一元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路

若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程

2

0,0,ax bx c a ++=≠ ①

由韦达定理，①的根可以表示为2b x a

-±=。 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？

数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？

n 次方程的一般表达式是

101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠

而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a

1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。”

代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程

1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②

的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个n 次方程②的求根公式是指，②的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。

三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当（Candano ）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。这里我们向读者介绍卡当关于三次方程解的公式，从中可看出他所作的极富技巧的变换。另一方面，这个与二次方程仅仅相差一次方的三次方程，是中学时代爱好数学的青少年向往着解决的问题，看看前人是如何解决的，自己又能得到什么启示？

不失一般性，可以设三次方程中3x 的系数为1，则三次方程为 320x ax bx c +++= ③ 其中,,a b c 是任意复数。若令3

a x y =-，则三次方程简化为 30y py q ++= ④ 其中33a p

b =-，3

2327

ab a q c =-+， 设123,,y y y 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。

若令3242712u p q v ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，2112322123z y v y vy z y vy v y ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩。

对于适当确定的立方根，卡当公式是1z =

，2z = 求解线性方程组12321231212320y y y y v y vy z y vy v y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到11221212123121()

31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩

，

于是，原三次方程的三个根为1y =

2y ω=

，3y ω=

其中23

427

q p ∆=+，122ω=-+（i =是虚数单位）。 对于四次方程求根，就更加复杂了。但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法。与三次情形类似，用一个平移，消去方程3x 的这一项，于是可假定四次方程为

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0x ax bx c +++= ⑤

然后构造方程的预解式224()(4)0b u a u c ---= ⑥

这是u 的三次方程。通过这个三次方程解出u ，把得到的u 代入，可以把原方程化为两个二次方程来求根。因而可以说，对于次数不超过4的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来。做这件事就叫做根式求解。

由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式。从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功。1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性。他通过分析发现，次数低于5的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解。到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了。1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼（Ruffini ）终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的。

鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法。1826年阿贝尔发表了《五次方程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在。他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞。他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次代数方程是否可以根式求解。阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，50x a -=就有根式解。于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华（Galois ）彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）。

伽罗华的天才思想促使了今天我们称之为抽象代数这门学科的蓬勃发展。要了解伽罗华