心理学统计 第三部分 每个被试涉及两次测量的假设检验

• 如何来测量变量在总体中的排序呢？我们很容易 想到z分数。 • 那么完全相关就是每个被试的两次测量值对应的z 值完全相等；完全负相关则是每个被试的两次测 量值正负相反。
• 两个变量之间的相关程度，可以用相关系数来表 达。+1代表完全相关，-1代表完全负相关，0代 表不相关。 • 本章我们介绍皮尔逊相关系数：
• 我们心理学研究中测量的都是样本数据，用样本 相关来估计总体相关。
• 有偏的样本会影响到对总体的估计。 • 全距限制：网瘾与内外向的关系，被试选择有网 瘾的人 • 极端值：删掉（该数据选取存在问题）或者保留 （预示另一种可能）
• 虽然我们用y=ax+b来表示线性相关，但是这并不 能说y的变化是由x引起的。 • 也就是说，相关并不意味着因果关系。
• 那么r的显著性可以用单样本t检验类似的公式检 验 r 0 r N 2
t 1 r N 2
2

1 r 2
• 相关的自由度是N-2，N是被试的个数
• 其实要知道r的显著性，我们不需要去计算，我们可 以查表。
• 可见，r的临界值随自由度增大而降低
• 也就是说，即使算出的相关系数很小，它也可能 是显著的相关，只要样本量足够大。 • 当df=1000时，单侧α=0.05对应的r临界为0.052
回归系数的显著性检验
• 计算出回归系数之后需要对其显著性进行检验：如果b是 显著的，则表明所建回归方程是显著的，也就是说X与Y 之间存在显著的线性关系。 • 设总体回归系数为β，H0：β=0，采用t检验
b t SEb
2 sestY SEb 2 (X X )
1 (Y Y ' ) N 2 ( X X )2
• 相关系数的一些其他形式
( X X )(Y Y ) r
SSx SSy
SP SSx SSy
• SP被称为离差乘积之和，简称积和。
N XY ( X )( Y )
r
[ N X 2 ( X ) 2 ][N Y 2 ( Y ) 2 ]
• 上面的Fra Baidu bibliotek式被称为原始分数的元素公式
C部分 非参数相关
• 斯皮尔曼等级相关
• 肯德尔和谐系数 • 点二列相关
• 二列相关
• 前边讲到的皮尔逊相关和线性回归可以计算两个 变量间的共变关系，然而这两种分析仅适用于等 距或等比数据，且要求其总体服从正态分布。
• 当变量为称名或顺序数据或者总体不服从正态分 布时，我们需要采用非参数相关分析。
皮尔逊r的显著性检验
• 计算两个变量的相关性，我们通过抽样来计算。 在小样本研究中，高相关可能是由于抽样的偶然 性造成的，因此需要对计算的相关系数进行假设 检验。
• 用ρ表示总体的相关系数，那么零假设是ρ=0，可 以用t分布来进行假设检验。
• 相关系数r的抽样分布的标准误为
1 r 2 N 2
B基本统计过程
• 根据样本统计量计算回归
• 用样本统计量来计算估计的方差 • 线性回归的前提假设 • 何时使用线性回归
• A部分的回归公式是根据总体参数给出的，在现 实研究中，我们需要用样本来估计总体。
bYX sY r sX
aYX Y bYX X
• 一旦均数、标准差和皮尔逊r已知，就可以得到回 归方差方程
被试 号 奇 偶
1
10
2
9
3
4
4
10
5
9
6
8
7
5
8
6
9
7
11
15
5
6
11 12 7
11
7
线性回归
A基本概念
• 线性回归
• 回归方程 • 估计方差
• 解释方差
• 决定系数
• 上一章我们学习了来自同一批被试的两个变量之 间的关系可以用相关分析来研究。 • 相关描述的是两个变量在各自总体中所处位置的 相似性。是否同高同低。 • 如果两个变量的为完全相关时，那么我们可以通 过一个变量来预测另一个。
• 决定系数代表了总方差被预测变量所解释或决定 的比率，即已解释方差与总方差之比。决定系数 等于相关系数的平方r2 • 若决定系数达到1，则表明Y的变异完全由X的变 异来解释，没有误差；若决定系数为0，则表明Y 的变异与X无关，回归方程无效。
• 未决定系数则等于未解释方差与总体方差之比。
• 转换之后，我们可以得到估计方差的计算公式
• 但是有些情况下，两个变量的相关可以解释为因 果。吃糖量与蛀牙的关系。
B基本统计过程
• 皮尔逊相关系数的一些其他公式
• 协方差 • 皮尔逊相关系数的假设检验
• 自由度
• 皮尔逊r的假设前提
• 相关系数
X x Y y )( ) (
r
z z
N
x y

x
y
N
r N

( X )(Y
• 用X预测Y，在非完全（负）相关的情况下，预测存在误 差，就需要确定X对Y的解释程度。 • 估计值的方差与总体方差之间的差异就是回归方程对方差 的解释量。 • 总体的差异为 Y Y (Y Y ' ) (Y 'Y ) ，其中第一部分表示 的就是预测的误差，被称为未解释部分；第二部分被称为 已解释部分。对应的方差被称为未解释方差和已解释方差。
x
y
)
N x y

XY N
x
y
N x y
XY
x
y
x y
• 我们可以看到分子的第一项和相关系数的原始公 式很相似，它代表的是原始分数的叉积，相关系 数是z分数的叉积的平均。
• 将相关系数改写成上边的形式，可以简化计算， 而且上边形式中的分子和方差的公式相似，被称 之为协方差。
线性相关
A基本概念
• 完全相关
• 负相关
• 相关系数
• 图示相关 • 处理曲线问题
• 样本相关的推广问题
• 前几章我们讲了假设检验的几种情况：一个样本 与总体的比较和两个样本间的比较。在这些情况 下，每个被试被测量一次。
• 但是在很多的心理学研究中，同一个被试会被测 量两次或多次。最典型的就是通过问卷法进行研 究。
2
• 其中SEb为回归系数的标准误。
线性回归的假设前提：
• 随机独立取样；
• 两个变量为线性关系；
• 正态分布：在X变量的每个可能值上，Y变量必须 在总体中遵循正态分布； • 残差方差齐性：在每一个X值上，Y的方差都一样。
何时使用线性回归：
• 根据一个不同变量的分数预测另一个变量未来的 表现；（健忘——老年痴呆；朋友数目——其孤 独指数） • 去除一个混淆或不希望的变量的效应； • 评价一个真（即被实验操纵）自变量的量化水平 和一个连续因变量之间的线性关系。
zY ' z X
zY ' z X
• 上边的公式适合于两个变量是线性完全相关或完 全负相关的情况。
• 对于两个变量不完全相关时，我们可以对上述公 式进行修正
zY ' rz X
• 完全相关时r=1或-1，X可以准确的预测Y；完全 不相关时r=0，X就不能预测Y了；不完全相关时， X可以在某种程度上预测Y，存在误差。
2 estY
(Y Y ' ) 2 N
• 它是回归线周围的数据点的方差，被称为估计的 方差或残差方差。
• 数据点离回归线越近，预测的误差就越小，残差 方差也越小。 • 完全相关时，所有点都在直线上，残差方差为0； 随着相关降低，残差变大，预测就越不准确；当 完全不相关时，回归线就变成了一条水平 线 Y ' Y ，此时残差方差就变成了Y值的一般方 差。
XY COV
N
x
y
• 把协方差除以两个标准差的积是为了保证相关系 数在-1和+1之间。
• 前边我们相关系数和协方差的公式中都是用的总体 均数和总体方差。 • 我们在实际的研究中，我们需要通过样本去估计总 体。那么相关系数的公式就变为
1 ( XY N X Y ) r N 1 sx s y
• 极端的情况下，生活费最高的人最幸福，最低的 人最不幸福，幸福随着生活费等比例变化，他们 之间形成了一种线性关系,那么两者之间就是完全 相关的。
• 完全相关的两个变量，只要知道其中一个，就能 算出另一个。
• 如果生活费越高，则幸福感越低的话，那么两者 之间就是负相关。
• 那么高低如何来评价呢？高低不是绝对的，是相 对的，可以用它在总体中所处的排序位置来描述。 • 那么相关表达的就是两个变量中对应值在各自总 体中排序位置的相似性。 • 如果两个变量的每个值其排序位置都相同，那么 他们就完全相关
皮尔逊r的前提假设：
• 独立随机抽样 • 正态分布
• 二元正态分布
皮尔逊相关系数的应用：
• 信效度： 重测信度、内部一致性、两个评分者一致性
• 变量间的关系
• 练习: 某心理学家想知道新的自尊问卷是不是内部 一致的。9名被试填写完问卷后，得分被分为两部 分：奇数项得分和偶数项得分。使用皮尔逊相关 计算这个自尊问卷的分半信度。
• 我们对上式进行转换变为 Y ' Y r ( X X ) Y X • 令 bYX Y r
X
Y ' bYX X bYX X Y
• 令
aYX Y bYX X
Y ' bYX X aYX
• 上式就是线性回归的简单表达式，注意Y加“撇” 表示预测量，而非实际的观测量。
z z r
N
x y
• 这是最简单的表达公式，但不是最简单的计算公 式
• 在完全相关的情况下，zx和zy相等。
r
2 zx
N

( zx z )2 N
z 1
• 同样的方式，可以得到完全负相关的相关系数为 -1.
• 对于一个变量，我们对其每一个数值均进行加减 或者乘除的运算，它的z分数将不会变化。新旧两 个变量之间是完全相关。 • 这种不改变z分数的转换被称为线性转换。线性转 换下，相关系数不变。 • 完全相关的两个变量他们之间是一种线性的关系。 Y=aX+b，a和b均为常数。
• 举例：研究大学生每月生活费与其幸福感之间的 关系。 • 做法：对每一个随机选择的大学生，我们要测他 的每月生活费，还要测他的幸福感，然后计算两 组数据之间的相关性。
• 那么相关是什么呢？
• 如果说，对一个被试，他的生活费高则幸福感高， 生活费低则幸福感低，那么生活费与幸福感之间 就是相关的。
• 举例：研究者想了解人的视、听两种感觉通道的反 应时是否具有一致性。收集了10个人的数据。
被试 1 2 听反应X 视反应Y 听排序Rx 172 179 7 140 162 2 视排序Ry 5 2
3 4 5 6 7 8 9 10
152 187 139 195 212 164 149 146
153 189 181 220 210 182 178 170
• 相关除了用公式可以计算之外，也可以用图的方 式来表达。
• 完全相关的图示就是一条直线
• 前边提到，相关表达的是对于两个变量中的每个 数值对，他们是否同时大。可以用皮尔逊相关系 数来计算。 • 但是皮尔逊相关描述的只是线性相关，即 Y=aX+b。 • 对于一些非线性关系，要适当做一些变换。 Y = a X2 + b 开方 智商随年龄的变化 分段
5 8 1 9 10 6 4 3
1 8 6 10 9 7 4 3
• 在此例中，要研究视觉和听觉反应时的一致性， 两列变量是同一组被试测得的，是成对的数据， 可采用相关分析。
• 然而只有10对数据，反应时数据是否正态无法确 定（在经历练习之后，反应时常常会处于偏态分 布），因此不能用皮尔逊相关。 • 此时我们可以采用斯皮尔曼等级相关。
• 用X预测Y，除了要计算回归方程，我们还要 计算决定系数r2和估计方差，决定系数代表了 预测的解释程度，估计方差表示了误差的幅度。
2 sestY • 估计方差为
(Y Y ' ) 2 ，N-2是自由度。 N 2
• 如果已知Y的无偏估计方差和r，可选用简便公 式 N 1 2 2 sestY ( ) sY (1 r 2 ) N 2 • 即使使用的是无偏样本方差，依然需要用(N1)/(N-2)来修正，以得到估计方差的无偏估计。
Y bYX X aYX
'
• 我们可以用图的方式来描述线性回归。bYX就是回 归线的斜率，aYX就是回归线的截距。
• 对于不完全相关，数据点不会都落在相同的直线 上，基于任何一条直线所做的预测都会存在误差。
• 如果用Y-Y’来表示误差（被称为残差），那么预 测的总误差将会等于0，这有点像用平均离差表示 变异性一样。 • 我们可以采用同样的方法，计算误差的方差