广东海洋大学近几年高数试卷
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、
广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x1
□√ 考试
□√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×6=18分）
1. 函数 x
xe x f -=)(的拐点是2(2,2)e -
2. 设
)1( )ln (2
>='x x x f ，则 )(x f =2/2t e c +. 22ln ,,
()()2
t
t
t
e x t x e
f t e
f t c '====+设则
3. 曲线⎩⎨⎧=+=3
2
1t
y t x 在2=t 处的切线方程为 y-8=3(x-5) . 2
33/232dy t t k dx t
===
4. 设⎰=Φx
tdt x 0sin )(，则Φ)4
('π
5. 设 x
x x f 1)1()(+=，则 )1(f '等于 1
11
1
1
ln(1)ln(1)22ln(1)ln(1)11[(1)][](1)x x x
x
x
x
x x x x x x x e
e
x x x
++-+-+++''+===+ 二 .计算题（7×6=42分） 1. 求3
sin 22sin lim
x x
x x -→.
班级：
姓
名：
学
号：
试题共
５ 页
加白纸 3
张
密
封
线
GDOU-B-11-302
333 000
2
3
sin22sin2sin cos2sin2sin(cos1)
lim lim lim
2()
2
lim1
x x x
x
x x x x x x x
x x x
x
x
x
→→→
→
---
==
-
==-
等价
2.求不定积分dx
x
x
⎰
cos
sin
1
3
.
3.已知
x
x
sin是
)
(x
f的原函数，求dx
x
xf
⎰)('.
2
sin s sin
()()
s sin sin ()()()()
x xco x x
f x
x x
xco x x x
xf x dx xdf x xf x f x dx c
x x
-
'
==
-
'==-=-+
⎰⎰⎰
4.设方程0
5
2
32=
-
+
-
+y
x
e y x确定函数)
(x
y
y=，求
dx
dy.
(1)340
3
4
x y
x y
x y
x e y yy
e
y
e y
+
+
+
''
+-+=
-
'=
+
方程两边对求导:
5.求x
e
x
f x cos
)
(=的三阶麦克劳林公式.
2323
3
(1...)(1...)1()
2326
x x x x
x x o x
++++-+=+-+
2422
11(1)
cos1()
2!4!(2)!
n
n n
x x x x o x
n
-
=-+-++
2
11
e1()
2!!
x n n
x x x o x
n
=+++++
6. 求由曲线Inx y =,y 轴与直线Ina y =及Inb y =所围成图形的面积
0>>a b .
解：选为y 积分变量，如图，所求面积为承
a b e y e A b
a y b
a
y -===⎰
ln ln ln ln ][d
三. 应用及证明题（10×4=40分） 1. 证明：当0>x 时， x x +>+12
11. 证明:
1111
()11()2221210()21(11)
0x f x x x f x x x f x x x x +-'=+
+==++=>+++>设为增函数
故时,f(x)>f(0)=0,
得证.
2. 若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==
)(321b x x x a <<<<,证明：在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(''=ξf .
证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ∃∈，223(,)x x ξ∃∈，使得12()()0f f ξξ''==，又
()f x '在[]12,ξξ且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：
1213(,)(,)x x ξξξ∃∈⊂，使得()0f ξ''=。
3. 当x 为何值时，函数dt te x I x
t ⎰-=02
)(有极值.
2
2
2
2()0
()2(0)1000
x x x
I x xe x I x e x e I x ---'===''''=-=>==令
最小值解: 故当时,
y