第六章信号的矢量空间分析
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矢量数据的空间分析
三、网络分析
4. 网络分析的基本功能
1）应用方面——一般网络分析的基本功能 2）原理方面——ArcGIS中网络分析的基本功能
三、网络分析
1）一般网络分析的基本功能
从实际应用的方面来说，网络分析的基本功能是基 于几何网络的特征和属性，利用距离、权重和规划条件 来进行分析得到结果并且应用在实际中，它主要包括： 路径分析 地址匹配 资源分配
图7.12 图层合并操作
二、叠置分析
6）修正更新（Update）
修正更新是指首先对输入的图层和修正图层进行几何相交 的计算，然后输入的图层被修正图层（一般为多边形）覆盖的 那一部分的属性将被修正图层而代替。而且如果两个图层均是 多边形要素的话，那么两者将进行合并，并且重叠部分将被修 正图层所代替，而输入图层的那一部分将被擦去。
1）shape file文件 2）coverage文件 3）GeoDatabase里面的要素
注：对coverage文件操作需要安装ArcGIS Workstaion才行。
A A B
二、叠置分析
3.叠置分析方法
1）图层擦除（Erase）
图层擦除是指输入图层根据擦除图层的范围大小，将 擦除参照图层所覆盖的输入图层内的要素去除，最后得到 剩余的输入图层的结果。从数学的空间逻辑运算的角度来 说，即
三、网络分析
3. ArcGIS网络分析数据的预处理
1）网络数据的符号化 2）几何网络要素的添加和删除 3）网络连通性的变更 4）网络可运行性的编辑
三、网络分析
1）网络数据的符号化
网络的线状要素的属性存在着可运行和不可运行 情形，称之为可运行性。可运行的要素允许资源流动通 过，不可运行的要素则不允许。这项信息被储存在该要 素类别属性表格中的Enable字段，值为１代表可运行的， 值为０代表不可运行的。使用属性来符号化要素可以很 快的定义出哪些图征是可运行的，哪些是不可运行的。
ch6_信号的矢量空间分析2_111113_789809404
0
5
E f1 = ∫ a 2 dt = 5a 2
0 5 0
5
E f 2 = ∫ e-2at dt = 21a (1- e-10 a ) ,
(1)
(2) (3)
1 5×5a 2
2a
⎧+1 a > 0 a d t = ⎨ ∫0 ⎩−1 a < 0
5
5
相关系数从信号能量误差的角度描述了两个信号的相关特 性，利用矢量内积运算给出了定量描述。 数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。
e − at dt = 5(1-e-10 a ) ∫0
1 5E f 3
∫
5
1 1 − e-5 a ⎧0.961 a = 0.2 =⎨ -5 a 2.5a 1 + e ⎩0.628 a = 1
0
sin πtdt = 0
相关系数→相关函数
相关系数表示的两信号 的相似程度
ρ12 =
1 E f1 E
f2
11
f1 (t )
雷达微波
物 行 波 回
19
§6.5 能量谱和功率谱
能量谱和功率谱描述信号的一种方法：
• 能量谱和功率谱表示信号的能量和功率密度 在频域中随频率的变化情况； • 能量谱和功率谱对决定信号所占频带等问题有 重要作用。
20
f2
(t)飞
R12 (τ ) =
∫
+T 2 −T 2
f1 ( t ) f 2 ( t + τ ) dt
§6.4 相关
• 意义
– 研究信号之间的相似程度； – 广泛应用于信号分析、图像处理，尤其是随机 信号分析 • 具体而言：
3
§6.4 相关
5
E f1 = ∫ a 2 dt = 5a 2
0 5 0
5
E f 2 = ∫ e-2at dt = 21a (1- e-10 a ) ,
(1)
(2) (3)
1 5×5a 2
2a
⎧+1 a > 0 a d t = ⎨ ∫0 ⎩−1 a < 0
5
5
相关系数从信号能量误差的角度描述了两个信号的相关特 性，利用矢量内积运算给出了定量描述。 数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。
e − at dt = 5(1-e-10 a ) ∫0
1 5E f 3
∫
5
1 1 − e-5 a ⎧0.961 a = 0.2 =⎨ -5 a 2.5a 1 + e ⎩0.628 a = 1
0
sin πtdt = 0
相关系数→相关函数
相关系数表示的两信号 的相似程度
ρ12 =
1 E f1 E
f2
11
f1 (t )
雷达微波
物 行 波 回
19
§6.5 能量谱和功率谱
能量谱和功率谱描述信号的一种方法：
• 能量谱和功率谱表示信号的能量和功率密度 在频域中随频率的变化情况； • 能量谱和功率谱对决定信号所占频带等问题有 重要作用。
20
f2
(t)飞
R12 (τ ) =
∫
+T 2 −T 2
f1 ( t ) f 2 ( t + τ ) dt
§6.4 相关
• 意义
– 研究信号之间的相似程度； – 广泛应用于信号分析、图像处理，尤其是随机 信号分析 • 具体而言：
3
§6.4 相关
大学物理+补充-矢量分析简介
A , A 0 , 即 0
A 0 , A A 0 , 2 0
3、谐和场 若一矢量场在空间某一范围内，即无散又无旋，称谐和场 无旋： 无散：
——拉普拉斯方程
即：谐和场的位函数满足拉普拉斯方程。
2、矢量场的旋度（是个矢量场） curlA (或 rotA , 或 A ) A dl A ( A) n lim lim L S S 0 S S 0
i j k Az Ay Ax Az Ay Ax A ( )i ( )j ( )k x y z y z z x x y Ax Ay Az
任何矢量场的旋度永远是无散场：
B A
B 0
即 ( A) 0
2、有旋场和无旋场
A dl 0 或 A 0
L
若一矢量场在空间某一范围内
称“无旋场”或“有势场”或“位场” 否则称“有旋场”
任何标量场的梯度永远是个无旋场：
以电磁场为例： 非恒定情况下，电场既有散度又有旋度。
E E势 E旋 麦克斯韦方程组： D e 0 D dS q0 B B E dS E dl t t B 0 B dS 0 D D H dl I 0 t dS H j0 t
研究任何矢量场时，常引入“场线”概念，如电场线，磁场线。
二、标量场的梯度 grad
(或 )
标量场的梯度定义为这样一个矢量，它的方向沿方向 微商最大的方向，数值上等于这个最大的方向微商：
ˆ n n
i j k x y z
《矢量分析》多媒体课件
z
az
ax
ay
M
z=z1平面
ax ay az ay az ax
x x=x1平面
y
y=y1平面
az ax ay
思考：单位坐标矢量ax、ay、az是不是常矢量？？
（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）
直角坐标系
➢ 任意矢量A的表示： A Axax Aya y Azaz
α，β，γ分别为矢量A与坐标轴的夹角，cosα ， cosβ ，cosγ称为矢量的方向余弦
B
AB A B cosA,B
A
•两个矢量的 点积是一个标 量，可正可负
Bcos
A
点积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小 的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上 的投影大小的乘积。
0
A
B
A
B
A B 两矢量垂直的充要条件 A // B
矢量的点积（标量积，标积）
标量场与矢量场
矢量
➢矢量：具有大小和方向的量
➢矢量的表示：A＝aAA (
A
aA
A
)，其中A表示模
或长度，aA表示方向的单位矢量 （大小为1）.
AA
A ＝aAA
aA
aA
A A
A A
矢量的分量表示法
➢ 利用正交坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：
A Axa x Aya y Aza z
➢标量积的结果是标量，满足交换律和分配律
AB BA
A (B C) A B A C
➢并且有: A A A2 Ax2 Ay2 Az2
点积的计算方法：
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第6章 信号的矢量空间分析【圣才出品
（1）定义
假设有 n 个函数 g1(t), g2 (t)...gn (t) 构成的一个函数集，这些函数在区间 (t1,t2 ) 内满
足正交特性
t2 t1 t2 t1
gi (t)g j (t)dt 0,i
g
2 i
(t
)dt
Ki ,i
j
j
则称此函数集为正交函数集。
（2）特性
任意信号 f(t)可表示为 n 维正交函数之和，即
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直角坐标平面内两矢量相对位置关系为
cos(f1 -f2 ) =
x1 y1 + x2 y2
1
1
(x12 + x22 )2 ( y12 + y22 )2
利用范数符号，将矢量长度分别写作
1
x 2 = (x12 + x22 ) 2
1
y 2 = ( y12 + y22 ) 2
必属
称为完备正交
9 / 21
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式中
为信号的能量，
为基底信号的能量，
为各信号分量的能量。
（2）物理意义 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率） 之和。 （3）数学本质 矢量空间信号正交变换的范数不变性。
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一、信号矢量空间的基本概念 1．线性空间 线性空间是指这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任一元 素与任一数相乘后得到此集合内的另一元素。常见的线性空间有 N 维实数空间 与复数
空间 、连续时间信号空间 L、离散时间信号空间 l 等。
信号与系统复习资料第六章
信号与系统第五章（5.1~5.3）一、知识储备正交分解矢量正交信号正交正交定义31==∑=i yi xi Ty x v v V V 两矢量内积为0⎰=21d )()(*21t t t t t ϕϕ两函数内积为0正交集正交矢量集两两正交的矢量组成的矢量集合。
正交函数集⎰⎩⎨⎧=≠≠=21,0,0d )()(*t t i j i ji K j i t t t ϕϕ构成空间矢量空间例如矢量A 可表示为A =a Vx +b Vy +c Vz信号空间1122n ()...nf t C C C φφφ=+++二、傅里叶级数三角形式∑∑∞=∞=Ω+Ω+=110)sin()cos(2)(n nn nt n bt n aat f或∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A At f ϕ式中，A0=a0，22nn nba A +=，nnn a b arctan-=ϕ. 指数形式e )(j t n n n F tf Ω∞-∞=∑=以上为复傅里叶级数展开式，可以将f （t ）理解成由一系列旋转向量合成的信号，各旋转向量的初始位置（严格来讲是t=0时刻所在的位置）就是复傅里叶系数Fn 。
画出三维频谱图如下图所示：三角形式和指数形式傅里叶系数之间的关系)j (21e 21e j n n n n n b a A F F n n -===ϕϕnnnnA b a F 212122=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nnab arctan ϕnn n A a ϕcos =nn n A b ϕsin -=n 的偶函数：an ，An ，|Fn |n 的奇函数:bn ，n波形对称性和谐波特性（四点）f(t)为偶函数——对称纵坐标)()(t f t f -=bn =0，展开为余弦级数f(t)为奇函数——对称于原点)()(t f t f --=an =0，展开为正弦级数此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即a1=a3=…=b1=b3=…=0周期信号的功率∑∑⎰∞-∞=∞==+=n nn n T FA A dt t f T2122002||212()(1周期信号一般是功率信号，上式为其平均功率，直流和n 次谐波分量在1Ω电阻上消耗的平均功率之和。
矢量数据的空间分析
地理信息系统中的矢量数据应用
01
地图制作与编辑
02
空间查询与分析
03
地理信息可视化
矢量数据是地理信息系统的基础， 用于地图的制作、编辑和更新。
基于矢量数据，进行空间查询、 距离和面积计算、缓冲区分析等 操作。
通过矢量数据，实现地图的动态 显示和交互，提高地理信息的可 视化效果。
遥感影像中的矢量数据提取与分析
空间分析的基本方法与技术
空间数据查询
通过SQL查询语言等工具，对空间数据 进行筛选、检索和查询，获取所需的空
间信息。
空间统计分析
利用统计学方法对空间数据进行统计 分析，如全局和局部的空间自相关分
析、空间回归分析等。
地图代数
利用地图代数方法对空间数据进行处 理和分析，如地图叠加、地图代数运 算等。
三维分析
空间数据聚合与分类
空间数据聚合
将多个空间对象组合成一个或多个更大的对象，以进行更高层次的分析。例如， 将多个点聚合为线或面。
空间数据分类
根据空间对象的属性或关系将其分组。例如，根据对象的密度或形状对点进行分 类。
空间数据插值与预测
空间数据插值
通过已知点或对象的数据估算未知点的值。例如，使用已知点的温度数据估算未知点的 温度。
04
矢量数据的空间分析案例
城市规划中的矢量数据分析
城市道路网络分析
通过矢量数据分析城市道 路的走向、连通性以及交 通流量，为城市规划提供 依据。
居民区分布研究
利用矢量数据对居民区的 分布、规模和人口密度进 行分析，有助于合理规划 城市居住用地。
公共设施布局优化
通过对公共设施（如学校、 医院等）的矢量数据分析， 优化其布局，提高服务效 率。
第六章信号的矢量空间分析new
第六章信号的矢量空间分析信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的上的类似信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。
本章主要内容•利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的交函数分解；•信号的正交函数分解；•完备正交函数集、帕塞瓦尔定理•相关函数；相关函数•能量谱和功率谱；•相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。
62§6.2信号矢量空间的基本概念•线性空间•范数数•内积•柯西－施瓦茨不等式第一．线性空间3页定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另素任意素与任意数以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:⎧15页常用范数页“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
的上确界一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有个。
却只有一个。
页信号表示其幅度值(3)常用的范数一阶范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。
页二阶范数物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
第9页三．内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作于是第10页上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况即之间相对位置的“校准”情况。
即推广三维多维第11页信号空间内的两连续信号的内积对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为已知有如下关系()21cos y xφφ−对于二维矢量空间，已知有如下关系221≤−则有1≤x y,y x x,§6.3 信号的正交函数分解•矢量的正交分解•正交函数•正交函数集•复变函数的正交特性第14页将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号信号分解的目的的特性。
(完整版)矢量分析
矢量代数赵黎晨第一节 矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若 123(,,)a a a a =v123(,,)b b b b =v则 a v , b v的点乘(也称标量积)112233a b a b a b a b ⋅=++v v (cos a b b a a b α⋅=⋅=v v vv v v )a v ,b v的叉乘(也称矢量积))()()(122133113223321321321321b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==⨯ϖϖϖϖϖϖϖϖ 的大小b a ϖϖ⨯sin a b αvv ，α为a v , b v的夹角方向：既垂直于a ϖ，又垂直于b ϖ,与b a ϖϖ,满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性 a b b a ϖϖϖϖ⨯-=⨯2.三个矢量的混合积112233()()()()c a b c a b c a b c a b ⋅⨯=⨯+⨯+⨯v v v v v v v v v=)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+-几何解释:以c b a ϖϖϖ,,为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯v v v v v v v v v(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
()()()()a b c a c b b a c c b a ⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯v v v v v v v v v v v v(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
第六章：信号的空间分析
t2 1 t2 d 2 f1 (t ) dt 2 f1 (t ) f 2 (t ) dt t1 t t 2 t1 dc12
2c12
t2
t1
f
2 2
(t )dt 0
解得
c12
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t ) dt
t2 t1
f (t ) dt
11
2 2
正交条件
若c12 0,则f1 (t )不包含f 2 (t )的分量 ,则称正交。
正交的条件：
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
12
例： f (t ) 1
4
( t 2 ) 1 试用sint 在区间（0，2 ）来近似 f (t )
(0 t )
y1
1
2 x2
y2
两矢量夹角 90 两矢量夹角 0
0
0
cos(1 2 ) 0 内积为零 cos(1 2 ) 1 内积为最大值
多维情况内积符号及表达式
离散 : x, y x i yi x T y
i 1 N
连续: x.y x ( t ) y( t )dt
e
jn1t
பைடு நூலகம்
n
21
*.信号的表示 1.规范量:用信号在其定义域内的总量来表示信号的 大小(Norm).
2.摸可积或摸可和
x ( t ) dt
或
n
x (n )
x (n )
3.信号的一阶规范量 x(t) x(t) x (n )
2c12
t2
t1
f
2 2
(t )dt 0
解得
c12
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t ) dt
t2 t1
f (t ) dt
11
2 2
正交条件
若c12 0,则f1 (t )不包含f 2 (t )的分量 ,则称正交。
正交的条件：
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
12
例： f (t ) 1
4
( t 2 ) 1 试用sint 在区间（0，2 ）来近似 f (t )
(0 t )
y1
1
2 x2
y2
两矢量夹角 90 两矢量夹角 0
0
0
cos(1 2 ) 0 内积为零 cos(1 2 ) 1 内积为最大值
多维情况内积符号及表达式
离散 : x, y x i yi x T y
i 1 N
连续: x.y x ( t ) y( t )dt
e
jn1t
பைடு நூலகம்
n
21
*.信号的表示 1.规范量:用信号在其定义域内的总量来表示信号的 大小(Norm).
2.摸可积或摸可和
x ( t ) dt
或
n
x (n )
x (n )
3.信号的一阶规范量 x(t) x(t) x (n )
信号空间分析
第2页
[例 1.4] 区间[a,b]上的连续函数的全体，对于通常意义的 函数加法和数乘函数，构成线性空间，记之为 C[a,b]。
[例 1.5] 实数域 R 上的多项式全体，按通常意义上的多 项式加法及数与多项式乘法，构成实线性空间，记为 P(t)。
注：（多项式定义）设 ai∈F，0≤i≤m，t 为变量，则 p(t)=a0tm+ a1tm-1 + …… +am-1t+am 称为 F 上的一个多项式。当 a0≠0 时， p(t)称为 m 次多项式，a0tm 称为 p(t)的首项。系数全为 0 的多 项式称为零多项式，记为 0。零多项式是唯一不定义次数的 多项式，它与零次多项式是不同的。
m
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
xi (1≤i≤n)称为 ξ 在下 β 的第 i 个坐标。
[例 1.6] 在 p2(t)中取基 β＝{1,t,t2}，则多项式 p(t)=2t2-t+2 在 β 下的坐标向量是[1 -1 2]T，因为
⎡1⎤ 2t2 − t +1 = 1 1+ (−1) • t + 2 • t2 = ⎡⎣1 t t2 ⎤⎦ ⎢⎢−1⎥⎥
[例 1.4] 区间[a,b]上的连续函数的全体，对于通常意义的 函数加法和数乘函数，构成线性空间，记之为 C[a,b]。
[例 1.5] 实数域 R 上的多项式全体，按通常意义上的多 项式加法及数与多项式乘法，构成实线性空间，记为 P(t)。
注：（多项式定义）设 ai∈F，0≤i≤m，t 为变量，则 p(t)=a0tm+ a1tm-1 + …… +am-1t+am 称为 F 上的一个多项式。当 a0≠0 时， p(t)称为 m 次多项式，a0tm 称为 p(t)的首项。系数全为 0 的多 项式称为零多项式，记为 0。零多项式是唯一不定义次数的 多项式，它与零次多项式是不同的。
m
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
xi (1≤i≤n)称为 ξ 在下 β 的第 i 个坐标。
[例 1.6] 在 p2(t)中取基 β＝{1,t,t2}，则多项式 p(t)=2t2-t+2 在 β 下的坐标向量是[1 -1 2]T，因为
⎡1⎤ 2t2 − t +1 = 1 1+ (−1) • t + 2 • t2 = ⎡⎣1 t t2 ⎤⎦ ⎢⎢−1⎥⎥
《矢量分析》PPT课件
2021/5/28
3
第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
2021/5/28
4
第一章 矢量分析
1.2 电磁波谱
1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在
目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率 为 f 2102H z，其波长为地球半径的 5103 倍，而
2021/5/28
33
第一章 矢量分析
6、高斯公式(散度定理)
dF iv lim 1 F d S
v 0 vs
dF i v vlim F d S v 0s
对于有限大体积v，可将其按 如图方式进展分割，对每一小体 积元有
dF i v v 1s1F d S 1
dF i v v 2s2F d S 2
2021/5/28
7
第一章 矢量分析
3.课程内容和章节安排
按教材顺序，课程包括11章。第一章矢量分 析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场 的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学根底。第 二章电场、磁场与麦克斯韦方程，根本理论以 及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦 克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量位 求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场 量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空 间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。 第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在 介质中传播特性。
5
第一章 矢量分析
注意 1. 由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波
长为几百千米〔105米〕的低频电磁波强度很弱，
通常不为人们注意。
2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米〔频率为几百千赫
〕开场：
波长3000米－50米〔频率100千赫－6兆赫〕的属于中波段
矢量数据的空间分析
40
七种情形
多边形与多边形
线与多边形
点与多边形
线与线
点与线
点与点
41
点、线与多边形三者相交
注意：当同时输入的几个图层不同维数时（例如线和多边形，点和 多边形，点和线），输出结果的几何类型是输入图层的最低维数据 的几何形态。
42
交集操作在ArcGIS中的实现（以多边形为例）
43
均匀差值（Symmetrical difference）
ArcGIS Geostatistical Analyst是一个完整的工 具包，它可以实现空间数据预处理、地统计分析、 等高线分析和后期处理等功能，同样包含交互式的 图形工具，这些工具带有为缺省模型设计的稳定性 参数，这样可以帮助初学者快速的掌握地统计分析。
8
ArcGIS 网络分析模块
ArcGIS 网络分析模块可以帮助用户创建和管理复 杂的网络数据集合，并且生成路径解决方案。
去掉两个图层之间的公共部分，同时对原有 图层的空间分布也进行一定区域内的调整， 新生成的图层的属性为两者属性的综合。
X ∈ (A∪B - A∩B)(A、B为两个输入的图层)
注：在ArcGIS中，在均匀差值操作时，无 论是输入图层或差值图层都必须是多边形图 层
44
均匀差值操作在ArcGIS中的实现
Indentity图层
Indentity图层
多边形与多边形
线与多边形
点与多边形
在ArcGIS中，识别图层必须是多边形图层。
39
交集操作（Intersect）
交集操作是得到两个图层的交集部分，并且 原图层的所有属性将同时在得到的新的图层 上显示 出来 。 在数学 运算上 表现如 ， x∈
A∩B(A,B分别是进行交集的两个图层)
七种情形
多边形与多边形
线与多边形
点与多边形
线与线
点与线
点与点
41
点、线与多边形三者相交
注意：当同时输入的几个图层不同维数时（例如线和多边形，点和 多边形，点和线），输出结果的几何类型是输入图层的最低维数据 的几何形态。
42
交集操作在ArcGIS中的实现（以多边形为例）
43
均匀差值（Symmetrical difference）
ArcGIS Geostatistical Analyst是一个完整的工 具包，它可以实现空间数据预处理、地统计分析、 等高线分析和后期处理等功能，同样包含交互式的 图形工具，这些工具带有为缺省模型设计的稳定性 参数，这样可以帮助初学者快速的掌握地统计分析。
8
ArcGIS 网络分析模块
ArcGIS 网络分析模块可以帮助用户创建和管理复 杂的网络数据集合，并且生成路径解决方案。
去掉两个图层之间的公共部分，同时对原有 图层的空间分布也进行一定区域内的调整， 新生成的图层的属性为两者属性的综合。
X ∈ (A∪B - A∩B)(A、B为两个输入的图层)
注：在ArcGIS中，在均匀差值操作时，无 论是输入图层或差值图层都必须是多边形图 层
44
均匀差值操作在ArcGIS中的实现
Indentity图层
Indentity图层
多边形与多边形
线与多边形
点与多边形
在ArcGIS中，识别图层必须是多边形图层。
39
交集操作（Intersect）
交集操作是得到两个图层的交集部分，并且 原图层的所有属性将同时在得到的新的图层 上显示 出来 。 在数学 运算上 表现如 ， x∈
A∩B(A,B分别是进行交集的两个图层)
信号空间分析
m
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
[定义 1.6] Vn 中给定顺序的 n 个线性无关向量 α1, α2,…,
第4页
αn 所组成的向量组称为 Vn 的一个基，记为 β＝{α1, α2,…, αn}。 Vn 中的向量 αi (1≤i≤n)称为第 i 个基向量。
[定理 1.1] 设 β 是 Vn 的一个基，则 Vn 中的任一向量 ξ 都 可由 β 唯一地线性表出。
|2
dt
。由该范
a
第8页
数的定义可知，||x||2 表示该信号的能量。
[定义 1.12] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线
性空间 S 中，两信号 x(t)和 y(t)之间的距离定义为
∫ d[x(t), y(t)] = x − y =
b
|
x(t)
−
y(t)
|2
dt
a
1.8 标准正交基
[定义 1.13] 欧氏空间 V 中的两个向量 α，β 称为是正交 的，如果有〈α，β〉＝0，并记为 α⊥β。
第1页
①对任意 α、β∈V，有 α+β＝β+α； ②对任意 α、β、γ∈V，有(α+β)+γ＝α+(β+γ)； ③存在０∈V，使得对任意 α∈V，都有 α+０＝α，这个 元“０”称为 V 的零元； ④对任意 α∈V，存在－α∈V，使得 α+(－α)＝０，这个 元“－α”称为 V 的负元； ⑤对任意的 k∈F 和任意 α、β∈V，有 k(α+β)＝kα+kβ； ⑥对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有(k+l)α=kα+lα； ⑦对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有 k(lα)=(kl)α； ⑧F 中存在数 1,使得对任意 α∈V，有 1α＝α； 那么称 V 为 F 上的线性空间（或向量空间），记为 V(F)； V 中的元称为向量。定义的加法运算和数乘运算称为 V 的线 性运算。
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
[定义 1.6] Vn 中给定顺序的 n 个线性无关向量 α1, α2,…,
第4页
αn 所组成的向量组称为 Vn 的一个基，记为 β＝{α1, α2,…, αn}。 Vn 中的向量 αi (1≤i≤n)称为第 i 个基向量。
[定理 1.1] 设 β 是 Vn 的一个基，则 Vn 中的任一向量 ξ 都 可由 β 唯一地线性表出。
|2
dt
。由该范
a
第8页
数的定义可知，||x||2 表示该信号的能量。
[定义 1.12] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线
性空间 S 中，两信号 x(t)和 y(t)之间的距离定义为
∫ d[x(t), y(t)] = x − y =
b
|
x(t)
−
y(t)
|2
dt
a
1.8 标准正交基
[定义 1.13] 欧氏空间 V 中的两个向量 α，β 称为是正交 的，如果有〈α，β〉＝0，并记为 α⊥β。
第1页
①对任意 α、β∈V，有 α+β＝β+α； ②对任意 α、β、γ∈V，有(α+β)+γ＝α+(β+γ)； ③存在０∈V，使得对任意 α∈V，都有 α+０＝α，这个 元“０”称为 V 的零元； ④对任意 α∈V，存在－α∈V，使得 α+(－α)＝０，这个 元“－α”称为 V 的负元； ⑤对任意的 k∈F 和任意 α、β∈V，有 k(α+β)＝kα+kβ； ⑥对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有(k+l)α=kα+lα； ⑦对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有 k(lα)=(kl)α； ⑧F 中存在数 1,使得对任意 α∈V，有 1α＝α； 那么称 V 为 F 上的线性空间（或向量空间），记为 V(F)； V 中的元称为向量。定义的加法运算和数乘运算称为 V 的线 性运算。
5.空间分析篇——矢量空间分析
矢量空间分析知识点一、知识点结构
二、知识点内容
文档的任一图层激活，使拓扑编辑工具条上的叠加分析按钮处于可使用状态，点击叠加分析
图4 图5 图6
文档的任一图层激活，使拓扑编辑工具条上的叠加分析按钮处于可使用状态，点击叠加分析
图2 运算方式选择
文档的任一图层激活，使拓扑编辑工具条上的叠加分析按钮处于可使用状态，点击叠加分析
图2运算方式选择
文档的任一图层激活，使拓扑编辑工具条上的叠加分析按钮处于可使用状态，点击叠加分析
图2 运算方式选择
文档的任一图层激活，使拓扑编辑工具条上的叠加分析按钮处于可使用状态，点击叠加分析
图1 线对区运算图2运算方式选择
图4采用动态投影设置图5设置当前图层的空间参照系
31。
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
第6,7,8讲矢量分析
过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭
合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表
示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需
要研究矢量场的散度。
21
3. 矢量场的通量与散度
散度：散度是研究场内任意点的性质的物理量。当闭合面 S 向某 点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的 体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，
高斯定理：矢量A通过闭合曲面S的通量，等于其散度在V上 的积分（V是闭合曲面S所包围的体积），即
V divA dV S A dS
或者写为
V Ad V S A dS
26
高斯定理
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的
关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的 场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如 果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的
36
斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
dΓ dS
( A) en
dΓ ( A) endS ( A) dS
图 0.4.3 斯托克斯定理
l A dl S ( A) dS
——斯托克斯定理
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。
14
3. 矢量场的通量与散度
通量： 电场和磁场都是矢量场，通量是研究矢量场性质 的一个很重要的概念。
电场、磁场不象力学中讨论的对象那样容 易看得见，摸得着，为此，我们借助流体的类 比来介绍矢量场的通量概念。
厦门大学
15
3. 矢量场的通量与散度
第六章 信号的矢量空间分析
2 2 e
t2
t1
[ f ( t ) cr g r ( t )]2 d t
r 1
n
fe 误差信号能量 误差信号功率
2 2 2 2 令 0, 0,, 0,, 0可得c r 表达式 C1 C2 Cr Cn
理解
cr
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t
V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 ) V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2
V1 V2 0
系数
§6.5 相关
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
瞬时功率为
i (t )
R
p( t ) i 2 ( t ) R
在一个周期内，R消耗的能量
E
T0 2 T0 2 T0 2 T0 2
v(t )
p( t ) d t R
i 2 (t ) d t 或
2离散时间信号空间中, 元素xn的p阶范数 x p的定义 l
x
p 1 p p x n n sup x n
1 p p
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
t2
t1
f 1 ( t ) f ( t )dt f 2 ( t ) f 1 ( t )dt 0
2 t1
t2
内，复变函数集 gr t r 1,2,, n满足关系 若在区间 t1 , t 2
t2
t1
[ f ( t ) cr g r ( t )]2 d t
r 1
n
fe 误差信号能量 误差信号功率
2 2 2 2 令 0, 0,, 0,, 0可得c r 表达式 C1 C2 Cr Cn
理解
cr
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t
V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 ) V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2
V1 V2 0
系数
§6.5 相关
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
瞬时功率为
i (t )
R
p( t ) i 2 ( t ) R
在一个周期内，R消耗的能量
E
T0 2 T0 2 T0 2 T0 2
v(t )
p( t ) d t R
i 2 (t ) d t 或
2离散时间信号空间中, 元素xn的p阶范数 x p的定义 l
x
p 1 p p x n n sup x n
1 p p
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
t2
t1
f 1 ( t ) f ( t )dt f 2 ( t ) f 1 ( t )dt 0
2 t1
t2
内，复变函数集 gr t r 1,2,, n满足关系 若在区间 t1 , t 2
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第
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即：
29 页
• 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
四.复变函数的正交特性
第
30 页
则此复变函数集为正交函数集。
§6.4 完备正交函数集、 帕塞瓦尔定理
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
45 页
可以证明：
τ的偶函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
46 页
同时具有性质：
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
47 页
自相关函数：
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
第 4 页
二．范数
线性空间中元素 的范数以符号 x 表示，满足以下公理 x 1 正定性 0,当且仅当x 0时 x 0； x
第 5 页
2 正齐性 对所有数 α αx α ； 量 , 有 x 3 三角形不等式 y 。 x x y
1 N p x p i x p def i 1 maxN xi 1 i
对于1 p 对于p
39 页
二．相关系数与相关函数
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第
40 页
1．相关系数
由两个信号的内积所决定：
第
相关系数
41 页
此时，能量误差为
第
42 页
令相对能量误差为
其中
12称为f 1 t 与f 2 t 的相关系数。
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
38 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第
例6-5-1
判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 9 页
二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
第
10 页
利用范数符号，将矢量长度分别写作
于是
第
11 页
第
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
36 页
瞬时功率为
在一个周期内，R消耗的能量
平均功率可表示为
第
定义
37 页
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量
平均功率
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： (有限值) (有限值)
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
48 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
49 页
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t )
O
3
t
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
原函数 近似函数
第
26 页
基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
27 页
第
理解
28 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
2
第
14 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
x, x y , y
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
推广 三维 多维
第
12 页
信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
第
13 页
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 证明:
f t c12 sin t
2π
f t
4
1
o
为使方均误差最小， 12 应满足 c
c12
2π
π
t
0
f ( t ) sin t d t
2π
0
sin t d t
2
4 π
1 4
(a)
所以
4 f t sin t π 4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。 π
r 1 t1 r 1 t1
t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
2
t2
t1
f
2
t d t c t r 1
2 r
t2
1
g t d t c r g r ( t ) d t
2 r t2 r 1 t1
第
34 页
t2
f
t1
2
t d t C r2 gr2 t d t C r gr (t )2 d t
第
常用范数
6 页
第 7 页
“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑 一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数 都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称 为M的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界 却只有一个。
第 8 页
第
例6-3-2
24 页
试用正弦函数 t在区间 0,2π之间内来近似表示余弦 sin
函数cost。
显然，由于 所以
2π
0
cos t sin t d t 0
c12 0
即, 余弦函数cost不包含正弦信号 t分量， sin 或者说cost与sint两函数正交。
例6-3-3
f1 (t ) 1
2
3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π 0 sin 3 t d t
2 π
1
O f e (t ) 1
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
2 f1 (t ) f 2 (t )dt t 2c12 f 22 (t )dt 0 t
t2
1
t2
1
可得系数为
c12
t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t
t2
t1
f 22 ( t ) d t
f1 ( t ), f 2 ( t ) c12 f 2 ( t ), f 2 ( t )
第
用正弦波逼近三角函数, f e t ?
t f1 t ， t 3 0 3 π t f 2 t sin ，0 t 3 3
25 页
O f 2 (t ) 1
3 t
c12
3
0
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
3
0
f 2 (t ) d t
V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
18 页
的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： V xi yj , Ve zh 0
二．正交函数
误差
第
19 页