高考数学热点难点专题11++三角函数的图像与性质中的易错点(理)(教师版)
高考数学热点难点专题11+三角函数的图像与性质中的易错点(文)(教师版)
专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b s in x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
三角函数易错点总结
三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。
然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。
下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。
一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。
例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。
很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。
2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。
在进行换算时，要注意系数的转换。
有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。
3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。
在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。
有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。
二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。
很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。
2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。
例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。
有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。
3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。
[配套k12学习]专题11 三角函数的图像与性质中的易错点-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖(教师
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专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
三角函数的图像与性质 高考数学 易错点
1．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( )A ．－35 B.35C ．－45 D.45解析：因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35，故选A.答案：A2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝( )A ．－12 B ．1C.12 D ．－323．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋3π5 解析：不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C. 答案：C4．若将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，05．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析：A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 答案：D6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6C.π3 D.5π6解析：函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6.因为函数的图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π，m ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B7．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成图形的面积为( ) A.52 B.32 C ．1＋32 D ．1－328．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12解析：将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A .答案：A9．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2B . 2C ．－22 D ．－24解析：依题意得f′(x)＝A ωcos (ωx ＋φ)，结合函数y ＝f′ (x)的图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D .答案：D10．将函数f(x)＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A .32 B .12 C ．－12D ．－3211．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ，下列结论正确的是( )A ．函数f(x)的最小正周期为2πB ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4上单调递增C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数f(x)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称解析：由已知，得f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；当π12<x<π4时，π3<2x ＋π6<2π3，所以函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4上不具有单调性，B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＋1＝2sin π2＋1＝3，即当x ＝π6时，函数f(x)取得最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称，C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，1是函数f(x)的图象的一个对称中心，D 错误，故选C . 答案：C12．已知函数f(x)＝sin ωx －3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72 B .⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256 C .⎝⎛⎦⎥⎤256，112 D .⎝⎛⎦⎥⎤112，37613．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 A 解析π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 14．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 15.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝0.16．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3 解析 因为0≤x ≤9， 所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.17．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．18．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.答案 －43方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125，化简得2sin αcos α＝－2425，则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，将该式与sin α＋cos α＝15联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.19．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x .x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.20．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 21．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案2222．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
三角函数题型常见的八个易错点
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
三角函数易错点
由ｉ ＋＝Ａ ｃ ｓ一 ＿ ＝ ｓ 日ｓ ｃ＋ ｉ ２ 佃孚 ｎ ）ｎ。 。 ｉ 得
Ａ＝ ． ＋孕 Ｂ
剖 析 ：本 题 错误 解 法 是 扩 大 了角 度 范 围 ，由
ｓ ＝ ｉ ＜ １ ＜ 霄
，
的原则，这样在 解决函数问题时才会减 少失误 ．
例 ２． 已知 ３ｉａ ２ｉ ３２ｉ ，求 ｓ ２＋ｉ８ ｓ ２＋ｓ ￣ ｓ ａ ｎ ｎ＝ ｎ ｉａ ｓ ］ ｎ ｎ
错 解 ：因 为 Ａ、Ｂ均 为钝 角 且 ｓ ＝ ｉ ，所 丁Ｖ３－ ｃｓ ｖＴ － ２ ｏ肛 ３ ｏ
—
，
，
、 】 故 Ｙ 卜２ ／ 一 ，一 ） ｕ（４ 、 一】 ／ ， ∈ 、 ２ ４ － ，２ ／ ２ 为
所求．
评 析 ：研 究 函数 问题 必 须 要 遵 循 “ 义 域 优 先 ” 定
很 多数 学题 目都有 隐含条件 ， 需要做题 时非常细心．
追踪练习 ：
判断函数 ）— ｃｓ ：１ｓ ｘ —ｘ的奇偶性 ＋ｉ 。ｏ ｎ－ Ｚ
．
ｃ仪） 。 ｓ ｓ ｉ （
１ ２ ，
’
，以 或＝ 出 错 所卢 卢 ｝ 孥． 误 现
原 因是 当卢∈（ ， ） ， 不是单调 函数 ， ０７ 时 ｓ ｒ ｉ 还要进 一
ｓ ａ Ｏ时，ｉ２＋ｉ￣取最小值 ０ ｉ＝ ｎ ｓ ａｓ ｎ ｎ ．
评析： 本题错 解忽略 了 ｓ ｊ＝ （ｓ ｃ ３ｉ２） ｉ Ｂ ２ｉ ￣ ｓ ａ Ｅ ｎ ｎ一 ｎ
【，】 含 隐含 条 件 ， 得 ｓ ａ的取 值 范 围扩 大 而致 错 ． ０ 】这 使 ｉ ｎ
追踪练 ＞ ： － － ｊ
角 函 数 易 锚 点
■ 田彦 武
误做一分类 剖析 ，供大家参考．
高考数学三角函数易错点分析
高考数学三角函数易错点分析
高考三角函数的易错点
1.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚了吗？如果角的端边在坐标轴上，属于哪个象限？你知道锐角和第一象限之间的角度；以相同的角度和相同的角度结束。
有什么区别？
2.单位圆中三角函数和三角函数线的定义
你知道正弦线、余弦线和切线的定义吗？
3.解三角问题时注意到正切函数和余切函数的定义域了吗？你注意到正弦和余弦函数的有界性了吗？
4.你还记得三角网简化的一般方法吗？(剪弦，降幂公式，用三角公式变换成特殊角度。
异角化、同形异义、同形异义、高阶、低阶)
5.你还记得一些特殊角度的三角函数值吗？
6.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
能写出三角函数的单调区间吗？能写出简单三角不等式的解集吗？
(注意数字和形状的组合以及书写规范，但别忘了)，你知道通过函数的变换可以得到函数的图像吗？
7.函数图像的翻译和方程的翻译令人困惑：
(1)函数图像的翻译是“左右，上下-”。
(2)方程所表示的图形的翻译是“左-右-上-下”。
8.三角函数找角时有没有注意到两个方面？(先求某个三角函数值，再确定角度范围)
9.正弦定理中容易被遗忘的比值等于2R。
1。
高考难点三角函数的图象和性质难点详解
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=－x·cos x的部分图象是( )友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
三角函数的易错知识点总结
三角函数的易错知识点总结引言三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
然而，由于其涉及的概念较多且相互之间关联复杂，初学者常常容易在某些知识点上出现错误。
本文将总结三角函数中一些常见的易错知识点，并提供解决方法，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
1. 角度与弧度的转换在三角函数中，我们通常用角度来表示一个角的大小。
然而，有时候我们需要将角度转换为弧度进行计算。
这是一个容易出错的地方。
要注意以下转换关系： -弧度 = 角度× π / 180 - 角度 = 弧度× 180 / π在进行角度与弧度的转换时，务必注意单位的正确性，避免计算出错。
2. 三角函数的定义域与值域在学习各种三角函数时，我们需要了解它们的定义域和值域，以便正确地应用它们。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义域和值域如下：•正弦函数（sin）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
•余弦函数（cos）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
•正切函数（tan）：定义域为实数集，值域为全体实数。
在计算中，要注意将角度转换为弧度，并根据定义域和值域的限制来确定计算结果的合理性。
3. 三角函数的基本性质在使用三角函数进行计算时，我们需要了解它们的基本性质，以便正确地进行推导和运算。
以下是三角函数的一些基本性质：•正弦函数和余弦函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)•正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)•三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，cos(x + 2π) = cos(x)，tan(x + π) = tan(x)在推导过程中，可以根据这些基本性质进行等式的变形和化简，简化计算过程。
4. 三角函数的常用公式三角函数有许多常用的公式和恒等式，它们在计算中经常被使用。
以下是一些常见的公式：•和差公式：–sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)–cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)–tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))•二倍角公式：–sin(2x) = 2sin(x)cos(x)–cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)–tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))•半角公式：–sin(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / 2]–cos(x/2) = ± √[(1 + cos(x)) / 2]–tan(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / (1 + cos(x))]在计算中，熟练掌握这些公式可以大大简化运算过程，减少出错的可能性。
2019年高考数学命题热点解析理科专题11【三角函数的图像与性质中的易错点】
2019年高考数学命题热点解析理科专题11【三角函数的图像与性质中的易错点】一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y＝a(sin x±cos x)＋b sin x cos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).三．函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
高中数学三角函数图像和性质易错点梳理(附例题详解)
3π 2
；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
题组一：三角函数的图像与性质
1．（2011 新课标）设函数 f (x) sin(2x ) cos(2x ) ，则（ ）
4
4
A． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
2
4
B． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
12
个
单位长度，得到曲线 C2
【解析】把C2 的解析式运用诱导公式变为余弦，
C2
：
y
sin(2x
2 3
)
cos[
2
(2x
2 3
)]
cos[(2x
6
)]
cos(2x
6
)
则由
C1
图象横坐标缩短为原来的
1 2
，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得到曲线
C2 ．选 D
9．（2016 全国 II）若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对
4
D. π
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ，且函数 y cos x 在区间
4
[0, ]上单调递减，则由 0 ≤ x ≤ ，得 ≤ x ≤ 3 ．
4
4
4
因为
f
(x)
在[a,
a]
上是减函数，所以
aa≤≥344
，解得
a
≤
4
，
解法二 因为 f (x) cos x sin x ，所以 f (x) sin x cos x ，
2
y sin(2x ) 的图象重合，则 _________．
三角函数易错知识点总结
三角函数易错知识点总结三角函数是数学中的重要概念，也是很多人在学习数学时容易出错的知识点之一。
本文将总结一些常见的易错知识点，帮助读者更好地理解和掌握三角函数。
一、角度与弧度的转换在三角函数中，角度和弧度是两种表示角度大小的方式。
角度是我们常用的度数表示方式，而弧度是数学上常用的表示方式。
在使用三角函数时，经常需要将角度和弧度进行转换。
角度转弧度的公式为：弧度 = 角度× π/180弧度转角度的公式为：角度 = 弧度× 180/π在进行转换时，很多人容易混淆转换公式，导致计算错误。
因此，在使用三角函数时，一定要注意角度和弧度的转换。
二、正弦函数和余弦函数的区别正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中应用广泛。
但很多人容易混淆这两个函数的图像和性质。
正弦函数的图像是一条波浪线，它的取值范围在-1到1之间。
而余弦函数的图像是一条类似于正弦函数的波浪线，但相位不同，取值范围也在-1到1之间。
正弦函数和余弦函数在性质上也有一些区别。
例如，正弦函数在原点处取得最小值0，而余弦函数在原点处取得最大值1。
另外，正弦函数的图像是奇函数，对称于原点，而余弦函数的图像是偶函数，对称于y轴。
三、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即函数图像在一定区间内重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在0到2π之间图像会重复出现。
这一点很多人容易忽略，在计算三角函数值时没有考虑到周期性，导致结果错误。
因此，在使用三角函数时，一定要注意函数的周期性，根据需要进行相应的调整。
四、三角函数的性质除了周期性外，三角函数还具有一些其他的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
而正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集。
三角函数还具有一些重要的性质，如奇偶性、单调性和最值等。
在使用三角函数时，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和计算三角函数的值。
五、特殊角的三角函数值特殊角是指具有特殊取值的角度，如0度、30度、45度、60度、90度等。
专题11三角函数的图像与性质中的易错点-名师揭秘高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)
专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
备战高考数学复习三角函数易错知识点
备战2019高考数学复习三角函数易错知识点三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数，下面是三角函数易错知识点，请考生学习掌握。
29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。
异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。
你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范，可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为左+右-，上+下-如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(2)方程表示的图形的平移为左+右-，上-下+如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则。
37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
三角函数图象与性质习题解答易错点探析
2010-11新视角三角函数图象与性质内容作为高中数学知识教学的重要组成部分，通过学生在作业习题解答过程中，发现学生对解答有关三角函数图象和性质方面的习题过程中，或多或少的存在着一些对问题题意和要求理解不清等方面导致解答错误现象的发生，综合各方面的原因，本人进行了综合分析，先将本人的一些认识和体会分析如下：一、忽略对函数表达式中的参数的讨论函数表达式中参数的取值，往往是确定函数图象性质的重要因素，因此，在解答问题时，必须先考虑参数对函数性质的影响，可以采用把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题进行求解，可以采用逆向思维和综合运用正弦型函数的性质进行相关类问题的解答。
案例:求函数y =a sin x+b （a ，b ∈Z ，a ≠0）的最值。
学生错误的解答过程为：∵-1≤sin x ≤1，∴当sin x =1时，y max =a+b ；当sin x =-1时，y min =b-a 。
从以上学生的解答过程中，发现学生由于没有对a 的符号进行讨论，出现了错误解答。
因此，其正确解法为：若a ＞0，则当sin x =-1时，y max =a+b ；当sin x =-1时，y min =b-a 。
若a ＜0时，则当sin x =1时，y min =a+b ；当sin x =-1时，y max =b-a 。
二、求单调区间时忽略定义域函数单调性是函数在定义域的性质，因此在求函数的单调区间时，一定要先确定其定义域，可以采用：（1）若函数的表达式是分式，则分母不能为0；（2）若函数的表达式是偶次函数，则被开方式非负；（3）若是形如y =log af （x ）的函数，则其定义域有f （x ）＞0确定；（4）在实际问题中，其定义域不仅要使解析式有意义，还要使实际问题有意义等四种方法。
案例：求函数y =lg ［sin （π/4-1/2x ）］的单调递增区间。
学生错误的解题过程为：解：令t =sin （π/4-1/2x ），则y =lg t .∵y =lg t 是增函数.∴原函数的单调递增区间就是t =sin （π/4-1/2x）的单调递增区间。
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专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
【详解】因为函数为定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，可得，即函数是周期为4的周期函数，且图像关于直线对称。
故在区间上的零点，即方程的根，分别画出与的函数图像，因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，则，所以所有零点和为8,故选B。
练习2．设，则函数A．有极值B．有零点C．是奇函数D．是增函数【答案】Df（x）无极值和无零点，且不为奇函数.故答案为：D练习3．已知，若函数在上有两个不同零点，则_______．【答案】【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.【详解】已知=，令，函数在上有两个不同零点,即函数和y=m两个图像有两个不同的交点，做出函数y=sint，和y=m的图像,通过观察得到进而得到=故答案为：.【点睛】本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．对于函数的零点问题通常转化为两个函数图像的交点问题或者方程的解的问题. （三）函数的单调性例3．若函数y=f（x）对任意x∈（-，）满足f'（x）cosx-f（x）sinx>0，则下列不等式成立的是（）A．f（-）<f（-）B．f（-）>f（-）C．f（-）>f（-）D．f（-）<f（-）【答案】B【解析】分析：根据所给式子，构造函数，利用函数的单调性即可得到正确答案。
详解：因为，所以 令，所以为单调递增函数因为 所以，即化简得所以选B点睛：点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，主要是根据所给式子的特征构造函数，利用函数的单调性解不等式，属于中档题。
练习1．定义在R 上的函数()f x ，满足，且， ()f x 在 []3,2--上是减函数，如果A 、B 是一个锐角三角形的两个内角，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】函数满足，则函数是周期为2的函数，函数满足，则函数关于直线2x =对称，结合周期性可知函数关于y 轴对称，()f x 在 []3,2--上是减函数，则函数在区间[]1,0-上是减函数，结合对称性可得函数在区间[]0,1上是增函数，△ABC 是锐角三角形，则2A B π+>，即，正弦函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则，即sin cos A B >，而，据此可得：.本题选择A 选项.练习2．函数在下列哪个区间上单调递减（ ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】函数中，有,有： 1cos22x <.令.当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不满足1cos22x <，A 不正确； 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 2,π3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 23x π=时， 1cos22x =，不成立；当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 2,π2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 单调递增，又外层函数单调递减，所以原函数单调递增； 当时，， 523x π=时， 1cos22x =，不成立. 故选C. 点睛：形如的函数为()y g x =, ()y f x =的复合函数， ()y g x =为内层函数, ()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数也单增.简称为“同增异减”. （四）函数的解析式例4．已知f（x）=3cos（ωx+），x∈R，又f（x1）=–3，f（x2）=0，且|x1–x2|的最小值是，则正数ω的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得，所以，解得ω=，故选C．练习1．已知函数的图象关于点30 4π（，）对称.且()f x在区间2 03π（，）上单调,则ω的值为( ）A．2 B．103C．23D．38【答案】C【解析】由题意，又由图象关于点30 4π（，）对称，则，所以，即，又因为2Twπ=，且函数()f x在23π（，）上单调，所以23wππ≥，所以32w≤，令0k=，所以，故选C．（五）三角函数图象综合例5．函数在[－π，π]上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题易得函数f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项B 、C ，当0πx << 时，f (x )>0，排除选项A.故选D.练习1．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 练习2．函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的图像大致为（ ）【答案】C【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，关于原点对称，且，所以函数()f x 的图像关于原点对称，排除A 、B 选项，在同一直角坐标系中，作出函数2y x =， tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像，由图可知故在0x >时，靠近y 轴的部分满足2tan x x >，比较选项C 、D 可得答案C 正确.（六）三角函数的奇偶性例6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依题意得2×＋α＝2k 1π＋，即α＝2k 1π＋，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝得β＝＋，k 2∈Z ，故选D.练习1．设函数的最小正周期为π，且，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】试题分析：由2T ππω==得2ω=，，又，则4πϕ=，即．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()20,x π∈， ()f x 递减，故选A ．（七）三角函数的对称性例7．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有，则等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0 【答案】B 【解析】由f＝f得x ＝是函数f (x )的一条对称轴，所以f ＝±2，故选B.练习1．已知函数对任意x 都有则6f π⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．2 B ．0 C ．2-或2 D ．2- 【答案】C【解析】因为函数对任意x 都有所以()f x 关于直线x 6π=对称.则6f π⎛⎫⎪⎝⎭为的最大值或最小值，即26f π⎛⎫=-⎪⎝⎭或2. 故选C.（八）三角函数的最值例8．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f(2)＜f(－2)＜f(0) B ．f(0)＜f(2)＜f(－2) C ．f(－2)＜f(0)＜f(2) D ．f(2)＜f(0)＜f(－2) 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为π，所以2ω=，又当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则2π3x =是经过函数()f x 最小值的一条对称轴，是经过函数()f x 最大值的一条对称轴，因为，所以，且，所以，即；故选A.点睛：本题考查三角函数的性质；比较三角函数值的大小时，往往将角转化到同一个单调区间上，而本题中将2,2,0-难以转化到同一个单调区间上，而是利用对称性和开口方向进行比较.练习1．已知函数在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】，又函数()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，∴，解得：13ω24≤≤ 故选：D 练习2．已知函数，若存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()0f x ≤()f x ≤恒成立，则ω的最小值为（ ）A ．12016 B ．14032 C ．12016π D ．14032π【答案】B【解析】，所以周期T πω=，存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()0f x ≤()f x ≤恒成立，则,解得： 14032ω≥，故选B. （九）三角函数与数列的综合例9．若，则中值为0的有（ ）个A ．200B ．201C ．402D ．403 【答案】C练习1．函数，若对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,，∴f (x )∈[1,2]，对于(m >0)，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ,∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得成立，∴解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.点睛：函数中的方程有解问题：（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与x 轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可. 练习2．函数（）的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（ ）个单位A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移【答案】D【解析】试题分析：正弦函数图象与轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即，又因为，所以，则＝，所以只要将函数的图象向右平移个单位就能得到的图象，故选A．考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换．（十）三角函数的周期性例10．函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简，利用周期公式可得结果.【详解】因为函数，所以最小正周期为，故选C．【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式，以及正弦函数的周期公式，属于中档题. 函数的最小正周期为.练习1．给出以下命题：①若均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数的值域是[0，2]其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】①若均为第一象限角，且，如，，但是，因此不正确.②若函数的最小正周期是，则，解得因此不正确.③由函数，可知，而由，得到可知此函数的定义域关于原点不对称,因此不是奇函数,故不正确;④若函数的周期是，由周期定义知，故函数的周期不是，故不正确.⑤=,当时，，可知函数的值域为故不正确;综上可知:①②③④⑤都不正确.故选：D．练习2．（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.练习3．下列函数的周期为的是( )①；②；③；④.A．①④B．①③④C．②③④D．①②④【答案】D【解析】利用，的周期不是，可排除选项；利用，排除，从而可得结果.【详解】设，则，，，不是的周期，③不合题意，排除，设，则，故是的周期，②符合题意，排除，故选D.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 练习4．函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.。