(北师大版)必修五：1.3等差数列-课件

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高中数学必修五-等差数列

等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。

北师大版高中数学必修《等差数列》PPT模版教学2

用递推公式描述公差为d的等差数列{an }的定义：
若数列an已知首项 a1 且满足 an－an－1＝d(n∈ N*，n≥2，d 为常数)或 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，则数列an为等差数列．
可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版教学2
你知道吗？
例如：判断下列数列是否为等差数列，如果不
是，请说明理由．
(1)
1,
1 3
,
1 3
,
1,
5 3
;
(2)1, 2, 3, 4, 5;
(3)6,6,6,6,6；
(4)0,1,3,5,7；
[点评] 等差数列的定义要求从第2项起，每项与其前一项的差等于同一个常数，本题易把第(4)问中的数列判断成是等差数列．
24
424
an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
24
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版教学2
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版教学2
an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版下表所示：
年份
第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底
绿化覆盖率
22.2
23.8
25.4
27.0
（单位：%）
如果以后几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年
年年底该区绿化覆盖率可超过35.0%？
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版教学2

最新审定北师大版数学必修五：1.2《等差数列(第1课时)》ppt(优秀课件)

[解析] (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列．
♥ [方法总结] (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1 －an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断． ♥ (2)要证明一个数列不是等差数列，只需举一个反例进行否定，也可证明 an＋1－an或an－an－1(n>1)不是一个常数，而是一个与n有关的变数．
最新审定北师大版数学必修五优秀课件
第一章
§2
第1课时
等差数列
等差数列的概念及通项公式
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课时作业
课前自主预习
♥ 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．学了本节知识后，你将知道举行奥运会的年份 1896,1900,1904，…，构成一个等差数列，你运用等差数列的知识，能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050应该举行奥运会吗？
1.等差数列一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的
差是___________ 同一个常数，我们称这样的数列为等差数列． ________
2．等差中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数
a与b的等差中项．列，那么 A 叫做________________

《等差数列》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

（2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-54（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
课时小结
①等差数列定义。[21 世纪教育网
即 an an1 d (n≥2) ②等差数列通项公式 an a1 (n 1)d (n≥1) 推导出公式： an am (n m)d
②
1 ; 2 ; 3 ; 4 ,1,;
③
5555
新课学习
对于数列① an n （1≤n≤6）； an an1 1（2≤n≤6）
对于数列② an 12 -2n（n≥1）
an an1 2 （n≥2）21 世纪教育网
对于数列③ an
Байду номын сангаас
n 5
（n≥1）
an
an1
1 5
（n≥2）
共同特点：从第 2 项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
n 5
（n≥1）
由上述关系还可得： am a1 (m 1)d
即： a1 am (m 1)d
则： an a1 (n 1)d = am (m 1)d (n 1)d am (n m)d
如： a5 a4 d a3 2d a2 3d a1 4d
新课学习
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
再见
新课学习
解：（1）由 a1 8, d 5 8 2 5 3 n=20，得 a20 8 (20 1) (3) 49 （2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)

等差数列的定义与通项公式(北师大版,优秀获奖课件)

补充1：由数列的前几项（有限项）按定义作差都
为同一常数，能否说明此数列为等差数列？不能
补充2：公差d一定是由后项减前项所得，且公差是唯一的常数。
补充3：判断、证明一个数列是否为等差数列的方
法：
即an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
补充4：设等差数列{an}的公差为d，当d＞0， d＜0，d＝0时，数列{an}的特点： d＞0时，{an}是递增数列； d＜0时，{an}是递减数列； d=0时，{an}是常数列.
公差是d，那么这个数列的通项公式是：
a1 ，
an a1 (n 1)d
1、已知等差数列的首项a1与公差d ，可求得其任何一项； 2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an 四个量中知三求一。
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
小结
1. {an}为等差数列 an= a1+(n-1) d
2
an+1- an=d
an+1=an+d
2. a、b、c成等差数列 ac b 3.更一般的情形，an=
b为a、c 的等差中项AA
an am am+(n - m) d ，d= nm
am+an=ap+aq
2b= a+c
5 D. 11
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
2 2 300< 83+5×（n-1）<500 44 n 84 提示： 5 5
n=45，46，…，84

2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版

又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是法等差数列
适合题型
解答题中证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成选择、填
法立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整判定问题
式法数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念

高中数学北师大版必修五1.2.1【教学课件】《等差数列》

阅读教材 P10～P11 例 1 以上部分，完成下列问题。等差数列的概念
从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这文字语样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差，言通常用字母 d 表示符号语若 an－an－1＝d(n≥2) ，则数列{an}为等差数列言
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第一单元 · 数列
等差数列
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新课导入
1.复习数列的概念以及通项公式 2.观察几个数列如：数列 1,2,3,4,5,…，数列 0,0,0,0,0,…，数列 0,2,4,6,8,10,…等。
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探索新知
1. 等差数列的概念
例3：已知等差数列{a }，a ＝1，d＝ 2 ，求通项 a n n 1
根据等差数列的通项公式直接写出通项即可。解：
an ＝1＋(n－1)× 2
＝ 2n－ 2＋1。
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方法小结：
1．总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？ 2．本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”。这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的。
当当当
d＞0
d＜0 d＝0
时，{an}为递增数列，如图甲所示。时，{an}为递减数列，如图乙所示。时，{an}为
解：
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变式训练2
已知数列的通项公式an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：

北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)

方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0，故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝＝aa11＋＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2，即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458，所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分段式表示．

高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时等比数列的性质)ppt同步课件

课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]，解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理，得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．

北师大版高中数学必修5：等差数列_课件2(2)

若a2＝1，a6＝9, 则d＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n. 故an＝2n－3或an＝13－2n.
(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，
等差数列性质的应用 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6
＝45，求数列的通项公式； (2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝
450，求a2＋a8.
(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和公差d，得出通项公式；
组成公差为 md 的等差数列
1．下列说法中，正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列 B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列 C是．等若差存数在列自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}
D2a．n＋若1＝{aann}＋是a等n＋差2 数列，则对任意正整数n都有答案： D
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.
1(n≥2，且n∈N＋)． (2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证
2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c.

第一章数列§2 2.2 第1课时等差数列的前n项和北师大版必修五.

把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

1.3.1等比数列(二)课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)

n － n 1 an＝ . n＋1
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n 错解中不是常数，不能作为等比数列的公比． n＋1
[正解] ∵(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0， ∴(an＋ 1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. an＋1 n n ∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴ ＝，即 an＋ 1＝ an， an n＋1 n＋1 n－1 n－1 n－2 n－1 n－2 2 1 ∴ an ＝ an － 1 ＝ · an － 2 ＝ „ ＝ · · · ·1 ＝ „· a n n n－1 n n－1 3 2 n－1 n－2 21 1 · · ·· „· 1＝， n n－1 32 n 1 ∴数列{an}的通项公式为 an＝ . n
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答案
1 an＝ n
an＋1 由＝q 得{an}为等比数列中的 q 必须是一个非零 an
常数．
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自学导引
1．等比中项使a、G、b成等比数列如果在a与b中间插入一个数G，____________________，
那么G叫作a与b的等比中项．试一试：若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？提示不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．
2n＋1 a2·n－1 a ak·n－k＋1 a ＝________＝__________＝a ，(n 为正奇数)．
2
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4．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·n}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； a |q| ②{|an|}是公比为__的等比数列； qm ③{anm}(m是整数常数)是公比为___的等比数列． (2)若{an}、{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 q1q2 {an·n}是公比为____的等比数列． b 想一想：常数列一定是等比数列吗？提示不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是．

高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式课件(北师大版必修5)

§2 等差数列
第一章数列
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2.1 等差数列
第一章数列
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第1课时等差数列的概念和通项公式
预习篇课堂篇提高篇
巩固篇课时作业
第一章数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题.
第一章数列
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【尝试解答】数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)，即n＝43m－1(n，m∈N＋)．要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
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规律方法求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构成等差数列，但整个数列不是等差数列.
第一章数列
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.

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等差数列与等比数列
总结词
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数学和实际生活中有着广泛的应用。
详细描述
等差数列是指每两个连续的项之间的差是一个常数的数列，这种数列的特点是每项与前一项的差值是固定的。等比数列是指每两个连续的项之间的比是一个常数的数列，这种数列的特点是每项与前一项的比值是固定的。这两种数列在实际生活中有着广泛的应用
04
函数有多种分类方法，如按照定义域和值域的类型可以分为离散函数和连续函数，按照对应关系可以分为一对一、多对一和一对多等类型。
函数的性质与应用
01
性质与应用
02
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
03
利用函数的性质可以研究函数的图像和变化规律，解决实际问题中的优化问题、最值问题等。
Part
05
解析几何初步
直线的方程与性质
直线方程的几种形式
点斜式、两点式、截距式、斜截式等，这些形式可以用来表示不同的直线，并描述它们在平面上的位置关系。
直线的基本性质
直线的倾斜角和斜率，以及它们与直线方程之间的关系。
直线方程的应用
解决实际问题中涉及的直线问题，如求两点之间的距离、求直线的交点等。
三角函数的图像与变换
三角函数的图像
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像分别呈现出不同的波形，这些波形具有周期性变化的特征。
三角函数的变换
通过平移、伸缩、对称等变换，可以改变三角函数的图像形态，进而研究它们的性质和应用。
三角函数的应用
解决三角形问题
利用三角函数可以解决直角三角形、斜三角形中的角度和边长问题。

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第一章数列
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1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章数列 1.1数列的概念习题1—1 2.1等差数列习题1—2 3.1等比数列习题1—3 习题1—4 复习题一第二章解三角形 1.1正弦定理习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列

高中数学北师大版必修五课件：第1章 §2-2.1 第2课时等差数列的性质

＋a15＝( )
A．7
B．14
C．21
D．7(n－1)
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________． (3)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值是 ________．
【解析】＝2a9－a9＝a9＝7，所以 a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. (2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}是等差数列．设{an＋bn}的公差为 d，则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d，即 d＝7，所以 a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.
少要扣 2 分． (2)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键．
(3)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立 am＝bn 这样的方程，再求一定范围内的整数解．
等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则 a2 等于( )
A．3
B．－3
C.32
D．－32
答案：A
等差数列 a1，a2，a3，…，an 的公差为 d，则数列 5a1，5a2， 5a3，…，5an 是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 5d 的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。

高中数学北师大版必修五 2.1 等差数列课件(39张)

讲拓展 (1)定义中 “每一项与它的前一项的差 ”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． (2)公差 d∈R，当 d＝0 时，数列为常数列；当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列.
知识点 2 通项公式等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则通项公式是 an＝a1＋(n－ 1)d. 讲重点对等差数列通项公式的理解 (1)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn＋(a1－d)，如果设 p＝d，q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其中 p，q 是常数．当 p≠0 时， an 是关于 n 的一次函数，即(n， an)在一次函数 y＝px＋q 的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数 y＝px＋q 的图象上．所以公差不为零的等差数列的图象是直线 y＝ px＋ q 上的均匀排开的一群孤立的点．当 p＝0 时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于 x 轴的直线(或 x 轴)上的均匀分布的一群孤立的点．
点评：定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤： (1)作差 an＋1－an，将差变形； (2)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差数列；当 an＋1－an 不是常数，是与 n 有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
讲拓展 (1)如果数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(p，q 是常数)，那么数列{an}是等差数列． (2)如果数列{an}满足 2an＝an－1＋an＋1(n>1，n∈N*)，那么数列{an} 是等差数列.
知识点 3 等差中项如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a，b 的等差中项．讲重点等差中项的性质： (1)A 是 a 与 b 的等差中项，则 a＋b A＝或 2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个． 2 (2)当 2A＝a＋b 时，A 是 a 与 b 的等差中项.