2009--浙大数学分析考研_及答案

y2 = 8x 2 2 1 2 a b x , y 0
c2 x2 y2 c 1 2 2 a b
dxdy
= 8abc x 2 y 2 1
x , y 0
1 1 x2 y2
r 1 r2 dr
dxdy
= 8abc

2

1
0
= 4abc 。
dx 4、设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 min f ( x) 1 。证明： lim( ) n 1。 n a ( f ( x )) n x[ a ,b ]
0

2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0

t e tx [ f ( x) C ]dx
0

t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A


所以


2


2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均为一致连续，但在 (1,0) (0,1) 上不一致

证明：
b
a
cos f ( x)dx
2 . f (b)

b
a
cos f ( x)dx

f (b)
f (a)
cos 1
1 f ( f 1 ( y ))
f (b )
dy (变量替换 y f ( x) )
x0 y 0 z 0 , , )， a2 b2 c2
而椭球面上点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法向量为 ( 过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面为 即
xdx ydy zdz ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 0 ， 2 a b c
= lim
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答： 原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
x2 y2 z2 1 (a 0, b 0, c 0) 上点 a2 b2 c2 ds 。 f ( x, y , z )
p( x, y, z ) 处的切平面的距离。求第一型曲面积分

解答：对
x2 y2 z2 xdx ydy zdz 2 2 1 求微分有 2 2 2 0 ， 2 a b c a b c
b
1
证明：设
1 max f ( x) f ( ) ，
a[ a ,b ]
而不妨设( (a, b)( a或 b 类似讨论)。
一方面， dx （ ) n (b a) n 1, 当n 。 a ( f ( x )) n
b
1 1
另一方面，对任意固定的 0 , , s.t. x 1 f ( x) 1 , 而 （

令 0 ，有
2 1 1 ，这个矛盾！
所以 f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上不一致连续。 综上： f ( x) 连续。 7、设 f ( x) 在 [a, b] 上可导，导函数 f ( x) 在 [a, b] 上单调下降，且 f (b) 0 。证明：
x0 y0 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 0 ( z z0 ) 1 。 2 a b c2
于是
f ( x, y , z )
1 x y2 z2 a4 b4 c4
2
，
2


ds ds y2 z2 8x 2 2 2 1 2 2 a b c f ( x, y , z ) x y2 z2 x , y , z 0 a4 b4 c4
b a
dx dx ) n (Leabharlann Baidu)n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由 的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x
1
5、设对任意 a 0 ， f ( x) 在 [0, a] 上黎曼可积，且 lim f ( x) C 。证明：
0
6、证明 f ( x) 致连续。 证明：
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均为一致连续，但在 (1,0) (0,1) 上不一
f ( x)
定义
sin x x
在 (0,1) 与 (1,0) 上均一致连续。
sin x g1 ( x) x , x (0,1]; x 0. 1,
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算： 1.1、 解答：
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b tan x 1 a a = 2 b a b 1 ( tan x) 2 a 1 a = arctan( tan x) C 。 ab b d
3
t 0

lim t e tx f ( x)dx C 。
0

证明： 由 t e tx f ( x)dx 1 而写下
0
t e tx f ( x)dx C t e tx [ f ( x) C ]dx 。
0 0


由 lim f ( x) C 知

f ( f
1
( ))
f (a)
cos ydy (推广的第一积分中值定理)

1 sin f (b) sin f (a) f (b) 2 f (b)

b


a
cos f ( x)dx
2 . f (b)
5
1 dx (ab 0) ， a cos x b 2 sin 2 x
2 2
1.2、 lim
x 0

x
(e x 1) (1 cos 2 x) arctan x
0 2
e cos tdt x
t2 2
,
解答：
原式= lim
x 0
x
0
e cos tdt x x5
t2 2
x2 x2 x x 2 2 (e 1) 1 cos x arctan x
x
0, A 0, s.t. x 0 f ( x) C

2
。
又 f 在 [0, A] 上可积，而有界，设为 M ，于是对上述任意的 0 ，
A

2 A( M C )
0, s.t.
0 t t e tx [ f ( x) C ]dx A ( M C )
x x0
f ( x) 1 。证明 f ( x) 在点 x0 处取 x x0 2
f ( x) 3 1 ， 4 x x0 4
f ( x)
即 f 在 x0 的左领域上递减，右领域上递增，于是 f 在 x0 取得极小值。 3、设 f ( x, y, z ) 表示从原点到椭球面 ：
= lim
x 0
e
x2 2
cos x 1 5x 4
e ( x cos x sin x) x 0 20 x 3 1 x sin a = lim 60 x0 x 2 1 = 60 ln x 3、 dx , 0 1 x2 解答： ln x 1 ln x 原式= dx dx 2 0 1 x 1 1 x2 1 ln x 1 ln x = dx dx 2 0 1 x 0 1 x2 = 0
0 0
1
x
= 0 2、如果 f ( x) 在 x0 的某个领域内可导，且 lim 极小值。 证明：由题意， 0 ， s.t. 0 x x0 而 x x0 0 0 x x0 1 ( x x0 ) 0, 4 1 f ( x) ( x x0 ) 0. 4
用反证法。若 f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上一致连续，则
0 ， 0 ， s.t.
x, x (1,0) (0,1) f ( x) f ( x ) 。 x x
x 0 特别地， 2 f ( x) f ( x ) 。 0 x 2
sin x g 2 ( x) x , x [1,0); x 0. 1,
即知 g1 ( x), g 2 ( x) 分别在 (0,1] 与 [1,0) 上一致连续， 而它们的限制 f ( x) 也是一致 连续。
4
f ( x) 在 (0,1) (1,0) 上不一致连续。