复合函数的单调性完全解析与练习

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复合函数的单调性例讲

复合函数的单调性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ⊆，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量．外函数：)(u f y =；内函数：)(x g u =复合函数的单调性：同增异减.2.若)(x g u = )(u f y =则)]([x g f y =增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。

题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).变式训练：◇ 已知函数)121ln(-=xy ，求其单调区间. 【分析】：由0121>-x ，得 0<x ，即)0,(-∞∈x . 而函数u y ln =在),0(∞+∈u 上是增函数，函数121-=x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数，故函数)121ln(-=xy 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.例题2：◇求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数34252+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调性。

复合函数的单调性-高中数学知识点讲解(含答案)

复合函数的单调性（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2012秋•朝阳区校级期中）函数221()2x x y -+=的值域为( )A ．RB ．(0,)+∞C ．1[,)2+∞D ．1(0,]22．（2010秋•东城区校级月考）函数222x x y -=的单调递增区间是( ) A ．(-∞，1]B ．(0，1]C ．[1，]+∞D ．[1，2)3．（2010•海淀区校级模拟）函数212log (231)y x x =-+的单调减区间为( )A ．(1,)+∞B ．3(,]4-∞C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞4．（2010春•东城区校级期末）已知2()(87)f x lg x x =-+-在(,1)m m +上是增函数，则m 取值范围是( ) A ．3mB ．4mC ．13mD ．13m <<5．（2007•石景山区一模）已知函数()()f x x R ∈的图象如图所示，则函数1()()1x g x f x +=-的单调递减区间是( )A ．(-∞，0]，(3,)+∞B ．(1,1)-，(1,2)C ．(,1)-∞，(1,)+∞D ．[1-，1)6．（2006秋•宣武区期末）函数cos 2x y -=的单调递减区间是( ) A ．[k ππ+，2]()k k Z ππ+∈ B ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈C ．[2k π，2]()2k k Z ππ+∈D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈7．（2005•海淀区二模）函数()f x 的图象如图所示，则函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是( )A ．(0，1]2B ．1[,)2+∞C ．[,1]aD ．[,1]a a +8．（2019春•西城区校级月考）若函数y x x =+在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．2a >-C ．1a -D ．1a >-二．填空题（共6小题）9．（2015春•北京校级期中）函数213()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为．10．（2015秋•海淀区校级月考）函数|1|1()2x y -=的单调递减区间是．11．（2014•海淀区校级模拟）已知函数2()log (3)a f x ax =-在[0，3]上单调递增，则实数a 的取值范围为． 12．（2012秋•西城区期末）函数12|log |y x =的单调递减区间是．13．（2012秋•西城区期中）已知函数21144()(log )log 5f x x x =-+，[2x ∈，4]，则当x = ，()f x 有最大值．14．（2012秋•西城区期中）函数22log (4)y x x =-的定义域为，递增区间是．三．解答题（共1小题）15．（2005•崇文区二模）已知2()2(1)2f x x =-+，2()1g x x =-，求函数[()]f g x 的单调递增区间．复合函数的单调性（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2012秋•朝阳区校级期中）函数221()2x x y -+=的值域为( )A ．RB ．(0,)+∞C ．1[,)2+∞D ．1(0,]2【分析】将指数配方，确定其范围，再利用指数函数的单调性，即可求得函数的值域．【解答】解：222(1)11x x x -+=--+∴2211()22xxy -+= ∴函数221()2xxy -+=的值域为1[,)2+∞故选：C ．【点评】本题考查复合函数的值域，正确运用函数的单调性是关键． 2．（2010秋•东城区校级月考）函数222x x y -=的单调递增区间是( ) A ．(-∞，1]B ．(0，1]C ．[1，]+∞D ．[1，2)【分析】先求函数2()2g x x x =-的增区间，就是函数函数222x x y -=的单调递增区间．【解答】解：函数222x x y -=的单调递增区间，就是求函数2()2g x x x =-的增区间而函数2()2g x x x =-，1x =时取得最大值，函数222x x y -=的单调递增区间是：(x ∈-∞，1] 故选：A ．【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，是基础题． 3．（2010•海淀区校级模拟）函数212log (231)y x x =-+的单调减区间为( )A ．(1,)+∞B ．3(,]4-∞C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞【分析】首先求出函数212log (231)y x x =-+的定义域为1{|2x x <或1}x >，再令2231t x x =-+，则12log y t =，分析易得12log y t =，在0t >时为减函数，根据复合函数的单调性，只需在1{|2x x <或1}x >中找到2231t x x =-+的增区间即可，由二次函数的性质，易得答案．【解答】解：由对数函数的定义域，可得22310x x -+>，解可得12x <或1x >，令2231t x x =-+，则12log y t =，对于12log y t =，易得当0t >时，为减函数，要求函数212log (231)y x x =-+的递减区间，只需找到2231t x x =-+的递增区间，由二次函数的性质，易得1x >时，2231t x x =-+递增，则此时212log (231)y x x =-+递减，故选：A ．【点评】本题考查符合函数的单调性，本题容易忽略对数函数的定义域对自变量x 的要求．4．（2010春•东城区校级期末）已知2()(87)f x lg x x =-+-在(,1)m m +上是增函数，则m 取值范围是( ) A ．3mB ．4mC ．13mD ．13m <<【分析】先求出函数()f x 的定义域，在定义域内，根据复合函数单调性的判断方法可求得()f x 的增区间，根据()f x 在(,1)m m +上递增，可知(,1)m m +为()f x 增区间的子集，可得不等式组．【解答】解：由2870x x -+->，即2870x x -+<，得17x <<，∴函数()f x 的定义域为(1,7)，()f x 可看作由y lgt =，287t x x =-+-复合而成的，287t x x =-+-在(1，4]上递增，在[4，7)上递减，而y lgt =在(0,)+∞上递增， ()f x ∴在(1，4]上递增，在[4，7)上递减，又()f x 在(,1)m m +上是增函数，∴有114m m ⎧⎨+⎩，解得13m ，故选：C ．【点评】本题考查复合函数的单调性，属中档题，若函数()f x 在区间(,)a b 上递增，则(,)a b 为函数()f x 增区间的子集．5．（2007•石景山区一模）已知函数()()f x x R ∈的图象如图所示，则函数1()()1x g x f x +=-的单调递减区间是( )A ．(-∞，0]，(3,)+∞B ．(1,1)-，(1,2)C ．(,1)-∞，(1,)+∞D ．[1-，1)【分析】先判断函数()f x 的单调性，然后将函数()g x 分解成为两个简单函数后根据复合函数的同增异减性可得答案．【解答】解：由图象可知函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在[1-，2]上单调递增，令12()111x z x x x +==+--，()z x ∴在(,1)-∞，(1,)+∞上单调递减， ()()g x f z =，1()1x z x x +=-，当01x <<时，1()1x z x x +=-为减函数，此时111x x +<--，则()g z 为减函数，则()g x 在(0,1)为增函数；当0x <时，1()1x z x x +=-为减函数，此时1111x x +-<<-，()g z 为增函数，则()g x 在(,0)-∞为减函数；当13x <<时，1()1x z x x +=-为减函数，此时121x x +>-，()g z 为减函数，则()g x 在(,0)-∞为增函数；当3x >时，1()1x z x x +=-为减函数，此时1121x x +<<-，()g z 为增函数，则()g x 在(3,)+∞为减函数； ()()g x f z =，1()1x z x x +=-，根据同增异减可得函数()g x 在(-∞，0]，(3,)+∞上上单调递减．故选：A ．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，即同增异减的性质． 6．（2006秋•宣武区期末）函数cos 2x y -=的单调递减区间是( ) A ．[k ππ+，2]()k k Z ππ+∈ B ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈C ．[2k π，2]()2k k Z ππ+∈D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈【分析】先分解函数：令cos t x =-，2t y =，分别考查函数的单调性：由2t y =在R 上单调递增，故只要考查函数cos t x =-的单调递减区间，然后由复合函数的单调性可求cos 2x y -=单调递减区间【解答】解：令cos t x =-，2t y =2t y =在R 上单调递增cos t x =-在[2k ππ-，2]k π，k Z ∈单调递减，在[2k π，2]k ππ+单调递增由复合函数的单调性可知，cos 2x y -=单调递减区间[2k ππ-，2]k π 故选：B ．【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是基础题．7．（2005•海淀区二模）函数()f x 的图象如图所示，则函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是( )A ．(0，1]2B ．1[,)2+∞C ．D ．【分析】欲求函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间，设log (0)a x x μ=>，即求使函数()f μ为增函数的相应的x 的取值范围，就是解不等式：10log 2a x．【解答】解：设log a x μ=，0x >．则原函数()(log )(01)a g x f x a =<<是函数：()y f μ=，log a x μ=的复合函数，因log a x μ=在(0,)+∞上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是函数()y f μ=的单调增区间，∴从图象上看，10log 2a x，x ∴∈．故选：C ．【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，是基础题．复合函数的单调性的判断方法是构造基本初等函数（已知单调性的函数）来进行判断．8．（2019春•西城区校级月考）若函数y x =+在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．2a >-C ．1a -D ．1a >-【分析】根据题意，设t =2y t at =+，由复合函数的单调性判断方法分析可得2y t at =+在(1,)+∞上也是增函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设t 2y t at =+，又由1x >，则1t >，则(1,)+∞上为增函数，函数y x =+(1,)+∞上单调递增，则2y t at =+在(1,)+∞上也是增函数，必有12a-，解可得2a -；故选：A ．【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是掌握复合函数单调性的判定方法，属于基础题．二．填空题（共6小题）9．（2015春•北京校级期中）函数213()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为 (,2)-∞ ．【分析】令2560t x x =-+>，求得函数的定义域，根据13()log f x t =，本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间．【解答】解：令2560t x x =-+>，求得函数的定义域为{|2x x <或3}x >，且13()log f x t =，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域{|2x x <或3}x >内的减区间为(,2)-∞，故答案为：(,2)-∞．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 10．（2015秋•海淀区校级月考）函数|1|1()2x y -=的单调递减区间是 [1，)+∞ ．【分析】利用指数函数的单调性的性质，结合分段函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：当1x 时，|1|111()()22x x y --==，此时函数单调递减，当1x <时，|1|(1)111()()222x x x y ----===，此时函数单调递增，故函数的递减区间为[1，)+∞，故答案为：[1，)+∞．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间是关系是解决本题的关键．11．（2014•海淀区校级模拟）已知函数2()log (3)a f x ax =-在[0，3]上单调递增，则实数a 的取值范围为 1(0,)3．【分析】将原函数2()log (3)a f x ax =-看作是函数：log a y μ=，23ax μ=-的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．【解答】解：设23ax μ=-，则原函数2()log (3)a f x ax =-是函数：log a y μ=，23ax μ=-的复合函数， ①当1a >时，log a y u =在(0,)+∞上是增函数，而函数23ax μ=-在[0，3]上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数()f x 在[0，3]上单调递减，与题意不符； ②当01a <<时，log a y u =在(0,)+∞上是减函数，函数23ax μ=-在[0，3]上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数()f x 在[0，3]上单调递增，且230ax μ=->在[0，3]上恒成立，所以有201330a a <<⎧⎨->⎩，解得103a <<．综①②，得实数a 的取值范围为1(0,)3．故答案为：1(0,)3．【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性．是基础题．熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间，理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减． 12．（2012秋•西城区期末）函数12|log |y x =的单调递减区间是 (0，1] ．【分析】先去掉函数12|log |y x =中绝对值符号，根据对数函数单调性即可求得答案．【解答】解：112211222,01,01|log |,1,1log x x log x x y x log x x log x x <⎧<⎧⎪⎪===⎨⎨->⎪⎪>⎩⎩，所以当01x <时，12y log x =单调递减，当1x >时2log y x =单调递增，所以函数12|log |y x =的单调递减区间是(0，1]．故答案为：(0，1]．【点评】本题考查对数函数的单调性，属中档题，准确把握对数函数的单调性是解决问题的基础．13．（2012秋•西城区期中）已知函数21144()(log )log 5f x x x =-+，[2x ∈，4]，则当x = 4 ，()f x 有最大值．【分析】利用换元法，确定变量的范围，结合配方法，利用二次函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：令14log x t =[2x ∈，4]，[1t ∴∈-，1]2-21144()(log )log 5f x x x =-+，等价于221195()24y t t t =-+=-+∴函数在[1-，1]2-上单调递减1t ∴=-，即4x =时，函数取得最大值故答案为：4【点评】本题考查复合函数的单调性，考查函数的最值，考查换元法的运用，属于中档题． 14．（2012秋•西城区期中）函数22log (4)y x x =-的定义域为 (0,4) ，递增区间是．【分析】利用真数大于0，确定函数的定义域，确定内外函数的单调性，可得结论．【解答】解：由240x x ->，可得04x <<，∴函数的定义域为(0,4)令224(2)4t x x x =-=--+，∴函数在(0,2)上单调递增而2log y t =在定义域内为增函数，∴函数的递增区间是(0,2)．故答案为：(0,4)；(0,2)【点评】本题考查复合函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题（共1小题）15．（2005•崇文区二模）已知2()2(1)2f x x =-+，2()1g x x =-，求函数[()]f g x 的单调递增区间．【分析】设()[()]F x f g x =，求得它的解析式和它的导数()F x '，再令()0F x '>，求得x 的范围，即可得到函数的增区间．【解答】解：设22242()[()]2[()1]22(2)22810F x f g x g x x x x ==-+=-+=-+，⋯（3分）则导数3()816F x x x '=-，令3()8160F x x x '=->⋯（6分）解得：0x <<x <+∞，⋯（9分）由于()F x 是R 上的连续函数，所以，函数[()]f g x 的单调递增区间为(和)+∞．⋯（12分）【点评】本题主要考查求复合函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。

关于复合函数的单调性问题

关于复合函数的单调性问题函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助学生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合几道例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供学生在学习中参考.一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a·0>0g(1)=2-a·1>0 ，解得a0知函数的定义域为x ＜1或x＞3因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

复合函数的单调性(人教A版)(含答案)

复合函数的单调性（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性2.函数的单调递减区间为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性3.函数的单调递增区间为( )A.(-∞，-2]B.[4，+∞)C.(-∞，-3]D.[-3，+∞)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性4.函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性5.函数的单调递减区间为( )．A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性6.若函数在R上是减函数，则函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间内是减函数B.在区间内是增函数C.在区间内是减函数D.在区间内是减函数答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性8.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间（0，1）内是减函数B.在区间内是减函数C.在区间（3，4）内是增函数D.在区间（4，5）内是增函数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。

专题3复合函数的单调性

二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2的值,

复合函数知识总结及例题整理版

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

(完整版)复合函数单调性(讲解+练习)

课题：函数的单调性（二)复合函数单调性北京二十二中刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理。

2.会求复合函数的单调区间。

3。

必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间。

2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f （u)的定义域为A ，u=g （x)的值域为B ，若A ÍB,则y 关于x 函数的y=f[g(x ）］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量。

师：很好。

下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间。

(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)（教师板书，可适当略写。

）例求下列函数的单调区间.1。

一次函数y=kx+b （k ≠0）。

解当k ＞0时,（－∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，（－∞，+∞）是这个函数的单调减区间。

2。

反比例函数y=x k （k ≠0）。

解当k ＞0时，（－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3。

二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)。

解当a ＞1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调减区间,（－a b2，+∞）是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调增区间，(－a b2,+∞）是它的单调减区间;4.指数函数y=ax （a ＞0，a ≠1）。

解当a ＞1时，（－∞,+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）。

解当a ＞1时，（0，+∞）是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，（0，+∞）是它的单调减区间。

复合函数单调性(讲解+练习)

课题：函数的单调性(二)之阳早格格创做复合函数单调性北京二十二中刘青教教目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会供复合函数的单调区间.3.必须粗确复合函数单调区间是定义域的子集.教教沉面与易面1.教教沉面是教会教死应用本节的引理供出所给的复合函数的单调区间.2.教教易面是务必使教死粗确复合函数的单调区间是定义域的子集.教教历程安排师：那节课咱们将道复合函数的单调区间，底下咱们先复习一下复合函数的定义.死：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］喊搞函数f与g的复合函数，u 喊中间量.师：很佳.底下咱们再复习一下所教过的函数的单调区间.(西席把所教过的函数均写正在乌板上，中间留出写问案的场合，当教死回问得粗确时，由西席将粗确问案写正在对付应题的下边.)(西席板书籍，可适合略写.)例供下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是那个函数的单调删区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是那个函数的单调减区间.2.反比率函数y=x k (k≠0). 解当k ＞0时，(－∞，0)战(0，+∞)皆是那个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)战(0，+∞)皆是那个函数的单调删区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).解当a ＞1时(－∞，－a b2)是那个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调删区间；当a ＜1时(－∞，－a b2)是那个函数的单调删区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是那个函数的单调删区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是那个函数的单调减区间.5.对付数函数y=logax(a ＞0，a≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是那个函数的单调删区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：咱们还教过幂函数y=xn(n 为有理数)，由于n 的分歧与值情况，可使其定义域分几种情况，比较搀纯，咱们无妨逢到简直情况时，再简直分解.师：咱们瞅瞅那个函数y=2x2+2x+1，它隐然是复合函数，它的单调性怎么样?死：它正在(－∞，+∞)上是删函数.师：尔猜您是那样念的，底等于2的指数函数为删函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以您便得到了以上的问案.那种搞法隐然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存留，不思量那个二次函数的单调性.咱们不易预测复合函数的单调性应由二个函数共共决断，但是一时猜禁绝论断.底下咱们引出并道明一些有关的预备定理.(板书籍)引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)正在区间(a,b)上是删函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)正在区间(c,d)上是删函数，那么，本复合函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.(本引理中的启区间也不妨是关区间或者半启半关区间.)道明正在区间(a,b)内任与二个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.果为u=g(x)正在区间(a,b)上是删函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).果为函数y=f(u)正在区间(c,d)上是删函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.师：有了那个引理，咱们能不克不迭办理所有复合函数的单调性问题呢?死：不克不迭.果为并不是所有的简朴函数皆是某区间上的删函数.师：您回问得很佳.果此，还需减少一些引理，使得供复合函数的单调区间更简单些.(西席不妨根据教死情况战时间决断引理2是可正在引理1的前提上搞些改换即可.提议引理2的道明也是改换引理1的部分道明历程便止了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)正在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)正在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.道明正在区间(a,b)内任与二个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.果为函数u=g(x)正在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).果为函数y=f(u)正在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.师：咱们明黑了上边的引理及其道明以去，剩下的引理咱们自己也能写出了.为了影象便当，咱们把它们归纳成一个图表.(板书籍)师：您准备何如记那些引理?有顺序吗?(由教死自己归纳出顺序：当二个函数的单调性相共时，其复合函数是删函数；当二个函数的单调性分歧时，其复合函数为减函数.)师：由于中教的教教央供，咱们那里只钻研y=f(u)为u 的单调函数那一类的复合函数.搞例题前，齐班先计划一道题目.(板书籍).例1 供下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次交触到供解那种典型问题，由于对付它的解题步调、书籍写要领皆不太领会，咱们先把它写正在草稿纸上，待计划出粗确的论断后再往条记本上写.师：底下谁道一下自己的问案?死：那是由y=log4u与u=x2－4x+3形成的一个复合函数，其中对付数函数y=log4u正在定义域(0，+∞)上是删函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是删函数，.果此，根据即日所教的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调删区间.师：大家是可皆共意他的论断?另有不分歧的论断?尔不妨报告大家，他的论断不粗确.大家再计划一下，粗确的论断该当是什么?死：……死：尔创造，当x=1时，本复合函数中的对付数函数的真数等于整，于是那个函数出意思.果此，单调区间中不该含本函数不意思的x的值.师：您道得很佳，何如才搞搞到那面呢?死：先供复合函数的定义域，再正在定义域内供单调区间.师：非常佳.咱们钻研函数的所有本量，皆该当最先包管那个函数蓄意思，可则，函数皆不存留了，本量便更无从道起了.刚刚才的第一个论断之所以错了，便是果为出思量对付数函数的定义域.注意，对付数函数惟有正在蓄意思的情况下，才搞计划单调性.所以，当咱们供复合函数的单调区间时，第一步该当怎么搞?死：供定义域.师：佳的.底下咱们把那道题动做例1写正在条记本上，尔正在乌板上写.(板书籍)u＞0,u=x2－4x+3，解得本复合函数的定义域为x＜1或者x＞3.师：那步咱们大家皆很认识了，是供复合函数的定义域.底下该供它的单调区间了，何如供解，才搞包管单调区间降正在定义域内呢?死：利用图象.师：那种要领真足不妨.不过再道领会一面，利用哪个函数的图象?可咱们并出教过绘复合函数的图象啊?那个问题您念怎么样办理?死：……师：尔去助您一下.所有的共教皆念念，供定义域也佳，供单调区间也佳，是供x的与值范畴仍旧供复合函数的函数值的与值范畴?或者是供中间量u的与值范畴?死：供x的与值范畴.师：所以咱们只需绘x的范畴便止了，本去不要绘复合函数的图象.(板书籍)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为删函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为删函数y=log4u为删函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调删区间.师：除了那种办法，咱们还不妨利用代数要领供解单调区间.底下先供复合函数单调减区间.(板书籍)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或者x＜1，(复合函数定义域)x＜2 (u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u正在定义域内是删函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性普遍，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.底下咱们供一下复合函数的单调删区间.(板书籍)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或者x＜1，(复合函数定义域)x＞2 (u删)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调删区间.师：底下咱们再瞅例2.(板书籍)例2 供下列复合函数的单调区间：1(2x－x2)y=log3师：先正在条记本上准备一下，几分钟后咱们再所有瞅乌板，尔再边道边写.(板书籍)1解设y=log3u＞0u=2x－x2解得本复合函数的定义域为0＜x＜2.1u正在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，本由于y=log3复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正佳好异.0＜x＜2 （复合函数定义域）x≤1，(u删)解得0＜x≤1,所以(0，1］是本复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1正在x≥1时单调减，由x＜2，(复合函数定义域)x≥1，(u减)解得0≤x＜2,所以[0，1＝是本复合函数的单调删区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间与大众部分，进而包管了单调区间降正在定义域内.师：底下咱们再瞅一道题目，仍旧自己先准备一下，便依照乌板上第一题的要领写.(板书籍)例3 供y=2-的单调区间.x-67x(几分钟后，西席找一个搞得对付的或者基础搞对付的教死，由他心述他的局部解题历程，西席正在乌板上写，所有皆写完后，西席边道边肯定或者建改教死的搞法，以使所有共教再认识一遍解题思路以及要领央供.)解设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x －x2解得本复合函数的定义域为－7≤x≤1.果为y=u 正在定义域［0+∞］内是删函数，所以由引理知，本复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相共.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16正在x≤-3时单调减少.由 -7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u 删）解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调删区间.易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16正在x≥－3时单调减，由－7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥－3， (u 减)解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.师：底下咱们瞅末尾一道例题，那道题由大家独力天搞正在条记本上，尔喊一个共教到乌板上去搞.(板书籍)例4 供y=122)21(--x x 的单调区间.(教死板书籍) 解设y=u )21(.由u ∈R,u=x2－2x －1,解得本复合函数的定义域为x ∈R.果为y=u )21(正在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x －1的单调性与复合函数的单调性好异.易知,u=x2－2x －1=(x －1)2－2正在x≤1时单调减，由 x ∈R, (复合函数定义域)x≤1， (u 减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调删区间.共理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：乌板上那道题搞得很佳.请大家皆与乌板上的所有解题历程对付一下.师：底下尔小结一下那节课.本节课道的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当咱们供单调区间时，必须先供出本复合函数的定义域.其余，咱们刚刚刚刚教习复合函数的单调性，搞那类题目时，一定要按央供搞，不要跳步.(做业均为补充题)做业供下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x2－2x);(问：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调删区间.)2.y=log 21(x2－3x+2)；(问：(－∞，1)是单调删区间，(2，+∞)是单调减区间.) 3.y=652-+-x x ,(问：［2，25是单调删区间，］［25，3］是单调减区间.) 4.y=x 17.0;(问：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调删区间.注意，单调区间之间不不妨与并集.)5.y=232x -;(问(－∞，0)为单调删区间，(0，+∞)为单调减区间) 6.y=3)31(+x ,(问(－∞，+∞)为单调减区间.)7.y=x 2log 3；(问：(0，+∞)为单调减区间.) 8.y=)4(1log 2x x -π；(问：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调删区间.)9.y=426x x -；(问：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调删区间.)10.y=227x x -；(问(－∞，1)为单调删区间，(1，+∞)为单调减区间.)课堂教教安排道明1.复习提问简朴函数的单调性.2.复习提问复合函数的定义.3.引出并道明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.4.对付于例1，西席要戴着教死分解，着沉超过单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，仍旧以西席道解为主.例2中的第二题，过度到以教死道述自己解法为主.例2中的第三题，以教死独力完毕为主.5.小结，做业.尔为什么要采与那几个关节呢?果为从往常的体味瞅，当央供教死供复合函数的单调区间时，他往往不思量那个函数的定义域，而那种过失又很顽固，短佳纠正.为此，本节课尔正在廛为什么央供复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，加进了较大的粗力.力供使教死搞到，设念粗确，步调浑晰.为了安排教死的主动性，超过课堂的主体是教死，尔把四道例题分了条理，第一道由西席带领、逐步逐层导出解题思路，由西席写出解题的齐历程；第二题，思路由教死提供，要领仍旧再由西席写一遍，那样，既让教死有了赢得新知识的快乐，又不必果对付解题要领的不认识而烦恼；后二道例题是以中上等的教死自己独力解问为主的.每搞完一道题，由西席简朴天小结、建改，以使佳教死掌握得更完备，较好的教死不妨跟得上.。

复合函数的单调性测试题(一)(含答案)

复合函数的单调性（一）一、单选题(共11道，每道9分)1.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性2.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性3.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性4.已知，，则函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性5.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性6.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性8.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性9.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性10.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性11.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。

复合函数的单调性典型习题

复合函数的单调性练习题山东王宪华._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=.3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=参考答案]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()2......(..................................................1),0(log .]2,0[)2(log ,0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )1........(..........2021,]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+•-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数在且解)1...(..................................................04,)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数的值域为解上是增函数在且上是增函数，，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f0)31()31()2()3........(. (312):)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--•--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数与是 200)31()31(31204)3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--•---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

复合函数的单调性例题和知识点总结

复合函数的单调性例题和知识点总结在数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而复合函数的单调性更是函数知识中的重点和难点。

理解并掌握复合函数的单调性，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。

下面，我们将通过一些例题来深入探讨复合函数的单调性，并对相关知识点进行总结。

首先，我们来明确一下复合函数的概念。

如果函数$y=f(u)＄的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)＄的值域为$D_2$，且$D_2\subseteq D_1$，那么对于定义域内的某个区间上的任意一个$x$，经过中间变量$u$，有唯一确定的$y$值与之对应，则变量$y$是变量$x$的复合函数，记为$y=fg(x)＄。

接下来，我们探讨复合函数单调性的判断方法——同增异减。

也就是说，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。

下面通过几个例题来加深对复合函数单调性的理解。

例题 1：求函数$f(x)＝＼log_2(x^2 2x ＋ 3)＄的单调性。

首先，令$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，则$f(u) ＝＼log_2 u$。

对于$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，其图象开口向上，对称轴为$x ＝ 1$。

所以$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。

而$f(u) ＝＼log_2 u$在定义域$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。

因为内层函数$u$在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增，外层函数$f(u)＄也单调递增，根据同增异减，所以复合函数$f(x)＄在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。

又因为内层函数$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，外层函数$f(u)＄单调递增，所以复合函数$f(x)＄在$（＼infty, 1)＄上单调递减。

例题 2：求函数$f(x) ＝ 2^｛x^2 ＋ 2x 3}＄的单调性。

令$u ＝ x^2 ＋ 2x 3$，则$f(u) ＝ 2^u$。

。复合函数单调性

复合函数单调性1.若函数ax x ya 2log 在区间3,2上是增函数，则a 的取值范围是2,12.已知函数c bx x xf 2满足x f x f 11，且30f ，当0x 时，比较x b f 与x c f 的大小.3.已知c bx x x f 2，方程0x x f 两实根为1x ，2x 且212x x .（1）求证1x ，2x 是方程x xf f 的两根；（2）若方程x x f f 的另两根为43,x x ，且43x x ，试判断4321,,,x x x x 的大小. 因为c bx x xf 2，21x x x x x x f ，1112121x x x x x x x x x xf f ，令11121x x x x xg ，01x g ，02x g 4.已知f x 为R 上的偶函数，当0x 时，211f xx ，满足12f f a 的实数a 的个数为A ．2B ．4C ．6D ．8；解：方程21x f 有四个解：221当221a f 时，a 有两个值对应；当221a f 时，a 有两个值对应；当221a f 时，a有四个值对应；5.（2005上海）设定义域为R 的函数1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（）A ．0b且0c B ．0b 且0c C ．0b且0c D ．0b 且0c 解：a x f )(，（1）0a ，不同实数解有4个；（2）0a ，不同实数解有3个；（3）0a，没有实数解. 0)()(2c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0。

此时应0b且0c 。

选C 6.（2012浙江名校联考）已知函数x xe x f ，方程R t x f t xf 012有四个实根，则t 的取值范是（）A.,1ee B.e e 1,2C. 2,1e e D.e e 1,。

复合函数的单调性

复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。

解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数（分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。

第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

复合函数单调性

补充：复合函数单调性
一、定义
一般地，设y f (u)的定义域为A,u g(x)的值域为B.若B A,则y f [g(x)]叫做函数 f 与g的复合函数。举例：函数f (x) lg(2x 1) 由一次函数u 2x 1与对数函数y lg u复合而成.
换元后一个函数的函数值是另一个函数的自变量
二、复合函数单调性的判断
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：
u g(x) 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
y f (u) 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
y f [g(x)]
增↗
减↘
当f(x)和g(x)单调性一致时，f[g(x)]在定区间上单调递增；当f(x)和g(x)单调性相反时，f[g(x)] 在定区间上单调递减，简记为：“同增异减”。
单单单调调调增增区增区间区间为间为(－为(－∞(－∞，1，∞)．1，)．-2)．
∴又∴ 又 ∴又又∴函uuu＝函函 u＝数u＝u＝＝xx＝ x数2数2－2y－－xx4x32y2在x－32y－＋l－ x(o－2＋23g3l的x∞4ox122＋l对,go(的＋-的2称x122g)上(2对轴2对的12x递(在 x称2称对＝减4x32，)轴(2称轴－的3,在且x轴x(定开2∞＝x3,＋口＝义x32x,∞向2＝1域)0)上,上且)32,的上．为且递2开,增定)且(是开－口．的义开单 ∞口向定域口,上调向-为义向2．)减上∪(上域－函(．．2∞为,＋数,(1－ ∞，)∪)∞．(2,,1＋)∪∞)(
∴而 ∴∴而 ∴u而 ∴＝yyuyy＝xyy2－xlloo2ll－ggoo3llxgg1122oo＋3(u1212ggxx(在 u2＋12122x(在在u在(220x4，在((在(2－在)023＋，的 ,(＋在 ∞(0x－2∞ 单 3＋，∞,,＋(∞x1调 )2∞上＋2)),∞上,上＋减))是1∞上的2是)是)区上∞ 上单))是单单单间上的是调是)单调上调调为是减单单单调增减(减是函2单调调调，函减函区数单增调减减＋数数函间，调函函减∞区．，数为数数)增函间，，(2．，函数为，＋，数 (2，∞．)＋，∞)，

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ，则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数，其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。

四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。

2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。

题型一复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减，结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-题型二根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ，由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0，即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负，所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤，故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦，则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭，令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦，因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数，所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=，则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--，又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值．【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦，令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大，当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =，故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-，当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-，当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-，综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥，则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减，所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增，当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >，综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值，则a 的取值范围是______．【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =，因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值，即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下，只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<；当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上，只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤；综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点，所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。

复合函数单调性求法与含参数问题

复合函数单调性的求法与含参数问题若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

例１、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。

（2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x1) f(x+1) （二）求复合函数相关定义域一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。

练习：设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（B ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

高一必修一复合函数的单调性

[ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] 0,即F ( x1 ) F ( x2 )
所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数
（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是减函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？为什么？是
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。定义域： 1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的定义域由 a g x b 解出。 2、若已知 f g x 的定义域为[a,b],则函数 f x 的定义域即为当x a, b时，函数g x 的值域。
在 ,2上是增函数。
,1上是增函数。 y x 2 4 x 5在5,上是减函数，在
小结
（1）掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减
（2）求复合函数的单调区间.
注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
小结
（一）函数单调性解题应用.
1、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论)
证：x1 , x2 m, n , 且x1 x2 ,
g ( x)是 m, n 上减函数，且a g x b a g ( x2 ) g ( x1 ) b. 又 f x 是 a, b 上的增函数,
f g x2 f g x1 . f g x 在 m, n 上是减函数.
练习 1：求y Hale Waihona Puke x 4 x 5函数的单调区间。

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课题：函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书，可适当略写.)例求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案?生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么?生：……生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢?生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做?生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书)解设 y=log4u,u=x2－4x+3.由＞0,u=x 2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢?生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象?可咱们并没学过画复合函数的图象啊?这个问题你想如何解决?生：……师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x 的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量u 的取值范围?生：求x 的取值范围.师：所以我们只需画x 的范围就行了，并不要画复合函数的图象.(板书)师：当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.(板书)u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书)u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 师：下面咱们再看例2.(板书)例2 求下列复合函数的单调区间：y=log 31 (2x －x 2) 师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)解设 y=log 31u,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x 2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.由于y=log 31u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x 2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由0＜x ＜2 （复合函数定义域）解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由x＜2， (复合函数定义域)x≥1， (u减)解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内. 师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写. (板书)例3 求y=267xx--的单调区间.(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)解设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x－x2解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。

由-7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u增）解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由－7≤x≤1 (复合函数定义域)x≥－3， (u减)解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.(板书)例4 求y=122)21(--xx的单调区间.(学生板书)解设y=u)21(.由u∈R,u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.因为y=u)21(在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由x∈R, (复合函数定义域)x≤1， (u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.(作业均为补充题)作业求下列复合函数的单调区间.1.y=log 3(x 2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.) 2.y=log 21(x 2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)3.y=652-+-x x ,(答：［2，25是单调增区间，］［25，3］是单调减区间.)4.y=x17.0;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)5.y=232x -;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)6.y=3)31(+x ,(答(－∞，+∞)为单调减区间.) 7.y=x 2log 3；(答：(0，+∞)为单调减区间.) 8.y=)4(1log2x x -π；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.) 9.y=426x x -；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.)10.y=227x x -；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.) 课堂教学设计说明1.复习提问简单函数的单调性.2.复习提问复合函数的定义.3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.4.对于例1，教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为主.5.小结，作业.我为什么要采取这几个环节呢?因为从以往的经验看，当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体是学生，我把四道例题分了层次，第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题，思路由学生提供，格式还是再由教师写一遍，这样，既让学生有了获得新知识的快乐，又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼；后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主的.每做完一道题，由教师简单地小结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 (按ctrl 点击打开)。