第1讲有理数的概念和性质和答案
人教版-7年级-第1讲-有理数的意义-解析版
学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．重点、难点有理数相关分类讨论考点及考试要求有理数的意义教学内容【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．类型一、正数与负数【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km【答案】D【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm故选：B．【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．【变式2-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．【解答】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．故选：A．【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．【变式2-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟城市悉尼莫斯科伦敦温哥华时差（时）+2﹣5﹣8﹣16如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，∵5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；（2）17﹣16＝1，此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．【例3】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5100%62.5% 8⨯=；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.【变式3-1】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：星期一二三四五每股涨﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5跌注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．（1）星期四收盘时，每股多少元？（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？【解答】解：（1）（﹣0.1）+（+0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.4）＝（﹣0.1）+（﹣0.2）+（+0.4）+（﹣0.4）＝﹣0.3（元）25.20+（﹣0.3）＝24.90（元）答：星期四收盘时，每股24.90元．（2）周一的股价：25.20+（﹣0.1）＝25.10（元），周二的股价：25.10+（+0.5）＝25.50（元），周三的股价：25.50+（﹣0.2）＝25.30（元），周四的股价：25.30+（﹣0.4）＝24.90（元），周五的股价：24.90+（+0.5）＝25.40（元），∵24.90＜25.10＜25.30＜25.40＜25.50，∵本周内周二股价最高，是25.50元，25.20×10000×0.5%＝1260（元），25.40×10000×0.5%＝1270（元），1260+1270＝25030（元），（25.40﹣25.20）×10000＝2000（元），2000﹣2530＝﹣530（元），∵小王在本次交易中是亏了，亏了530元．【变式3-2】（2020秋•盐都区月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小智家用电量最多的是月份，该月份应交纳电费元；（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？【分析】（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；（2）估算出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．【解答】解：（1）五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，应缴纳电费0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8×36＝143.8（元），故答案为：五，143.8；（2）∵204.6＞0.5×50+0.6×150，∵用电量大于200度，设用电量为x度，由题意得，0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8（x﹣200）＝204.6，解得，x＝312，答：他家七月份的用电量是312度．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【例4】下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数．D．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a-为正数或0，而不是负数；(D)对【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，⨯，⨯，⨯【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数【答案】Ｄ【例5】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{…}，整数集合:{…}，正分数集合:{…}，负分数集合:{…}，分数集合:{ …}，非负数集合：{…}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数：-3.88，7 23 -；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，7 23 -；非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0,7 23 -【变式5-1】（2020秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．【答案】2.【变式5-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5分类．【分析】按照有理数的分类解答即可．【解答】解：如图所示：类型三、分数化成有限小数首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.【例6】（2020秋•浦东新区期末）在下列分数中，不能化成有限小数的是（）A．18B．312C．524D．25【分析】首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此解答即可．【解答】解：A、18的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；B、312=14，分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；C、524的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意；D、25的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数，小数与分数的互化，解答此题的关键是熟练掌握小数与分数的互化．【变式6-1】（2020秋•上海期末）在分数38，36，19，324，310中，可化为有限小数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先，要看分数是否是最简分数，不是的，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此逐项分析后再选择．【解答】解：38的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，3 6=12的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，19的分母中含有质因数3，不能化成有限小数，3 24=18的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，310的分母中只含有质因数2与5，能化成有限小数．故选：C．【点评】此题主要考查有理数中什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【变式6-2】（2020秋•松江区期中）分数116，117，118，119中，能化成有限小数的有几个？（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【解答】解：116是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 117是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数； 118是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；119是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有1个．故选：B ．【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．类型四、探索规律【例7】某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】(12+n )【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】901一、选择题1. 下列语句正确的（ ）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0∵表示没有温度．A . 0B . 1C . 2D . 32. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A ．0是整数B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A ．前进-18米的意义是后退18米B ．收入-4万元的意义是减少4万元C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )A ．甲站的东边70千米处B ．甲站的西边20千米处C ．甲站的东边30千米处D ．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6. 下列各数是正整数的是 （ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．2二、填空题1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．是正数而不是整数的有理数是 .6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．甲地海拔高度是40m ，乙地海拔高度为30m ，丙地海拔高度是-20m ，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...(2)-1,21,-31,41,51-,61,71-, , ,... ,... 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0∵表示没有温度，错误．综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4.【答案】C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5. 【答案】C【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.6. 【答案】B二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，112；122，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】正分数【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数.6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，10.03，9.98【解析】03.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03. 三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ；（3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m 表示下降2m ；(5)向南走-7m 表示向北走7m .提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3．【解析】甲地海拔高度是40m ，表示甲地在海平面以上40m 处；乙地海拔高度为30m ，表示乙地在海平面以上30m 处；丙地海拔高度是-20m ，表示丙地在海平面以下20m 处；所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m ）.4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111,,...,, (892011)--。
第一讲：有理数的概念
1.1正数和负数知识点1：正数和负数的概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：小于0的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界线，是唯一的中性数。
非负数：正数和0统称为非负数。
非正数：负数和0统称为非正数。
例1 下列各数哪些是正数？哪些是负数？-26；-0.3；76；-711；9；-312；2.5；0；π；-a知识点2：相反意义的量（1）相反意义的量的特征：①两个量具有同一属性；②都表示一定的数量；③可以用正、负数表示；（2）不具备相反意义的量不能有正、负数表示。
判断：向东走2米，记作+2米；那么向南走2米，记作-2米。
例2 填空（1）如果收入40元记作“+40元”，那么支出70元记作（），-6600元表示（）；（2）仪表的指针顺时针旋转60度记作“-60度”，那么逆时针旋转45度记作（）；（3）把比海平面高规定为正，则“+400米”表示（）；1.2有理数和无理数知识点3：有理数和无理数的概念 有理数：能够写成分数n m(m,n 是整数，n ≠0）的数叫做有理数。
无理数：不能够写成分数n m(m,n 是整数，n ≠0）的数叫做无理数。
整数和分数统称为有理数。
有理数都可以用有限或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
圆周率π是无限不循环小数，所以是无理数。
例3 下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？-7.5；0.202002000…；711；-π；0.151515…；32π；1.3数轴知识点4：数轴的定义数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（1）它是一条可以向两端无限延伸的直线；（2）数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度；（3）原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定都是根据实际需要而定，一般规定原点向右的方向为正方向；例4 下列说法，正确的是（）A 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线；B 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的线段；C 数轴是一条直线；D 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线；知识点5：数轴的画法（1）画一条直线；（2）确定原点和正方向；（3）统一单位长度；例5 下列所画数轴正确的是（）-1 0 1 1 2 -1 0 1 -2 0 2 A B C D知识点6：数轴上的点与有理数和无理数的关系所有的有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示；例6 在数轴上分别表示下列个数：-3；215；-21;知识点7：利用数轴比较数的大小（1）数轴上的两个点中，左边的点表示的数大于右边的点表示的数；（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；例7 利用数轴比较下列个数的大小：-3；0.3；-5；-1.3；拓展题如果甲是乙现在的年龄时，乙是10岁，乙是甲现在的年龄时，甲是25岁，那么（）A 甲比乙大五岁B 甲比乙大10岁C 乙比甲大十岁D 乙比甲大5岁1.4绝对值和相反数知识点8：绝对值的定义绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|；（1）绝对值是表示一个数的点与原点的距离，因此离原点越远的点表示的数的绝对值越大；（2）一个数是由它的符号和绝对值两部分组成的，确定一个数可以从符号和绝对值两个方面来考虑；例8 若|a|=a，则a（）0；若|a|=-a，则a（）0；知识点9：相反数相反数：符号不同、绝对值相同的两个数，互为相反数，0的相反数是0。
六升七暑期第1讲.有理数的概念(人教版)
第1讲有理数中考内容中考要求A B C 有理数理解有理数的意义能比较有理数的大小数轴了解实数与数轴上的点一一对应能用数轴上的点表示有理数相反数和绝对值借助数轴理解相反数和绝对值的意义；了解a的意义能求实数的相反数与绝对值中考大纲知识网络图1.1正数与负数知识概述一．正数与负数1.正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数．正数都大于0．2.负数：像3-这样在正数前加上符号“-”（负）号的数叫做负数．-， 2.7负数都小于0．3.符号：一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号．+表示是同一个正数．正数前面的“+”号可以省略，注意3与3负数前面的“-”号不可以省略．4.用正数和负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．-．比如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．二．“0”的特殊性1．0既不是正数，也不是负数；2．0是正数与负数的分界；3．0是自然数；4．0的意义：（1）0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；（2）0有时是一个数，比如0℃是一个确定的温度；（3）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度．三．常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；【例1】（2018•海珠区一模）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（ ）范围内保存最合适． A ．17℃～20℃ B ．20℃～23℃C ．17℃～23℃D ．17℃～24℃【练习1】（2018•海曙区模拟）四个足球与足球规定质量偏差如下：（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（ ） A ．+10 B ．﹣20 C ．﹣3 D ．+5【巩固】（2017秋•平阳县期末）下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】（2017秋•青秀区期末）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/克 ﹣5﹣216袋数13321这批样品的总质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少克？【练习2】（2017秋•海口期末）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5筐数142328小试牛刀再接再厉（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若这20筐白菜的进货价为每千克x元，售价为每千克y元（x＜y），则出售这批白菜可获利润多少元？（用含x、y的代数式表示）（注：第（1）、（2）小题列出算式，并计算）【巩固】（2017秋•长汀县月考）10袋小麦以每袋450kg为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数．分别记做：﹣6、4、3、﹣2、﹣3、1、0、5、8、﹣5，与标准质量相比较，（1）这10袋小麦总计超过或不足多少千克？（2）10袋小麦总质量多少千克？1.2有理数一．有理数1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合． 2. 分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3. 有理数：整数和分数统称为有理数． 4. 有理数的分类：（1）()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数（2）()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数【例1】．（2017秋•九龙坡区期末）在0，2.1，﹣4，﹣3.2这四个数中，是负分数的是（ ） A ．0 B ．2.1 C ．﹣4 D ．﹣3.2【练习1】（2017秋•钦州期末）在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（ ）知识概述小试牛刀A．2B．3C．4D．5【巩固】（2017秋•房山区期末）在“1，﹣0.3，+，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数是．（写出所有符合题意的数）再接再厉【例2】（2017秋•防城港期末）如果一对有理数a，b使等式a﹣b=a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，）B．（2，）C．（5，）D．（﹣2，﹣）总述归纳：有趣的“”①是自然数；②是偶数；③是整数；④是有理数；⑤是非正数；⑥是非负数；⑦既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界；⑧有时表示没有，有时是一个确定的数，有时也作为基准．1.3数轴一． 数轴数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： 1. 原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．3. 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1-，2-，3-，…． 4. 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 二． 数轴的画法1. 画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；2. 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：3. 确定向右的方向为正方向，用箭头表示；4. 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．三． 有理数与数轴的关系1. 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．2. 数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数．3. 正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边． 四． 利用数轴比较有理数的大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．知识概述【例1】（2018•太原二模）下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【练习1】（2017秋•蒙阴县期末）数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．2或﹣2【例2】（2017秋•卫辉市期末）在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB 的长是（）A．7.5B．﹣2.5C．2.5D．﹣7.5【巩固】（2017秋•邵阳县期末）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有个．小试牛刀再接再厉1.4相反数知识概述一．相反数1．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．（1）一般地，a与a（2）特别地，0的相反数是0．（3）相反数是成对出现的．2．相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．3．求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．二．多重符号的化简1.一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；2.一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；3.一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号4.口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号【例1】（2018•东莞市模拟）下列各数中，其相反数等于本身的是（）A．﹣1B．0C．1D．2018【练习1】（2018•武侯区模拟）如果a与互为相反数，则a等于（）A．B．C．2D．﹣2【例2】（2018•康巴什一模）如图，数轴上的点A表示的数为a，则a的相反数等于（）A．﹣2B．2C．D．【练习2】（2018•东阳市模拟）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D1.5绝对值一．绝对值1．绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a．2．绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．小试牛刀再接再厉知识概述3． 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =；（3）如果0a <，那么a a =-．可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 4． 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：||0a ≥二． 有理数的比较大小1． 两个负数，绝对值大的反而小．2． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．3． 利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．【例1】（2018•武冈市一模）2的相反数和绝对值分别是（ ）A ．2，2B ．﹣2，2C ．﹣2，﹣2D ．2，﹣2【练习1】（2018•成都模拟）下列各数与﹣8 相等的是（ ）A ．|﹣8|B ．﹣|﹣8|C ．﹣42D ．﹣（﹣8）【巩固】（2017秋•江岸区期末）绝对值最小的数是（ ）A ．0.000001B ．0C ．﹣0.000001D ．﹣100000【例2】（2017秋•綦江区期末）如图，在数轴上，若示有理数a 的点在原点的左边，表示有理数b 的点在原点的右边，则式子|a ﹣b |﹣（﹣b ）化简的结果是（ ）小试牛刀再接再厉A．a﹣2b B．2a C．a D．﹣a+2b（2018春•武邑县校级月考）若|x|=|y|，那么x与y之间的关系是（）【练习2】A．相等B．互为相反数C．相等或互为相反数D．无法判断【巩固】（2017秋•上杭县期中）已知x＞3，化简：|3﹣x|=．总述归纳：大家一起说说——绝对值．①绝对值等于它本身的数是；②绝对值大于它本身的数是；③绝对值等于它的相反数的数是；④绝对值最小的有理数是；⑤绝对值最小的正整数是；⑥绝对值最小的负整数是．。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
第1讲 有理数的概念
--------有理数的概念(★)1. 使学生体会具有相反意义的量，并能用有理数表示，掌握有理数的分类；2. 能用数轴上的点表示有理数，理解相反数和绝对值的意义；3. 会求有理数的相反数和绝对值，会利用绝对值的意义解决实际问题。
【课前导入】小明在书上看到，冬日的一天，某地的最高气温为15℃，最低气温达到-12℃，平均气温是0 ℃，这里面的数是什么数？【答案】15是正数 ，-12是负数，0既不是正数也不是负数.随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ︒和零下4C ︒等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【知识结构】【知识点一：有理数的概念和分类】 有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.【例1】 ⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 . ⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷向南走200-米，表示 .【解析】 ⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒；⑷向北走200米.【例2】 珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为 【解析】 0米；海拔高度也称绝对高度，就是某地与海平面的高度差，通常以平均海平面做标准来计算，是表示地面某个地点高出海平面的垂直距离。
第1讲 有理数的概念和性质和答案
第一讲有理数的概念和性质一、【概念和性质】1、正数和负数正数：比0大的数。
如+3、+1.5、+12、+584（正号可以省略）负数：比0小的数。
如－3、－1.5、－12、－584（负号不可以省略）零：既不是正数，也不是负数。
零是正数和负数的分界。
【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于”“上升”和“下降”“超出”和“不足”“盈利”和“亏损”“收入”和“支出”▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km，向南－5km表示向北5km填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作；汽车原地不动记作。
（2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。
2、整数和分数统称为有理数。
▲有理数可以写成mn（m、n是整数，n≠0）。
▲有理数的两种分类：①按定义分：②按符号分（常用）：几个重要概念（1）非负数：正数和零（2）非正数：负数和零（3）非负整数：正整数和零（4）非正整数：负整数和零3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。
左边的数〈右边的数整数分数正整数负整数正分数负分数有理数正有理数正整数正分数负整数负分数有理数负有理数0（零既不是正数，也不是负数）-2 -1 0 1 2大小有限小数无限小数分数（分子是1时，这个分数就是正数）无限循环小数无限不循环小数（无理数）小数自然数▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
4、绝对值的意义与性质：① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
②③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
七年级数学上册第一章有理数1-2有理数及其大小比较1有理数的概念课件新版新人教版
8. [母题 教材P16习题T1] 把下列各有理数填在相应的集合内：
－100，1，－823
，6，0，＋314
，－2.25，－10%，
3 100
，
－18，2 025，－0.01.
正有理数集合：｛
1，6，＋314
，
3 100
，2025，
…｝.
负有理数集合：｛－100，－823，－2.25，－10%，－18，－…0.｝01.，
6.3%，－3.14，请将它们填入图中相应的集合中．
思路引导：
解：(1)正整数；负整数 (2)如图1.2－1所示.
思路点拨 根据集合交叉部分的意义，重合部分具有两个集合的
所有特征，两个集合中相同的数填在这两个集合圈的公 共部分中；只在一个集合中出现的数填在这个集合圈的 单独的部分中.
易 错 点 对有理数分类不清导致出错
知1－练
1-1.在＋4，73，－3. 14 ，0 ，0.5 中，表示正有理数的有
( C)
A. 1个
B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
1-2.下列说法中正确的有( B ) ① 负分数一定是负有理数； ②自然数一定是正数； ③ －π 是负分数； ④ a 一定是正数； ⑤ 0 是整数. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个
负整数和0 1. 符号为负；2. 分数或有限小数或无限循环小数
负数和0 2，4，6，⋯和－2，－4，－6，⋯
知1－讲
特别解读 1.整数可以写作分母为“1”的分数形式. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了，奇
数和偶数也可以是负数. 3. 自然数包括0和正整数.
知1－练
例 1 下列各数：－74，1. 010010001，383，0，－π3，－
第一讲 有理数的认识
有理数的认识一、相反意义的量：一般情况下，规定收入、增加、上升、零上、高于海平面等为正，另一相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面等规定为负，但也可以随意规定，要看实际题目中所给出的标准。
二、正数、负数的概念：大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数。
注意：0既不是正数，也不是负数。
三、有理数的概念：正整数、0、负整数统称为正数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0四、数轴：概念及画法：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包括3层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向。
数轴的画法则是先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可。
数轴的性质：1、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
五、相反数的概念：定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数；0的相反数是0.通常情况下，在一个数的前面加上一个负号就得到了这个数的相反数。
即：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数，零的相反数是它本身。
几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，而且与原点的距离相等。
六、绝对值：几何意义：在数轴上把表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作|a|，读作“a 的绝对值”。
代数意义：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，它既可以说成“本身”，又可以说成“相反数”。
七、有理数大小的比较：利用绝对值比较两个负数的法则：（1）两个负数，绝对值大的反而小。
人教版七年级数学上册 第一章：有理数_1.2.1：有理数 学案(含答案)
初中七年级数学上册第一章：有理数——1.2.1：有理数一：知识点讲解知识点一：有理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数。
✧ 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：2、3、0、﹣5、﹣7；✧ 分数：正分数、负分数统称为分数。
例如：32、0.1、﹣0.5、25-、﹣150.25； 0和正整数都是自然数。
任何一个有理数都可以写成m n 的形式，而且只有当m 、n 同时满足： ✧ m 、n 是互质的整数；✧ 0≠m 、1≠m 时，mn 才表示一个分数。
分数都能化为小数，但小数不都能化为分数。
只有有限小数和无限循环小数才能化为分数，因此分数包括有限小数和无限循环小数，当不包括无限不循环小数。
例如：π、3.212 212 221…（每两个1之间2的个数逐次增加）不能化为分数。
例1：下列说法正确的是( D )A. 正有理数和负有理数统称为有理数B. 非负整数就是指0、正整数和所有分数C. 正整数和负整数统称为整数D. 整数和分数统称为有理数知识点二：有理数的分类按有理数的定义：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0按有理数的性质符号：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0例2：把下列各数分别填入相应的大括号里：﹣2.5、3.14、﹣2、﹢72、6.0 -、0.618、722、0、﹣0.101、π1) 正数集合： 3.14，﹢72，0.618，722，π ；2) 非负整数集合： ﹢72，0 ；3) 整数集合： ﹣2，﹢72，0 ；4) 负分数集合： ﹣2.5，6.0-，﹣0.101 。
二：知识点复习知识点一：有理数的概念 1. 在下列各数：65-、﹢1、6.7、﹣14、0、227、﹣5、25%中，属于整数的有( C) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2. 已知下列各数：﹣2、﹢3.5、0、32-、﹣0.7、11，其中负分数有( B )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 在﹣1、32、0.618、0、﹣5%、2017、0.5中，整数有 3 个，分数有 4 个。
第1讲 有理数
第1讲有理数【教学目标】1.了解正负有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类；2.了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义。
【教学重难点】正确理解有理数的概念。
【教学内容】一、正数和负数的概念负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数。
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（当出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
例题1.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是()A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年变式训练. 某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为。
二、具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃。
三、0表示的意义1. 0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；2. 0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
例题：关于数“0”，以下各种说法中，错误的是( )A．0是整数B．0是偶数C．0是正整数D．0既不是正数也不是负数四、有理数1. 有理数的概念（1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；（2）正分数和负分数统称为分数；（3）正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
人教版七年级数学上专题讲座第1讲 有理数五大概念
第一章 有理数 第1讲 有理数五大概念【板块一】正数和负数题型一 正数和负数的意义－－－－表示相反意义的量 【例1】用正负数表示下列各题中具有相反意义的量：（1）足球比赛中，若输2个球记作－2，那么赢3个球记作 ； （2）若规定向东走3米记作＋3米，那么向西走5米记作 米； （3）银行若存入3000元记作＋3000元，那么从中取出2000元记作 ； （4）负债100元也可以说成是拥有 ； 题型二 判断数的正负【例2】下列各数：0.6，－3，＋2，10%，0，－8，－1.2，＋23，π，31-，.3.0。
（1）正数有 ； （2）负数有 .【例3】想一想:如果字母a 表示一个有理数，那么“－a ”是正数还是负数呢？题型三 根据数的正负性求值或范围【例4】若a －1表示正数，2a －6表示负数，求整数a 表示的数。
针对练习11.若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为 ， ，鲨鱼比潜水艇高出 米。
2.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度，已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ）A .甲地高出海平面100米B .丙地最低C .乙地比甲地低90米D .乙地比丙地高70米 3.下列各数：＋5.9，312-，－7，0，512，8中，正数的个数是（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 4.大于－4且小于3的所有整数有（ ）A .3个B .4个C .5个D .6个【板块二】有理数题型一 有理数的概念及分类【例5】将下列数按一定标准分类，再把它们填写在相应集合圈内：0.618，＋3.14，2018，10%，0，－8，－1.2，＋5，－π，32-分数集负数集整数集题型二 探究数字规律【例6】观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，……将这列数排成下列形式： （1）按照上述规律排下去，第9行最右边的数是 ； （2）求第10行从左向右数第10个数；（3）2018这个数十第 行从左往右的第 个数。
讲义1有理数的基本概念及分类
4:45:18 PM第一讲有理数1_有理数、数轴教师：学生：时间：知识点对应训练知识点 1：正数、负数的概念1、下列各数 -11，0.2 ，81，74，1，-1 ，像 3、 2、 0.5 、 1.8 ％这样比 0大的数叫，根据需要，有时在正数前面加上“ +”，如 +5，，，，。
正数前面-a ， -30％中，的“ +”，一般省略不写：而像-3 、-2 、-3.5％这样在正数前面加上“—”（）一定是正数，号的数叫。
如-6，，。
“ -6 ”读作。
（）一定是负数。
【例 1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-10 ， 1， -0.5 ， 0， 36，2， 15％， -60 ，1， 22.8 553解：知识点 2：对“ 0”的理解。
2 下列说法正确的有（）。
0 既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。
它的① 0是最小的自然数；意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。
② 0是整数也是偶数；【例 2】对于“ 0”的说法正确的有（）③ 0既非正数也非负数；①0 是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；④一个数不是正数就是负数；③0 是正数；④ 0 是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。
⑤负数也叫非正数。
解：⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．知识点 3; 用正数和负数表示具有相反意义的量。
3、用正数和负数表示同一问题中具有相反意相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是它义的量。
们都具有数量，而且一定是量。
①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记【例 3】下面问题中：作 +2；则三班输一局，记作。
（1）将水位上升 3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m 时水位变化②如果浪费 8 度电，记作 -8度；那么节约 15记作 -3m。
度电记作。
（2）在一个月内，小明的身高增加 2.5cm，记作 +2.5cm；体重下降 3kg ，③如果高于海平面100m记作 +100m，那么低于记作 -3kg海平面 36m记作。
第1讲 有理数的概念
第一讲 有理数的概念一：知识点精析：1、正数、负数、零、非负数；正数与负数表示一对具有相反意义的量；2、整数和分数统称为有理数；3、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。
在数轴上，正数在原点的右侧，负数在原点左侧；数轴上右边的数总比大；数形结合，。
4、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为零，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的，相反数是零，a 的相反数是a -，互为相反数的两个数到原点的距离相等。
5、绝对值:一个数的绝对值就是这个数在数轴上的点到原点的距离，（这是绝对值的几何意义）（1）正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反，数零的绝对值是零，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a（2）一个数的绝对值永远为非负数，（3）几个非负数的和为零，则这几个数同时为零，（4）()a x a a x ±=≥=则,0（5）比较两个数大小的方法：两个负数做比较，绝对值大的反而小，（6）中点公式：在数轴b a 、对应的点的中点为2b a + 二、典型例题：1、a -表示负数吗？为什么？下列数，表示正数的有___________,表示负数的有_______3-π,2-2π,a ,12+x ,12+-x ,a a 1+,a1- 2、若记向东50米记作50+，一天，出租车王师傅从A 地出发，沿笔直的公路向东走了3500米，接着又向西走了6200米，接着又向东走了4500米，最后又向西走了3500米，请问王师傅最后在A 地的__________（东、西）方向_________米。
3、若b a >，则0____b a -；若b a <，则0____b a -；若b a =，则0____b a -4、比较大小：（1）651______431--；（2）ππ-4______3-；（3）若10<<a ，比较大小：32,,,1,a a a a a -（4）若01<<-a ，比较大小：32,,,1,a a a aa -5、（1）数轴上与-3距离17个单位的数是___________（2）数轴上有B A 、两点，如果点A 对应的数是-6，且B A 、两点的距离为7，那么点B 对应的数是_______6、点B A 、分别是数-3、21-在数轴上的对应点，使线段AB 沿数轴向右移动到AB ，且线段AB 的中点对应的数是3，则点A 对应的数是_________,点A 移动的距离是_____7、有理数c b a 、、在数轴上的位置如图，化简c a b a c b a --+--+228、设c b a 、、为非负数，化简abcabc c c b b a a +++ 9、若00<>b a ，，则使得b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是________10、已知()05432=++++-z y x ，则=++zy x 111_________ A 层次1、若09819=+b a ，则ab 是（ ）A 正数B 非正数C 负数D 非负数2、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20162016b a +等于_______3、2017个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中（）A 至少有一个是零B 至少有1008个正数C 至少有一个负数D 至多有2015个负数4、数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长为2107cm 的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有（）个A 2106或2017B 2106或2018C 2107或2018D 2107或20195、有如下结论;甲：c b a 、、中至少有两个互为相反数，则0=++c b a ；乙：c b a 、、中至少有两个互为相反数，则()()()0222=-++++a c c b b a ； 丙：c b a 、、中至少有两个互为相反数，则()()()0=-++a c c b b a其中正确的结论个数是（）A 0B 1C 2D 3 6、已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在数轴上原点的左方，那么（） A b ab < B b ab > C 0>+b a D 0>-b aB 层次7、已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是__________8、已知数轴上有B A 、两点，B A 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离和为_______9、如果数轴上点A 与原点O 的距离为3，点B 与原点O 的距离为5，那么B A 、两点间的距离为__________10、计算机利用的是二进制，他它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干n 2的和，依次写出1或0即可，如：1001121212020211901234=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=为二进制的五位数，则十进制的240化为二进制，是_________位数11、问题:不，你能比较2016201721072016与的大小吗？为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较()nn n n 11++与的大小（n 是自然数），然后我们从分析Λ，，，321===n n n ，这些较简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论：，(1)通过计算：比较下列各组数的大小，在横线上填写><=56453423126____5;5____4;4____3;3____2;2____1(2)从第(1)题的结果归纳，可以猜想出()nn n n 11++与的大小关系是__________ (3)根据上面归纳,猜想到的结论，比较下列两个数的大小:201620172107_____201612、一张纸片第一次将它撕成6片，第二次又将其中一小块撕成6片，如此继续下去，第二次撕后共得小纸片______片，第三次共得小纸片______片，第十次后共得小纸片______片，第n 次后共得小纸片______片。
第一节 有理数及相关概念(含答案)...七年级数学 学而思
第一节 有理数及相关概念1、有理数整数与分数统称有理数 2、有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数负有理数是负数）零（既不是正数，也不正分数正整数正有理数有理数（按符号）负分数正分数分数负整数自然数零自然数正整数有理数（按定义）--------注：①小学学过的π不是有理数；②“四非”：即非负数，非负整数，非正数，非正整数（不要丢掉“0”）； ③“0”既不是正数也不是负数：④有理数的分类标准必须一致，一类是按照定义，一类是按照符号． 3.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 注：①数轴的三要素：原点、正方向、单位长度：②有理数都能在数轴表示出来，但数轴上的点不都代表有理数，比如丌． 4．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，特别地，0的相反数是0． 注：① 若a 与b 互为相反数，则a+b=0，反之也成立；②在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等．5．绝对值(1)绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作 ｜a ｜ ； (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 注：① 任何一个数a 的绝对值都是非负数，即｜a ｜≥0；②去绝对值时，一定要注意绝对值里面的符号，若绝对值里面是非负数，去掉绝对值等于它本身；若绝对值里面是负数，去掉绝对值等于它的相反数，即去绝对值口诀为“非负为本身，负数为相反”．6．倒数与负倒数(1)倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则a ．b=1： 注：①0没有倒数；②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数；③求小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数．(2)负倒数：若a 与b 的乘积是一1，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则a ．b= -1．1．比较有理数大小的常用方法（1)数轴法 ：数轴上右边的数比左边的数大； (2)代数法：正数大干非正数，零大于一切负数；（简记为：负数<0<正数） (3)绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小．(4)特殊值法 ：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小． 2．数学思想方法(1)初步理解分类讨论的思想；分类讨论 ，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结果，最后综合各类结果得到整 个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的 数学策略。
第1讲 数学教师讲义1(有理数的概念)
第1讲 与有理数有关的概念（教师讲义）一、教学目标1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.二、例子【例1】写出下列各语句表示的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．【变式题组】1．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%2．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：按整数、分数分、按正负性分类有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数， 有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______02．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c |c |的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.a解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值三、练习01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个03．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b04．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和305．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数06．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b |③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③07．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b8.零是（ ） A 、正有理数 B 、正数 C 、非正数 D 、有理数9.下列说法不正确的是（ ） A 、 0小于所有正数 B 、0大于所有负数C 、0既不是正数也不是负数D 、0没有绝对值10.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是( )A.正数B.负数C.非正数D.非负数11.下列说法正确的是( )A.-a 一定是负数;B.│a │一定是正数;C.│a │一定不是负数;D.-│a │一定是负数12.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1-1所示,那么下列式子中成立的是( )A.a>bB.a<bC.ab>0D.0a b 13.下列说法正确的是( )A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0不是最小的有理数D.正有理数包括整数和分数14．一个数在数轴上的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则该数是____.15.－5的相反数是 ，－5的倒数是 ，－10的绝对值是 ；16.比较大小：0 －0.01，2334 - ⎽⎽⎽⎽⎽⎽-；－[－（－0.3）]_______－∣－31∣ 17.简化符号：1(71)2--= ，8--= ；18.最大的负整数是 ;绝对值最小的有理数是 ；最小的自然数是______19.数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数是 .20.若│a │=5,则a= .21.绝对值小于3的所有的负整数是 ；它们的和为_________22. -3.5的倒数数是 。
第一讲数系扩张--有理数一
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
第一讲 有理数的概念
练习：火眼真金，找到下列图在正确的数轴.
注意：是直线、有原点、通常向右为正，单位长度均匀分布.
练习：画出数轴并表示以下有理数：2， ，3，-3.5，0
注意：每一个有理数都对应数轴上的一个点.
思考：所有的有理数都在数轴上吗？（是的）
A.收入20元与支出30元 B.上升了6米和后退了7米
C.卖出10斤米和盈利10元 D.向东行走30米和向北行走30米
（2）如果盈利20元记作＋20，那么亏本50元记作.
（3）如果“盈利5％”记作＋5％”，那么-3％表示（ ）
A.亏损3％ B.亏损8％ C.盈利2％ D.少赚3％
练1-2.（1）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A.3B.1C.-2D.-4
练5-2.（1）数轴上的点A、B，如果点A对应的是-2，A、B两点的距离为3，那么点B对应
的数是.
（2）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据
请确定墨迹遮盖住的整数共有个
附加题：
地点
纽约
纽约
纽约
纽约
时差/时
-13
-13
-13
-13
【1】下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数），现在的北京时间是上午8:00，
笔记：所有的有理数都在数轴上.
思考：数轴上的点都表示有理数吗？
笔记：数轴上的点不都表示有理数，也可以表示像 这样的无限不循环小数.
练习：直接说出数轴上点A、B表示的数a、b的大小.
笔记：数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大， 简称：右大左小
例4.将有理数3，-2，1.2， ，0， ，-4在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来.
有理数基本概念(北师大版)
知识点精讲
⑴ 最小的自然数是 ⑵最小的正整数是 (3)最大的负整数是
，有没有最大的自然数？ ，有没有最大的正整数？ ，有没有最小的负整数？
知识点精讲
考点7:数轴上点的移动规律
知识点精讲
例4.（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数
轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是
（）
左移动7个单位长度，那么终点表示的数是多少？
3
相反数
知识点精讲
考点8：相反数
知识点精讲
只有
的两个数我们说其中一个数是另一个数的相
反数，0的相反数是 .
知识点精讲
互为相反数的两个数，它们分别在原点
，
且到原点距离
.
知识点精讲
的相反数是它本身；
相反数为本身的数是
.
知识点精讲
例1.下列各对数中互为相反数的是（ ）
考点训练
10.如图，数轴的单位长度为1，且数轴上各点之间的 距离均为1. (1)如果点B与点F表示的数互为相反数，那么点D表示 的数是什么？ (2)如果点D与点H表示的数互为相反数，那么点C表示 的数是什么？
考点训练
11.如图，在数轴上有三点A、B、C，请据图回答下 列问题： (1)将点B向左平移3个单位后，三个点所表示的数谁 最小？是多少？ (2)怎样移动A、B两个点中的一个，才能使这两点表 示的数为互为相反数？有几种移动方法？ (3)怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点所 表示的数相同，有几种移动方法？
个单位
考点训练
8.小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示 2的点与表示-4的点重合；若数轴上A、B两点之间的距 离为8(A在B的左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合， 则A点表示的数为( )
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新苏教版七升八数学第一讲有理数的概念和性质
一、【概念和性质】
1、正数和负数
正数：比0大的数。
如+3、+1.5、+1
2、+584（正号可以省略）
负数：比0小的数。
如－3、－1.5、－1
2、－584（负号不可以省略）
零：既不是正数，也不是负数。
零是正数和负数的分界。
【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于”
“上升”和“下降”“超出”和“不足”
“盈利”和“亏损”“收入”和“支出”
▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km，
向南－5km表示向北5km
填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作；
汽车原地不动记作。
（2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。
2、整数和分数统称为有理数。
▲有理数可以写成
m
n（
m、n是整数，n≠0）。
▲有理数的两种分类：
①按定义分：
②按符号分（常用）：
整数
分数
正整数
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
正整数
正分数
有限小数
无限小数
分数（分子是1时，这个分数就是正数）
无限循环小数
无限不循环小数（无理数）
小数
自然数
几个重要概念
（1）非负数：正数和零
（2）非正数：负数和零
（3）非负整数：正整数和零
（4）非正整数：负整数和零
3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。
左边的数 〈 右边的数
▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
4、绝对值的意义与性质：
① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
②
③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥
④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等）
6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数）
乘积是－1的两个数是互为负倒数
▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数
▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
【思考】
已知a 为有理数，判断下列语句是否正确：
① （a+12 ）2是正数； ② －（a －12 ）2
是负数；
111
-2 -1 0 1 2 大
小
[例1]（1）一个月内小明体重增加2kg ，小华体重减少1kg ，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值。
（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，英国增长1.3%，中国增长7.5%，写出这些国家的增长率。
解：
[例2] 画出数轴并表示下列有理数
1.5，
2.2-，5.2-，29，32
-，0
解：
[例3] 写出下列各数的相反数：
6，8-，9.3-，25，112
-，100，0
解：
[例4] 写出下列各数的绝对值：
6，8-，9.3-，125
-，0
解：
[例5] 比较下列各对数的大小：
（1）)1(--和)2(+- （2）218
-和73- （3）)3.0(--和|
31|-
解：
填空 ：① 若a ＞0，b ＞0，那么a+ b 0；
② 若a ＜0，b ＜0，那么a+ b 0；
1、若||||||0,a b ab ab
a b ab +-则的值等于多少？ 解：
2、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
解：
3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，
求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
解：
4、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）
A.2
B.3
C.9
D.6 解： 5、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则321ax bx cx +++的值是多少？
解：
6、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，
试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
解：
【巩固练习】
1、下面哪些数是正数？是负数？
5，75
-
，0，0.56，3-，8.25-，0001.0-
2、某地一天中午12时气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时气温是多少？
3、化简下列各数：)68(--，)75.0(+-，)53
(--，)8.3(+-
4、比较下列各数大小：（1）3-和5- （2）5.2-和|25.2|--
5、 写出下列各数的相反数
4-，2+，5.1-，0，31，49
-
6、写出下列各数的绝对值：125-，23+，5.3-，0
7、 如果2||=x ，那么x 一定是2吗？如果0||=x ，则x 等于几？
若x x -=则x 等于几？
8、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
9、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
10、计算：59173365129
13 248163264
+++++-
11、已知,a b为非负整数，且满足||1
a b ab
-+=，求,a b的所有可能值。
12、若三个有理数,,
a b c满足||||||
1
a b c
a b c
++=，求
||
abc
abc
的值。