第五章控制系统的频率特性分析法

ω=1/T
υ dB 900
lgω
lgω
转折频率
由此看出，误差在转折频率处最大
二阶超前、滞后系统
G (S ) S G ( j )
0
2
2
2
S 0 0
2
0

2
2 2
2 j 0 0
1 2 j
2 jtg
1
1
0
0 0
)
0 K Re
微积分
微分 积分
G (S ) S G ( j ) j
G (S )
1 S
G ( j )
1 j

1

j
一阶滞后系统
G (S ) 1 TS 1 1 1 jT
2
jQ（ω） 微分
G ( j ) 1 1T
2
Re
(1 jT )
积分
Tω＞＞1时
20 lg G ( j ) 10 lg T
2
2
20 lg T
转折频率： 20lgTω=0
ω=1/T
dB
转折频率 lgω
υ
lgω
-900
一阶超前环节
G ( S ) TS 1 G ( j ) Tj 1 T
2 2
1e
jtg
GK 10
2 3
(1 100 S )
2
S (1 10 S )( 1 0 . 125 S )( 1 0 . 05 S )
试绘制系统的开环对数幅频特性。 解： n=5，m=2，K=10-3 γ=2，交接点：0.01，0.1，8，20 20lgK=-60dB，-20（n-m）=-60dB
第五章控制系统的频率特性分析法
主要内容： • • • • • • 频率特性的基本概念 频率特性的对数坐标图（Bode图） 频率特性的极坐标图（Nyquist图） 用频率法分析系统的稳定性 相对稳定裕度 用闭环频率特性分析系统性能
第一节频率特性的基本概念
一、频率响应：线性系统对正弦信号输入下的稳态输出响应
比例环节： 传函： G（S）=K 频率特性 G（jω）=K ej0 20lg|G（jω）|=20lgK ；υ（ω）=0 dB 20lg|G（jω）| dB 20lg|G（jω）| 20lgK Φ（jω）
Φ（jω） 微积分环节： 积分环节 传函： 频率特性 lgω -900 G（S）=1/S G（jω）=1/jω=（1/ω） e-j90 1 lgω
一阶超前、滞后系统
滞后环节： G ( S )
1 TS 1
2
G ( j )
2
1 Tj 1

e
jtg
1
T
T
2
2
1
20 lg G ( j ) 10 lg( T
1)
( ) tg
1
T
渐近线： Tω＜＜1时，
20 lg G ( j ) 10 lg 1 0
ω/ω0＞＞1时，
20 lg G ( j ) 20 lg
(
0
)
4
转折频率：ω=ω0
插入图5-12
插入图5-13
纯滞后：
G（S）=eτS
→
百度文库
G（jω）=e-jτω
180
0
G ( j ) 1
( )


超前补偿器与滞后补偿器：
传函：
G (S ) 1 TS 1 TS
它相当与两个环节，超前、滞后，谁小就先起作 用，就称为那种补偿器。
频率特性：
G ( j ) 1 Tj 1 Tj 1T
2 2 2 2
1 T 1T
2 2 2 2
e
2
j ( tg
1
T tg
1
T )
20 lg G ( j ) 20 lg
j ( t )
e
j ( t )
]
A G ( j ) sin( t ) B sin( t )
Y ( j ) R ( j )
G ( j ) e
j ( )
G ( j )
例题39：若G（S）=K/（TS+1） r（t）=Asinωt 求y（t）
1
T
20 lg G ( j ) 20 lg
(T
2
2
1)
( ) tg
1
T
渐近线： Tω＜＜1时，
20 lg G ( j ) 10 lg 1 0
Tω＞＞1时
20 lg G ( j ) 10 lg T
2
2
20 lg T
转折频率： 20lgTω=0
若已知传递函数G（S），则其频率特性为G（jω） =|G（jω）│·jυ=（B/A ）·jυ e e 证明：设线性系统G（S）=Y（S）/R（S）
r ( t ) A sin t R (S ) A S

2

2
（ S Z 1）（ S Z 2） S Z m ） （ 令 G （ S ） （ n m） （ S P1）（ S P2） S Pn） （ （ S Z 1）（ S Z 2） S Z m ） （ A Y （ S ） G （ S ） R （ S ） 2 （ S P1）（ S P2） S Pn） S （
G (S )

K (1 T 1 S )( 1 T
'
' 2
S) S
S (1 T 1 S )( 1 T 2 S ) (1 2
0

S
2 2

)
1、起点：ω=0 γ =0 0型 0型 |G|=K ∠G=00
γ=1
γ=2
Ⅰ型
Ⅱ型
Ⅰ型 |G|=∞
∠G=-900
2、终点：ω→∞
) ] [ 2 (
0
) j]
jQ（ω）
ω→0时，Re=1，Im=0
ω→∞时，Re=0，Im=0 ω=ω0时，Re（ω）=0，Im=-1/2ξ 纯滞后
G ( j ) e
j
1.0
0
-1/2ξ
Re
ω从0→∞时，∠G（jω）从0→∞ jQ（ω） ω=0 0
1.0
Re
二、开环系统极坐标图：
50 验证：高频段渐近线斜率为-20（n-m）dB/dec
例题40：开环传函 解： γ=1
G (S )
10 (1 0 . 1 S ) S (1 0 . 5 S )
画其频率特性图。
G ( j )
10 (1 0 . 1 j ) j (1 0 . 5 j )
dB
转折频率：2、10
r（t） y（t）
线性系统
r（t）=Asinωt y（t）=Bsin（ωt +υ） 幅频特性—— 以B/A为纵坐标，以频率为横坐标画出的一个特性图 相频特性——以υ为纵坐标，以频率为横坐标画出的一个特性图 幅相特性——以ω为参变量，以B/A，υ为纵、横坐标画出的一个 特性图
二、频率特性与传递函数之间的关系
lg G ( j ) lg G ( j ) lg e
lg G 0 . 434 j
取对数的目的是为了简化运算，使乘积变为加法运算 以20lg|G（jω）|（db，分贝）为纵坐标，以频率的对数为 横坐标绘制的图形称之为幅频特性图；以相角为为纵坐标， 以频率的对数为横坐标绘制的图形称之为相频特性图。以上 二图称之为Bode图。 一、典型因子的Bode图 比例；微积分；一阶超前、滞后系统；二阶超前、 滞后系统； 纯滞后超前补偿器与滞后补偿器
-40dB/dec
40dB
20dB
0dB/dec -20dB/dec 0.01 0.1 1.0 20 8 -40dB/dec ω
-20dB -40dB -60dB -60dB/dec
作业：5-5①、②、③、⑥、5-6
第三节频率特性的极坐标图 （Nyquist图）
一、典型因子的极坐标图
比例；微积分；一阶滞后系统； 二阶滞后系统； 纯滞后 比例 G（S）=K jQ（ω） G（jω）=K+j0
一阶超前系统
G ( j ) 1 jT
jQ（ω）
jQ（ω）
Re ω=0 一阶滞后系统 二阶滞后系统；
G ( j ) 1 2 ( 1
Re
一阶超前系统
[1 (
0
) ] 2 j (
2 2 2
0
)
2
0
)j(
0
j)
2
[( 1 (
0
y ( t ) ae
j t
ae
j t
a G ( S ) R ( S )( S j ) a G ( S ) R ( S )( S j )
G ( j ) G ( j ) e y (t )
j j
S j
G ( j ) G ( j )
y (t ) r (t ) G ( j )
1
K Tj 1

K T
2 2
e 1
j
tg T
y (t ) K T
2 2
1
A sin( t )
第二节频率特性的对数坐标图 （Bode图）
G ( j ) G ( j ) e
j j
20lg|G（jω）|=-20lgω
；υ（ω）=-900
纯微分环节
传函：
G（S）=S ；υ（ω）=900 Φ（jω） dB 900 lgω
频率特性 G（jω）=jω=ω ej90 20lg|G（jω）|=20lgω
积分环节乘积： 传函： G（S）=K/Sr
1
20lg|G（jω）|
频率特性 G（jω）=K/（jω）r=K/ωr e-j90r 20lg|G（jω）|=20（lgK-rlgω） ；υ（ω）=-900 r
A j j A

A G ( j ) 2j

A G ( j ) 2j
S j
j j
G ( j ) G ( j ) e e
j t
j
A G ( j ) e 2j

A G ( j ) e 2j
j
e
j t

A G ( j ) [e 2j
1 T
( ) tg
2
1
T tg
1
T
二、开环对数频率特性的绘制 （将开环传函表示成时间常数形式） 10根据开环传函，写出其频率特性表达式，确定各组成 因子的转折频率，由小到大标于频率轴上；
20低频段：斜率为-20γ dB/dec（γ为积分阶次），在 ω=1处，L（ω）=20lg|G（jω）|=20lgK 30 沿着频率增大的方向，每遇到一次转折，频率改变一 次分段直线的斜率； 遇到惯性环节的交接频率，斜率增加-20dB/dec； 遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加+20dB/dec； 遇到震荡环节的交接频率，斜率增加-40dB/dec； 遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加+40dB/dec； 40按照误差曲线修正；
— 2
y （ t ） L [ Y （ S ） L [ ] ae
j t
1
1
a S j

a S j
Pn t

b1 S P1

b2 S P2

bn S Pn
]
ae
j t
b1 e
P1 t
bn e
当 t→∞时（即稳态时）
0.1
1
10
lgω
三、由Bode图估计系统的传递函数： 步骤： 根据实验数据画出Bode图； 作对 数幅频特性的渐近线； 根据渐近线斜率的变化来识别传函中的所有因子。
四、对数幅频特性与相频特性间的关系
Bode定理： 对于最小相位系统，对数幅频特性的 斜率为-20Ndb/dec，对应的相角位移为 -90N。 例题41：已知某系统的开环传递函数为
2
(
0
)
2
[1 (
1
1 (
0
) ] ( 2
2 2
0
e )
2
20 lg G ( j ) 20 lg [1 (
1
0
) ] ( 2
2 2
0
)
2
2
0 0
)
2
( ) tg
1
1 ( 1
令 g （ ）
G ( j )
Ⅱ型 |G|=∞ ∠G=-1800 此结果仅适用于最 小相位系统！！ |G|=0
令分子为m阶，分母为n阶∠G=-（n-m）900
ω→0 jQ（ω） 3型 ω→0 ω=0 K 2型 Re Re jQ（ω）

2
[1 (
0
) ] ( 2
2 2
0
)
2
g ' 0 得 0 1 2 时 g 有极值，即
G ( j ) 有极大值
称此时的ω为谐振频率，即1-2ξ2＞0，ξ＜0.707 即在ξ＜0.707时才可能产生谐振。
渐近线： ω/ω0＜＜1时， 20lg|G（jω）|=0