高三数学专题复习-约会问题

数学专题复习 几何概型—“约会问题”
案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?
思考：
1、
能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。

2、
两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。

3、 若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。

案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。

在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。

其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。

最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。

下面是上述案例的概率分析：
问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 16760
4560)(222=-=A P 。

图1
课堂反馈：
思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则
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160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；
显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。

问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？
分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案12
1605=。

学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。

本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在[0，60]内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在[0，60]内的任意时刻。

所以本题的解决应以x 轴和y 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是5||≤-y x ，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。

由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件A
因此,差异不超过5分钟的概率14414360
560)(222=-=A P 。

图2
问题点评：本题的解决，科学的设计变量很关键，设计的前提是学生要提高自己对几何概型实质的把握，提高自己的审题能力。

发现问题中隐含的变量因素，从而将一个包含两个变量的实际问题引入坐标性，通过数形结合顺利解决了问题。

归纳总结：
1、经过归纳可知，碰面问题有两个特点：①实验的结果是无限的；②实验的每个结果是等可能发生的且事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。

凡是满足上述两个特点的事件，都属于几何概型的范畴，从而引入了几何概型的概念。

2、授课教师在课堂上通过引导学生参与讨论与分析，总结出几何概型中事件A的概率计算公式。

课堂评价：几何概型并不是研究与几何有关的概率模型，从以上的几个例子中也可以看出：几何概型与几何没有直接的关系，而是实际生活中的某些问题我们可以通过几何图形去合理的描述，然后用几何知识解决这个问题，所以把它称为几何概型。

因此很多与实际生活有关的概率问题，只要满足几何概型的两个特点，都可以用几何概型去刻画，关键是找出实际问题的本质。

课堂教学中重视并帮助学生对知识意义的理解，培养学生的符号感和悟性；淡化过分“形式化”和记忆的要求，重视在实际情境中去体验和理解有关知识；注重过程，提倡在学习过程中学生的自主活动，培养发现规律、探求模式的能力。

第3章教学案例
3.1古典概型——“摸球中奖”
案例引入：在公园门口一个摆地摊的赌主将8个白色的、8个红色的乒乓球放在袋子里。

赌主规定自愿摸彩者在交1元钱的“手续费”后可一次性从袋子中摸出5个球，在摸出的5个乒乓球中有5个红球奖励20元，有4个红球奖励2元，有3个红球奖励价值5角的纪念品，而仅有1个或2个红球则无任何奖励。

由于本钱较少许多围观者都跃跃欲试，有的竟连摸数十次，结果许多人“乘兴而摸，败兴而归”，获奖者寥寥无几。

这是怎么一回事呢？
思考：
1、摸球的可能结果是什么，是否是有限的？
2、摸到每个球的结果是否是等可能出现的，概率是多少？
3、请计算能获得20元和2元奖励的概率分别是多少？假如每天按摸球1000次计算，赌主一天可挣多少钱？
案例分析与讨论：首先，分析摸球的结果，从袋子中摸出5个球的情况共有种，从而知道结果是有限个；其次，讨论每一个球被摸到的结果是否等可能C5
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的发生，经过讨论得出每个球除颜色不同外，其他都一样，所以每个球被摸到的结果都是等可能发生的，从而得出每个球被摸到的概率。

然后，在此基础上，得出摸到五个球都是白球及有四个红球的概率。

最后计算得到，赌主支付的奖金总额为13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而赌主收到的摸彩手续费为1000元，则赌主一天可挣1000-695.5=304.5元。

归纳总结：
1、经过归纳可知，摸球活动有两个特点：①实验的结果是有限的；②实验的每个结果是等可能发生的。

凡是满足上述两个特点的实验，都属于古典概型的范畴，从而引入了古典概型的概念。

2、授课教师在课堂上通过引导学生参与讨论与分析，总结出古典概型中事件A的概率计算公式：。

从上述实例中可以看出，摸彩是一种欺诈行为。

赌主保赢不输。

通过上述案例教学，学生在课堂上不仅学习了新知识，还增强了自身对社会诈骗行为的防
范意识进而激发学生的学习兴趣。

课堂评价：这节课从学生感兴趣的问题入手，点燃学生思维的火花，应用数学知识解决实际问题，使学生体会学习概率的价值。

通过学生认知冲突，使学生学会解决问题的方法，课堂高效，教学有效。

整节课学生思维活跃，教师轻松愉悦，真正地实现了新课程提出的交流、合作、探究的教学理念。

第4章结束语。