第六章信号的矢量空间分析
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V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
18 页
2
t2
t1
f
2
t d t c t r 1
2 r
t2
1
g t d t c r g r ( t ) d t
2 r t2 r 1 t1
第
34 页
t2
f
t1
2
t d t C r2 gr2 t d t C r gr (t )2 d t
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
推广 三维 多维
第
12 页
信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
第
13 页
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 证明:
第
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
36 页
瞬时功率为
在一个周期内，R消耗的能量
平均功率可表示为
第
定义
37 页
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量
平均功率
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： (有限值) (有限值)
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
38 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第
例6-5-1
判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
第
用正弦波逼近三角函数, f e t ?
t f1 t ， t 3 0 3 π t f 2 t sin ，0 t 3 3
25 页
O f 2 (t ) 1
3 t
c12
3
0
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
3
0
f 2 (t ) d t
t2
2
t2
t1
f ( t ) d t 2 c r g r ( t ) f ( t ) d t c
2 t2
因为 c r
2
t2
r 1
t1
r 1
2 r
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
t2 2
t1
f (t ) g r (t ) d t
t2 t1
代入
即
t2
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集
•复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
16 页
的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的：
V1 Ve 2 Ve
第
17 页
Ve1
第
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即：
29 页
• 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
四.复变函数的正交特性
第
30 页
则此复变函数集为正交函数集。
§6.4 完备正交函数集、 帕塞瓦尔定理
2
第
14 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
x, x y , y
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t )
O
3
t
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
原函数 近似函数
第
26 页
基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
27 页
第
理解
28 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
39 页
二．相关系数与相关函数
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第
40 页
1．相关系数
由两个信号的内积所决定：
第
相关系数
41 页
此时，能量误差为
第
42 页
令相对能量误差为
其中
12称为f 1 t 与f 2 t 的相关系数。
第
43 页
由柯西－施瓦尔茨不等式，得
所以
第
2．相关函数
分如下几种情况讨论： •f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与f2(t)为实函数
44 页
f1(t)与f2(t)为复函数
•f1(t)与f2(t)是功率有限信号
f1(t)与f2(t)为实函数
f1(t)与f2(t)为复函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： V xi yj , Ve zh 0
二．正交函数
误差
第
19 页
系数
第
相关系数
20 页
分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量) 最小。 求系数c12 t2 1 2 2 令 f e ( t ) f e2 ( t ) d t，求 2 最小时的c12 , t 2 t1 t1 d 2 即求出 0时的c12 ,即 d c12 2 d t2 f1 (t ) c12 f 2 (t ) d t 0 t 1 d c12 交换微积分次序 t2 d 2 f12 ( t ) 2c12 f 2 ( t ) f1 ( t ) f 22 ( t )c12 d t 0 t1 d c12
2
3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π 0 sin 3 t d t
2 π
1
O f e (t ) 1
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
45 页
可以证明：
τ的偶函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
46 页
同时具有性质：
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
47 页
自相关函数：
第
例6-3-2
24 页
试用正弦函数 t在区间 0,2π之间内来近似表示余弦 sin
函数cost。
显然，由于 所以
2π
0
cos t sin t d t 0
c12 0
即, 余弦函数cost不包含正弦信号 t分量， sin 或者说cost与sint两函数正交。
例6-3-3
f1 (t ) 1
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 9 页
二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
第
10 页
利用范数符号，将矢量长度分别写作
于是
第
11 页
2 f1 (t ) f 2 (t )dt t 2c12 f 22 (t )dt 0 t
t2
1
t2
1
可得系数为
c12
t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t
t2
t1
f 22 ( t ) d t
f1 ( t ), f 2 ( t ) c12 f 2 ( t ), f 2 ( t )
r 1 t1 r 1 t1
t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
第
例6-3-1
设矩形脉冲 t 有如下定义 f
1
f t
22 页
1 f t 1
0 t π π t 2π
o
2
t
1
波形如图 ，试用正弦波 t在区间 0,2 之间内近似表 (a) sin
示此函数，使方均误差 最小。
(a)
第
23 页
内 函数f t 在区间 0,2 近似为
第
常用范数
6 页
第 7 页
“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑 一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数 都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称 为M的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界 却只有一个。
第 8 页
§6.1 引言
第 2 页
信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处 理进行更深入的研究。 本章主要内容 •利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； •信号的正交函数分解； •相关函数； •能量谱和功率谱；
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
第 5 页
2 正齐性 对所有数 α αx α ； 量 , 有 x 3 三角形不等式 y 。 x x y
1 N p x p i x p def i 1 maxN xi 1 i
对于1 p 对于p
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
48 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
49 页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
t1
f ( t ) d t 2 c r c r g r ( t ) d t c
t2 2
g r (t ) d t
r 1 t1
2
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t c r g r (t ) d t
t1
2 r
r 1
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
第 4 页
二．范数
线性空间中元素 的范数以符号 x 表示，满足以下公理 x 1 正定性 0,当且仅当x 0时 x 0； x
f t c12 sin t
2π
f t
4
1
o
为使方均误差最小， 12 应满足 c
c12
2π
π
t
0
f ( t ) sin t d t
2π
0
sin t d t
2
4 π
1 4
(a)
所以
4 f t sin t π 4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。 π
(1)
(2)
(3)
第
21 页
先微分
再积分
d (1) f12 ( t ) 0 (因为f1 ( t )不含c12 ) d c12 d 2c12 f 1 (t ) f 2 (t ) 2 f 1 (t ) f 2 (t ) ( 2) d c12 d 2 ( 3) c12 f 22 ( t ) 2c12 f 22 ( t ) d c12
•完备正交函数集
•帕塞瓦尔定理
一．完备正交函数集
定义1：
第
32 页
定义2：
第
二．帕塞瓦尔定理
设gr (t )为完备的正交函数集，即 误差函数 即
1 f (t ) t 2 t1
2 e
33 页
t1 f (t ) cr gr (t ) d t 0 r 1
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
18 页
2
t2
t1
f
2
t d t c t r 1
2 r
t2
1
g t d t c r g r ( t ) d t
2 r t2 r 1 t1
第
34 页
t2
f
t1
2
t d t C r2 gr2 t d t C r gr (t )2 d t
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
推广 三维 多维
第
12 页
信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
第
13 页
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 证明:
第
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
36 页
瞬时功率为
在一个周期内，R消耗的能量
平均功率可表示为
第
定义
37 页
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量
平均功率
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： (有限值) (有限值)
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
38 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第
例6-5-1
判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
第
用正弦波逼近三角函数, f e t ?
t f1 t ， t 3 0 3 π t f 2 t sin ，0 t 3 3
25 页
O f 2 (t ) 1
3 t
c12
3
0
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
3
0
f 2 (t ) d t
t2
2
t2
t1
f ( t ) d t 2 c r g r ( t ) f ( t ) d t c
2 t2
因为 c r
2
t2
r 1
t1
r 1
2 r
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
t2 2
t1
f (t ) g r (t ) d t
t2 t1
代入
即
t2
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集
•复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
16 页
的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的：
V1 Ve 2 Ve
第
17 页
Ve1
第
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即：
29 页
• 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
四.复变函数的正交特性
第
30 页
则此复变函数集为正交函数集。
§6.4 完备正交函数集、 帕塞瓦尔定理
2
第
14 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
x, x y , y
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t )
O
3
t
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
原函数 近似函数
第
26 页
基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
27 页
第
理解
28 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
39 页
二．相关系数与相关函数
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第
40 页
1．相关系数
由两个信号的内积所决定：
第
相关系数
41 页
此时，能量误差为
第
42 页
令相对能量误差为
其中
12称为f 1 t 与f 2 t 的相关系数。
第
43 页
由柯西－施瓦尔茨不等式，得
所以
第
2．相关函数
分如下几种情况讨论： •f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与f2(t)为实函数
44 页
f1(t)与f2(t)为复函数
•f1(t)与f2(t)是功率有限信号
f1(t)与f2(t)为实函数
f1(t)与f2(t)为复函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： V xi yj , Ve zh 0
二．正交函数
误差
第
19 页
系数
第
相关系数
20 页
分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量) 最小。 求系数c12 t2 1 2 2 令 f e ( t ) f e2 ( t ) d t，求 2 最小时的c12 , t 2 t1 t1 d 2 即求出 0时的c12 ,即 d c12 2 d t2 f1 (t ) c12 f 2 (t ) d t 0 t 1 d c12 交换微积分次序 t2 d 2 f12 ( t ) 2c12 f 2 ( t ) f1 ( t ) f 22 ( t )c12 d t 0 t1 d c12
2
3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π 0 sin 3 t d t
2 π
1
O f e (t ) 1
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
45 页
可以证明：
τ的偶函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
46 页
同时具有性质：
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
47 页
自相关函数：
第
例6-3-2
24 页
试用正弦函数 t在区间 0,2π之间内来近似表示余弦 sin
函数cost。
显然，由于 所以
2π
0
cos t sin t d t 0
c12 0
即, 余弦函数cost不包含正弦信号 t分量， sin 或者说cost与sint两函数正交。
例6-3-3
f1 (t ) 1
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 9 页
二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
第
10 页
利用范数符号，将矢量长度分别写作
于是
第
11 页
2 f1 (t ) f 2 (t )dt t 2c12 f 22 (t )dt 0 t
t2
1
t2
1
可得系数为
c12
t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t
t2
t1
f 22 ( t ) d t
f1 ( t ), f 2 ( t ) c12 f 2 ( t ), f 2 ( t )
r 1 t1 r 1 t1
t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
第
例6-3-1
设矩形脉冲 t 有如下定义 f
1
f t
22 页
1 f t 1
0 t π π t 2π
o
2
t
1
波形如图 ，试用正弦波 t在区间 0,2 之间内近似表 (a) sin
示此函数，使方均误差 最小。
(a)
第
23 页
内 函数f t 在区间 0,2 近似为
第
常用范数
6 页
第 7 页
“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑 一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数 都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称 为M的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界 却只有一个。
第 8 页
§6.1 引言
第 2 页
信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处 理进行更深入的研究。 本章主要内容 •利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； •信号的正交函数分解； •相关函数； •能量谱和功率谱；
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
第 5 页
2 正齐性 对所有数 α αx α ； 量 , 有 x 3 三角形不等式 y 。 x x y
1 N p x p i x p def i 1 maxN xi 1 i
对于1 p 对于p
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
48 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
49 页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
t1
f ( t ) d t 2 c r c r g r ( t ) d t c
t2 2
g r (t ) d t
r 1 t1
2
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t c r g r (t ) d t
t1
2 r
r 1
t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
第 4 页
二．范数
线性空间中元素 的范数以符号 x 表示，满足以下公理 x 1 正定性 0,当且仅当x 0时 x 0； x
f t c12 sin t
2π
f t
4
1
o
为使方均误差最小， 12 应满足 c
c12
2π
π
t
0
f ( t ) sin t d t
2π
0
sin t d t
2
4 π
1 4
(a)
所以
4 f t sin t π 4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。 π
(1)
(2)
(3)
第
21 页
先微分
再积分
d (1) f12 ( t ) 0 (因为f1 ( t )不含c12 ) d c12 d 2c12 f 1 (t ) f 2 (t ) 2 f 1 (t ) f 2 (t ) ( 2) d c12 d 2 ( 3) c12 f 22 ( t ) 2c12 f 22 ( t ) d c12
•完备正交函数集
•帕塞瓦尔定理
一．完备正交函数集
定义1：
第
32 页
定义2：
第
二．帕塞瓦尔定理
设gr (t )为完备的正交函数集，即 误差函数 即
1 f (t ) t 2 t1
2 e
33 页
t1 f (t ) cr gr (t ) d t 0 r 1