大家只需记住以下结论）。
结论：1）圆截面的任何两条过圆心的且互相垂直的直径都是形心主轴；2）矩形截面的两条对称轴就是形心主轴；3）若截面有2跟对称轴，此两轴即为形心主轴，若截面只有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，令一形心主轴为通过形心且与该对称轴垂直的轴。
2、简单截面的惯性矩与极惯性矩？答：（1）惯性矩与极惯性矩的定义如图，任意图形的面积为A，在其上任取微元dA，坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的惯性矩为：I z=∫y2dAA平面图形对于y轴的惯性矩为：I y=∫z2dAA平面图形对坐标原点O点的极惯性矩为：I p=∫ρ2dAA式中：ρ为该微元dA到原点的距离，由图可知：y2+z2=ρ2则：I p=I y+I z。
（2）常用截面的惯性矩和极惯性矩①实心圆截面（注：直径为d，对于形心主轴（即y、z轴过圆心O））I p=πd432，又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πd464②空心圆截面（注：外径为D，内径为d，空心比α=dD，对于形心主轴）I p=πD432（1−α4），又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πD464（1−α4）③矩形截面（注：设z轴方向宽度为b，y轴方向高度为h，对于形心主轴）I y=ℎb312I z=bℎ3123、组合截面的惯性矩与平行移轴公式？答：（1）组合截面惯性矩的计算对于图所示的组合截面（从圆截面中挖掉一个正方形后剩下的阴影部分），则根据负面积法求组合截面对轴的惯性矩：Iz组=Iz圆−Iz矩（2）惯性矩的平行移轴公式I z1=I z+Aa2式中：A为平面图形的面积，a为z轴与z1轴之间的距离。
第7章 截面几何性质答案
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
第26讲第五章 材料力学(九)
第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。
对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。
【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。
(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。
截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。
截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。
若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。
例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。
对y轴惯性矩相同。
答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。
提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。
(完整版)钢结构基本原理同济第二版沈祖炎重点习题课后答案
习题1：某管道支架分别采用图1-1、图1-2两种结构布置方案，在柱顶承受轴心压力P 作用。
这两种方案中，l =3000mm ，柱两段铰接，钢材为Q235，截面无孔眼削弱，柱截面采用焊接工字形截面，翼缘为剪切边，翼缘-250×14，腹板-250×10。
试计算这两种方案中，根据整体稳定性确定的柱子所能承受的最大轴心压力P 各是多少？分析比较这两种方案的优劣？图1-1图1-2解：1) 图1-1所示结构布置方案；mm l x 60000=mml y 30000=mmA 950010250214250=⨯+⨯⨯=()433135103167250240278250121mm I x =⨯-⨯⨯=()4333647916725010214250121mm I y =⨯+⨯⨯⨯=；mm A I i x x 3.1199500135103167===mmAI i y y 0.62950036479167===；3.503.11960000===x x x i l λ4.480.6230000===y y y i l λ此截面对x 轴为b 类，对y 轴为c 类，查表得(附表4-4)；(附表4-5)855.0=x ϕ785.0=y ϕ应根据确定柱子整体稳定的承载力y ϕkNAf P d y 16032159500785.0max =⨯⨯==ϕ2) 图1-2所示结构布置方案；mm l x 60000=mml y 30000=；；mm A 9500=mm i x 0.62=mmi y 3.119=；8.960.6260000===x x x i l λ1.253.11930000===y y y i l λ此截面对x 轴为c 类，对y 轴为b 类，查表得(附表4-5)；(附表4-4)478.0=x ϕ953.0=y ϕ应根据确定柱子整体稳定的承载力x ϕkNAf P d x 9762159500478.0max =⨯⨯==ϕ3) 分析比较两种结构布置方案所使用的材料完全相同，但是图1-1所示方案（为下文表述的方便，以后简称方案A ）的承载力为1603kN ，而图1-2所示方案（为下文表述的方便，以后简称方案B ）的承载力仅为976kN 。
(完整版)材料力学课后习题答案
8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5与BC 段的直径分别为(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1F F Fd 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。
解：(1) 用截面法求出(2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。
解：(1)用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。
解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。
8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2) 取[F ]=97.1 kN 。
8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。
截面几何性质答案
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
附录I-截面几何性质-习题答案
习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
材料力学 第五版 i 截面的几何性质+习题答案
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右150 20 3000 75 225000140001730000Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai(b)解：(c)解：[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩x I、y I和惯性积xy I。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
材料力学 截面性质
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 试计算图示三角形截面对x轴的静矩。
y
dy
h
b(y)
y
O
b
x
解：取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
因此 d A b (h y) d y
ห้องสมุดไป่ตู้
h
所以对x轴的静矩为
h hb
bh2
S x
y d A (h y)y d y
A
0h
6
2
4
I2 xc yc
x
I x1 A y12 d A
y
Ix1
cos2
y2 d A sin2
A
x2 d A
A
2sin cos A xy d A
I x cos2 I y sin2 2I xy sin cos
利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos2
I xy sin 2
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
i1
I
yi
n
I xy I i1 xyi
4钢结构基础(第二版)课后习题答案
《钢结构基础》习题参考答案题：答：（1）按制作方法的不同分为型钢截面和组合截面两大类。
型钢截面又可分为热轧型钢和冷弯薄壁型钢两种。
组合截面按连接方法和使用材料的不同，可分为焊接组合截面（焊接截面）、铆接组合截面、钢和混凝土组合截面等。
（2）型钢和组合截面应优先选用型钢截面，它具有加工方便和成本较低的优点。
题：解：由附录1中附表1可得I20a 的截面积为3550mm 2，扣除孔洞后的净面积为3249275.213550A n =⨯⨯-=mm 2。
工字钢较厚板件的厚度为11.4mm ，故由附录4可得Q235钢材的强度设计值为215f =N/mm 2，构件的压应力为2155.138324910450A N 3n <≈⨯==σN/mm 2，即该柱的强度满足要求。
新版教材工字钢为竖放，故应计入工字钢的自重。
工字钢I20a 的重度为27.9kg/m ，故19712.19.8169.27N g =⨯⨯⨯=N ； 构件的拉应力为215139.113249197110450A N N 3n g <≈+⨯=+=σN/mm 2，即该柱的强度满足要求。
题：解：1、初选截面 假定截面钢板厚度小于16mm ，强度设计值取215f =，125f v =。
可变荷载控制组合：24kN .47251.410.22.1q =⨯+⨯=，永久荷载控制组合：38.27kN 250.71.410.235.1q =⨯⨯+⨯=简支梁的支座反力（未计梁的自重）129.91kN ql/2R ==，跨中的最大弯矩为m 63kN .1785.547.2481ql 81M 22max ⋅≈⨯⨯==，梁所需净截面抵抗矩为 36x max nx 791274mm 2151.051063.178f M W ≈⨯⨯==γ， 梁的高度在净空方面无限值条件；依刚度要求，简支梁的容许扰度为l/250，参照表3-2可知其容许最小高度为229mm 24550024l h min ≈==， 按经验公式可得梁的经济高度为347mm 3007912747300W 7h 33x e ≈-=-=，由净截面抵抗矩、最小高度和经济高度，按附录1中附表1取工字钢 I36a ，相应的截面抵抗矩3nx 791274m m 875000W >=，截面高度229mm 360h >=且和经济高度接近。
钢结构设计原理课后习题答案(张耀春版)
《钢结构设计原理》三. 连接3.8 试设计如图所示的对接连接（直缝或斜缝）.轴力拉力设计值 N=1500kN,钢材 Q345 —A，焊条 E50 型,手工焊,焊缝质量三级。
解：NN500三级焊缝10查附表1。
3：f tw265 N/mm 2 ，fw v 180 N/mm2不采用引弧板： lw b 2t 500 2 10 480 mmN lwt1500 103 480 10 312.5N/mm2ftw265N/mm2 ,不可。
改用斜对接焊缝：方法一：按规范取 θ=56°，斜缝长度： lw (b / sin ) 2t (500 / sin 56) 20 (500 / 0.829 ) 20 583mmN sin lw t1500103 0.829 58310 213N/mm2ftw 265N/mm2N cos lw t1500103 0.559 58310 144N/mm2fvw 180N/mm2设计满足要求。
方法二：以 θ 作为未知数求解所需的最小斜缝长度。
此时设置引弧板求解方便些。
3.9 条件同习题 3.8，受静力荷载，试设计加盖板的对接连接。
1解：依题意设计加盖板的对接连接,采用角焊缝连接。
查附表1。
3:fw f200 N/mm 2试选盖板钢材 Q345—A,E50 型焊条，手工焊。
设盖板宽 b=460mm，为保证盖板与连接件等强，两块盖板截面面积之和应不小于构件截面面积。
所需盖板厚度：t2A1 2b500 10 2 4605.4mm，取t2=6mm由于被连接板件较薄 t=10mm，仅用两侧缝连接，盖板宽 b 不宜大于 190，要保证与母 材等强，则盖板厚则不小于 14mm.所以此盖板连接不宜仅用两侧缝连接,先采用三面围 焊。
1) 确定焊脚尺寸最大焊脚尺寸： t 6mm，hf max t mm最小焊脚尺寸： hf min 1.5 t 1.5 10 4.7 mm 取焊脚尺寸 hf=6mm 2）焊接设计: 正面角焊缝承担的轴心拉力设计值：N32 0.7hf bffw f2 0.7 6 460 1.22 200 942816N侧面角焊缝承担的轴心拉力设计值：N1 N N3 1500 10 3 942816 557184 N 所需每条侧面角焊缝的实际长度（受力的一侧有 4 条侧缝）:l lw hfN1 4 0.7hffw f hf557184 4 0.7 6 200 6 172 mm取侧面焊缝实际长度 175mm，则所需盖板长度：175 10 175NN26 6 500 10L=175×2+10(盖板距离)=360mm。
截面几何性质
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .
第四章 截面的几何性质
n
形心位置： yc 形心位置：
∑Ai yci Sz i=1 = n A = ∑Ai ∑Ai zci
i=1 n i=1 n
zc = Sy = A
∑Ai
i=1
HOHAI UNIVERSITY
求图示截面的形心的位置。 例2: 求图示截面的形心的位置。 解： A =150×50m 2 A2 =180×50m 2 m m 1
A3 = 250×50m 2 m
50 150
C1
m yC1 = −255m m yC2 = −140m
yC3 = −25m m zC1 = zC2 = zC3 = 0
A × yC1 + A2 × yC2 + A3 × yC3 yC = 1 A + A2 + A3 1
50
c 50
C2 C3
250
z
y
−150×50× 255 −180×50×140 − 250×50× −25 = m m 150×50 +180×50 + 250×50
= −120m m
zC = 0
HOHAI UNIVERSITY
§4-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义 Iy=∫ A z2dA 惯性矩恒为正 Iz=∫ A y2dA 二、惯性积的定义 ∫ Iyz= A yzdA 惯性积可正、 惯性积可正、可负或为零 若y为对称轴，则 为对称轴， Iyz= 0
C
ydA A
Sz = A Sy = A
zc
z
zc = 故
∫
A
zdA A
dA y
Sz = A yc Sy = A zc
形心轴： 形心轴： 过平面图形形心的轴 截面对形心轴的面积矩为零。 截面对形心轴的面积矩为零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
（1）定义点对轴的惯性矩：22z y dI y dA dI z dA =⋅=⋅，点对点的极惯性矩2O dI dA ρ=⋅图形对轴的惯性矩22,z y A AI y dA I z dA ==⎰⎰ 图形对点的惯性矩2p AI dA ρ=⎰ （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系若y z I I 、是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，p I 是对该坐标系原点O 的极惯性矩。
则：p z y I I I =+（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。
（太长了，慢慢读）即：2C z z I I A d =+⋅（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。
第1步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。
第2步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。
第3步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。
4.惯性积、形心主轴的概念惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。
yz AI z ydA =⋅⎰ 惯性积的值可为：正、负或零。
当0yz I =时，对应的坐标轴y z 、称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。
两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。
思考题与习题7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。
7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系答：同上。
7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的为什么它们的值有的恒为正有的可正、可负、还可为零答:定义在主要内容中所详细说明。
由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。
面积元为正，坐标可能为正、负、零。
所以惯性积，可为正、负、零。
而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所以它们的积分也为正。
7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化为什么答：惯性矩为变大。
因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。
7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩4128z D I π=，则对z 1轴的惯性矩如下计算是否正确为什么()1242421512828128z D D D D I I a A πππ=+=+⋅= 答：不对。
平行移轴公式2C z z I I a A =+中，C z I 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。
7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：z z i I A=。
惯性半径不是图形形心到该轴的距离。
2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。
（什么时候）7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为1z 轴，试计算对1z z 1轴的静矩。
解：a )1320040402004016040226() 1.24810z S m m =⨯⨯++⨯⨯=⨯ b)134024020010024040200326()().71210z S m m =⨯⨯⨯+⨯⨯+=⨯ 或1324024012016020010036.71210z S m m =⨯⨯-⨯⨯=⨯c)13401208040160401204012040201152226()().10z S m m =⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=⨯7-8．如图7—20所示截面图形，求（1）形心C 的位置；（2）阴影部分对z 轴的静矩。
解：1.求形心C 的位置。
形心在y 轴上，设到底边的距离为C y 。
300500250140600140702751300500600140().C y m m ⨯⨯++⨯⨯==⨯+⨯ 2.阴影部分对z 轴的静矩 73275114060014027517030027511402*.(.)(.) 1.99710z S m m -=-⨯⨯--⨯-⨯=-⨯ 若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。
即73640275130064027512*.(.) 1.99710z S m m -=-⨯-⨯=-⨯7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z 的惯性矩；已知b =150mm ，h =300mm 。
如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。
解：1.矩形惯性矩 33415030012128I 3.37510z bh m m ⨯===⨯ 2.工字形惯性矩33245020035050212535050512128I ().87510z m m ⨯⨯=+⨯+⨯⨯=⨯ 或用负面积法3343503001502002512128I .87510z m m ⨯⨯=-⨯=⨯ 3.计算增大的百分比p 。
51007474888.87510 3.37510%.%3.37510p ⨯-⨯=⨯=⨯7-10．计算图示各图对形心轴z c 、y c 的惯性矩。
解：a )图34347424012031426022332912641264.I .10C z b h D m m π⨯⨯⨯⨯=-⨯=-⨯=⨯342234228460230126424240120314260314260260116612644I (())..().10C y b h D D m m ππ⨯⨯=-⨯++⨯⨯⨯⨯=-⨯+⨯=⨯ b)图343474200803142802210541212812128.I .10C z b h D m m π⨯⨯⨯⨯=+⨯=+⨯=⨯ 324223242284184210012823920080183142404402314240100128233142931421227I (()()).(().())...10C y b h R R R m m ππππ⨯=+⨯-⨯+⨯+⨯⨯⨯=+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯=⨯7-11．计算图示图形对其形心轴z 的惯性矩。
解1.计算形心轴到顶边的距离d 。
1806030260152605602401206011401806026015260240()().d m m ⨯⨯+⨯⨯÷⨯++⨯⨯+==⨯+⨯⨯÷+⨯ 2.计算对形心轴z 的惯性矩。
3322841806018060180603018060114301151101212(d )().c Iz I m m ⨯⨯=+⨯⨯-=+⨯⨯-=⨯ 33228460156015601526056015211460536360010910II (d )().c z I m m ⨯⨯=+⨯÷⨯--=+⨯÷⨯--=⨯ 3322846024060240602401206060240120601141212131810III (d)().c z I m m ⨯⨯=+⨯⨯+-=+⨯⨯+-=⨯ 88421151200108131810249110I II III(...).c c c c z z z z I I I I m m =+⨯+=+⨯+⨯=⨯7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。
解：由型钢表可查得。
单个参数如下：面积232192611926110..A cm m m ==⨯形心到边的距离0284284..z cm m m ==对平行于边且过形心的轴的惯性矩464179511795110..C C y z I I cm m m ===⨯由于D y 是对称轴，且D z 过形心，根据形心主轴的性质可知D y 、D z 是形心主轴。
664221795110359010..D C z z I I m m ==⨯⨯=⨯263264025217951101926102845788710(())(..(.)).D C y y I I A z m m =+⨯+=⨯+⨯⨯+=⨯7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a 的值。
解：查表得对单个工字钢：面积232143451434510..A cm m m ==⨯464330033010..C y I cm m m ==⨯46424524510.C z I cm m m ==⨯对两个工字钢6464222451049010..C z z I I m m m m ==⨯⨯=⨯22632203301014351044()(..)C y y a a I I A =+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：26634901020330101435104.(..)a ⨯=⨯⨯+⨯⨯ 解得：769.a mm =补充与拓展1.三角形的形心位置的讨论 三角形的形心在顶点与边中点连线的交点上，其到边的垂直距离为高的13。