复合函数的单调性完全解析与练习

课题：函数的单调性(二)

复合函数单调性

北京二十二中 刘青

教学目标

1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.

2.会求复合函数的单调区间.

3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点与难点

1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.

2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.

教学过程设计

师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.

生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.

(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)

(教师板书，可适当略写.)

例 求下列函数的单调区间.

1.一次函数y=kx+b(k ≠0).

解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.

2.反比例函数y=x k

(k ≠0).

解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.

3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).

解 当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b

2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b

2，+∞)是它的单调减区间；

4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).

解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.

5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).

解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.

师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不

妨遇到具体情况时，再具体分析.

师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?

生：它在(－∞，+∞)上是增函数.

师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上

的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单

调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.

(板书)

引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)

证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，

故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?

生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.

师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.

(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)

引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.

(板书)

师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?

(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)

师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).

例1 求下列函数的单调区间：

y=log4(x2－4x+3)

师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.

师：下面谁说一下自己的答案?

生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.

师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么?

生：……

生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.

师：你说得很好，怎样才能做到这点呢?

生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.

师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做?

生：求定义域.

师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.

(板书)

解设 y=log4u,u=x2－4x+3.由

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