高中数学必修1简单不等式的解法_习题

简单的绝对值不等式的解法[学生用书 P6] [典例引领] 设函数 f(x)＝|2x－3|－1. (1)解不等式 f(x)<0； (2)若方程 f(x)＝a 无实数根，求 a 的范围． 【解】 (1)f(x)<0 即为|2x－3|<1.
即－1<2x－3<1. 所以 1<x<2. 所以不等式 f(x)<0 的解集为{x|1<x<2}． (2)法一：方程 f(x)＝a 无实数根， 即|2x－3|＝a＋1 无实数根， 因为|2x－3|≥0， 所以 a＋1<0，即 a<－1. 所以当 a<－1 时，方程 f(x)＝a 无实数根． 法二：方程 f(x)＝a 无实数根，即函数 f(x)＝|2x－3|－1 与 y＝a 的图象无交点(如图)．
1.教材习题改编 不等式 x2－3x＋2<0 的解集为( A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2) D
)源自文库
[解析] 将 x2－3x＋2<0 化为(x－1)·(x－2)<0，解得 1<x<2. 1 x|x≠－ 2 ，则 a 的值为( )
2．若不等式 4x2＋ax＋1>0 的解集为 A．4 C．1 A 故选 A. 3．不等式 1 － ，1 2 1 － ，1 2 x－ 1 ≤0 的解集为( 2x＋1 )
2．(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集 不等式 (x－a)·(x－ b)>0 (x－a)·(x－ b)<0
∅
口诀：大于取两边，小于取中间．
1．辨明三个易误点 (1)对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的情形． (2)当Δ<0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是 R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 2．分式不等式的四种形式求解思路 f（x） ① >0⇔f(x)g(x)>0； g（x） f（x） ② <0⇔f(x)g(x)<0； g（x） f（x） ③ ≥0⇔f(x)g(x)≥0 且 g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0 或 f(x)＝0； g（x） f（x） ④ ≤0⇔f(x)g(x)≤0 且 g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0 或 f(x)＝0. g（x） 3．绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2； (2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x)； (3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．
第2讲
简单不等式的解法
[学生用书 P5]
1．一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集 b x> | (1)当 a>0 时，解集为 x a ； (2)当 a<0 时，解集为 x
|x<b a ．
解集 a<b {x|x<a 或 x>b} {x|a<x<b} a＝b {x|x≠a} a>b {x|x<b 或 x>a} {x|b<x<a}
[题点通关] 角度一 解一元二次不等式
1．解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0<x2－x－2≤4. [解] (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 4 即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤ ， 3 所以原不等式的解集为 x (2)原不等式等价于 x2－x－2>0， x2－x－2>0， ⇔ x2－x－2≤4 x2－x－6≤0 ⇔ （x－2） （x＋1）>0， （x－3） （x＋2）≤0 ⇔ x>2 或 x<－1， －2≤x≤3.
1 1 2 － ＋ ＝－ ， 3 2 a 1 1 c － × ＝ ， 3 2 a
所以解得 a＝－12，c＝2， 所以不等式－cx2＋2x－a>0， 即为－2x2＋2x＋12>0，即 x2－x－6<0， 解得－2<x<3. 所以不等式的解集为(－2，3)． [答案] (－2，3) 简单的分式不等式的解法[学生用书 P6] [典例引领] 解下列不等式： (1) (2) 1－ x ≥ 0； 3x＋5 x－1 >1. x＋2 x－1 (1)原不等式可化为 ≤0， 3x＋5
A．{x|x<4} 3 x< 或 x>4 | C. x 2 C [解析] 不等式
3 x< 或 x>4 | x . 2 1 3．关于 x 的不等式－ x2＋mx＋n>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 m＋n 的值为( 2 A．－ C. 1 2 D 1 [解析] － x2＋mx＋n>0， 2 1 2 B．－ D． 3 2 3 2 )
|
②当 a＝0 时，x2>0，解集为{x|x∈R，且 x≠0}；
a a x< ，或 x>－ a a ③当 a<0 时，－ > ，解集为 x 3 4 . 4 3
|
综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x
a ， 或 x> |x<－a 4 3 ；当 a＝0 时，不等式的解集
a a x< ，或 x>－ | 为{x|x∈R，且 x≠0}；当 a<0 时，不等式的解集为 x 3 4 .
|－2≤x≤4 3 .
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}． 角度二 已知一元二次不等式的解集求参数 1 1 － ， 3 2 ，则不等式－cx2＋2x－a>0 的
2．已知关于 x 的不等式 ax2＋2x＋c>0 的解集为 解集为______．
[解析] 依题意知，
一元二次不等式的解法(高频考点)[学生用书 P5] 一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题． 高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度： (1)解一元二次不等式； (2)已知一元二次不等式的解集求参数． [典例引领] 解下列不等式： (1)－2x2＋3x＋2<0； (2)12x2－ax>a2(a∈R)． 【解】 (1)－2x2＋3x＋2<0，即为 2x2－3x－2>0.
【解】
所以
（x－1） （3x＋5）≤0， 3x＋5≠0， 5 － ≤x≤1， 3
所以
5 x≠ － ， 3
5 即－ <x≤1. 3 故原不等式的解集为 x <x≤1 |－5 . 3
x－1 (2)原不等式可化为 －1>0， x＋2 所以 所以 x－1－（x＋2） >0， x＋2 －3 >0，则 x<－2. x＋2
所以 a 的范围为 a<－1.
含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：a 为正实数，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于|x－a|<|x－b|或|x－a|>|x－b|型的不等式的 求解． (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去 绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． [通关练习] 1．不等式|2x－1|>3 的解集为( A．{x|x<－2 或 x>1} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1 或 x>2} D．{x|－1<x<2} C [解析] 由|2x－1|>3 得 2x－1<－3 或 2x－1>3，即 x<－1 或 x>2，故选 C. )
1 解得－ <x≤1， 2 所以不等式的解集为 1 － ，1 . 2
4．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为 x
2
|－1<x<1 3 ，则 ab 的值为________．
2
1 －1<x< | [解析] 由不等式 ax ＋bx＋1>0 的解集为 x 知 a<0 且 ax ＋bx＋1＝0 的两根 3 ，
－2<x<1， －（x－1）＋（x＋2）≥5 x≥1， （x－1）＋（x＋2）≥5
得无解；
由
得 x≥2.
即所求的解集为{x|x≤－3 或 x≥2}． [答案] {x|x≤－3 或 x≥2}
[学生用书 P323(独立成册)]
1．不等式－2x2＋x<－3 的解集为( 3 A．{x|－ <x<1} 2 3 C．{x|x<－ 或 x>1} 2 D [解析] －2x2＋x<－3， 即为 2x2－x－3>0，Δ＝25>0，
)
3 B．{x|－1<x< } 2 3 D．{x|x<－1 或 x> } 2
3 方程 2x2－x－3＝0 的两实根为 x1＝－1，x2＝ ， 2
3 所以 2x2－x－3>0 的解集为{x|x<－1 或 x> }，故选 D． 2 2．不等式 x－ 4 <0 的解集是( 3－2x ) B．{x|3<x<4} 3 <x<4 | D． x 2 3 x－ x－4 <0 等 价 于 2 (x － 4)>0 ， 所 以 不 等 式 的 解 集 是 3－2x
Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.
1 方程 2x2－3x－2＝0 的两实根为 x1＝－ ，x2＝2. 2 1 所以 2x2－3x－2>0 的解集为{x|x<－ 或 x>2}， 2 1 即原不等式的解集为{x|x<－ 或 x>2}． 2 (2)因为 12x2－ax>a2， 所以 12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. a a 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－ ，x2＝ . 4 3 a a x<－ ，或 x> a a ①当 a>0 时，－ < ，解集为 x 4 3 ； 4 3
|
(1)本题利用了分类讨论思想，所谓分类讨论思想，是在研究和解决数学 问题时， 若问题所给对象不能进行统一研究， 我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点 和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目 的，这一思想方法，我们称为“分类讨论思想” ．分类讨论是“化整为零，各个击破，积零 为整”的解题策略． 1 (2)本题根据 和 1 的大小进行比较，对于含参数的不等式一般要分类讨论，对于含绝对 a 值的不等式也要分类讨论． 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的解集为________． [解析] 由 由 x≤－2， －（x－1）－（x＋2）≥5 得 x≤－3；
[学生用书 P7] ——分类讨论思想在解不等式中的应用 解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 【解】 原不等式可化为 1 x－ a (x－1)<0(a>0)，
1 ①若 0<a<1，则 >1， a 1 所以 1<x< ； a 1 ②若 a＝1，则 ＝1，所以不等式无解； a
1 1 ③若 a>1，则 <1，所以 <x<1. a a 1 1<x< | 综上知，当 0<a<1 时，不等式的解集为 x a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为∅； 1 <x<1 当 a>1 时，不等式的解集为 x a .
2
B．－4 D．－1 1 x|x≠－ a 1 [ 解析 ] 由不等式 4x ＋ax＋ 1>0 的解集为 ＝－ .所以 a＝ 4. 2 知 ，－ 2 2× 4
A.
B．
1 －∞，－ C. 2 ∪[1，＋∞) D． A 可得 －∞，－ 1 2 ∪[1，＋∞) x－1 ≤0 2x＋1
[解析] 由不等式
（x－1） （2x＋1）≤0， 2x＋1≠0，
1 为 x1＝－1，x2＝ ，由根与系数的关系知 1 1 3 － ＝ ， 3 a 所以 a＝－3，b＝－2，ab＝6. [答案] 6
1 b －1＋ ＝－ ， 3 a
5．若不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是__________． [解析] 因为不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集， 所以Δ＝a2－4×4>0，即 a2>16. 所以 a>4 或 a<－4. [答案] (－∞，－4)∪(4，＋∞)
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
解下列不等式： (1) (2) x＋1 ≥0； x－3 5x＋1 <3. x＋ 1 x＋1 ≥0 可以转化为(x＋1)(x－3)≥0 且 x≠3，所以解集为{x|x>3 或 x≤－ x－3
[解] (1)不等式 1}． (2)不等式 1<x<1}．
5x＋1 5x＋1 2（x－1） <3 可以改写为 －3<0，即 <0，故原不等式的解集为{x|－ x＋1 x＋1 x＋1
2．不等式|2x－3|<3x＋1 的解集为________． [解析] 由|2x－3|<3x＋1 得 3x＋1>0， －（3x＋1）<2x－3<3x＋1， 1 x>－ ， 3 2 解得 2 即 x> . 5 x> ， 5 2 故不等式|2x－3|<3x＋1 的解集为{x|x> }． 5 2 [答案] {x|x> } 5