(一)三角函数与解三角形

(一) 三角函数与解三角形

1.(2019·南宁适应性测试)已知－90°＜α＜90°，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则sin α等于( ) A.255

B.－255

C.－55

D.55

答案 D

解析 因为tan α＝sin(76°－46°)＝sin 30°＝12

， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，

由－90°＜α＜90°，

得sin α＝55. 2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝23，则cos ⎝⎛⎭

⎫π3＋2x 等于( ) A.79 B.19 C.－19 D.－79

答案 C

解析 令θ＝π3－x ，则2x ＋π3

＝π－2θ， 所以cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ

＝2sin 2θ－1＝－19

. 3.(2019·桂林模拟)已知sin 2α＝14，且0＜α＜π4

，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α等于( ) A.－

104 B.104 C.64 D.－

64 答案 D

解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝22

(sin α－cos α)， 又0＜α＜π4

， 所以cos α＞sin α，

即sin α－cos α＜0，

所以sin α－cos α＝－(sin α－cos α)2

＝－1－2sin αcos α＝－1－sin 2α，

因为sin 2α＝14

， 所以sin α－cos α＝－1－sin 2α＝－32

， 因此sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝22(sin α－cos α)＝－64

. 4.(2019·钦州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，C ＝π4

，tan B ＝43

，则△ABC 的面积等于( ) A.87 B.37 C.47 D.27

答案 A

解析 根据题干条件tan B ＝43

可得到 sin B ＝45，cos B ＝35

， 又∵C ＝π4

， ∴sin C ＝cos C ＝22

， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝

7102，

由正弦定理得到a sin A ＝c sin C ，∴c ＝107

， 根据面积公式得到S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87

. 5.(2019·宜宾诊断)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，可以将函数y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫π6－2x 的图象( ) A.向右平移π24

个单位长度 B.向左平移π24

个单位长度 C.向右平移π12

个单位长度 D.向左平移π12

个单位长度 答案 A

解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π6， 转换为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －π6＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3， 将函数的图象向右平移π24

个单位长度， 得到y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4的图象. 6.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )

A.⎝⎛⎭⎫π6，0

B.⎝⎛⎭⎫π6，1

C.⎝⎛⎭

⎫－π6，0 D.⎝⎛⎭

⎫－π6，1 答案 D 解析 由题图可知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12

＝1， T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.

由π12×2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2

， 得φ＝π3

， 故f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 令2x ＋π3

＝k π(k ∈Z )， 得x ＝k π2－π6

(k ∈Z )， 则k ＝0时，x ＝－π6

. 7.(2019·保山检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为12

(c 2－a 2－b 2)，则内角C 的余弦值等于( )

A.－

55 B.55 C.－32 D.－255

答案 A

解析 ∵△ABC 的面积为12(c 2－a 2－b 2)＝12

ab sin C ， ∴sin C ＝－(a 2＋b 2－c 2)ab ＝－2ab cos C ab

＝－2cos C ， ∴tan C ＝－2，

∴C ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，

∴cos C ＝－11＋tan 2C

＝－55. 8.(2019·南宁适应性测试)已知P ⎝⎛⎭⎫π12，1，Q ⎝⎛⎭

⎫5π12，－1分别是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ等于( ) A.π2 B.－π2

C.－3π4

D.3π4

答案 D

解析 因为2×⎝⎛⎭⎫5π12－π12＝T ＝2πω，

所以ω＝3，

把P ⎝⎛⎭⎫π12，1的坐标代入方程f (x )＝sin(3x ＋φ)，

得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，

因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，ωφ＝3π4.

9.函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，以下结论正确的是(

) ①f (x )的最小正周期为π；

②对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0；

③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数；

④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .

A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②③④

答案 C

解析 f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )

＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，

①f (x )的最小正周期为2π2＝π，故①正确；

②f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝2sin 0＝0，

即函数关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，

即对任意的x ∈R ，

都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0成立，故②正确；

③当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12时，

2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，

此时函数为增函数，

即f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数，故③正确；