北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学理试题(附答案)$721911
精选题库北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
=（ ）
A． B． C．1 D．﹣ 1
7．（5 分）袋子里有编号为 2，3，4， 5，6 的五个球，某位教师从袋中任取两个
不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分
别推断这两个球的编号．
甲说： “我无法确定． ”
乙说： “我也无法确定． ”
甲听完乙的回答以后，甲说： “我现在可以确定两个球的编号了． ”
个元素的集合） 的并集， 并且这些三元子集的元素之和都相等， 则每个三元集的
元素之和为
；请写出满足上述条件的集合 M 的 5 个三元子集
．（只
写出一组）
第 3 页（共 21 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程 . 15．（ 13 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn（n∈N*），满足 Sn=2an﹣1．
根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（
）
A．一定有 3 号球 B．一定没有 3 号球
C．可能有 5 号球 D．可能有 6 号球
8．（5 分）已知函数 f（ x）=sin（cosx）﹣ x 与函数 g（ x） =cos（sinx）﹣ x 在区间
内都为减函数，设
，且 cosx1=x1，sin（ cosx2）
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）若数列 { bn} 满足
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
16．（ 13 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f （x）的最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求函数 f（x）的取值范围．
17．（ 13 分）在△ ABC中，
，
．
（Ⅰ）试求 tanC 的值；
2017北京师大附中高三(上)期中数学(理)
2017北京师大附中高三（上）期中数学（理）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设命题，则为（）A. B.C. D.3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（）A. 6B. 12C. 15D. 184. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数6. 若则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（）A. 1B. 2C. 0D. 38. 已知函数，。
若函数恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.10. 若，且，则的最小值是___________.11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为（1）若，则=_________；（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点.（I）求实数m的值；（II）求函数的最小值及此时x值的集合.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.17. 已知数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知函数，，且.（1）求b的值；（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.19. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，②记这m个实数的和为，即.（1）若，证明：；（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1.【答案】B【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.2.【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.考点：命题的否定.3.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.4.【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5.【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6.【答案】D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.7.【答案】A【解析】由作出平面区域D如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8.【答案】D点睛：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与1的关系，得到的解析式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9.【答案】【解析】∵等比数列满足，，∴，解得，，∴前项和，故答案为.10.【答案】64【解析】∵，∴，即，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值是64，故答案为64.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．11.【答案】【解析】∵向量，不共线，由，则存在非零实数，使，即，解得：，故答案.12.【答案】【解析】根据题意，向量，，若∥，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与的的夹角为，，，则有，又∵，∴，即与的夹角大小为，故答案为.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________【答案】214.【答案】 (1). 6 (2).【解析】（1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，，故答案为6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，∴集合，∴集合中的元素个数，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)的最小值为，x值的集合为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时值的集合.试题解析：（I），由已知，得.（II）由（I）得，∴当时，的最小值为，由，得x值的集合为.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.16.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以．（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．【点睛】解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;第三步：求结果.17.【答案】(1)，.(2)【解析】试题分析：（1）利用当时，，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为为奇数和为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.试题解析：（1）由，当时，.当时，，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，.综上，点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.【答案】(1)；(2)对应的曲线只有1个交点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值0，故可得单调递增，且，由以上可得交点个数.试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此（2）考虑，列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在处取得最小值0，即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点19.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过①当时，利用，说明不满足题意．②当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解析：（I）设切线的斜率为，因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为20.【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得，，，，…，计算得结论成立.试题解析：（1）证明：由题意知，，所以或.当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为.不合题意，舍去.当时，.所以，.（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.（3）证明：设使得，，，，…，则，所以.。
朝阳区20172018第一学期期中高三数学理试题及答案
朝阳区20172018第一学期期中高三数学理试题及答案朝阳区2017-2018学年第一学期试题及答案)理(期中高三数学．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试2017.11数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. ，则，已知集合}?1?{x|xA}1xx?{|log?B?IBA2A. C.B.2}x1}x|1?x{{x| D. 0}2}x{|x?x{x|?x?2,则2. 已知实数满足条件的最大值2,y?yx,y?x26,y?x 为A.12B. 10C. 8D. 6π只需将函数要得到函数的图象，3.?sin(2xy?)y?sinx 3的图象上所有的点π个单位长度，再将横坐标伸先向右平移A. 3长为原来的倍，纵坐标不变2．π个单位长度，横坐标缩短为B. 先向右平移61倍，纵坐标不变原来的21倍，纵坐标不变，C. 横坐标缩短为原来的2π个单位长度再向右平移6D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，2π个单位长度再向右平移34. 已知非零平面向量，则“”是“存b?b?aa?ba,在非零实数，使”的ab=A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件条件．充分必要CD．既不充分也不必要条件5.已知是等差数列( )的前项和，且aSnnnn,以下有四个命题：SSS465①数列中的最大项为②数列的公?aaS10nn差0?d③ ④ 0?S0?S1011其中正确的序号是（）C.②③④B. ②③ A.②④ D. ①③④6. 如图，在直角梯形中，，,是*****D//CD?EABuuuruuur 的中点,,则*****?DC2AB?A. B. C. D. ?11? ECDBA的五个球，某位教师从袋子里有编号为7. 2,3,4,5,6教师把所取两球编. 袋中任取两个不同的球号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号..”甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定我现在可以确“甲听完乙的回答以后，甲说：定两个球的编号了.” 你可以推断出抽取的两球中根据以上,3 B.一定没有号球号球．一定有A3号球6可能有D. 号球5可能有C.在区已知函数与函数8. xx)?g(x)?)f(x?sin(cosx)?xcos(sin，，且间都为减函数，设xx?cos)(0，(0，)xx,x,? ***-*****的大小关系是，则，x?cos(sinx)sin(cosx)?xx,x,x***-***** ）（C. A. B.xx?x?x?xxx?xx***-*****1 D. x?x?x123分）共第二部分（非选择题110分，共5二、填空题：本大题共6小题，每小题 . 分.把答案填在答题卡上30的值执行如下图所示的程序框图，则输出9. i为 .开始i=1，S=S i=i+ 否14S 是? 输结束（第9题图）1值10. 已知，小的最且，则?x1?x?y1x? y . 是11?x,?(),x? 22的图象与直线若已知函数11. ?)xf(?)f(x?1?.?,xlogx 12 2的取值范围有两个不同的交点，则实数kxy?k.为12. 已知函数同时满足以下条件：)(xf 定义域为；① R；值域为② [0,1].③ 0(?x)?ff(x)? . 试写出一个函数解析式?)f(x某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封13.若罐头盒的S铁皮罐头盒，其表面积为定值.的函数关，则罐头盒的体积与底面半径为Vrr ；当系式为时，罐头盒?r的体积最大.14. 5个三元子集表示为它的将集合,2,3,1=M．（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写出满足上述条件的集合的5个三元子集 . （只写出一M 组）680.解答应三、解答题：本大题共分小题，共. 写出文字说明，演算步骤或证明过程15. (本小题满分13分)已知数列的前项和为( )，满足aSnnnn.12aSnn（Ⅰ）求数列的通项公式；an（Ⅱ）若数列满足，求数列的前?bba=logbnn1nnn 2项和.Tn16. (本小题满分13分)已知函数. π)?x2sin?cos(xxf()? 3（Ⅰ）求函数的最小正周期；)f(x （Ⅱ）当时，求函数的取值范围. π)xf(][0,x? 217. (本小题满分13分)，中，. 在π23c?ABC△?A b74 （Ⅰ）试求的值；Ctan（Ⅱ）若，试求的面积. ABC△5a?18. (本小题满分14分)已知函数，.x?2e?a(x)?x)?ax?(fRa?（Ⅰ）求函数的单调区间；)f(x（Ⅱ）设，其中为函数的导函数.)f(f)(xx)(xf)(gx?判断在定义域内是否为单调函数，并)(xg说明理由.)分14本小题满分19. (12.已知函数?ln)?x?(fx xxee（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(1)1,f)(xy?f1；（Ⅱ）求证：?lnx? xe（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明x)f(xy?理由.20. (本小题满分13分)数列是正整数的任一排列，且nL,1,2,aL,,aa,12n同时满足以下两个条件：①；②当时，().2|?aa?1?|a1ni1,2,L,2?n1?i1i记这样的数列个数为. )(nf（I）写出的值；(4)(3),fff(2),（II）证明不能被4整除. (2018)f北京市朝阳区2017-2018学年度第一高三年级期中统一考试2017.11数学答案（理工类）一、选择题：题号12345678答案CBCABDDC二、填空题：9. 5 10. 3 11.11 U2)lnU(,?2?,0?2)[2,2ln 1 ?ln2?2?2ln2?,?1?xx?1,1?cosx或或（答案不12. f(x)?|?|sinx(fx)? 20,x?1或x1.?唯一）12?SS 13.；3)(0πSrVr?r? 2?214. 24;, ,,,（答案不唯?，，1815，7143，，，***-*****2，，，，4911 一）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当时，.1?a1?n1,当时，S?a?S2n?1n?nn，即a?2?a2aa=2a1n?nnn?1n所以数列是首项为1，公比为2的等比数an列.故,. ┈┈ 8分1n=2aN?nn（Ⅱ）由已知得.1?nn=1?a=log2=logb1n1n 22，因为1)n)?b(2?n?b?(1?1nn?所以是首项为0，公差为的等差数列. b1?nn(1?n)项和故的前13分. ┈┈ b?Tn nn216. (本小题满分13分)解：因为，π)?x?cos(xf(x)?2sin 3 所以ππ)xsin?sin?)2sinx?(cosxcosf(x 33 2x3sin?xcosxsin 13 ?sin2x?(1?cos2x) 22 . 3π?)?sin(2x? 23（Ⅰ）函数的最小正周期为┈┈ . π2π)x(f?T? 2．8分（Ⅱ）因为，所以. πππ2π],?[?2x?]x?[0, 3332 所以.3π,1]?[sin(2x) 23 以. 所3][0,1f(x)2 分┈┈ 13) 17. (本小题满分13分 .（Ⅰ）因为，，所以解：2C3sinsinC23cπ?A π37Bsin7b4)Csin(? 4.所以π3 )?7sinC?3Csin(2 4.所以π33π )C?cossinC?32(sincosC7sin 44 所以. C3sin3cosC?7sinC? 所以.C3cosC?4sin所以. ┈┈ 7分3?Ctan 4 ，，（Ⅱ）因为，由余弦定理π2c3?5aA b74得222?2bccos?bA?ca .***-*****?bb25?b?(?b)?2277所以，. 23c?7b?所以积△面的ABC . ┈┈ 13分***** AbcS?sin?7?2?3 2222)分14本小题满分18. (解：（Ⅰ）函数的定义域为)xf(..x)eax?2)(xf?(x)( Rxx?① 当时，令，解得：或，为?a?x)(xf0?(x)f2x?a2?减函数；令，解得：，为增函数. ?)xf(0?xf)(2a?x?② 当时，恒成立，函数为x?2?0(x?2)fe(x))(xf2?a减函数；③ 当时，令，解得：或，函数?a?x0)?(xf22x?a?为减函数；)f(x令，解得：，函数为增函数. ?)(xf0?fx()ax?2?综上，当时，的单调递减区间为；单)a,),f(x)(2,(2?a调递增区间为；,2)a(当时，的单调递减区间为；)xf(),(2a?当时，的单调递减区间为；单)a,(,2),()f(x2?a调递增区间为. )(2,a┈ 8分（Ⅱ）在定义域内不为单调函数，以下说)(xg明：.x?2e?3a2]?xf[(x)?x(?a?4)xg()记，则函数为开口向上的二22?3x?(?xh()x?a4)?a)x(h次函数.方程的判别式恒成2202)44a?8?(aa?0?x)h(.立. 从而有正有负所以，有正有负. ?)h(x)x(g在定义域内不为单调函数. 故)xg(┈┈ 14分19. (本小题满分14分)解：函数的定义域为，)(0,112 (x)f 2xxexe11，（Ⅰ），又1?ff(1)(1)? ee曲线在处的切线方程为)xy?f(1x?111. 11)xy( eee12 即 . 0+1?(y)x ee 4分┈┈11. （Ⅱ）“要证明””等价于“?lnxx?xlnx,(?0) exe. 设函数x)x?xlng(1. ，解得令x0xx)=1+ln?g( e 111 x),(0,)(eee )(gx?0．1 )g(x?Z]e111.故的最小值为. 因此，函数)xg(lnxg(x)? eee1. 即lnx xe ┈┈ 9分（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：x)xy?f(x*****. 由（Ⅱ）可知，所以)(?(x)lnxf xxexexexee1?xx1，则设. ?(x?k)k(x) xxeee令得；令得.0)k?k((x)?0x1?1x0?x?所以在上为增函数，上为减函数. 10,1，+)xk(所以当时，恒成立,当且仅当时，(1)=0?kk(x)1xx?0?.0?k(1)1，所以恒成立. 又因为0?f(x)0f(1)? e故曲线位于轴下方. x)x(?yf 14分┈┈) 20. (本小题满分13分. ：）（Ⅰ解42,?(3)1,?(2)fff?(4)┈┈ 3分（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的n首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或2?a1a?n213.，则构成项的首项最（1）若1?1,La,?2aa?1,a?1n?n223小数列，其个数为；1)?f(n（2）若，则必有，故构3?L,a?a3,aa3,a?23,a?4n*****成项的首项最小数列，其个数为；3)(n?f3n?则或. 若设是这数列中第一个3（）aaa?53,=4?ak?1332是出现的偶数，则前项应该是，a1?,2k1,3,Lkk21k?或，即与是相邻整数.aa2k?2k?1k由条件②，这数列在后的各项要么都小于ak?1它，要么都大于它，因为2在之后，故aak?1k?1后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：，. 13)1)f(n?nf()?f(n?5?n由此递推关系和（I）可得，各(2018),f(2),f(3),Lf数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又，2?144?14?2018．所以被4除的余数与被4除的余数(2)f(2018)f相同，都是1，故不能被4整除. (2018)f 分13 ┈┈。
2017北京市朝阳区高三(上)期中数学(理)
2017北京市朝阳区高三（上）期中数 学（理） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|1}x x >B. {|12}x x <<C. {|2}x x >D. {|0}x x >2. 已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A. 12B. 10C. 8D. 63.要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S < 其中正确的序号是（ ）A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=7. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球8. 已知函数()sin(cos )f x x x =−与函数()cos(sin )g x x x =−在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A. 123x x x << B. 312x x x << C. 213x x x << D. 231x x x << 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为 .（第9题图）开始 i =1，S =2 结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i ECDBA10. 已知1x >，且1x y −=，则1x y+的最小值是 . 11. 已知函数1211(),,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .12. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ① 定义域为R ； ② 值域为[0,1]； ③ ()()0f x f x −−=.试写出一个函数解析式()f x = .13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S . 若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ；当r = 时，罐头盒的体积最大.14. 将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =−.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16. (本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅−.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17. (本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，327c b =. （Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18. (本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a −=−+⋅，a ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19. (本小题满分14分)已知函数12()ln e e xf x x x=−−. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥−； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20. (本小题满分13分)数列12,,,n a a a 是正整数1,2,,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +−≤(1,2,,1i n =−).记这样的数列个数为()f n . （I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值； （II ）证明(2018)f 不能被4整除.数学试题答案一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBCABDDC二、 填空题：9. 5 10. 3 11. [2,2)1ln 2(,2ln 2)−∞−⋅ 1ln 21,02ln 2⎛⎫ ⎪− ⎪⎝⋅⎭12. ()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧−≤≤=⎨><−⎩或（答案不唯一）13. 312π(0)22S V Sr r r π=−<<π； S6π6π14. 24;{}1815，，, {}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1n =时，11a =. 当2n ≥时，1n n n a S S −=−,122n n n a a a −=−，即1=2n n a a −所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列. 故1=2n n a −, n *∈N . ┈┈ 8分 （Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n −−.因为1(1)(2)1n n b b n n −−=−−−=−，所以{}n b 是首项为0，公差为1−的等差数列. 故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T −=. ┈┈ 13分16. (本小题满分13分)π所以ππ()2sin (cos cossin sin )33f x x x x =⋅+ 2sin cos 3sin x x x =⋅+13sin 2(1cos2)22x x =+− π3sin(2)32x =−+. （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ┈┈ 8分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x −∈−.所以π3sin(2)[,1]32x −∈−.所以3()[0,1]2f x ∈+. ┈┈ 13分17. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为π4A =，327c b =，所以sin sin 323πsin 7sin()4C C B C ==−. 所以3π7sin 32sin()4C C =−.所以3π3π7sin 32(sin cos cos sin )44C C C =−.所以7sin 3cos 3sin C C C =+. 所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =. ┈┈ 7分 （Ⅱ）因为5a =，π4A =，327c b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−得 223232225()2772b b b b =+−⋅⋅. 所以7b =，32c =. 所以△ABC 的面积11221sin 7322222S bc A ==⋅⋅⋅=. ┈┈ 13分18. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()e xf x x x a −'=−−−.① 当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；② 当2a =时，2()(2)e0xf x x −'=−−≤恒成立，函数()f x 为减函数；③ 当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数. 综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a −∞+∞；单调递增区间为(,2)a ； 当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)−∞+∞ ；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a −∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈ 8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a −'''==−+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =−+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数. 方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=−+=−+> 恒成立. 所以，()h x 有正有负. 从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分19. (本小题满分14分) 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=−−+ （Ⅰ）1(1)1e f '=−，又1(1)e f =−，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=−−+.即12()+10e ex y −1−−=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥−>”等价于“1ln e x x ≥−”.设函数()ln g x x x =. 1x 1(0,)e1e 1(,)e+∞ ()g x '−0 +()g x1e−因此，函数()g x 的最小值为11()e e g =−.故1ln ex x ≥−. 即1ln e x x≥−. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥−，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤−=−. 设1()e e x x k x =−，则1()ex xk x −'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =−<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ┈┈ 14分20. (本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===. ┈┈ 3分 （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列. 对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3. （1）若22a =，则231,1,,1n a a a −−−构成1n −项的首项最小数列，其个数为(1)f n −；（2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a −−−构成3n −项的首项最小数列，其个数为(3)f n −；（3）若23,a =则3=4a 或35a =. 设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k −，1k a +是2k或22k −，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f 各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，… 它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除. ┈┈ 13分word 下载地址。
朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（文史类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则A B =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 .A ．3B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x +=，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f =，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB的坐标为___________.11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的正视图侧视图俯视图取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分） 已知ABC ∆中，3B π=，（Ⅰ）若A ； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为，求的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点．（Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ；a =b =2b（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e x f x x x=-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试题答案（文史类） 2017.11PADBE一、选择题三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅1sin 2cos 2)2x x =+- πsin(2)3x =-+（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈. 所以()[0,1f x ∈. ……………………………… 13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a - 则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列,即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分 （Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin 3=所以. 在三角形中，由已知，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =，解得由余弦定理知，所以………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PA AC A = ， 所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，sin sin a b A B =sin 2A =b a >12=c =2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=b =PADBOE PADBE所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=，所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x -++= 2(1)(1)kx x x--=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k<<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， 令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 0k ≤()f x ()0,1()1+∞，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，,单调递减区间为. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x--≤在(1,2)上成立. 设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+， 即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x ≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-. 01k <<()f x ()0,1(+)k ∞1，(1)k1，1k =()f x ()0+∞，1k >()f x (0)k 1，()1+∞，(+)k∞1，即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。
2017-2018北京市朝阳区高三第一学期理科数学期中试卷
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）2017.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A.{|1}x x > B.{|12}x x << C.{|2}x x > D.{|0}x x >2.已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A.12B.10C.8D.63.要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C.横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D.横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4.已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d <③100S >④110S <其中正确的序号是（）A.②③B.②③④C.②④D.①③④子川教育--致力于西城区名校教师课外辅导6.如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=5B.5C.1D.1-7.袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.”根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球B.一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球8.已知函数()sin(cos )f x x x =-与函数()cos(sin )g x x x =-在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（）A.123x x x << B.312x x x << C.213x x x << D.231x x x <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为.开始i =1，S =2结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i（第9题图）10.已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是.11.已知函数1211(,,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为.12.已知函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②值域为[0,1]；③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x =.13.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S .若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为；当r =时，罐头盒的体积最大.14.将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集.（只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.(本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17.(本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，327c b=.（Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18.(本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a -=-+⋅，a ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19.(本小题满分14分)已知函数12()ln e e x f x x x=--.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：1ln e x x≥-；（Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20.(本小题满分13分)数列12,,,n a a a 是正整数1,2,,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +-≤(1,2,,1i n =-).记这样的数列个数为()f n .（I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值；（II ）证明(2018)f 不能被4整除.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学答案（理工类）2017.11一、选择题：题号12345678答案CBCABDDC二、填空题：9.510.311.2,2)1(,2ln 2)-∞-⋅1ln 21,02ln 2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⋅⎭12.()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或（答案不唯一）13.312π(0)22SV Sr r r π=-<<π；S6π6π14.24;{}1815，，,{}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1n =时，11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.故1=2n n a -,n *∈N .┈┈8分（Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n --.因为1(1)(2)1n n b b n n --=---=-，所以{}n b 是首项为0，公差为1-的等差数列.故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T -=.┈┈13分16.(本小题满分13分)解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos 3sin x x x=⋅13sin 2(1cos 2)22x x =+-π3sin(2)32x =-+.（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.┈┈8分（Ⅱ）因为π[0,2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以π3sin(2)[3x -∈.所以3()[0,12f x ∈+.┈┈13分17.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为π4A =，32c =sin sin 323πsin 7sin()4C C B C ==-.所以3π7sin 32)4C C =-.所以3π3π7sin 32(sin cos cos sin )44C C C =-.所以7sin 3cos 3sin C C C =+.所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =.┈┈7分（Ⅱ）因为5a =，π4A =，327c b=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得223232225()2772b b =+-⋅⋅.所以7b =，32c =所以△ABC 的面积11221sin 7322222S bc A ==⋅⋅=.┈┈13分18.(本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()exf x x x a -'=---.1当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2a x <<，()f x 为增函数.2当2a =时，2()(2)e0xf x x -'=--≤恒成立，函数()f x 为减函数；3当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数.综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a -∞+∞；单调递增区间为(,2)a ；当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a -∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a -'''==-+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =-+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数.方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=-+=-+>恒成立.所以，()h x 有正有负.从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数.┈┈14分19.(本小题满分14分)解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+（Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)1e e e y x +=--+.即12()+10e ex y -1--=.┈┈4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”.设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.x 1(0,)e1e1(,)e+∞()g x '-0+()g x 1e-因此，函数()g x 的最小值为11(e e g =-.故1ln ex x ≥-.即1ln e x x≥-.┈┈9分（Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方.理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-.设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >.所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =.又因为1(1)0ef =-<，所以()0f x <恒成立.故曲线()y f x =位于x 轴下方.┈┈14分20.(本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===.┈┈3分（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列.对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3.（1）若22a =，则231,1,,1n a a a ---构成1n -项的首项最小数列，其个数为(1)f n -；（2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a ---构成3n -项的首项最小数列，其个数为(3)f n -；（3）若23,a =则3=4a 或35a =.设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k -，1k a +是2k 或22k -，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：()(1)(3)1f n f n f n =-+-+，5n ≥.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f 各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除.┈┈13分。
北京市朝阳区20162017学年第一学期统一考试
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1（考试时刻120分钟 总分值150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部份第一部份（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=x x A ，{}20B x x =-<，那么()UA B =A ． {|2}x x >B ． {}02x x ≤< C ． {|02}x x <≤ D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．以下函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =- C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，那么“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也没必要要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．12 6．某四棱锥的三视图如下图，其俯视图为等腰直角 三角形，那么该四棱锥的体积为AB ．43CD ．4俯视图正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC =,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，那么当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全数参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数别离为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，那么这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ． 21 D ．19 第二部份（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，那么b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，32a S =则2a = ，10S = ．11．执行如下图的程序框图，那么输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，那么C ∠13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，关于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，那么2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．假设集合M 知足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，那么称集合M 是封锁的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封锁的．关于封锁的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①若是,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的；②若是,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的； ③若是f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述概念下，集合},n m n +∈Q 封锁的（填“是”或“否”）；假设函数()f x在Q 上保运算，而且是不恒为零的函数，请写出知足条件的一个函数()=f x ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． 15．（本小题总分值13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题总分值13分）甲、乙两位同窗参加数学文化知识竞赛培训．现别离从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从当选派一人参加正式竞赛，从所抽取的两组数据分析，你以为选派哪位同学参加较为适合？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同窗在尔后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的散布列及数学期望E ξ．17．（本小题总分值14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）假设二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（ii ）棱DE 上是不是存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?FA DCBE假设存在，求出DPDE的值；假设不存在，请说明理由． 18． （本小题总分值13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其极点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题总分值14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）假设函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题总分值13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n 中互不相同的元素．假设数列m A 知足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1k k m ≤≤（）有i j k a a a +=，那么称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）假设数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判定数列：11789097,,,x,,y 是不是是一个“好数列”？（ⅱ）假设数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）假设数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（总分值40分）二、填空题：（总分值30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（总分值80分） 15．（本小题总分值13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．因此)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较适合．理由如下：()1x 70280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙， 甲乙9884215350035025789()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，因此，甲的成绩较稳固，派甲参赛比较适合． …………………………8分注：本小题的结论及理由均不唯一，若是考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，一样给分．如 派乙参赛比较适合．理由如下：从统计的角度看，甲取得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙取得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，因此派乙参赛比较适合．（Ⅲ）记“甲同窗在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．因此变量ξ的散布列为：11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题总分值14分） 证明：（Ⅰ）连结BD ，设ACBD O =，因为四边形ABCD 为正方形， 因此O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，因此//,AF OG OG AF =． 因此四边形AOGF 为平行四边形． 因此//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 因此AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，因此AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 因此平面ABCD ⊥平面ABEF ． 因此AF ⊥平面ABCD ， 因此,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，因此AB AD ⊥． 因此,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 别离为,,x y z 轴成立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，因此(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，， 因此(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-． （i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCBEOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20,220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0.y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，因此30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，那么DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，那么(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，因此(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．因此22,2,2x y z λλλ-=-==，因此P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，因此(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，因此2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=． 因为2[0,1]3∈，因此DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，那么DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，那么(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，因此(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．因此22,2,2x y z λλλ-=-==，因此P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，因此(22,22,2)BP λλλ=--． 设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，那么 0,0m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，得000020,20. x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，因此DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题总分值13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，那么2200132x y +=． 因此直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，那么1)N -．因此OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，因此2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．因此OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，因此121223y y x x =-．因此2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得2OMNS ∆===．综上所述，OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的概念域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．因此函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的概念域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 因此函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，因此10,1xx e -<<，因此(1)1xe x x ->-，因此2()1g x ax x >+-取012x a-=，显然00x <且0()0g x >因此(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，那么ln(2)0a ->． 当x 转变时，(),()g x g x '转变情形如下表：注意到(0)1g =-，因此函数()g x 最多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，那么ln(2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 最多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，那么ln(2)0a -≤． 当x 转变时，(),()g x g x '转变情形如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，因此函数()g x 最多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其概念域为(1,)+∞，那么证明()0h x ≥即可． 因为1()e (e )11x x x h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，因此函数()h x '在(1,)+∞上单增． 因此()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 因此函数()h x 的最小值为0()h x ．因此00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．因此()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项， 假设剩下两项从909199,,,中任取，那么都符合条件，有21045C =种； 假设剩下两项从798088,,,中任取一个，那么另一项必对应909199,,,中的一个，有10种；假设取6877a ≤≤，那么791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；假设取67a =，那么61178a A +=∈，另一项可从909199,,,中任取一个，有10种；假设取5667a <<，那么671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；假设取56a =，那么67b =，符合条件，假设取56a <，那么易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，仍是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a 各项互不相同，因此，不妨设12m a a a <<<．把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，因此111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤，又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，因此k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾． 因此，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+，即1212m a a a n m ++++≥．…………………13分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学文试题(附答案)$721912
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}Ax x x xR ，1{|2,}2Bx x x R ，那么集合A BA.B ．1{|1,}2x xxR C ．{|22,}x x x R D ．{|21,}x x xR 2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1yx B ．tan y xC ．3y xD ．2yx3. 已知3sin 5x ，则sin 2x 的值为A ．1225B ．2425C ．1225或1225D ．2425或24254. 设x R 且0x ，则“1x ”是“1+2x x”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n ，则B ．若//,,//m n ，则m nC ．若,,//mn ，则//m nD ．若,,m nm ，则n6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC0，||2||OA AB ，则CA BC 等于（）A ．154B ．34C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x则函数1()()2g x f f x 的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 设平面向量(1,2),(2,)y a b，若a //b ，则y. 10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A，sin A =.cos2A.11. 已知 2.1log 0.6a，0.62.1b，0.5log 0.6c，则a ，b ，c 的大小关系是.12. 设各项均为正数的等比数列n a 的前n 项和为n S ，若23a ，245S S ，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x mx在(,)上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷(文史类)
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（文史类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 .A ．3B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x ，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f ，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB 的坐标为___________.正视图 侧视图俯视图11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.俯视图试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分）已知ABC ∆中，3B π=，a =（Ⅰ）若b =A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为2，求b 的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点．（Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e x f x x x=--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.PADBE北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试题答案（文史类） 2017.11一、选择题二、填空题三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅+1sin 2cos2)2x x =+- πsin(2)3x =- （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈.所以()[0,1f x ∈. ……………………………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列, 即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分（Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin 3A =π.所以sin 2A =. 在三角形中，由已知b a >，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得1222=⨯，解得c =. 由余弦定理知2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=，所以b =………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形， 所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分PADBCOE（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=， 所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x-++= 2(1)(1)kx x x--=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k<<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， PADBE令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当0k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1+∞，； 当01k <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，(+)k∞1，，单调递减区间为(1)k1，； 当1k =时，函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，； 当1k >时，函数()f x 的单调递增区间为(0)k 1，，()1+∞，,单调递减区间为(+)k∞1，. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x--≤在(1,2)上成立. 设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+，即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-. 即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。
2017届朝阳高三期中理科数学
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U A B =I ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ， ||2||OA AB =u u u r u u u r，则CA BC ⋅u u u r u u u r 等于A ．154-B．2- C ．154 D．27．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=o,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++L ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-=解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，24127DB DB =+-⋅⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠o=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠o o1=214214-⋅+=-14．在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724()2714+-⨯-=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区高三上学期期中考试数学理试题含答案精编版
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1nn a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.3f π==解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
2017届北京市第四中学高三上学期期中考试数学(理)试卷(解析版)
2016-2017学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集,集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知，2．设命题,则为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为 C.3．为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查对数的运算性质的应用以及图象的变换问题.,所以为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案 C【备注】函数4．若,满足则的最大值为A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A()时，目标函数取得最大值 2.5．等比数列满足则A.21B.42C.63D.84【答案】B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，考查了计算能力.设公比为q，因为，所以,则，所以6．已知,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、三角函数的诱导公式，考查了逻辑推理能力.当时，，当时，，因此“”是“”的充分不必要条件7．定义在上的偶函数满足,且在区间上单调递增,设,, ,则大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为,所以,所以偶函数的周期为2，又函数在区间上单调递增,所以函数在区间上单调递减,又,,,所以8．已知函数,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数的图像与的图像，如图所示，由图像可知：函数的图像为过原点的直线，当直线介于直线l与x 轴之间时符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分解析式为,,因为，故,故直线l的斜率为，故只需直线的斜率a介于与0之间即可，即二、填空题：共6题9．设是虚数单位,则 .【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算.10．执行如图所示的框图,输出值 .【答案】12【解析】本题主要考查条件结构与循环结构的程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出x=12.11．若等差数列满足,,则当________时,的前项和最大.【答案】8【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式与性质，考查了逻辑推理能力.在等差数列中，因为,,所以,即前8项均为正数，从第9项开始均为负数，所以当n=8时，的前项和最大.12．已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为______.【答案】【解析】本题主要考查函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.设,因为是定义在上的奇函数，所以是上的偶函数，且,时,解不等式可得x>4,所以不等式的解集为13．要制作一个容积为 4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.【答案】1600【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、基本不等式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.设长方体的底面的长为xm，则宽为m，总造价为y元，则，当且仅当，即x=2时，等号成立，故答案为1600元14．已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1) 若函数,则=______;(2)若函数,则的最小正周期为______.【答案】2 2【解析】本题主要考查新定义问题、集合、三角函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)若函数,则点P(t,t),Q(x,x),因为，所以，化简可得,即,即,因为，所以；(2)若函数,此时，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q(),如图所示：当点P 在A点时，点O在曲线OAB上，,，当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，逐渐减小，当点P在曲线上从C接近D时，逐渐增大，,，当点P在曲线上从D接近E时，逐渐减小，，，依次类推，发现的最小正周期为2，因此，本题正确答案为 2.三、解答题：共6题15．集合,,,其中.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);;。
北京市朝阳区2017届高三第一次(3月)综合练习数学(理)试题Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试(理工类) 2017.3
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项•
已知集合 A ={x| —1 _x ：：：3} , B ={x 二Z |x 2 ：：：4}，则 A B =
其中正确的是
直线AF 的斜率为3，贝U PF
(A) 4 3
(B) (C ) 8 (D) 16 (6)已知函数f (x) =F °g 2 x -10x 25, x 4.
0：“x ，4,若a ,b ,c ,d 是互不相同的正数，且 (1) (2) (3) (A) (C ) {0,1}
{-1,0,1,2}
(B) (D) 2x_y ,y 满足x y 三3,则2x y 的最大值为
x > 0,
(A) 0
(C ) 4 {—1,0,1} {-2,_1,0,1,2}
(B) (D)
执行如图所示的程序框图，若输入
m = 4 , n =6 ,则输出 (A) 4
(B) 8 (C ) 12
(D) 16
给出如下命题: ①若p A q”为假命题，则p, q 均为假命题;
②在△ ABC 中，’A > B ”是SinA > sin B”的充要条件;
③(1
X )8的展开式中二项式系数最大的项是第五项
(A )①② (B )②③ (C )①③
(D )①②③ (5)设抛物线y 2 =8x 的焦点为F ，准线为
P 为抛物线上一点, PA —丨,A 为垂足•若。
北京市朝阳区2017-2018学年高三上学期期中考试数学理试卷Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x R ，{10,}B x x x N ，则A B （）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．已知(0,)，且3cos 5，则tan （）A ．34B ．34C ．43D ．433. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（）A. 2B. 1C. 1D. 24. 给出下列：①若给定p ：x R ，使得210x x ，则p ：,x R 均有012x x ；②若q p 为假，则q p,均为假；③“若0232x x ，则2x ”的否为“若,0232x x 则2x ，其中正确的序号是（）A ．① B.①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x A R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin()6f x xB ．()2sin(2)6f x x C ．()2sin()3f x x D ．()2sin(2)3f x x x－2yO 231656.设p ：2101x x ，q ：2(21)(1)0xa x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC 中，已知4AB AC，3BC ，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM 的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数),0,1[,2),1,0[,2)(22x x xxx f 且)()2(x f x f ．若方程()2=0f x kx 有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)3B ．11(,)34C ．11(,1)(1,)33D ．1111(,)(,)3443第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是．10．已知平面向量2113，，，a =b =．若向量()a a +b ，则实数的值是．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD ，则x y ．12.若函数()2sin()f x x (0,0)是偶函数，则的最小值为．13. 若函数sin ()cos a x f x x 在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是. 14.如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于 F.设BE x ，记()f x EC CF ，则函数()f x 的值域是；当ECF 面积最大时，EF . E D C BA FE DC B A三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 222xxxf x .（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列n a 的首项11a ，公差1d ，前n 项和为n S ，且1n n b S . （Ⅰ）求数列n b 的通项公式；（Ⅱ）求证：1232n b b b b . 17．（本小题满分13分）在ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos B ．（Ⅰ）若322b a,，求角C ；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围．18.（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x ．（Ⅰ）当0a时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a 时，证明1()2f x .19.（本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x axbx (其中e 是常数，0a ，b R )，函数()f x 的导函数为()f x ，且(1)0f ．(Ⅰ)若1a，求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当15a 时，若函数()f x 在区间[1,1]上的最大值为4e ，试求,a b 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12n a a a n n n ，b a a a 21,，记集合{|}.n M a n N （Ⅰ）若2,1b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0ba ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；（Ⅲ）若0,0b a ，且0b a ，求集合M 的元素个数的最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A． m 0
B． m 1
C． m 2
D． m 2
6 ． 已 知 三 角 形 ABC 外 接 圆 O 的 半 径 为 1 （ O 为 圆 心 ）， 且 2OA AB AC 0 ，
| OA | 2 | AB | ，则 CA BC 等于
15
A．
4
15
B．
2
15
C．
4
15
D．
2
7．已知函数 f ( x)
)
.
4
m 的取值范
围
.
14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题
:“今有良马与驽马发长
安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七
里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．
”其大意为：“现在有良马和驽马
同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是
符合题目要求的一项．
1．已知全集 U R ，集合 A
2
x|x 2x 0 ， B
x | x 1 0 ，则 A (eU B )
A． x|0 x 1
B． x|x 0
C． x | x 2
D ． x |1 x 2
2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在
(0 ， ) 上单调递减的是
2
A． y x
B． y x 1
f
( x)
在
(0,
π )
上单调递减
.
2
19 ．（本小题满分 14 分）
已知函数
f (x)
x2
e (x
a) ห้องสมุดไป่ตู้ a
R．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f ( x ) 在 ( 3,0) 上单调递减，试求 a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 f ( x ) 的最小值为 2e ，试求 a 的值．
20．（本小题满分 14 分）
设 a, b 是正奇数，数列 { cn } （ n N ）定义如下： c1 a, c2 b ，对任意 n 3 ， cn
是 cn 1 cn 2 的最大奇约数．数列 { cn } 中的所有项构成集合
A．
（Ⅰ）若 a 9, b 15 ，写出集合 A ；
（Ⅱ） 对 k 1 ，令 dk = max{ c2 k , c2 k 1 } (max{ p q, }表示 p, q 中的较大值 ），求证 ：
D． b a c ) ， 且 x1 x2 ， 不 等 式
f ( x1 ) f (x 2 ) x1 x2
0 恒成立，则实数
a 的取值范围是
1 A． ( , )
2
1 B． [ , )
2
1 C． ( , )
4
1 D． [ , )
4
4 5．设 m R 且 m 0 ，“不等式 m+ 4 ”成立的一个充分不必要条件是
3000 里，良马第一天行 193 里，之后每天
比前一天多行 13 里，驽马第一天行 刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．
97 里，之后每天比前一天少行 ”试确定离开长安后的第
0.5 里．良马到齐后，立 天，两马相逢．
三、解答题：本大题共
6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
dk 1 dk；
（Ⅲ）证明集合 A 是有限集，并写出集合
A 中的最小数．
朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试 数学答案（理工类）
一、选择题： （满分 40 分）
已知函数 f ( x) a sin x （Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期；
3 cos x （ a R ）的图象经过点 ( ,0) .
3
（Ⅱ）若 x
[
3 ,
] ，求
f ( x) 的取值范围
.
22
17．（本小题满分 13 分）
如 图 ， 已 知 A, B, C , D 四 点 共 面 ， CD =1 , BC
x 1, x 0,
1
则函数 g ( x ) f ( f ( x )) 的零点个数是
log 2 x , x 0,
2
A．4
B． 3
C． 2
D．1
8. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是
A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
ABC 120 , cos BDC
27
.
7
2 , AB 4 ,
D
C
（Ⅰ）求 sin DBC 的值；
（Ⅱ）求 AD 的长 .
A
B
18． （本小题满分 13 分）
2
x 已知函数 f ( x )
ax
cos x (a
R)， x
[
ππ , ]．
4
22
（Ⅰ）若函数 f ( x ) 是偶函数，试求 a 的值；
（Ⅱ）当 a 0 时，求证：函数
15．（本小题满分 13 分）
已知数列 { an}( n
N ) 是公差不为
0 的等差数列， a1
1 11 1 ，且 , , 成等比数
a2 a4 a8
列.
（ Ⅰ ）求数列 { an } 的通项公式；
1
（ Ⅱ ）设数列
{ an
} 的前 n 项和为 an 1
Tn ，求证 : Tn
1.
16．（本小题满分 13 分）
.
11．各项均为正数的等比数列
an 的前 n 项和为 S n .若 a3 2 ， S4 5S2 ，则 a1
，
S4
．
12．已知角 A 为三角形的一个内角， 且 cos A 3 ，则 ant A 5
，tan( A
13 ．已知函数 f ( x )
2
mx 1, x 0,
2
x
在( ,
(m 1)2 , x 0
) 上是具有单调性，则实数
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
第二部分（非选择题
共 110 分）
二、填空题：本大题共
9．已知平面向量 a
6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
(1,2), b ( 2, y) .若 a // b ，则 y
.
2
2
10．函数 f ( x) cos x sin x 的单调递减区间为
C ． y lg | x |
x
D． y 2
0.6
3．若 a log 2.1 0.6 ， b 2.1 ， c log 0.5 0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A．a b c
B． b c a
C． c b a
2
4 ． 已 知 函 数 f ( x) ax x ， 若 对 任 意 x1 , x 2 [2,
北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试
数学试卷（理工类）
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共
40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共
8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出