二维图像傅里叶变换

二维傅里叶变换

0
C数n是中频，率只v包的含复0函，±数ν ，, ±称2ν为,L频率函等数频，率由分于量周，频期率函
的取值是离散的，所以周期函数只有离散谱。没有连续谱。
2
是离散求和的形式,表明:
一个随时间或空间变化的周期函数（信号）f(x),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加。各简谐波分量的频率为u，u=nu, 是离散的; 取值为0, ±u, ± 2u, ± 3u,… ; u=0为直流分量， ±u 为基频，其余为高次谐波分量。
⎫ ⎪ ⎪
∫ an
=
2 τ
τ 0
f
(t)
cos
2π
nν
tdt
⎪ ⎬
⎪
∫ bn
=
2 τ
τ 0
f
(t
)
sin
2π
nν
tdt
⎪ ⎪⎭
1
周期函数也可以展开成指数傅里叶级数形式
∞
f (t) = ∑ Cn exp( j2π nν t) n=−∞
∫ Cn
=
1 τ
τ f (t) exp(− j2π nν t)dt， n=0,±1,± 2,L
13
∞∞
f (x, y) = ∫ ∫ F (u, v) exp[ j2π (ux + vy)]dudv
−∞ −∞
x = r cosθ , y = r sinθ
u = ρ cosϕ, v = ρ sinϕ
∞ 2π
f (r cosθ , r sinθ ) = ∫ ∫ F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) exp[ j2π (ρr cosθ cosϕ + ρr sinθ sinϕ)]ρdρdϕ 0 0 ∞ 2π
F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) = ∫ ∫ f (r cosθ , r sinθ ) exp[− j2πρr cos(θ −ϕ)]rdrdθ

图像的二维傅里叶变换

图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。

具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。

下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。

可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。

除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。

将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。

上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。

这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。

将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。

行N/2和列N/2将频域分成四块。

对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。

为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。

二维图像傅里叶变换

a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相位谱较幅值谱更能影响图像的轮廓。
幅度和频率哪个
更能影响图像的形状呢请看如下试验
先准备两张图片
a 图
b 图
a 图的幅值谱
b 图的幅值谱
b 图的相位谱
a 图的相位谱
图a的幅值谱和图b的相位谱重新组合
a 图的幅值谱
b 图的值谱与 a图的相位谱组合
a 图的相位谱
b 图的幅值谱
a 图的大体轮廓
由此可以说明相位谱较幅值谱更能影响图像的形状。通俗的说，幅度决定图像的强弱，相位决定图像的频率。
先将幅值谱设为常数（这里设为1），然后和图像原来的相位谱结合，进行傅里叶反变换
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里设为1），然后和图像原来的幅值谱结合，进行傅里叶反变换
二维图像傅里叶变换图像的二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换公式matlab二维傅里叶变换二维快速傅里叶变换二维傅里叶变换加窗二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换性质
图像的傅里叶变换是图像在空域和频域之间的变换
. 二维傅 . 里叶变换可以由两步一维傅里叶变换来实现

二维傅里叶变换

cos n1t
cos m1t

dt

T , 2 0,
T 2 T 2
sin
n1t

sin
m1t
dt

T , 2 0,
mn mn
mn mn
Information Optics
School of Physics & Material Science
1.3 二维傅里叶变换
第一章线性系统分析
正交矢量空间和正交函数系
信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中占有重要的地位，其原理与矢量分解为正交矢量的概念十分相似．
I 正交矢量空间三维空间
A x0iˆ y0 ˆj z0kˆ
Information Optics
School of Physics & Material Science
• 二元函数 f (x, y) 的傅里叶变换(即傅里叶谱或
频谱)定义为
F(,) f (x, y) exp[ j2 (x y)]dxdy
• 其傅里叶逆变换定义为

f (x, y) F(,) exp[ j2 (x y)]dd
• 非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，
1.3 二维傅里叶变换
第一章线性系统分析
n维空间
A c1V1 c2V2
其中
0,
Vm Vn m ,
cnVn
mn mn
Information Optics
ci

A Vi
i
School of Physics & Material Science
1.3 二维傅里叶变换

二维dft变换编程

二维dft变换编程1.引言1.1 概述概述部分的内容引言部分将介绍二维DFT变换的基本概念和其在图像处理中的重要性。

随着数字图像处理的广泛应用，对图像进行频谱分析已经变得不可或缺。

二维快速傅里叶变换（DFT）是一种常用的技术，用于将图像从空域转换到频域，并可用于各种图像处理任务，例如滤波、图像增强和图像压缩等。

在数字图像中，图像的像素被组织成一个二维矩阵，其中每个元素代表图像的亮度或颜色信息。

通过对这个二维矩阵进行二维DFT变换，我们可以将图像的信息从空间域转换到频率域。

频率域表示了图像中各种频率成分的存在和强度，因此可以通过分析频域图像来获取有关原始图像的信息。

二维DFT变换的应用广泛。

在图像滤波方面，通过在频率域对图像进行滤波，可以实现各种滤波效果，例如去除噪声、增强轮廓和边缘检测等。

此外，二维DFT变换还可以用于图像增强，通过调整频域图像的幅度谱和相位谱，可以改善图像的质量和视觉效果。

另外，二维DFT变换在图像压缩和数据压缩领域也有重要作用，通过把图像信息从空域转换到频域并利用频域的特性，可以实现对图像的高效压缩和储存。

本文将详细介绍二维DFT变换的原理和应用。

首先，我们将解释二维DFT变换的基本原理，包括其数学定义和计算方法。

然后，我们将探讨二维DFT变换在图像处理中的应用，包括滤波、增强和压缩等方面。

最后，我们将对本文进行总结，并展望未来关于二维DFT变换的研究方向。

本文旨在为读者提供关于二维DFT变换的全面概述，并希望能够帮助读者理解和应用二维DFT变换在图像处理中的重要性和实际意义。

通过掌握二维DFT变换的原理和应用，读者将能够更好地使用和开发基于频域的图像处理算法，从而提高图像处理的效果和质量。

1.2 文章结构文章结构部分应该包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的组织结构和主要内容。

本文将按照以下顺序来进行叙述。

首先，引言部分将概述本文的目标和重要性，并简要介绍文章的结构。

接着，正文部分将详细讨论二维DFT变换的原理和应用。

图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究

图像的⼆维傅⾥叶变换频谱图特点研究⼀、先放⼀些相关的结论：1、傅⾥叶变换的幅值称为傅⾥叶谱或频谱。

2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反⽐。

3、卷积定理：空间域两个函数的卷积的傅⾥叶变换等于两个函数的傅⾥叶变换在频率域中的乘积。

f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)4、采样定理：如果以超过函数最⾼频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。

5、严重的混淆甚⾄会产⽣完全的误解效果。

6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正⽐。

直流项决定图像的平均灰度。

7、零平均表⽰存在负灰度，此时图像不是原图像的真实描述，因为所有负灰度为显⽰⽬的的都被修剪过。

8、对⾼通滤波器加⼀个⼩常数不会影响尖锐性，但是它的确能防⽌直流项的消除，并保留⾊调。

9、在频谱图中,中⼼部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表⽰原图像中的低频部分。

10、如果原始图像具有⼗分明显的规律,例如将⼀个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱⼀般表现为坐标原点周围的⼀圈亮点。

11、将⼀张灰度图像反相，其频谱的“样式”不变。

（个⼈理解：反相只是将⿊⽩颠倒，但并不改变灰度变化处的对⽐度）12、如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是⽐较柔和的（因为各点与邻域差异都不⼤，梯度相对较⼩）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像⼀定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较⼤的。

13、⾼频分量解释信号的突变部分，⽽低频分量决定信号的整体形象。

所⽤的傅⾥叶变换的分析⼯具是Halcon，代码如下：read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')fft_image (Image, ImageFFT)⼆、不同图像的频谱图分析左边是原图，右边是经傅⾥叶变换之后的频谱图。

1、全⿊图——频谱图也全⿊（图像的分辨率是240*240）2、灰⾊图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（30480,0）3、全⽩图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（61200,0）4、在图中画⼀个圆——频谱图呈同⼼圆状，最中央（坐标120，120）的值为（3852.64,0），其他地⽅的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越⼤。

图像的二维傅里叶变换和频谱==

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图像的二维傅里叶变换和频谱一、实验目的通过本实验使学生掌握使用mATLAb进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。

二、实验原理本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。

本实验的准备知识：第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频域图像增强的步骤，频域滤波器。

实验用到的基本函数：一维傅里叶变换函数：fft,一维傅里叶反变换函数：ifft频谱搬移函数：fftshift二维傅里叶变换函数：fft2二维傅里叶反变换函数：ifft2绘图函数：imshow，mesh【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。

建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。

】例：计算图像f的频谱并显示F=fft2(f);s=abs(F);%求幅度imshow(s,[])；%显示图像幅度频谱Fc=fftshift(F);%将图像频谱原点移动到中心显示imshow(abs(Fc));三、实验内容（一）一维傅里叶变换的实现和分析1、生成一个一维向量，x＝[12345678];计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。

2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数，实现频谱的平移。

（二）二维傅里叶变换的实现和分析产生如图所示图象f1(x,y)（64×64大小，中间亮条宽16，高40，居中，暗处=0，亮处=255），用mATLAb中的fft2函数求其傅里叶变换，要求：1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；2、若令f2(x,y)=（-1）x+yf1(x,y)，重复过程1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；3、若将f2(x,y)顺时针旋转90度得到f3(x,y)，试显示FFT(f3)的幅度谱，并与FFT(f2)的幅度谱进行比较。

二维fft原理

二维FFT原理1. 引言二维离散傅里叶变换（2D DFT）是一种用于处理二维信号（如图像）的重要数学工具。

它可以将一个二维空间域信号转换为频域表示，从而实现图像处理、图像压缩、图像增强等应用。

二维FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于计算二维DFT。

本文将详细解释二维FFT的基本原理。

2. 一维FFT回顾为了理解二维FFT的原理，首先需要回顾一维FFT的基本原理。

一维FFT是一种将离散信号转换为频域表示的算法。

它的核心思想是将信号分解为奇数和偶数部分，然后通过递归地计算这些部分的DFT来计算整个信号的DFT。

这种分而治之的方法减少了计算量，使得计算DFT的复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。

具体来说，一维FFT的步骤如下：1.将N个采样点的信号分为两个部分：奇数索引的点和偶数索引的点。

2.对奇数部分和偶数部分分别进行一维FFT，得到两个频域表示。

3.将两个频域表示合并为一个频域表示。

4.重复以上步骤，直到得到最终的频域表示。

3. 二维FFT的基本原理在理解了一维FFT的基本原理之后，我们可以将其推广到二维FFT。

二维FFT是将一个二维信号转换为频域表示的算法。

它的核心思想是将二维信号分解为多个一维信号，并通过一维FFT计算每个信号的频域表示。

具体来说，二维FFT的步骤如下：1.将二维信号按行进行一维FFT，得到每行的频域表示。

2.将得到的频域表示按列进行一维FFT，得到最终的二维频域表示。

下面我们将详细解释每个步骤。

3.1 行向量的一维FFT对于一个二维信号的每一行，我们可以将其视为一个一维信号。

因此，我们可以使用一维FFT来计算每一行的频域表示。

具体来说，对于一个N行M列的二维信号，我们可以将其表示为一个N×M的矩阵。

对于矩阵的每一行，我们可以将其视为一个长度为M的一维信号。

对每一行进行一维FFT，得到每行的频域表示。

3.2 列向量的一维FFT在得到每行的频域表示之后，我们需要对这些频域表示进行处理，以得到最终的二维频域表示。

数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱

Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原图的二维傅里叶变换频域图，第四列为第二列图像的二维傅里叶变换频域图。可以看见在 lines-f，也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中，存在明显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做赘述。首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对原图进行傅里叶二维变换。这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法，其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y）后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。代码如下：

二维傅里叶变换与逆变换

二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。

本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。

二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。

它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。

二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。

二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。

下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。

3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。

4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。

当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。

三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。

通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。

DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。

通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。

FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。

傅里叶变换轮廓术ftp

傅里叶变换轮廓术（Fourier Transform Contouring）是一种基于傅里叶变换的图像处理技术，用于在二维图像中提取轮廓信息并可视化。

它通过将原始图像从空间域转换到频率域，再通过傅里叶反变换将结果映射回空间域，从而实现轮廓的提取和可视化。

傅里叶变换轮廓术的基本原理是利用傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，通过对频率域的图像进行分析和处理，可以提取出图像中的轮廓信息。

在频率域中，图像的轮廓表现为高频成分，而其他背景噪声和细节则表现为低频成分。

通过设置适当的阈值，可以将高频成分与背景噪声区分开来，从而提取出轮廓信息。

具体而言，傅里叶变换轮廓术通常包括以下步骤：1. 获取原始图像，并将其转换为灰度图像（如果原始图像是彩色图像）。

2. 对灰度图像进行傅里叶变换，得到频率域的图像。

3. 对频率域的图像进行滤波处理，去除低频成分和背景噪声，保留高频成分。

4. 对滤波后的频率域图像进行反变换，得到恢复后的轮廓图像。

5. 可视化恢复后的轮廓图像，以便观察和分析。

傅里叶变换轮廓术具有以下优点：1. 可有效地提取出图像中的轮廓信息，有助于识别和定位目标对象。

2. 适用于各种类型的图像，包括灰度图像、彩色图像和视频等。

3. 计算量相对较小，适用于实时处理和可视化。

然而，傅里叶变换轮廓术也存在一些局限性：1. 提取的轮廓可能受到滤波器设置的影响，需要选择合适的滤波器参数。

2. 对于复杂背景和噪声环境，提取的轮廓可能不够准确和清晰。

3. 对于大尺寸图像，计算量较大，可能需要使用更高效的算法和技术。

总之，傅里叶变换轮廓术是一种有效的图像处理技术，可用于提取和可视化二维图像中的轮廓信息。

它具有广泛的应用前景，但也需要注意算法的选择和参数的设置，以获得更好的处理效果。

二维fft变换计算量

二维快速傅里叶变换（FFT）是一种在频域对二维数据集进行高效计算的方法。

它的主要优点是可以在保持空间分辨率的同时，快速有效地计算出数据的频率特性。

在许多应用中，如图像处理、信号处理和数据压缩等，二维FFT都发挥了重要作用。

计算二维FFT的计算量主要取决于数据的大小和所使用的算法。

对于一个大小为NxN的二维数据集，需要进行N^2次复数乘法和N^2次加法运算。

这是因为FFT算法需要将数据集分解为一系列更小的子块，并对每个子块进行FFT运算，最后将结果重新组合以得到原始数据在频域的表示。

具体来说，二维FFT的计算过程可以分为以下几个步骤：
1. 输入数据预处理：将二维数据集分解为一系列行和列，并对每个元素进行预处理，如减去均值以消除直流分量。

2. 计算每个子块的首项和余项：根据FFT算法，需要对每个子块进行首项和余项的计算。

这通常涉及到一些线性代数运算，如矩阵乘法和向量加法。

3. 递归应用FFT算法：根据所选的FFT算法，递归地将每个子块分解为更小的子块，并对这些子块应用FFT运算。

这一步需要多次复数乘法和加法运算。

4. 输出结果重构：最后，将各个子块的FFT结果重新组合以得到原始数据在频域的表示。

值得注意的是，为了提高计算效率，可以采用一些优化技术，如使用快速算法（如Cooley-Tukey 算法）和并行化技术（如多线程和GPU加速）。

这些技术可以显著减少计算时间，从而降低了计算成本。

总的来说，二维FFT的计算量较大，但其在许多应用中具有重要意义。

通过采用适当的算法和优化技术，可以有效地减少计算时间，提高处理速度，从而满足实际应用的需求。

二维傅里叶变换

二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换：F (u,v )=∫∫f(x,y)e −j2π(ux+uy)+∞−∞dxdy +∞−∞二维傅里叶逆变换：f (x,y )=∫∫F (u,v )e j2π(ux+uy )+∞−∞dudv +∞−∞原理解释：二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x,y)的定义域。

x ，y 的积分顺序可交换，因此对f(x,y)做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合。

离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。

因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换。

离散二维傅里叶变换：F (u,v )=1MN∑∑f(x,y)e−j2π(ux M +vy N )N−1y=0M−1x=0 离散傅里叶逆变换为f (x,y )=∑∑F(u,v)e j2π(ux M +vyN )N−1v=0M−1u=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。

一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。

而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。

变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。

坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分。

对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少，原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域。

二．二维傅里叶变换的性质1. 线性定理F [αg (x,y )+βℎ(x,y )]=αG (u,v )+βH (u,v )2. 空间缩放F [g (ax,by )]=1|ab |G (u,v )3.位移定理空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移。

一维傅里叶变换二维傅里叶变换

一维傅里叶变换和二维傅里叶变换是信号处理和图像处理中非常重要的数学工具，它们能帮助我们分析和理解信号和图像中包含的信息。

在本文中，我们将深入探讨一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及它们在实际中的意义。

1. 一维傅里叶变换一维傅里叶变换是将一个实际的信号在频域进行分解的技术。

它的数学表达式为：\[F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-i2\pi kn/N}\]在这个公式中，$f(n)$表示信号在时域上的取值，而$F(k)$表示信号在频域上的频谱。

一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中包含的频率成分，从而理解信号的特性和结构。

一维傅里叶变换在很多领域都有广泛的应用，比如音频信号处理、通信系统、生物医学工程等。

在音频信号处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号分解成不同的频率成分，从而实现音频滤波、频谱分析等功能。

2. 二维傅里叶变换二维傅里叶变换是将一个二维图像在频域进行分解的技术。

它的数学表达式为：\[F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y)e^{-i2\pi (ux/M + vy/N)}\]在这个公式中，$f(x, y)$表示图像在空间域上的像素值，而$F(u, v)$表示图像在频域上的频谱。

二维傅里叶变换可以帮助我们分析图像的纹理、边缘、轮廓等特征。

二维傅里叶变换在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域都有重要的应用。

在图像处理中，我们可以利用傅里叶变换进行图像增强、滤波、压缩等操作，从而改善图像的质量和准确度。

总结回顾通过本文的深入探讨，我们了解了一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及在实际中的意义。

一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中的频率成分，而二维傅里叶变化则可以帮助我们分析图像中的纹理特征。

这两种变换在信号处理和图像处理领域发挥着重要作用，为我们理解和处理现实世界中的信息提供了有力的数学工具。

二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波

实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波一、实验目的1、了解图像傅里叶变换的物理意义；2、掌握频域滤波原理；3、熟悉傅里叶变换的基本性质；4、熟练掌握FFT的变换方法及应用；5、通过实验了解二维频谱的分布特点；二、实验平台计算机和Matlab语言环境三、实验内容1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示2、频域滤波器处理图像3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性)四、实验步骤1、二维傅里叶变换的性质1> 二维傅里叶变换构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换f = zeros(64,64);for j=1:5f(:,j*10:j*10+1)=1;endF=fft2(f);Fc=fftshift(F);subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换');2> 比例变换性将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异fresize=imresize(f,2);fresize=fresize(31:94,31:94);Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize);subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶');3> 旋转将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异frotate=imrotate(f,45);%图像旋转Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶');4> 可分性首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶for i=1:64fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 endfor j=1:64fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 endFc3=fftshift(fft_col);figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');2、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示1> 首先构造一幅图像，对其进行傅里叶变换f = zeros(30,30);f(5:24,13:17) = 1; %构造一幅图像fF=fft2(f); %对f作二维傅里叶变换S=abs(F); %因为F是复数，显示其模值 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(S,[ ]);title('二维傅里叶频谱');2> 把低频分量移到图象中心，而把高频分量移到四个角上Fc=fftshift(F);figure,imshow(abs(Fc),[ ]);title('居中的频谱');3> 利用图象增强中动态范围压缩的方法增强2DFTS2=log(1+abs(Fc)); %使用对数变换后的频谱ff=ifft2(F); %逆变换ff_real=real(ifft2(F)); %取实部figure,imshow(abs(S2),[ ]);title('使用对数变换后的频谱');3、频域滤波器1> 理想低通滤波读取一幅图像，傅里叶变换后作中心变换，取低频模板HLPF与原图像相乘；clcf = imread('C:\Users\000000\Desktop\exp\exp3\a.tif');F=fft2(f);Fc=fftshift(F);[M N]=size(f);HLPF= zeros(M,N);HLPF(M/2-50:M/2+50,N/2-50:N/2+50) = 1; %保留低频成分Fc1=Fc.*HLPF; %理想低通滤波器处理F1=ifftshift(Fc1); %逆中心变换ff1=ifft2(F1); %理想低通滤波后逆变换 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(ff1),[ ]);title('理想低通滤波器处理后的图像');2> 巴特沃斯低通滤波器函数dftuv提供了距离计算的网格数组输出为[U,V]，D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);[U,V]=dftuv(M,N);D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);n=5;HBLPF=1./(1+(D/D0).^(2*n));HBLPF=fftshift(HBLPF);Fc2=Fc.*HBLPF;F2=ifftshift(Fc2);ff2=ifft2(F2);figure,imshow(abs(ff2),[ ]);title('巴特沃斯低通滤波器处理后的图像');3> 高斯低通滤波器HGLPF=exp(-(U.^2+V.^2)/(2*D0^2));HGLPF=fftshift(HGLPF);Fc3=Fc.*HGLPF;F3=ifftshift(Fc3);ff3=ifft2(F3);figure,imshow(abs(ff3),[ ]);title('高斯低通滤波器处理后的图像');4> 3种高通滤波器理想高通滤波器、巴特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器HHPF=1-HLPF;%理想高通滤波器传递函数HBHPF=1-HBLPF;%巴特沃斯高通滤波器传递函数HGHPF=1-HGLPF;%高斯高通滤波器传递函数Fc4=Fc.*HHPF;%理想高通滤波器处理Fc5=Fc.*HBHPF;%巴特沃斯高通滤波器处理Fc6=Fc.*HGHPF;%高斯高通滤波器处理F4=ifftshift(Fc4);ff4=ifft2(F4);%理想高通滤波后逆变换F5=ifftshift(Fc5);ff5=ifft2(F5);%巴特沃斯高通滤波后逆变换。

二维循环卷积傅里叶

二维循环卷积傅里叶傅里叶变换是信号处理中常见的一种技术，可以将一个信号分解成其频率成分，从而在分析和处理信号时可以更加精确和高效。

而对于二维图像的处理，可以采用二维傅里叶变换来完成。

其中，二维循环卷积是二维傅里叶变换的一部分，可以快速地计算出二维图像的卷积结果，从而在图像处理中有着广泛的应用。

首先，我们需要了解二维卷积的概念。

在图像处理中，卷积可以将一个图像与一个核（或者称为滤波器）进行卷积操作，从而改变图像的特征。

具体而言，卷积操作可以通过以下公式来描述：$f(x,y)*h(x,y)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(m,n)h(x-m,y-n)$其中，$f(x,y)$是原始图像，$h(x,y)$是核，$*$表示卷积操作。

在卷积操作中，核会从原始图像的左上角开始扫描，每次都会计算出核与当前扫描位置对应区域的乘积，再将所有乘积相加得到该位置卷积的结果。

最终，将所有卷积结果组合成一个新的图像，即为卷积后的图像。

然而，对于较大的图像和核，传统的卷积操作需要消耗大量的时间和内存，因此二维循环卷积应运而生。

具体而言，循环卷积操作可以用以下公式来描述：$f(x,y)\circledast h(x,y)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(m,n)h(x-m,y-n)$其中，$\circledast$表示循环卷积操作。

与传统卷积操作不同的是，循环卷积操作不是从原始图像的左上角开始扫描，而是将原始图像和核都循环移位，从而在计算卷积时可以快速地复用已经计算过的值，从而大大提高了计算效率。

与此同时，傅里叶变换也可以用来进行卷积操作。

具体而言，我们可以将二维图像和核都进行傅里叶变换，然后对它们进行点乘，最后再进行傅里叶反变换，就可以得到卷积后的图像。

这种方法的计算效率与循环卷积相当，而且在某些情况下甚至更快。

计算2dfft的方法

计算2dfft的方法
二维傅里叶变换（2DFFT）是一种将二维空间中的信号转换到频域的方法。

在数字图像处理、信号处理和模式识别等领域广泛应用。

下面将介绍两种计算2DFFT 的方法。

方法一：直接法
直接法是一种基于傅里叶变换的算法，它将二维信号分解为一维信号的傅里叶变换的乘积。

具体步骤如下：
1. 对每一行进行一维傅里叶变换。

2. 对每一列进行一维傅里叶变换。

3. 将第一步和第二步的结果相乘。

4. 对结果进行逆变换，得到二维傅里叶变换的结果。

方法二：快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。

它将傅里叶变换
的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，因此在计算2DFFT时也是比较常用的方法。

具体步骤如下：
1. 对每一行进行一维FFT。

2. 对每一列进行一维FFT。

3. 将第一步和第二步的结果相乘。

4. 对结果进行逆变换，得到二维傅里叶变换的结果。

需要注意的是，在计算2DFFT时，需要使用二维FFT算法。

二维FFT算法的实现可以使用基于分治法的Cooley-Tukey算法或基于矩阵计算的Winograd算法。

总结
以上是计算2DFFT的两种方法，直接法和FFT。

直接法简单易懂，但是计算复杂度较高，适用于信号较小的情况。

FFT算法计算复杂度较低，适用于信号较大的情况。

在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法。

二维快速傅里叶变换

二维快速傅里叶变换
二维快速傅里叶变换（2DFFT）是将二维离散信号（图像）在频域中表示的一种常用的方法，具有高效、精确的特点。

下面是二维快速傅里叶变换的基本步骤：
1.对原始图像进行补零扩展，使其尺寸变为2的整数次幂。

补零的目的是为了避免在FFT计算中出现频谱泄露。

2.将补零后的图像划分为多个小块，每个小块的大小也应该是2的整数次幂，如2x2、4x4、8x8等。

3.对每个小块分别进行一维快速傅里叶变换（1DFFT），即先对每行进行FFT计算，然后对每列进行FFT计算。

4.将每个小块的FFT结果拼接起来，得到完整的二维FFT结果。

2DFFT的实现通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法，具有高效、稳定的特点，常用于数字信号处理、图像处理、视频压缩等领域。

但在使用2DFFT时，需要注意选择合适的FFT库或算法，以及调整参数、优化计算等问题，以提高计算效率和准确性。

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matlab二维快速傅里叶变换

一、引言在信号处理、图像处理、通信系统等领域中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号，从而方便进行频域分析和处理。

在实际应用中，对于二维信号（如图像）的频域分析同样具有重要意义。

Matlab作为一种功能强大的数学软件，提供了对二维信号进行快速傅里叶变换（FFT）的工具函数，为工程师和科研人员在二维信号处理中提供了便利。

二、快速傅里叶变换（FFT）简介1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域（或空域）转换到频域的一种数学工具，可以通过计算信号的频谱来分析信号的频率成分。

傅里叶变换可以表达为积分形式或离散形式，其中离散形式的傅里叶变换又被称为离散傅里叶变换（DFT）。

2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法，通过分治和逐级合并的方式将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加速了傅里叶变换的计算过程。

在二维信号处理中，二维快速傅里叶变换（2DFFT）同样具有重要的意义。

三、Matlab中的二维快速傅里叶变换1. 函数介绍在Matlab中，可以使用fft2函数对二维信号进行快速傅里叶变换。

fft2函数的语法为：```matlabY = fft2(X)```其中X为输入的二维数组，Y为X的二维快速傅里叶变换结果。

另外，Matlab还提供了ifft2函数用于计算二维逆傅里叶变换。

2. 使用方法对于一个MxN的二维数组X，可以通过调用fft2函数对其进行快速傅里叶变换。

例如：```matlab生成一个随机的二维数组X = randn(256,256);对X进行二维快速傅里叶变换Y = fft2(X);```通过调用fft2函数，可以得到输入数组X的二维快速傅里叶变换结果Y。

对于得到的频域信号Y，可以进行频域滤波、谱分析等操作，然后通过ifft2函数进行逆变换得到时域信号。

3. 示例下面以图像处理为例，演示在Matlab中如何使用二维快速傅里叶变换进行频域分析和滤波。

二维图像傅里叶变换

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图像的二维傅里叶变换

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