2009--浙大数学分析考研_及答案
浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案
数学分析（二）课程考试A 卷适用专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。
（ ）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。
（ ）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。
（ ）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。
（ ）6、若在可积，则在可积。
（ ）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为 。
2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为 、 、 。
3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于 。
4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是 。
5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为 、 。
6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为 。
三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。
六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。
2009考研数一真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()(A)11,6a b ==-.(B)11,6a b ==.(C)11,6a b =-=-.(D)11,6a b =-=.(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤=()(A)1I .(B)2I .(C)3I .(D)4I .(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()(A)(B)-1-111xy1D 2D 3D 4D(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则()(A)当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛.(B)当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时,221n nn a b∞=∑收敛.(D)当1nn b∞=∑发散时,221n nn a b∞=∑发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23αα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为()(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX =()(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y =.(11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰.(12)设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰.(13)若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线ny x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.(Ⅰ)求1S 及2S 的方程；(Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z ∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.(23)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a ax bx bx bx a ax a b axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D.所以本题选A.(2)【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3)【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：①[]1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增；②[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③[]1,2x ∈时,()F x 单调递增；④[]2,3x ∈时,()F x 为常函数；⑤()F x 为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(4)【答案】C【解析】解法1举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5)【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23αα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M ααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).(6)【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236OA AB B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(7)【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭,因此,()()10.30.352x EX xF x dx x x dx+∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8)【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤.(1)当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2)当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】12222xf f xyf '''''++【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂,21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂.(10)【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x x y ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax AB x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰⎰11386==.(12)【答案】415π【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρπΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydzΩ⎰⎰⎰所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅=⎰⎰⎰.(13)【答案】2【解析】2T αβ=,()2TTβαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,Tβα∴的非零特征值为2.(14)【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)【解析】2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+=所以2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >.从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰,111lim 1111111lim ()lim (),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑ 22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-+=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±.所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b a f b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()00()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈.由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyx y z xy z ∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z ∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy z dxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 可求得2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ,可求得312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka k bξξξ--+--=-=-≠-,所以123,,ξξξ线性无关.解法2由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=,①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=,②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111a E A a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+,所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意.当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意.当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +.综上可知,2a =.解法2由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零.又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========.(Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,00,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为X012Y01/41/61/3611/31/9021/9(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=.(Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx n n ii L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏ 11ln 2ln ln nni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22Xλ=.。
2009考研数学(二)真题及参考答案
2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. （21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】 令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+， 又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。
浙江大学2011-2012数学分析(2)-试卷及答案(baidu-word版)(K12教育文档)
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浙江大学20 11 —20 12 学年 春夏 学期《 数学分析(Ⅱ）》课程期末考试试卷（A)课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷,允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 6 月 18 日，考试时间: 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题: ( 每题5分，共35分 )1. 22()(02)()(02)2222()(02)()(02)ln(1)lim lim 4.sin ln(1)ln(1)lim =lim 4.sin sin x y x y x y x y xy xy xx xy xy x y x xy x→→→→+==++⋅⋅=，，，，，，，，【方法一】：【方法二】： 2. 22222221(1)()()12.(1)1(1)11zxy x y y z x xxy x x x x y xy ∂--+-∂=⋅==-∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭， 3. 1:(){r t t t =，平行，并求该点处的切线方程.22(1){1}{121}=120 1.{111}1111(2)(1)1.2323s t t n s n t t t s P x y z ==-⋅-+=⇒==-=-=-曲线的切向量，，，平面的法向量，，，由于切线与平面平行，则：切向量，，切点，，，因此，切线方程为：4.121433411fl i j l i j l ∂=+=-=∂有连续偏导数，，；且在点，23.fl ∂=-∂求：12124334(1){}{}55554334+11+() 3.555579.(2)(12)79.ll f f f f f f x y x y l l f fx yf fP dz dx dy dx dy x y-∂∂∂∂∂∂=⋅⋅==⋅⋅-=-∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂=+=+∂∂与、同方向的单位向量分别为，、，，则：，因此，，在点，处的全微分为：5.11132132010()()().y y I dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx --=+=⎰⎰⎰⎰，，，6. 112222222211222211111111111(1)1()1()().28284111lim [(1)].4nn nn n n n u eo o on n nn nn n n n n u e n n+∞+∞→+∞==⎛⎫⎛⎫=-+=+++-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑则，，而收敛，因此，原级数收敛7. 2224.3C x y z xds C x y z ⎧++=⎨++=⎩⎰计算：，其中：(1) 1.1(2)()22.3CC C O d C r I x y z ds ds r ππ====++===⎰⎰曲线为圆，原点到平面的距离的半径根据对称性，二、计算题：（每题8分，共48分)8.()()()()1111112011112111(11).111()..(1)()()ln 1.(11)(1)1122()12122n n n n x nn n n n n n n n n n n n n f x x x n n f x nx nx nx dx x x x xf x f x x x x xn n f n n ∞∞++==∞∞∞∞--====∞∞+===-++''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭'=⇒=+--<<--==++∑∑∑∑∑∑⎰∑∑令：，则：级数的收敛区间为，则：而因此，故，22ln 2.=-9. ()()12211122221222221112222(1)2.(2)222.42()(1).xy xy xy xy xy xy xy xy xy zxf ye f x z x yf xe f e f xye f ye yf xe f x y xyf x y e f xye f xy e f ∂=+∂∂=-++++-+∂∂=-+-+++ 10. 2244().1.Dx y dxdy D x y ++=⎰⎰计算：其中是由曲线所围区域14442(cos sin )223002tan 22444440000cos (1)()sin 114sin cos sin cos 11((2)00 1.2Du x r x y dxdy d r dr y r d d u du u u u x x r y πθθπθπθθθθθθθθθπθ-+=+∞+∞=⎧+=⎨=⎩+===+++⎫=-=⎪⎭⎧=∂⎪≤≤≤≤⇒⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令：，则：令：，1112222202224000)()()4()4(cos sin 1112211DD uy r D x y dxdy x y dxdy d r u du uu u πππθθθθθθ+∞=∂+=+=++==+⎫=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，设由曲线所围区域中第一象限部分为，根据区域的对称性，0+∞=⎪⎭11.()2222221(0)211cos 0cos 201112.241(sin )4sin cos 2422.2zzx y z z z u xxu z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy ππθππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为偶函数，因此，【方法一】：令：【方法二】：()12011200211cos 2cos 222011cos 202(1)2(1)2()22(1)2(2)2.2sin 4sin 44(1)2.z z z e z dze z e ze dz e e I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρππππππθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-⎡⎤=---=---=⎢⎥⎣⎦===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【方法三】：12.22(xdydz ydzdx x y ∑+=++⎰⎰(){x y z x =，，()()133322222222222222222252222222213222222(1)()()()33330.()(2):(01).z P Q R x y z x y z x y z x y z x y z P Q R x y zx y z x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyI xy zxy εε-∑+∑===++++++++---∂∂∂++==∂∂∂++∑++=<<++++=-+++⎰⎰设，，，则：添加曲面，取外侧则：()()111222213223222233331111140334.3(.)xy z zP Q R xdydz ydzdx zdxdy dxdydz x y z x y zxdydz ydzdx zdxdy dV επεπεεε-∑Ω∑∑++≤+⎛⎫∂∂∂++=+++ ⎪∂∂∂⎝⎭++=+++==⋅⋅=Ω∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：为、之间的空间区域13. 222()()().1Ly z dx z x dy x y dz L x y z -+-+-++=⎰求曲线积分：其中是球面 222(1)(1)(1)4x y z z -+-+-=与的交线，从轴正向看为逆时针方向.2221:00..DDx y z L x y z L D x y z Storkes I dS dS x y z y zz xx y⎧++=++=⎨++=⎩∂∂∂===-∂∂∂---⎰⎰曲线，记平面上由曲线所围成的区域为，方向向上根据公式，三、证明题:(9分、8分，共17分）14.(1)()(2)()(00)(00)(3)().x y f x y f x y f f f x y ，在原点连续；，在原点处的偏导数，和，存在；，在原点不可微12222233()(00)22222223()(00)22200()1()(1)()lim0.4()()()lim 0.().()()(00)(2)(00)lim lim 1(00) 1.(3)lim x y x y x y x x x xy xy x y x y x y xy x y f x y x y f x f x f f x x →→∆→∆→∆→≤+=++⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪+⎝⎭∆-∆====-∆∆，，，，由于，因此，则：故，，在原点处连续，0，，；同样，，22220022222220()(00)(00)(00)()lim[()()]()lim .[()()](1)().x y y y k x x f x y f f x f y x y x y x y k x y k k f x y ∆→∆→∆→∆=∆∆→∆∆--∆-∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆+，，，，而极限与有关，故，上式极限不存在；因此，，在原点处不可微15. (1){()}().n f x D f x 叙述函数列在区间上一致收敛于的定义(1)00()(){()}().(2)[]()()[]()[]00[]()().10[]0[n n N n N x D f x f x f x D f x a b S x S x x y x y S x S y N n N x εεαβαβαβεδαβδεεαδ∀>∃>>∀∈-<'⊂'∀>∃>∀∈''-<-<∀>∃=>>∀∈对，，当时，对均有，，则称函数列在上一致收敛于对任意，，，由于在，上连续，则：在，上一致连续，因此，对，，对、，，当时，有因此，对，，当时，对1()()]1()()()().0 1.[]()()().n n n n nS x S x S n S x S x S x n S x S S x n n x x n βθθεθαβ⎡⎤'+--⎢⎥⎣⎦''''=+⋅-'-=+<<<，都有，其中：在上因此，，一致收敛于。
2009年考研数学试题详解及评分参考
=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=
(NEW)浙江大学819数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)
数列 与 ，当
时，有
．
二、（15分) 设函数 在区间
且
，
．试证明：
内具有直到三阶的连续导数， 绝对收敛．
三、（15分) 设函数 在区间 ，在 点的左导数
，
．证明：
上可微，且 在 点的右导数 在 内至少有两个零点．
四、（15分) 设函数 在区间 上
可积，且
．
试证明：存在闭区间
使得当
时，
．
五、（15分) 证明：若一开区间 覆盖了闭区间 ，则必存在一
求曲面积分
，其中 是曲面
的上侧.
五、（15分) 设二元函数 .
试比较
与
给出一个使等式 之.
在正方形区域
上连续，记
的大小并证明之； 成立的充分条件并证明
六、（15分) 设 是在 上可积且在 处连续的函数，记 .
证明：
.
2000年浙江大学804数学分析考研真题
浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
，成立
六、（15分) 计算曲面积分
其中
，常数
. .
七、（15分) 设 为单位球： 常数，计算：
，又设 为不全为零的 .
八、（20分) 设函数
，证明级数
收敛.
九、（15分) 设 在
任意
，有
.证明在
上可微，
，
.
.若有常数 ，使得对
2005年浙江大学427数学分析考研真题及详 解
2004年浙江大学427数学分析考研真题
2013年浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：数学分析（A）（819）
考试科目：数学分析（A）（819）
2009考研数三 真题 答案及详解
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
(B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) . (D) P ( A B ) 1 .
（7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则
1 x )dx ( x 0) . x
2
（17） （本题满分 10 分） 计算二重积分
( x y)dxdy ，其中 D {( x, y ) ( x 1)
D
( y 1) 2 2, y x} .
（18） （本题满分 11 分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 f ( x ) 在 a,
（B） a 1 ， b
2
【解析】 f ( x) x sin ax, g ( x) x ln(1 bx) 为等价无穷小，则
lim
x 0
f ( x) x sin ax x sin ax 1 a cos ax a 2 sin ax lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x) x 0 x ln(1 bx) x 0 x ( bx) x 0 3bx 2 6bx
2
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 9 分） 求二元函数 f ( x, y ) x
2
2 y y ln y 的极值.
2
（16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 ln(1
a 3 6b
故排除(B)、(C).
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6 b ax a
2009--浙大数学分析考研_及答案
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答： 原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
0
2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0
t e tx [ f ( x) C ]dx
0
t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A
所以
2
2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
tx而写下txtx上可积而有界设为m于是对上述任意的tx总结而有txdx上不一致连续
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算： 1.1、 解答：
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b a
dx dx ) n ( )n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由 的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x
最新浙江大学数学分析试题及解答汇总
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
浙江大学2009年数学分析考研试题
b > 0，c > 0 )上点 p(x, y, z) 处的切平面的距离。求第一类曲面积分 ∫∫ ds 。 ∑ f (x, y, z)
四、（ 分）设 在 上连续，且 。证明： 。 20
f (x) [a,b]
min f (x) = 1
x∈[ a ,b ]
∫b
lim(
dx
1
)n =1
n→∞ a ( f (x))n
证明： 。 ∫b | cos f (x)dx |≤
2
a
f ′(b)
浙江大学 2009 年数学分析试题 一、 计算（每小题 10 分，共 40 分）
（ ） ， ∫ 1
a2
cos2
1 x+
b2
sin 2
x
dx(ab
≠
0)
（2） lim
∫ x t2
e 2 cos tdt − x
0
，
x→0 (ex −1)2 (1− cos2 x) arctan x
（ ） ， ∫+∞ ln x 3 0 1+ x2 dx
（ ） ，其中 4 ∫∫ (x + y)sgn(x − y)dxdy
D = [0,1]×[0,1]
D
二、（15
分）如果
f
(x)
在
x0
的某邻域内可导，且
lim
x → x0
f ′(x) x − x0
=
1 2
。证明
f
(x)
在点
x0
处取
极小值。
三、（15 分）设 f (x, y, z) 表示从原点 O(0,0,0) 到椭球面 ∑ ： x2 + y2 + z2 =1( a > 0 ， a2 b2 c2
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
09真题考研数学真题解析--数三修订版
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.1. （09年，4分）函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A ) 1. (B ) 2. (C ) 3. (D ) 无穷多个.【考查分析】本题考查间断点的定义和分类，属于间断点计算与判别的基本题型 【详解】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±.选C【评注】此题有相当多的考生选择（D ），认为使sin 0x π=成立的点有无穷多个，同时审题不细，没有利用()f x 的极限值以确定可去间断点的个数，故错误率较高。
2.（09年，4分）当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A ) 11,6a b ==-. (B ) 11,6a b ==. (C ) 11,6a b =-=-. (D ) 11,6a b =-=.【考查分析】本题考查等价无穷小替换，洛比达法则的计算极限，属于极限计算基本题型 【详解】方法1：()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bx a ax a b ax b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除（B ）,（C ）.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选（A ）.方法2：由泰勒公式3331sin () (0)6ax ax a x x x ο=-+→ 3333001(1)()()6lim lim 1()111, 1 1, .66x x a x a x x f x g x bx a a b b ο→→-++⇒==-⇒=-=⇒==-因此选（A ）.【评注】求极限的问题是考试的热点和重点，洛比达法则和等价无穷小替换是常用的计算和简化的方法。
考研数学-浙江师范大学2009年硕士研究生入学考试试题
浙江师范大学2009年硕士研究生入学考试试题 科目代码： 681 科目名称：数学分析提示：1、 本科目适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论；2、 请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；3、 请填写准考证号后6位：____________。
一、（每小题4分，共20分）叙述下列各概念或定理。
1. 函数项级数()n u x ∑在区间I 上不一致收敛。
2. 二元函数z = f (x , y )在000(,)P x y 点可微。
3. 闭区间套定理。
4. 积分第一中值定理。
5. 黎曼可积的充分必要条件。
二、（每小题10分，共50分）计算下列各题。
1. sin , (,): 0,2Dx y dxdy D x y x y π⎧⎫-=≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰。
2. 1ln cos(1)lim1sin 2x x x π→--。
3. 3332222, : x dydz y dzdx z dxdy x y z a 球面上半部分，取上侧。
∑++∑++=⎰⎰ 4. 设2(,)zz z z x y z e xy x y 由所确定，求∂=+=∂∂。
5. 求星形线3333cos , sin (,)88a x a t y a t P a 上点==处的切线和星形线以及坐标轴围成的在第一象限部分区域的面积。
三、（14分）求级数211(1)(21)31nn n x n n x -∞=-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭∑的收敛域、和函数S (x )以及和1()2S -。
四、（14分）证明不等式221ln(1)1, x x x x x +++≥+∀∈成立。
五、（14分）讨论函数项级数221(1)sin (-,)221sin n n n n x n x ππ∞=-+∑在上的一致收敛性、绝对收敛性以及绝对一致收敛性。
六、（14分）设f (x )在[-1，1]上二阶连续可微，(0)0f =，证明（可用Taylor 展开）1111(), sup ''().3x M f x dx M f x 其中--≤≤≤=⎰ 七、（12分）两抛物线2211y x y x =-=-和围成闭区域D 。
2009考研数三真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.x x 3(1)函数f x的可去间断点的个数为 ( )sin x(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 无穷多个. (2) 当x 0时, f x x s in ax 与g x x 2 ln 1 bx 是等价无穷小,则 ( ) (A) a 1,b(B) a 1,b .(C) a 1,b .(D) a 1,b .xsin t(3) 使不等式1dt l n x 成立的x 的范围是( )(A) (0,1) .(B) (1, ) . (C) (, ) .22(4) 设函数y f x 在区间 1,3 上的图形为(D) ( ,) .x则函数Fx 0 f t dt 的图形为()(A)(B)(C)(D)(5)设A, B 均为2阶矩阵, A*, B* 分别为A, B 的伴随矩阵,若A 2, B 3,则分块矩阵O A的伴随矩阵为( )B OO3B* O2B* (A) * .(B)* .2A O 3A OO3A* O2A* (C) * .(D)* .2B O 3B O10 0(6)设A,P 均为3阶矩阵,P T 为P 的转置矩阵,且P AP T0 1 0.0 0 2若P ( 1, 2, 3),Q ( 1 2, 2,3) ,则Q T AQ 为( )21 0 11 0(A)1 1 0. (B)1 2 0. 0 0 2 0 0 2 2 0 01 0 0(C)0 1 0. (D)0 2 0. 0 0 2 0 0 2 (7) 设事件A 与事件B 互不相容,则 ( )(A) P AB () 0 . (B) P AB () P A P B ( )( ) .(C) P A () 1 P B () . (D) P A ( B ) 1 .(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布N 0,1 ,Y 的概率分布为P Y 0 P Y 1 .记F Zz 为随机变量Z X Y 的分布函数,则函数F Zz的间断点个数为 ()(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11) 幂级数n 1n 2 x 的收敛半径为 ______.(12)设某产品的需求函数为Q Q p ( ) ,其对价格p 的弹性 p 0.2 ,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加_______ 元.3 0 0(9) c o s 0x x.(1 设 0) ( ) y x e x z ,则 ( 1 , 0) z x_______ .( 1) nnne(13) 设 (1,1,1)T , (1,0,k )T .若矩阵T相似于0 0,则k____ .0 0 0(14) 设X 1, X 2 , , X m 为来自二项分布总体B n p ( , ) 的简单随机样本, X 和S 2 分别为样本均值和样本方差,记统计量T X S 2 ,则ET_____.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分) 求二元函数f x y ( , ) x 22y 2 y ln y 的极值.(16)(本题满分10 分)计算不定积分l n1 dx (x 0) .(17)(本题满分10 分)计算二重积分x y dxdy ,其中D xy , x 1 2 y 1 2 2, yx .(18)(本题满分11 分D)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数fx 在 a ,b 上连续,在(a b , ) 可导,则存在a ,b , 使得f b f a f b a .(Ⅱ)证明：若函数fx 在x 0处连续,在0, 0 内可导,且limfx A ,则x 0f0 存在,且f 0 A .(19)(本题满分10 分) 设曲线y f x ( ) ,其中f (x ) 是可导函数,且f x ( ) 0 .已知曲线y f x ( ) 与直线y 0, x 1及x t t ( 1) 所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍,求该曲线方程.(20)(本题满分11 分)设1A11 1 111 , 1 1 4 2 2(Ⅰ)求满足A 2 1, A2 3 1的所有向量 2, 3 ；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量 2, 3 ,证明： 1, 2 , 3 线性无关.(21)(本题满分11 分) 设二次型f x x x 1,2 , 3 a x12 a x22 a 1 x32 2x x1 3 2x x23(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为y12 y22 ,求a的值.(22)(本题满分11 分) 设二维随机变量(X Y, ) 的概率密度为e x , 0 yx, f x y( , )0, 其他.(I)求条件概率密度f Y X (y x) ；(II)求条件概率PX 1Y 1 .(23)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以X ,Y Z, 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求PX 1Z 0 ；(Ⅱ)求二维随机变量 X ,Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)【答案】(C)x x3x ,则当x取任何整数时, f x 均无意义,故f x 的【解析】由于fsin x穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x x3 0的解x1,2,3 0, 1 .xx3 1 3x2 1 lim l im , x 0sin x x 0 cos x xx3 1 3x2 2 lim l im , x 1sin x x 1 cos x xx3 1 3x2 2 lim l im . x 1sin x x 1 cos x 故可去间断点为3个,即x1,2,3 0, 1.(2)【答案】(A)【解析】f x x s in ax 与g x x2 ln 1 bx 是x 0时的等价无穷小,则f x( ) x sin ax x sin axlim x 0 g x( ) l im x 0 x2 ln(1 bx) 等lim x 0 x2 ( bx)x sin ax 1 a cos ax a2 sin axl im x 0 bx3 洛lim x 0 3bx2 洛lim x 0 6bxa3 s in ax a3l im x 0 6b ax 6b 1,即a3 6b,故排除B,C.1 a cos ax外,lim 2 存在,蕴含了1 a cos ax 0 x 0 ,另故a 1, 排除D. x 0 3bx所以本题选A.(3)【答案】(A)x sin tdt l n x 0成立时x的取值范围.【解析】原问题可转化为求f x( )1 tx sin t x sin t x 1f x( ) dt l n x dt d t1 t 1 t 1 t x sin t 111 sin tdt dt 0.1 t x t1 sin t0,1 时,由t0 ,知当x 0,1 时,tf x( ) 0.故应选(A).(4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由yf x( ) 的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、x x0 所围的图形的代数面积为所求函数F(x) ,从而可得出下面几个方面的特征：①x 1,0 时,F x( ) 0为线性函数,单调递增；②x 0,1 时,F x( ) 0,且单调递减；③x 1,2 时,F(x) 单调递增；④ x 2,3 时,F(x) 为常函数；⑤ F(x) 为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(5) 【答案】(B)O A【解析】分块矩阵的行列式 B OO A（）1 2 2 A B2 3 6 ,B O即分块矩阵可逆,且O A O B O B6故答案为(B). (6)【答案】(A)1A O A OA2A O O BO 1A O 6 1 O A1B OB61 B 1O 1B O3 3A 2B. O1 0 0 10 0Q ( 1 2 , 2 ,3) ( ,1 0 0 P 1 1 01 00 1 01Q AQ TP 10 1 10 1T0 0 11 0 AP 1 0 1 00 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 010 20 1 1 0 1 1 0 0 0 .2【解析】,(7) 【答案】(D)【解析】因为A ,B 互不相容,所以P AB () 0 .(A )P AB ( ) P A ( B ) 1 P A ( B ) ,因为P (A B ) 不一定等于1,所以(A)不正确；(B)当P A P B ( ), ( ) 不为0时,(B ) 不成立,故排除；(C)只有当A ,B 互为对立事件的时候才成立,故排除；(D)P A ( B ) P AB () 1 P AB () 1,故(D ) 正确.(8) 【答案】(B) 【解析】F Z (z ) P XY { z }P XY { z Y 0} {P Y 0} P XY { z Y 1} {P Y 1}11P XY { z Y 0} { z Y 1} 22 11P X { 0 z Y 0} P X { z Y 1}, 22由于X ,Y 相互独立,所以1 1F Z (z ) P X { 0 z } { z } .2 2(1) 当z 0时,F z Z ( )( )z ；0 0(2) 当z 0时,F Z (z )( )z , 因此, z 0为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】ee e cos x e (1 e cos x 1 )【解析】lim l imx x1 2e xe (1 c os x )23e .lim l im x 02 x 02 2xx(10) 【答案】1 2ln 2xx【解析】解法1：由于zx e y,故z x ,0 x 1 ,xz y 0 x 1 xe x ln(1 x )e x ln(1 x ) ln(1 x ) 1 x x ,代入x 1,得z e ln 2 1 .ln 2 2ln 2 1x (1,0) 2 解法2：由于x z (x e y )x e x ln(x e y )(x e y )x ln(x e y) x x e y ,x xz1.故x (1,0) (1 e ) ln(1 e ) 1 e 0 2ln 2 1(11) 【答案】e 1e n 1 n0 , 1 n 1 n 22n n 1 e 1n 1e n 1 1 1l im n 2ee , nn 1 2 n 1 ne 1e所以,该幂级数的收敛半径为e 1 . (12) 【答案】8000 【解析】所求即为 QpQ p Q .Q p0.2Q Q 0.8Q .因为 p 0.2 ,所以Q p 0.2Q,所以Qp Q将Q 10000 代入有 Qp8000 .(13) 【答案】23 【解析】 T相似于0 0 0 00 ,根据相似矩阵有相同的特征值,得到 T的特征【解析】由题意知, 2 na n1l i lim m n n n e值为3,0,0.而 T 为矩阵 T 的对角元素之和, 1 k 3 0 0, k 2.(14) 【答案】np 2【解析】ET E X ( S 2 ) E X E S 2 n p np (1 p ) n p 2 .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】f x (x y ,) 2 (2x y 2) ,f y (x y ,) 2x y 2 l n y 1. f x (x y ,) 0,1 令解得唯一驻点(0, ) .f y (x y ,) 0, e由于A f xx (0, 1e ) 2(2 y 2))2(2e 12 ),14xy(0,1)0, e eB f xy (0,)1 1C f (0,) (2x 2 ) e ,yye y (0,1) e1所以B 2 AC 2e (22) 0, 且A 0. e1 11 e(16)(本题满分10 分)ee1 ( 0 , ey ( , ) 的极小值,极小值为f (0, ). 从而f (0, ) 是f x【解析】解法1 设,则x 2 , t 11l n 1dx l n 1t d t 2 1t 21 t 1 4 t 1t 1 t 1 21 11 ln t 1 ln t 1 C ,442 t 1所以而ln 1 t 112t21 t 1dt t 111 1 12dtdtC即(17)(本题满分10 分)【解析】解法1 如右图所示,区域D的极坐标表示为30 r 2(sin c os ), .4 432(sin cos )(x y dxdy) 4 d 0 (r cos rsin )rdrD 43 13r 2(sin cos )4 4 3 (cos sin ) r r 0 d3 8 33由二重积分的性质知x y dxdy x y dxdy x ydxdy,DD 12x y dxdy0 dx x(x y dy )D 2122 2(x 1)2 (x 1)2 dx2 0223 242 (x 1) 2,2 328而1111) D ydy x ydxdy x103 12 2 ,3 3 x 211443 34444) cos sin )( ( sin cos 38 cos)( s in cos )( s in 1 8 8 cos ) ( s in 3 4 3 d d解法 2 将区域 D 分成 12, D D 两部分(如右图),其中1 2, 1 0 , 1 1 2. 1 , 0 D y xy x D xyx x y所以 D x y dxdyD1 x y dxdy2 x ydxdy 3 2 3.D(18)(本题满分11 分)f b( ) f a( )【解析】(Ⅰ)取F x( ) f x( ) (x a) ,b a由题意知F(x) 在 a,b 上连续,在 a,b 内可导,且f b( ) f a( )F a( ) f a( ) (a a) fa( ), b af b( ) f a( )F b( ) f b( ) (b a) f a( ).b a根据罗尔定理,存在 a,b ,使得F ( ) f ( )f b()f a( )0,即b af b( ) f a( ) f ( )( b a) .(Ⅱ)对于任意的t (0, ) ,函数f (x) 在 0,t 上连续,在 0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理f t( ) f 0 f ( ) tf 0 l im l im l im f ( ) ,其中0,t .t 0 t 0t 0 t t 0由于lim f t A,且当t 0 时, 0 ,所以lim f ( ) A,故f (0) 存在,且t 0 t 0f (0) A.(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知 t 2t1 f (x dx ) t 1 f x dx ( ) ,两边对t 求导得t2f (t ) 1 f x dx ( ) tf t ( ) ,代入t 1得f (1) 1或f (1) 0 (舍去). 再求导得2 f t f t ( ) ( ) 2 f t ( ) tf t ( ) ,dt 1 记f (t ) y ,则 t 1, dy2y11因此, t e 2 y dy (e2 y dydy C ) y y dy C ) 13y 2 (2 y 2 C )C y .3入t 1, y 1得C ,从而t .12 1 代故所求曲线方程为x y . 33 解法2 同解法1,得2 f t f t ( ) ( ) 2 f t ( ) tf t ( ), f (1) 1.dy 2y 整理得.dt 2y ty dy du 令 u ,则 u t t dt dt原方程变成du 3u 2u 2t dt 2u 1 分离变量得 2u 11du t ,u (3 2 )u t2323 y即1 1 4dt ,du 3 u 3 2u t 积分得ln u (3 2 )u 2 l n Ct ,即u (3 2 )u C t .21 代入t1,u 1,得C 1,所以u (3 2 )u 3 .ty 212 2 1t(20)(本题满分11 分)【解析】(Ⅰ)对矩阵(A1) 施以初等行变换11 1 1 1A 11 1 110 4 2 21 k2 2 1k0 1 01212 03代入u 化简得y t (3 2 )y 1,即t y .故所求曲线方程为x y .可求得2 2 2 ,其中k 为任意常数.k2 2 0又A 2 2 20 ,对矩阵(A 21) 施以初等行变换4 4 022 2 0 1 1 A 12 24 4 0 2 01 012 0 , 0可求得1 2 a3 a ,其中a ,b 为任意常数.b(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知21 2 3 1 112 2 2 1 1 , , 1 0 2 2 2 k a k a k b,所以 1, 2 , 3 线性无关.解法2 由题设可得A 1 0.设存在数k k k1, 2 , 3 ,使得k1 1 k2 2 k3 3 0, ①等式两端左乘A,得k A2 2 k A3 3 0,即k2 1 k A3 3 0, ②等式两端再左乘A,得k3 A2 3 0,即k3 1 0.由于 1 0，于是k3 0,代入②式,得k2 1 0,故k2 0.将k2 k3 0代入①式,可得k1 0,从而 1, 2, 3 线性无关.(21)(本题满分11 分)【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵a 0 1.A 0 a 11 1a 1由于a 0 1| E A| 0 a 1 ( a)( (a 1))( (a 2)) ,1 1 a 1所以A的特征值为 1 a, 2 a 1, 3 a 2.10 0(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为y12 y22 ,所以A合同于0 1 0,其秩为2,故0 0 0A 1 2 3 0,于是a 0或a 1或a 2.当a 0时, 1 0, 2 1, 3 2 ,此时f 的规范形为y 12 y 22 ,不合题意. 当a 1时, 1 1, 2 0, 3 3,此时f 的规范形为y 12 y 22 ,不合题意.当a 2时, 1 2, 2 3, 3 0 ,此时f 的规范形为y 12 y 22 . 综上可知,a 2. 解法2 由于f 的规范形为y 2 y 2 ,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零.12又a 2 aa 1,所以a 2.(22)(本题满分11 分) 【解析】(I) X 的概率密度xP X 1,Y 1P X 1|Y 1P Y 1111xe dy x , x 0, xe x ,f ( )xf x y dy ( , ) 0x0, x 0.X0, x 0当x 0时,Y 的条件概率密度1f x y ( ,) , 0 y x ,f Y X | (y x |) xf X ( )x 0,其他.(II)Y 的概率密度e y , y 0,f Y (y )f x y dx ( , ) 0, y 0.,f x y dxdy( , ) d x e dy x e 21 0 0 1 .0 e dy y1 e e 1(23)(本题满分11分)1 1 1C24P X{ 1, Z 0} 6 3 .【解析】(Ⅰ) P X( 1Z 0)P Z{ 0} 1 2 9( )2(Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.P X 0,Y 0 C311 C311 1 , P X 1,Y0 C211 C311 1 ,C6 C6 4 C6 C6 6P X 2,Y 0 11 1 1 , P X0,Y 1 C21 1C21 1C31 1 , C6 C636 C6 C6 31 1P X 1,Y 1 C21C211,P X 2,Y 1 0, C6 C6 91 1P X 0,Y 2 C21 C21 1 ,C6 C6 9P X 1,Y 2 0, P X 2,Y 2 0,故(,)XY的概率分布为0 1 2XY1 360 1 /4/1 6 /1 1 /901 / 31 0 02 / 9。
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1 dx (ab 0) ， a cos x b 2 sin 2 x
2 2
1.2、 lim
x 0
x
(e x 1) (1 cos 2 x) arctan x
0 2
e cos tdt x
t2 2
,
解答：
原式= lim
x 0
x
0
e cos tdt x x5
t2 2
x2 x2 x x 2 2 (e 1) 1 cos x arctan x
sin x g 2 ( x) x , x [1,0); x 0. 1,
即知 g1 ( x), g 2 ( x) 分别在 (0,1] 与 [1,0) 上一致连续， 而它们的限制 f ( x) 也是一致 连续。
4
f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上不一致连续。
3
t 0
lim t e tx f ( x)dx C 。
0
证明： 由 t e tx f ( x)dx 1 而写下
0
t e tx f ( x)dx C t e tx [ f ( x) C ]dx 。
0 0
由 lim f ( x) C 知
令 0 ，有
2 1 1 ，这个矛盾！
所以 f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上不一致连续。 综上： f ( x) 连续。 7、设 f ( x) 在 [a, b] 上可导，导函数 f ( x) 在 [a, b] 上单调下降，且 f (b) 0 。证明：
x0 y 0 z 0 , , )， a2 b2 c2
而椭球面上点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法向量为 ( 过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面为 即
xdx ydy zdz ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 0 ， 2 a b c
= lim
x 0
e
x2 2
cos x 1 5x 4
e ( x cos x sin x) x 0 20 x 3 1 x sin a = lim 60 x0 x 2 1 = 60 ln x 3、 dx , 0 1 x2 解答： ln x 1 ln x 原式= dx dx 2 0 1 x 1 1 x2 1 ln x 1 ln x = dx dx 2 0 1 x 0 1 x2 = 0
y2 = 8x 2 2 1 2 a b x , y 0
c2 x2 y2 c 1 2 2 a b
dxdy
= 8abc x 2 y 2 1
x , y 0
1 1 x2 y2
r 1 r2 dr
dxdy
= 8abc
2
1
0
= 4abc 。
dx 4、设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 min f ( x) 1 。证明： lim( ) n 1。 n a ( f ( x )) n x[ a ,b ]
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算： 1.1、 解答：
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b tan x 1 a a = 2 b a b 1 ( tan x) 2 a 1 a = arctan( tan x) C 。 ab b d
= lim
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答： 原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
x
0, A 0, s.t. x 0 f ( x) C
2
。
又 f 在 [0, A] 上可积，而有界，设为 M ，于是对上述任意的 0 ，
A
2 A( M C )
0, s.t.
0 t t e tx [ f ( x) C ]dx A ( M C )
0
6、证明 f ( x) 致连续。 证明：
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均为一致连续，但在 (1,0) (0,1) 上不一
f ( x)
定义
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均一致连续。
sin x g1 ( x) x , x (0,1]; x 0. 1,
f ( f
1
( ))
f (a)
cos ydy (推广的第一积分中值定理)
1 sin f (b) sin f (a) f (b) 2 f (b)
b
a
cos f ( x)dx
2 . f (b)
5
b
1
证明：设
1 max f ( x) f ( ) ，
a[ a ,b ]
而不妨设( (a, b)( a或 b 类似讨论)。
一方面， dx （ ) n (b a) n 1, 当n 。 a ( f ( x )) n
b
1 1
另一方面，对任意固定的 0 , , s.t. x 1 f ( x) 1 , 而 （
x0 y0 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 0 ( z z0 ) 1 。 2 a b c2
于是
f ( x, y , z )
1 x y2 z2 a4 b4 c4
2
，
2
ds ds y2 z2 8x 2 2 2 1 2 2 a b c f ( x, y , z ) x y2 z2 x , y , z 0 a4 b4 c4
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均为一致连续，但在 (1,0) (0,1) 上不一致
证明：
b
a
cos f ( x)dx
2 . f (b)
b
a
cos f ( x)dx
f (b)
f (a)
cos 1
1 f ( f 1 ( y ))
f (b )
dy (变量替换 y f ( x) )
0 0
1
x
= 0 2、如果 f ( x) 在 x0 的某个领域内可导，且 lim 极小值。 证明：由题意， 0 ， s.t. 0 x x0 而 x x0 0 0 x x0 1 ( x x0 ) 0, 4 1 f ( x) ( x x0 ) 0. 4
x x0
f ( x) 1 。证明 f ( x) 在点 x0 处取 x x0 2
f ( x) 3 1 ， 4 x x0 4
f ( x)
即 f 在 x0 的左领域上递减，右领域上递增，于是 f 在 x0 取得极小值。 3、设 f ( x, y, z ) 表示从原点到椭球面 ：
b a
dx dx ) n ( )n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由 的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x
1
5、设对任意 a 0 ， f ( x) 在 [0, a] 上黎曼可积，且 lim f ( x) C 。证明：
x2 y2 z2 1 (a 0, b 0, c 0) 上点 a2 b2 c2 ds 。 f ( x, y , z )
p( x, y, z ) 处的切平面的距离。求第一型曲面积分
解答：对
x2 y2 z2 xdx ydy zdz 2 2 1 求微分有 2 2 2 0 ， 2 a b c a b c
0
2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0
t e tx [ f ( x) C ]dx
0
t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A
所以
2
2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
用反证法。若 f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上一致连续，则
0 ， 0 ， s.t.
x, x (1,0) (0,1) f ( x) f ( x ) 。 x x
x 0 特别地， 2 f ( x) f ( x ) 。 0 x 2