数学必修一零点题型总结
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
f
x
mx
m
2 3
有四个解，即直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，
因为直线
y
mx
m
2 3
过定点
1,
2 3
，
在同一直角坐标系中作出直线 y mx m 2 与函数 f x 的图象，如下图所示，
3
当直线
y
mx
m
2 3
过原点时，
m
2 3
；
当直线
y
mx
m
2 3
与函数
y
ln
x
1
,
x
0
的图象相切时，
4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
专题 08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助 于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1） 零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4） 根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或 与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：
高一函数零点题型归纳
高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。
以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。
接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。
二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。
因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。
三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。
如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。
四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。
解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。
由于售价的整数部分为10，则售价为30元。
再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。
五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。
高一：零点问题的解题方法
从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y ＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内，有f (a )·f (b )<0成立，那么y ＝f (x )在(a ，b )内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B ．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12．∴当x＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．【答案】 22．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ．设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】22．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，2)D ．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．【答案】B3．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象知f (x 1)＜0．【答案】A4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x－a ＝1x－a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…．f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32．【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0 B ．－2，0 C ．12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．【解析】D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x－a ＝0，即2x＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，a ＞0，∴a ＞49，故49＜a ≤1．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1必记结论 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1【解析】y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．【答案】A2．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)【解析】由题意知f (1)·f (2)＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3． 【答案】C3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上． 【答案】B4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15D ．(－∞，－1)【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15．【答案】B5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．【答案】B6．(2014·开封模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9．【答案】C7．(2014·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．【解析】∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2，3]，即a ＝2，b ＝3．∴a ＋b ＝5．【答案】58．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．【解析】因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点． 【答案】69．若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．【解析】函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】810．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【解析】令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞)【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1． 【答案】B2．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(1，＋∞) D ．(0，1)【解析】函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x(a ＞1)的图象与y 轴交于点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1．【答案】C3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ．若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2【解析】函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点．【答案】D4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点． 【答案】A5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2．当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D【解析】由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【解析】C2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2．5，3)【解析】∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，∴f (3)·f (4)＞0，∴零点x 0所在的区间为(2，3)． 【解析】C3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【解析】设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n＜0．001，即2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7． 【解析】7Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
函数零点的题型总结
函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
数学必修一零点题型总结
第三章 第一节 函数与方程一、函数的零点一、实例：填表二、函数零点的概念：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点别离是( )A ．2；2B ．(2,0)；2C ．－2；－2D ．(－2,0)；－22．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a<4B ．a>4C ．a ≤4D ．a ≥43．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．24．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．5、求下列函数的零点 （1）9127)(-=xx f （2）)1(log 2)(3+-=x x f二、零点定理一、方程的根与函数零点的关系：方程f(x)=0的根⇔函数f(x)的零点⇔函数与x 轴交点的横坐标 二、零点定理： 若是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是持续不中断的一条曲线，而且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，那个c 也确实是方程()0f x =的实数根。
问题1：去掉“持续不断”能够吗？问题2：若是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是持续不中断的一条曲线，而且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对？问题3：若是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是持续不中断的一条曲线，而且有0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对？题型二、判定区间内有无零点1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是持续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确信2． 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1(1,)e和（3，4） D ．(,)e +∞3．设函数f(x)=2x-x 2-2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9）4、方程521=+-x x 在下列哪个区间内必然有根？（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4）五、依照表格中的数据，能够判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( )D ．(2,3)三、判定零点的个数方式①：转化为判定方程f(x)=0的根的个数，解方程例：函数f(x)=x-x 1的零点有______个方式②：从图像判定零点个数例1：已知函数f(x)为R 上奇函数，且在（0，+∞）上有1003个零点，则f(x)在R 上的零点的总个数为______例2：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=30,log 3,3)(3x x x x x f（1）方程f(x)=0有几个根？ （2）方程f(x)=1有几个根？（3）方程f(x)=k 有几个根？ （4）方程f(x)=-x 有几个跟？总结：如何利用图像判定f(x)=g(x)有几个根？题型三 判定零点个数（方程根的个数）一、函数⎩⎨⎧>-≤-+=0ln 0,32x 2x xx x x f ）（的零点有_______个 二、23,(1)(),()()23,(1)x x x f x g x f x e x x x +≤⎧==-⎨-++>⎩则函数的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、方程lnx+2x-6=0有几个根？4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=30,log 3,3)(f 3x x x x x ，若方程f(x)=k 有两个不同实根，求实数k 的取值范围5、已知函数⎩⎨⎧>-≤=0,0,x 2x x x x x f ）（，若g(x)=f(x)-m 有三个不同零点，求实数m 取值范围四、二分法求零点的近似值二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：题型四 二分法一、用二分法求方程x ³-x-4=0在区间[1,3]内的实根，应计算f(___)，下一个有根的区间是____ 二、用二分法求f(x)=x3-x-4=0的一个零点，参考数据如下： f= f= f= f= f= f=据此数据，可得方程043x=--x 的一个近似解为_______ 3、综合练习一、已知函数f(x)=ax ²-2x+1(a ≥0) （1）讨论f(x)在[0,2]上的单调性（2）若a>1,求f(x)在[0,2]上的最大最小值（3）若f(x)在区间（0，2）上只有一个零点，求a 的范围二、概念在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求知足f(log 19x)≥0的x 的取值集合．。
高中函数零点问题精选题型
零点问题与数形结合题型一、直接做图1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________4 设函 21,0(),1,0x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩ 若函数 ()a f x = 有两个实根 ()1212,,x x x x < 则 12x x + 的取值范围是_________5 若关于 x 的不等式 23344a x xb -+ 的解集恰好是 [a, b],则 a b +=_________6 关于 x 的不等式 201x px q ++ 的解集为 [3,4], 则 p q +=_________7 已知函数 22,||3(),6,||3x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩ 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________题型二、变形后做图1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围 是_________2 若关于 x 的方程 2||2x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________3 已知函数 21(),()32f x x h x =+= 解关于 x 的方程 433log (1)24f x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦22log ()log (4)h a x h x ---。
高中数学零点问题经典题型
高中数学零点问题经典题型1、 设()ln sin ,f x x x =+找出一个0(0,),x ∈+∞使得()00f x <。
2、 已知1()ln ,1x f x x x +=--找出一个0(0,1),x ∈使得()00f x >。
3、 已知230,(),a f x x a x>=+-找出一个0(,0)x ∈-∞使得()00f x >。
4、 设110,()e ,e x a f x ax x<<=-找出一个0(0,),x ∈+∞使得()00.f x <5、 设110,()(1)e ,e x a f x a x x<<=--找出一个0(0,)x ∈+∞使得()00.f x <6、 已知2(0,1),()(2),xx a f x ae a e x ∈=+--找出一个0(,0),x ∈-∞使得()00f x >。
7、 已知230,(),a f x x a x>=+-找出一个0(,0),x ∈-∞使得()00.f x <8、 设0,(),xa f x xe a >=-找出一个0(0,),x ∈+∞使得()00f x >9、 已知()(2)(1)2ln f x a x x =---在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点,求实数a 的取值范围。
10、 (2016江苏)若01,a b <<<函数()2x xg x a b =+-有且只有一个零点,求ab 的值。
11、（2018江苏19）若存在0x ∈满足()()()()0000,,f x g x fx g x ''==则称0x 为()f x 与()g x 的一个S “点”。
(I)若函数2()1,()ln f x ax g x x =-=存在“S 点”,求a ;(II)已知函数2e (),(),xb f x x a g x x=-+=对任意的0,a >判断是否存在0,b >使函数()f x 与()g x 在(0,)+∞内存在“S 点",并说明理由。
高一函数零点题型学霸总结二(含答案)-
高一函数零点题型学霸总结二（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共19小题，共95.0分）1.已知函数若方程有四个不同的解，则实数k的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，将问题转化为图象交点个数问题是解答的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．作出函数的图象，设，得出与的图象有四个交点时k的取值范围，即为所求．【解答】解：作出函数的图象：设，当过点时，，此时与的图象有三个交点；当与相切时，负值舍去，此时与的图象有三个交点，由图可知，在这两种情况中间的部分与的图象有四个交点，即为方程有四个不同的解的情况，所以k 的范围为．故选B ．2.已知奇函数、偶函数的图象分别如图1，2所示，方程，的实根个数分别为a，b，则A. 14B. 10C. 7D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的奇偶性，属于中档题．利用函数图象求解即可．【解答】解：设函数的图象在y轴两侧与x轴的交点的横坐标分别为m，n，如图所示，则可知，．由方程，可得或或，，1，m，0，n，，2，方程有7个实根，即；由方程，可得舍去或或舍去，，0，1，方程有3个实根，即，，故选B．3.设a为实数，若函数有零点，则函数零点的个数是A. 1或3B. 2或3C. 2或4D. 3或4【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属于中档题．令，，函数有零点，即方程有根，然后分方程有1个根与2个根两类分析得答案．【解答】解：令，，函数有零点，即方程有根，若方程有1个零点，则，即，而方程化为，即，，此时函数有2个零点；若方程有2个零点，则，得，此时方程的根为，而小根在时成立，所以函数有4个零点．综上，函数零点的个数是2或4．故选C．4.已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数k的范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：方程有三个不同的实根，即函数的图象与有三个不同交点．作出函数的图象如图：由图可知：，得．实数k的范围是．故选：B．把方程有三个不同的实根转化为函数的图象与有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得，从而求得实数k的范围．本题考查根的个数问题，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．5.已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．【解析】解：依题意，函数的图象与直线有4个交点，当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数有4个交点，且；直线OB与函数有6个交点，且；又过点作函数在上的切线切于点C，则又，同理作函数在上的切线切于点D，则．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为．故选：B．6.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查对数函数的性质，综合性强．由题意可得必存在唯一的正实数a，满足，，可得，由得，解得，数形结合可得a的范围．【解答】解：是定义域为的单调函数，对任意的，都有，必存在唯一的正实数a，满足，，，由得：，即，，解得．故，，由方程在区间上有两解，即有在区间上有两解，作出的图象，如图所示：，结合题意，，故选：A．7.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．根据函数图象判断零点的个数，再根据零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】令，则得，分别画出函数与的图象，因为与的图象只有一个交点，所以只有一个零点．又因为，，所以函数的零点所在的区间是．故选C．8.设函数，若，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数零点与图象的关系，二次函数的值域的计算，属于中档题．根据的图象判断的范围和，，的关系，得出是关于的函数，利用单调性求出该函数的值域．【解答】解：作出函数的图象如下图所示：，由，由图可知：，，所以，，，即．故选D．9.若方程在内恰有一个实根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数零点存在定理的应用，属于中档题．构造函数，满足即可．【解答】解：令，若方程在内恰有一解，则满足，即，解得．故选B．10.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：易知函数为减函数，又，，根据零点存在性原理，可知函数的零点所在的区间是．故选：D．利用函数的零点判断定理，通过，推出结果即可．本题考查函数的零点的判断定理的应用，考查转化思想以及计算能力．11.“函数在区间上有零点”是“”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．通过举反例可得充分性不成立，通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论．【解答】解：由“函数在区间上有零点”不能推出“”，如在上有零点，但，故成分性不成立．由“”不能推出“函数在区间上有零点”，如满足，但在上没有零点，故必要性不成立．故选：D．12.利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又，，故，故方程在区间上有解，故选：C．设，当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．13.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，作出函数的图象如右图所示，时，，时，；方程有三个不同的实数根，则函数的图象与的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为．故选：A．根据分段函数的解析式，作出分段函数的图象，方程有三个不同的实数根，即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a的取值范围．本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法．解题的关键在于正确作出函数图象，能将方程有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题．解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法．属于中档题．14.函数的零点所在的大致区间是A. B.C. 和D.【答案】B【解析】解：对于函数在上是连续函数，由于，，故，根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，故选：B．函数在上是连续函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．15.已知函数，若恰好有3个零点，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点问题，注意运用数形结合思想方法，考查分析能力和观察能力，属于中档题．由题意可得有三个不等实根，作出的图象，即可得到所求范围．【解答】解：恰好有3个零点，即为有三个不等实根，作出的图象，当时，的图象与有三个交点，故选：D．16.已知函数且关于x的方程f有两个实根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数，函数与方程的综合应用，对数函数与指数函数的图象与性质，数形结合思想的应用，关键是将方程实根的个数转化为函数图象交点的个数．关于x的方程f有两个实根转化为函数的图象与直线有两个交点，根据对数函数、指数函数的图象画出分段函数的图象，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：函数作出函数的图象如图，关于x的方程f有两个实根，即的图象与直线有两个交点，欲使的图象和直线有两个交点，由图象可知．故选A．17.函数的零点个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数零点的求法和判断，先求函数的定义域是解决本题的关键，否则容易出错．先求函数的定义域，然后解方程，即可解得函数零点的个数．【解答】解：要使函数有意义，则，即，或．由得或不成立舍去．即或，函数的零点个数为2．故选：B．18.已知函数，则函数的零点个数是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：令，，则，分别作出和直线，由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，即有有一根；时，有3个不等实根，综上可得的实根个数为4，即函数的零点个数是4．故选：A．令，，则，分别作出和直线，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题．19.已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：作出函数的图象，如右图，考虑直线，，与曲线相切，由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点．故选：B．作出函数的图象，求得直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．二、不定项选择题（本大题共1小题，共4.0分）20.下列几个说法，其中正确的有A. 已知函数的定义域是，则的定义域是B. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是C. 函数与图像的交点个数是2个D. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了函数的定义域，零点问题，最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力．根据函数的定义域、值域，函数的零点与方程根的关系，结合函数图象，依次判断得到答案．【解答】解：的定义域满足，解得，故的定义域为A正确；B. 如图所示，画出函数的图象，函数有两个零点，即为函数的图象与直线的图象有两个交点，根据图象知：，B正确；C. 令，则，又，，由零点存在性定理可得在上至少有1个零点．即函数至少有三个零点，故C错误；D. 设，故，即为奇函数．则在的最大值和最小值互为相反数，故，故D正确．故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）21.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________．如果函数与的“新驻点”分别为、那么和的大小关系是_________．【答案】；．【解析】【试题解析】【分析】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义．属于中档题目．根据题意，求出函数的导数，由“新驻点”的定义可得，变形可得，结合x的范围分析可x的值，即得答案；根据题意，求出与的导数，由“新驻点”的定义可得的取值范围，分析求出的值，比较即可得答案．解：，，令，即，得，，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；，，则，，令，则对任意的恒成立，所以，函数在定义域上为增函数，，，由零点存在可得，令，可得，即，所以，．故答案为：；．22.若函数的零点为，则______．【答案】3【解析】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．根据题意，由函数零点的定义可得，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数的零点为，则，即，解可得，故答案为：323.已知函数有零点，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】本题考查函数零点的存在性定理，以及利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题．先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最小值小于或等于零得出a的取值范围．【解答】解：，，可得的根为，当时，，可得函数在区间上为减函数；当时，，可得函数在区间上为增函数，函数在处取得极小值，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数的最小值要小于或等于零，即，可得，故答案为．24.函数的零点个数是______个．【答案】3【解析】解：由题意可知：要研究函数的零点个数，只需研究函数，的图象交点个数即可．画出函数，的图象由图象可得有3个交点．故答案为：3．本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）25.已知函数是自然对数的底数求的单调递减区间；记，若，试讨论在上的零点个数．参考数据：【答案】解：，定义域为R．．由解得，解得．的单调递减区间为．由已知，．令，则．，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．，．当，即时，，，，使得，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减．，．又，由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点．若时，，又在上单调递增，在上单调递减，又，，，使得，，且当、时，；当时，．在和上单调递减，在上单调递增．，．，．又，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点．综上所述，当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数零点存在性定理，导数中的零点问题，分类讨论思想，属于综合题．求出，令解得即可；由已知，令，则，利用导数研究单调性，通过分类讨论可得在上的零点个数．26.已知函数，，且函数是偶函数．求的解析式；．若不等式在上恒成立，求n的取值范围；若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．【答案】解：，．是偶函数，，．，．令，，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立．．令，，则，，．令，则，方程可化为，即，也即．又方程有三个实数根，有一个根为2，．，解得或．由，得，由，得，该函数的零点为0，，2．【解析】本题主要考查方程根的问题．函数的奇偶性以及函数恒成立条件的转化，考查分析问题解决问题的能力是难题．通过是偶函数，转化推出，然后求解函数的解析式．令，命题等价于在上恒成立．然后转化利用二次函数的性质求解即可．令，则，方程，化为利用方程的实数根的个数，转化推出方程的解，然后求解函数的零点即可．27.已知，．讨论函数的单调性；若方程f在区间上有两个不相等的解，求a的取值范围．【答案】解：，其定义域为，所以．当时，由，得，由，得，故当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，恒成立．故当时，在上单调递减．综上，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增．方程f在区间上有两个不相等的根，等价于在区间上有两个不等的零点．由知，若，在上单调递减，最多有一个零点，所以，在上单调递减，在上单调递增，易知在其定义域上连续，若在区间上有两个不等零点，则即解得由，可知，所以该不等式组的解集为，即f在上有两个不相等的解时，a的取值范围为．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间；方程在区间上有两个不等解等价于等价于在区间上有两个不等的零点，由的单调性可得，解之即可．28.已知函数若，求函数的零点；若函数在上为增函数，求a的取值范围．【答案】解：若，则当时，由得，；当时，由得，或，所以函数的零点为，0，2．显然，函数在上递增，且；函数在上递增，且，故若函数在上为增函数，则所以，故a的取值范围为．【解析】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．利用分段函数，分段求解函数的零点即可．利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．29.已知函数的图像过点．求k的值并求函数的值域若关于x的方程在有实根，求实数m的取值范围。
考点14 函数零点问题【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)
考点14函数零点问题1、确定函数的零点（方程的根）所在的区间确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定．2、函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与x 轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。
如判断()()()f x h x g x =-型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数()h x 和()g x 的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、已知函数零点所在区间求参数的取值范围根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．4、已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4、已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．考点一确定零点所在的区间1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））函数()25xf x =-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．（2022·广东梅州·高一期末）已知实数b 满足23b =，则函数()2x f x x b =+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,34．（2022·贵州遵义·高一期末）方程2430x x +-=的解所在的区间为（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2022·云南德宏·高一期末）方程lg 2x x +=的解所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．（2022·江苏南京·高一期末）设函数()25x f x x =+-在区间(k ，k +1)(Z k ∈)内有零点，则k 的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．27．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知函数()ln 26f x x x =+-的零点位于区间()1,m m -（m ∈Z ）内，则1327log +=m m （）A ．1B ．2C 3log 2+D ．48．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）已知(),()f x g x 均为[1,3]-上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是（）x 1-0123()f x 0.677- 3.011 5.432 5.9807.651()g x 0.530- 3.4514.8905.2416.892(2,3)(1,2)(0,1)D ．(1,0)-9．（2022·广东汕头·高一期末）[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]11=，[]3.54-=-，[]2.12=．若0x 是函数()ln 26f x x x =+-的零点，则[]0x =（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二判断函数零点个数（一）解方程法10．（2022·北京顺义·高一期末）函数||e 2x y =-的零点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．（2022·四川绵阳·高一期末）设函数()()()()22,0,lg ,0,x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩则函数()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2022·福建三明·高一期末）函数221,0lg 23,0x x x y x x x ⎧+-=⎨+->⎩ 的零点个数为___．13．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数()4,0e 3,0+<⎧=⎨+≥⎩x x x f x a x .(1)若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)讨论函数()()3g x f x =-的零点个数.（二）零点存在性定理法14．（2022·北京朝阳·高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线．若(2)(1)0f f -=≠，则函数()f x 在区间(2,2)-内的零点个数至少为（）A ．1B ．2C ．3D ．4（三）数形结合法15．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30xf x -=的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．316．（2022·云南玉溪·高一期末）函数()22ln f x x x x =--的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，则()f x 在区间(0,8)上零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．518．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()2y f x x =-的零点个数是______．19．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数()()R y f x x =∈满足()()11f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数()lg ,0e ,0x x x g x x ⎧>=⎨<⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为__________.20．（2022·四川攀枝花·高一期末）已知函数()21,22,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的实数根的个数为（）A ．7B ．5C ．3D ．221．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知函数()()1,1ln 1,1x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点个数为（）A ．3B ．4C ．2D ．122．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．723．【多选】（2022·湖南·湘潭一中高一期末）设函数()22log ,02,0⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩x x f x x x x 则下列命题正确的是（）A ．当0m <时，方程()()f f x m =有1个实数解B ．当0m =时，方程()()f f x m =有7个实数解C ．当01m <≤时，方程()()f f x m =有8个实数解D ．当1m >时，方程()()f f x m =有6个实数解考点三根据零点所在的区间求参数的取值范围24．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）=ax -3（a >0，且a ≠1），f （x 0）=0，若x 0∈（0，1），则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）25．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设k 为实数，函数()22x f x x k =+-在[]0,1上有零点，则实数k 的取值范围为________．26．（2022·广西玉林·高一期末）若函数3()2x f x x a =++的零点所在的区间为(0,1)，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,1]--B ．[2,1]--C ．(3,1)--D ．(2,1)--考点四根据函数零点的个数求参数的取值范围27．（2022·江西·高一期末）已知函数()231,11,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若方程()f x t =恰有两个不等的实根，则实数t 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．(]0,4C ．[)0,∞+D ．()4,+∞28．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）已知函数2,0()11,0x x f x x x -⎧<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若函数()0f x m -=有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1]2，B ．(1)2，C ．(01)，D ．[1,)+∞29．（2022·贵州铜仁·高一期末）已知函数f (x )=21xm --有两不同的零点12,x x ，则12x x +的取值范围是（）A ．(−∞，0)B ．(0，+∞)C ．(−1，0)D ．(0，1)30．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数()22,02,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,16⎡⎤⎢⎣⎦D ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭31．【多选】（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数函数()y f x a=-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A ．a 的取值范围是()0,1B ．21x x -的取值范围是()0,1C ．344x x +=D ．1234222x x x x +=+32．（2022·江西·临川一中高一期末）已知函数()12log ,0410,4x x f x x x⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若方程()f x a =有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则下列结论不正确的为（）A ．121=x x B ．312x x x 的取值范围为[)5,+∞C ．a 的取值范围为50,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．不等式()2f x >的解集为()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭33．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（）A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）34．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知函数()()lg 1,1,11x x f x xx x ⎧->⎪=⎨<⎪-⎩，()11g x x x =+-，若关于x 的方程()()f g x a =有6个实根，则实数a 的取值范围为______.35．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()()y f x x R =∈是偶函数.当0x ≥时，2()4f x x x =-.(1)求函数()f x 在x R ∈上的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,3]a a +上单调，求实数a 的取值范围；(3)已知()|()|h x f x m =-，试讨论()h x 的零点个数，并求对应的m 的取值范围.36．（2022·福建·福州三中高一期末）已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ≥，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围.37．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20xg x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.考点五比较零点的大小关系38．（2022·辽宁·高一期末）已知函数()e 2xf x x =+-，()ln 2g x x x =+-，且()()0f a g b ==，则()g a ____________()f b （填>，<，≥，≤）.39．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数()3f x x x =+，()3xg x x =+，()3log h x x x =+的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小顺序为（）A ．231x x x >>B ．321x x x >>C ．123x x x >>D ．312x x x >>40．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程220x x +=、2log 20x x +=、320x x +=的根分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）．A ．a b c>>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>41．（2022·山东临沂·高一期末）已知函数()lg f x x =+a ，若3b a =，2a c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b<c<a42．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知实数,,a b c 满足a b c >>，函数()111f x x a x b x c=++---有两个零点()1212,x x x x <，则关于函数()f x 的零点12,x x 的下列关系式一定正确的是（）A ．12x c b x a <<<<B ．12c x b a x <<<<C ．12c x x b a<<<<D ．12c x b x a<<<<43．【多选】（2022·湖北·武汉市第十四中学高一期末）已知实数12,x x 为函数21()(|log (1)2x f x x =--|的两个零点，则下列结论正确的是（）A ．12(2)(2)(,0)x x --∈-∞B ．12(1)(1)(0,1)x x --∈C ．12(1)(1)1x x --=D ．12(1)(1)(1,)x x --∈+∞考点六求零点的和44．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数()()()333,log 1,log xf x xg x xh x x x =+=+=+的零点依次为a ，b ，c ，则a b c ++＝________45．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知函数()y f x =的表达式为()2,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为______．46．（2022·湖北武汉·高一期末）已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，1()e1xf x -=-，则方程()()211f x x =+在区间[]5,3-上所有的解的和为___________.47．（2022·浙江·杭十四中高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（）A ．0B ．8C ．16D ．3248．（2022·江苏·高一期末）已知函数24,04()=1020,4x x f x x x x x ⎧+<<⎪⎨⎪-+-≥⎩，若存在12340x x x x <<<<，使得1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234+++x x x x 的取值范围是___________.49．【多选】（2022·河北唐山·高一期末）已知函数()f x 的定义域为R ，()()4f x f x +=，()()11f x f x +=-，且当[]1,1x ∈-时，()41x f x =-，则以下结论正确的是（）A ．()20220f =B ．()()12G x f x =-在[]2,4-内零点之和为6C ．()f x 在区间[]4,5内单调递减D ．()f x 在[]2,6内的值域为[]0,350．（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦考点七用二分法求方程的近似解51．（2022·山东烟台·高一期末）下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（）A ．B．C．D ．52．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）用二分法求方程2log 2x x +=的近似解时，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)53．（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数()f x 零点近似值时，若第一次所取区间为[]2,6-，则第三次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]1,1-C ．[]2,4D ．[]5,654．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数()329f x x x =+-的部分函数值数据如下：()16f =-，()23f =，()1.5 2.625f =-，()1.750.6406f =-，则方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为（）A ．()0.6406,0-B ．()1.75,2C ．()1.5,1.75D ．()1,1.555．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210xf x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（）A ．()11.5，B ．()1.51.625，C ．()1.6251.75，D ．()1.752，。
高一数学重点：零点问题的解题方法
谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。
数学必修一零点题型总结
利用切线的方法，通过分析函数在某 点的切线，结合零点定理的结论，证 明零点的存在。
反证法证明方法
• 反证法：首先假设零点不存在，然后通过推导得出矛盾，从而 证明零点的存在。反证法是一种间接的证明方法，常用于证明 一些难以直接证明的数学命题。
04
零点定理的应用
在求解方程中的应用
总结词
零点定理在求解方程中起到关键作用 ，通过判断函数在区间端点的函数值 异号来确定方程的解。
通过将不等式问题转化为寻找函数零 点的问题，可以利用零点存在定理求 解。
对于一些难以求解的方程，可以利用 零点存在定理判断方程根的存在性。
定理的局限性
需要满足连续性条件
零点存在定理要求函数在区间上连续，如果函数不连续，定理可 能不适用。
不一定唯一解
虽然定理保证了至少存在一个零点，但不一定是唯一解，可能存在 多个零点。
03
零点定理的证明方法
代数证明方法
Hale Waihona Puke 代数恒等式利用代数恒等式来证明零点定理 ，通过将函数进行变形，转化为 已知的恒等式或等价形式，从而 证明零点存在。
连续性
利用函数的连续性，通过分析函 数在区间端点的函数值，结合零 点定理的结论，证明零点的存在 。
几何证明方法
函数图像
利用函数图像来直观地说明零点的存 在，通过观察图像在区间内的变化趋 势，结合零点定理的结论，证明零点 的存在。
这类题目通常会给出不等式和函数的表达式，要求利用零点定理证明该不等式。解题时 需要先分析函数的单调性和零点存在性定理，然后结合函数的图像和性质进行证明。在
证明过程中，可能需要使用到一些不等式的性质和证明技巧，如放缩法、构造法等。
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高一数学必修一函数零点试题及解析
高一数学必修一函数零点试题及解析(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学必修一函数零点试题及解析一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 答案：B解析：∵函数f (x )＝lg x －1x，∴f (2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f (3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f (2)f (3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B. 2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝lnx ＋2x ＋a 的零点所在区间是( )B ．(1,2) D ．(2,3) 答案：C解析：解：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，A ．h 2>h 1>h 4B ．h 1>h 2>h 3C ．h 3>h 2>h 4D ．h 2>h 4>h 1 答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B 、C 、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则每件产品的平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B解析：若每批生产x 件产品，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元．因为y ＝800x ＋x 8＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫800x －x 82＋20≥20，当800x＝x8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧c x，x<AcA，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15 min，所以cA＝15 ①；所以必有4<A，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.9．若关于x的方程|x|x－2＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：由题意可知k≠0，答案：D解析：⎩⎪⎨⎪⎧m ·e －5a ＝12m ，m ·e－a5＋n＝m8，∴e －5a＝12，e －a (5＋n )＝18∴e －15a ＝e －a (5＋n )，15＝n ＋5，n ＝10.13．(15分)某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大最大月收益是多少解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆．租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(10－x )－160(100－x )－60x ，其中，x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 100x ＋284000＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253.当x ＝26时，y max ＝324 040，即最大月收益为324 040元． 此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．。
高一函数零点题型学霸总结一(含答案)-
高一函数零点题型学霸总结一（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于较难题．作出函数的图象，令，结合图象可得，要使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两不同实数根，再由一元二次方程根的分布列不等式组求解．【解答】解：作出函数的图象如图，令，则方程，化为，要使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两不同实数根，所以解得，所以实数a的取值范围为．故选A．2.设方程，的根分别为，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主查对数函数、指数函数的图和性，体现了数形结合和转化的数思想，画出图象即可判断出结果，属于中等题．【解答】解：题意得是函数的图象和图象的交点的横坐标，是的图象和函数图象的交点的横坐标，且，正实数，如图所示：故有，故，，即，所以．故选A．3.已知函数则函数的零点个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，零点个数的求法，属于基础题．由二次函数和对数函数，分段求出函数的零点即可．【解答】解：函数的零点即方程的根，由，得或解得或．故函数的零点个数是2．故选C．4.已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，根据函数与方程之间的关系转化为函数与，与交点的横坐标的大小问题，利用数形结合进行比较即可．解：由得，由得，作出，，的图象如图：函数的零点为a，函数的零点为b，与的交点的横坐标为a，与交点的横坐标为b，由图象知，又因为，故可得，，，故选C．5.方程的根所在区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，函数的零点与方程根的关系，属于基础题．构造函数，可知函数在上为单调递增函数，计算可得，，即可求得结果．解：构造函数，易知函数在上为单调递增函数，因为，，所以函数在上有一个零点，即方程的根所在的区间为，故选B．6.方程的根所在的区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理的运用，函数的零点与方程根的关系，属于基础题．根据函数零点存在性定理，求解即可．【解答】解：构造函数，可得函数在R上单调递增，因为，，，所以函数在区间有零点，所以方程的根所在的区间为．故选C．7.已知，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点问题，属于一般题首先画出函数的图像，对十字相乘法因式分解，可得等价于或，再结合图像可求出答案．【解答】解：由，得或，画出的图像：由图象知，方程有一个实根，所以方程有两个不等实根，则，所以．故选A．8.若方程的实根在区间上，则k等于A. B. 1 C. 或1 D. 0【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，以及对数和反比例函数的图像，难度一般．依据方程的根与零点的对应关系转化为函数的交点，原方程等价于，转化为函数与交点，结合图象求解，由零点的存在性定理验证．【解答】由题意知，，则原方程等价于，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间上，一个在区间上，所以或．故选C．9.设函数若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用．直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：当，即时，，解，得；当，即时，，解得，舍去，故．10.方程的解是，若，则A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，零点的存在性定理，考查推理能力和计算能力，属于中档题．将问题转化为函数的零点问题即可．【解答】解：因为方程的解，就是函数的零点，显然单调递增．由，由零点的存在性定理，得在内有零点，故方程在内有实数根，故，故选C．11.若函数有唯一零点，则A. B. 2或 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数零点存在性定理，函数的零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，二次函数和正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．利用偶函数图象的性质，结合零点定义得函数唯一的零点为0，从而得或2，再结合对a的讨论，利用函数的零点与方程根的关系，把函数的零点数转化为函数的图象与函数图象的交点数和函数的图象与函数图象的交点数，再利用二次函数和余弦函数的图象作出这两组函数的图象，再利用数形结合得结论．【解答】解：因为函数为偶函数，且在处有定义，所以要函数有唯一零点，则唯一的零点为0，因此，即，解得或2．当时，函数，因此函数的零点数就是函数的图象与函数图象的交点数，作函数与函数的图象如下：此时函数与函数的图象有三个交点，即函数有三个零点，所以不为所求．当时，函数，因此函数的零点数就是函数的图象与函数图象的交点数，作函数与函数的图象如下：此时函数与函数的图象只有一个交点，即函数有一个零点，所以为所求．故选D．12.若方程在内恰有一解，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数零点存在定理的应用，属于中档题．构造函数，满足即可．【解答】解：令，若方程在内恰有一解，则满足，即，解得．故选B．13.若方程的一个根在内，另一个根在内，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查方程根的问题，属于中档题．先令方程为，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系求解，【解答】解：设方程，方程的一个根在区间内，另一个根在区间，所以，则解得，故选D．14.方程的解所在的区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方程根的范围的判断，属中档题方程的根即函数的零点，函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，若函数在区间连续且满足，则函数至少存在一个零点．【解答】解：方程可整理为：，则设函数x x，函数的零点即为方程的解，函数的定义域为，且在其定义域上为增函数，又，，方程的解所在的区间为．故选C．15.若函数恰有一个零点，则实数a的值为A. B. 2 C. D. e【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．根据函数恰有一个零点，转化为方程恰有一个根，转化为两个函数只有一个交点，利用数形结合以及切线的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为，若函数恰有一个零点，等价为恰有一个根，即只有一个根，即函数和的图象只有一个交点，，是函数的切线，设，切点为，则，函数的导数，即切线斜率，则切线方程为，即，切线过原点，，即，设函数，则，在上单调递增，又，要使得，即，此时，故选A．16.设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点问题，解决这类问题的关键在于画出函数的图象，找出一些关键点进行分析，考查计算能力与分析能力，属于难题．将不等式变形得，根据题意得知，函数在直线下方图象中有且只有一个横坐标为整数的点，可知符合条件的只有横坐标为0的点可以，然后利用图象得出函数与函数在和处函数值的大小关系得到a的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意可知，存在唯一的整数x，使得，构造函数，则．当时，；当时，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．函数在处取得极小值，如下图所示，由于，，所以，，结合图象可知，，解得．故选：B．17.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数零点，由曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故有两个不同的解，即得有两个不同的解，即可解出a的取值范围．【解答】解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则，，，，，时，函数取得极小值，当时，，当时，，．故选D．18.直线与函数的图象有三个相异的交点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性和极值，以及数形结合的思想，属于基础题．先求出函数的导数，然后利用导数求出函数的极值，结合函数的图象与的图象，观察即可求出满足条件的a．【解答】解：的导数，令可解得或，故在，上单调递增，在上单调递减，函数的极大值为f，极小值为f，大致图象如图所示，而为一条水平直线，通过图象可得，介于极大值与极小值之间，则有三个相异交点，可得．故选：A．19.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数零点存在性定理，是基础题．函数在单调递增，由零点存在性定理求解即可．【解答】解：函数在单调递增，又，，函数的零点所在的区间为．故选B．20.设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于x的方程解的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象的交点与方程的根的关系，考查数形结合思想，属于较难题．由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质及当时函数解析式，画出函数的图象，根据图象可得与在区间上有3个不同的交点．【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，对于任意的，都有，，函数是一个周期函数，且．又当时，，且函数是定义在R上的偶函数，则函数与的图象如下图所示：根据图象可得与在区间上有3个不同的交点．故选C．二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）21.已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数给出下列四个命题中，正确的命题是A. 常值函数为回旋函数的充要条件是；B. 若为回旋函数，则；C. 函数不是回旋函数；D. 若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点．【答案】ACD【解析】【分析】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点，注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合思想以及运算能力，属于中档题．A利用回旋函数的定义即可，B若指数函数为回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论，C利用回旋函数的定义，令，则必须有；令，则有，故可判断；D由定义得到，由零点存在定理得，在区间上必有一个零点令，2，，，，，即可得到．【解答】解：对于A，函数为回旋函数，则由，得，，故A正确；对于B，若指数函为回旋函数，则，，，故B错误；对于C，若对任意实数都成立，令，则必须有，令，则有，显然不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；对于D，若若是的回旋函数，则对任意的实数x都成立，即有，则与异号，由零点存在定理得，在区间上必有一个零点，可令，2，4，6，，，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确．故选ACD．22.已知，若有唯一的零点，则m的值可能为A. 2B. 3C.D.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．通过只有一个零点，化为只有一个实数根．令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过当时，当时，当时，当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．【解答】解：，．只有一个零点，只有一个实数根，即只有一个实数根．令，则，函数在R上单调递减，且时，，函数的大致图象如图所示，所以只需关于t的方程有且只有一个正实根．当时，方程为，解得，符合题意；当时，方程为，解得或，不符合题意；当时，方程为，得，只有，符合题意．当时，方程为，得，只有，符合题意．故选：ACD．23.关于函数，下列选项正确的是A. 是偶函数B. 在区间单调递增C. 在有4个零点D. 的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数的性质，根据条件结合三角函数的图象和性质逐项判断即可，属于基础题利用奇偶性的定义即可判断A；时，，问题转化为正弦函数的性质；在当时，，利用零点定义借助奇偶性即可得到答案；利用最值定义即可判断．【解答】解：，故是偶函数，A对；时，，故在区间单调递减，B错；当时，，令得到或，又在是偶函数，故在有3个零点，分别为，C错；，故，又，故的最大值为2，D对．故选AD．24.对于定义域为D的函数，若存在区间，同时满足下列条件：在上是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”下列函数存在“和谐区间”的是A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性，定义域与值域，考查了判断函数零点个数的方法，一是可以直接求方程的实数根，即是函数的零点，二是转化成两个函数的交点，通过数形结合判断零点个数，或是根据零点个数判断参数的取值范围，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，属于较难题．逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确．【解答】解：A．是单调递增函数，若存在区间，，使，解得，，所以存在区间满足条件，所以A正确；B.在和都是单调递增函数，所以设或，满足，解得，所以存在区间满足条件，所以B正确；C.是单调递增函数，若存在区间，，使，即有两个不等实数根，但与相切于点，没有两个不等实数根，所以C不正确；D.是单调递增函数，定义域是，若存在区间，，使，即有两个不等实数根，同一坐标系中画出与的图象，即与有两个不同的交点，满足条件，所以D正确．故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）25.设若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题，难度一般．根据题意可知最小值为，所以且或者且，即可求解．【解答】解：因为函数在区间内有零点，又函数在区间内最小值为，所以且，或者且，代入得或所以有．故答案为．26.函数的零点个数是________．【答案】2【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的关系及零点存在性定理，属于一般难度题．【解答】解：令，解得舍或；令，即，在的范围内两函数的图象有一个交点，即原方程有一个根．综上函数共有两个零点．故答案为2．27.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是________．【答案】和【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，是基础题．由题意得，，所以，从而有，所以其零点可求．【解答】解：由题意得，，所以，令，即，解得或，所以其零点为和．故答案为和．28.设函数若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用．【解答】解：由得．因为，所以，所以．四、解答题（本大题共2小题，共24.0分）29.已知函数．若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；在的条件下，若，求函数的零点．【答案】解：是定义在R上的偶函数．，即，故．函数，．所以满足题意．依题意，令，则有，得，令，则，解得．即．函数有两个零点，分别为和．【解析】【试题解析】本题考查函数的零点的求法，函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．利用偶函数的定义，求解即可．化简方程，利用二次方程转化求解即可．30.已知函数满足：．若，求x的值；对于任意实数，，试比较与的大小；若方程在区间上有解，求实数a的取值范围．【答案】解：，可得，方程，当时，，，，，解得；当时，，即，无解．综上，；，时，；函数，在R上单调递增，方程在区间上有解，在区间上有解，即在有解，由，可得的值域为，即有，实数a的取值范围为．【解析】本题考查了指数函数的性质，转化思想，考查分类讨论思想方法，以及参数分离，属于中档题．求得的解析式，讨论，，去绝对值，解不等式即可得到所求解；由作差法和配方法，结合指数的圆性质即可得到大小关系；方程在区间上有解在区间上有解，由参数分离和配方法、结合二次函数的值域有解，可得实数a的取值范围．。
高一数学零点难题汇总
以下是高一数学的一些零点难题汇总：1.已知函数 f(x) = 2x - 3, g(x) = x^2 - 2x + c (c ∈ R)。
若对任意的 x₁∈ [-1,2], 存在 x₂∈ [0,3],使得 f(x₁) = g(x₂) 成立，则 c 的取值范围是 _______。
2.若f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(−x)=−f(x)+(x−1)，则f′(0)等于____.3.已知函数 f(x) = x^2 - (a + 2)x + alnx，若 f(x) > 0 在(0, +∞) 上恒成立，则 a 的取值范围为 _______．4.若函数 f(x) = x^2 + ax - lnx 在 [1,3] 上存在极值点，则实数 a 的取值范围是 _______．5.已知函数 f(x) = { (3a - 1)x + 4a, x < 1; logₐx, x ≥1 } 是 ( - ∞, + ∞) 上的减函数，则 a 的取值范围是_______．6.已知函数 f(x) = |2x - a| + a (a ∈ R)，满足 f(x) ≤6 的解集为 { x | -2 ≤ x ≤3} ，若存在实数 n 使 f(n/2) ≤m + f(-n/2) 成立，则实数 m 的取值范围是 _______．7.若函数 f(x) = x^2 - ax + a (a > 0) 在 [-1,1] 上的最小值为 -2，则实数 a 的值为 _______．8.若f(x)=x2ex−ax在(0,+∞)上有极值点，则实数a的取值范围是____.9.若函数f(x)=x2ex−ax在(0,+∞)上有极值点，则实数a的取值范围是____．这些题目涉及到了函数的零点、导数、单调性等知识点，需要学生熟练掌握并灵活运用。
解答这些题目需要一定的数学分析和推理能力。
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第四部分 函数的零点与函数的综合应用(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第四部分 函数的零点零点：使f(x)=0的x 的值函数f(x)的零点方程f(x)=0的根函数图像与x 轴交点的横坐标 一．求零点1．函数1()4x f x e -=-的零点为__________2．函数3()2log (1)f x x =-+的零点为__________二．判断零点所在的区间1．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)2．函数1()x f x e x=-的零点所在的区间为（ ） A．3(1,)2 D三．判断零点个数1．已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞2．函数()2xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 3．函数()⎩⎨⎧≤+>+-=)0(12)0(2ln 2x x x x x x x f ，，的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围________． 5．()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩，若()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 ． 6． 二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]1,5-上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围．四．二分法1．若函数的()2223--+=x x x x f 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确度0．1）为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5五．函数的应用1．两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该火车每日往返的次数y 是车头每次拖挂车厢节数x 的一次函数．若车头拖挂4节车厢，则每日能往返16次；若车头每次拖挂7节车厢，则每日能往返10次．（1）求此一次函数；（2）求这列火车每天运营的车厢总节数S 关于x 的函数；（3）若每节车厢能载旅客110人，求每次车头拖挂多少节车厢可使每天运送的旅客人数最多，并求出每天最多运送旅客人数．2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第四部分 函数的零点与函数的综合应用零点：使f(x)=0的x 的值函数f(x)的零点方程f(x)=0的根函数图像与x 轴交点的横坐标 一．求零点1．函数1()4x f x e -=-的零点为___ln 41+_______2．函数3()2log (1)f x x =-+的零点为____8______二．判断零点所在的区间1．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为（ C ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)2．函数1()x f x e x=-的零点所在的区间为（ B ） A．3(1,)2 D三．判断零点个数1．已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 （ B ）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞2．函数()2xf x x =+的零点所在的一个区间是（B ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 3．函数()⎩⎨⎧≤+>+-=)0(12)0(2ln 2x x x x x x x f ，，的零点个数为（ D ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围． 5．()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩，若()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 (0,1) ． 6． 二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]1,5-上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围．解：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故22,0a a b =+=，又由f(0)=1得c=1，解得a=1，b=?1，c=1，所以2()1f x x x =-+． 9][,)2+∞．0m =，①若(1)0h -=，则m=4，代入原方程得x=?1或3,不合题意；②若(2)0h =，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意,故m=1成立；③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1,满足题意，故m=0成立；④若m≠4且m≠1且m≠0时，由(1)4014(2)10h m m h m -=->⎧⇒<<⎨=-<⎩，综上，实数m 的取值范围是{0}[1,4)．??四．二分法1．若函数的()2223--+=x x x x f 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确度0．1）为（ C ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5五．函数的应用1．两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该火车每日往返的次数y 是车头每次拖挂车厢节数x 的一次函数．若车头拖挂4节车厢，则每日能往返16次；若车头每次拖挂7节车厢，则每日能往返10次．（1）求此一次函数；（2）求这列火车每天运营的车厢总节数S 关于x 的函数；（3）若每节车厢能载旅客110人，求每次车头拖挂多少节车厢可使每天运送的旅客人数最多，并求出每天最多运送旅客人数．解：（1）设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意y=kx+b ，可得下列方程组：1642,24107k b k b k b =+⎧⇒=-=⎨=+⎩，所以224y x =-+， 令224012y x x =-+>⇒<，另外0,x x Z >∈所以 224y x =-+(012,)x x Z <<∈（2）由题意知，2(224)224S xy x x x x ==-+=-+，(012,)x x Z <<∈（3）每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S节车厢，则222242(6)72S x x x=-+=--+，所以当x=6时，max 72S=，此时y=12，则每日最多运营人数为110×72=7920(人)，所以，这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920．。
高中数学必修一函数零点知识点
高中数学必修一函数零点知识点1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C. 2．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( ) x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 解析：选C.设f (x )＝e x －x －2，∵f (1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f (2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f (1)f (2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C. 3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝îïíïìx 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2. 答案：0和2 1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，使g (x )＝0，则x ＝0或－12. 2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 3．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3) 解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－23＞0， ∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1 C ．y ＝îïíïì x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)D ．y ＝îïíïì x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0)解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；只有D 中函数无零点．5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数．6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选B.设f (x )＝x 3－(12)x －2， 则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(12)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上． 7．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ， 由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a a＝－2， 故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3 8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·1)·((a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0， 所以îïíïì 5a －1≥0a ＋1≥0或îïíïì5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1. 答案：a ≥15或a ≤－1. 9．下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．有三个零点．解析：①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0. ④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1. 答案：③④③④10．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．的取值范围．解：设f (x )＝x 2－2ax ＋a . 由题意知：f (0)·f (1)＜0，即a (1－a )＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． îïíïì a ＞0，1－a ＜0，或îïíïìa ＜0，1－a ＞0， ∴a ＜0或a ＞1. 11．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？内有没有实数根？为什么？ 解：设f (x )＝log 2x ＋x 2，∵f (12)＝log 212＋(12)2＝－1＋14＝－34＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f (12)·f (1)＜0，函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f (x )在区间[12，1]内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有实根．12．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，为何值时，(1)方程有一正一负两根；方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得îïíïìa －1a ＜0Δ＝12a ＋4＞0，解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足îïíïì a ＞0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＞0，或îïíïì a ＜0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＜0，不等式组无解． 所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1. 法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即îïíïì (x 1－1)(x 2－1)＞0(x 1－1)＋(x 2－1)＞0 ⇒îïíïì x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0x 1＋x 2＞2. îíìa －1－2(a ＋1)＋2(a ＋1)a ＞0＞0，解得a ＞0. 时，方程的一个根大于1，一个根小于1. 。
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第三章 第一节 函数与方程
一、函数的零点
1、实例：填表
2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点
1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )
A ．2；2
B ．(2,0)；2
C ．－2；－2
D ．(－2,0)；－2
2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a<4
B ．a>4
C ．a ≤4
D ．a ≥4
3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．
5、求下列函数的零点 （1）9
1
27)(-=x
x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f
二、零点定理
1、方程的根与函数零点的关系：
方程f(x)=0的根⇔函数f(x)的零点⇔函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理： 如果函数
()
y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得
()0f c =，这个
c 也就是方程()0f x =的实数根。
问题1：去掉“连续不断”可以吗？
问题2：如果函数
()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对？
问题3：如果函数
()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对？
题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．无法确定
2． 函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1
(1,)e
和（3，4） D ．(,)e +∞
3．设函数f(x)=2x
-x 2
-2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9）
4、方程521
=+-x x 在下列哪个区间内一定有根？（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4）
5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( )
D ．(2,3)
三、判断零点的个数
方法①：转化为判断方程f(x)=0的根的个数，解方程
例：函数f(x)=x -x 1的零点有______个
方法②：从图像判断零点个数
例1：已知函数f(x)为R 上奇函数，且在（0，+∞）上有1003个零点，则f(x)在R 上的零点的总个数为______
例2：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=3
0,log 3,
3
)(3x x x x x f
（1）方程f(x)=0有几个根？ （2）方程f(x)=1有几个根？
（3）方程f(x)=k 有几个根？ （4）方程f(x)=-x 有几个跟？
总结：如何利用图像判断f(x)=g(x)有几个根？
题型三 判断零点个数（方程根的个数）
1、函数⎩
⎨⎧>-≤-+=0ln 0,32x 2x x x x x f ）（的零点有_______个 2、23,
(1)(),()()23,(1)
x x x f x g x f x e x x x +≤⎧==-⎨-++>⎩则函数的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、方程lnx+2x-6=0有几个根？
4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=3
0,log 3
,3
)(f 3x x x x x ，若方程f(x)=k 有两个不同实根，求实数k 的取值范围
5、已知函数⎩
⎨⎧>-≤=0,0,x 2x x x x x f ）（，若g(x)=f(x)-m 有三个不同零点，求实数m 取值范围
四、二分法求零点的近似值
二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
题型四 二分法
1、用二分法求方程x ³-x-4=0在区间[1,3]内的实根，应计算f(___)，下一个有根的区间是____
2、用二分法求f(x)=x
3-x-4=0的一个零点，参考数据如下：
f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060 据此数据，可得方程043x
=--x 的一个近似解为_______ 3、
综合练习
1、已知函数f(x)=ax ²-2x+1(a ≥0) （1）讨论f(x)在[0,2]上的单调性
（2）若a>1,求f(x)在[0,2]上的最大最小值
（3）若f(x)在区间（0，2）上只有一个零点，求a 的范围
2、定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－1
2，求满足f(log 1
9x)≥0的x 的取值集合．。