垂直的判定和性质专题及答案

垂直的判定和性质专题

垂直的判断方法及性质汇总： 一、判定线面垂直的方法

1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6． 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法

1．定义：成︒90角

2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法

1．定义：两面成直二面角,则两面垂直

2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质

1．二面角的平面角为︒90

2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 专题训练： 一．选择题：

1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B

（A ）垂直于同一直线的两条直线平行 （B ）垂直于同一直线的两条直线垂直 （C ）垂直于同一平面的两条直线平行 （D ）平行于同一平面的两条直线平行

3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C

（A ）是非等腰三角形 （B ）是等腰直角三角形

（C ）是等边三角形 （D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形

4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66

5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ⊂α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ⊂α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D

（A ）a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ （B ）//a b a b αα⊥⎫

⇒⊥⎬⎭

（C ）//或a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭ （D ）////a a b b αα⎫

⇒⎬⊂⎭

7．直线a⊥b，且a//平面α，则b与α的位置关系是 D

（A）b⊂α（B）b⊄α（C）b//α或b⊂α（D）b与α相交或b//α或b⊂α

8．若a, b是异面直线，那么经过b的所有平面中 A

（A）只有一个平面与α平行（B）只有一个平面与α垂直

（C）有无数个平面与α平行（D）有无数个平面与α垂直

9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BB1C1C及其

面界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 A

（A）线段B1C（B）线段BC1

（C）BB1中点与CC1中点连成的线段

（D）BC中点与B1C1中点连成的线段

10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 B

（A）AC（B）BD（C）A1D1（D）AA1

11．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是D （A）5（B）25（C）35（D）45

12．如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，

则点C1在底面ABC上的射影H必在 A

（A）直线AB上（B）直线BC上

（C）直线CA上（D）△ABC内部

二．填空题：

1．平面α外一点A到平面α上各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线与平面α的位置关系是垂直。

2．经过一点与已知平面垂直的直线有一条。

3．长方体ABCD－A’B’C’D’中，AB=b，BB’=BC=a，那么

（1）BC’与平面A’B’CD的位置关系是垂直；

（2）点B到平面A’B’CD的距离是

2

2

a；

4．圆O的半径为4，PO垂直于圆O所在平面，且PO=3，那么点P到圆上各点的距离为5 . 5．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影

（1）若PA, PB, PC两两互相垂直，则O点是△ABC的垂心；

（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的内心；（3）若PA⊥BC, PB⊥AC, PC⊥AB，则点O是△ABC的垂心；

（4）若PA, PB, PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的外心。

6．正三角形ABC边长为a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°，这时A

到BC的距离为14 4

a

E

P

D

C

B

A

三．解答题：

1．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，PA =PB ，CB ⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，AN =3NB ， 求证：MN ⊥AB ；

提示：过P 作PD ⊥AB 于D ，则点D 为AB 中点，取PB 中点E ，连结ME 、NE ，

易证NE ∥PB ，ME ∥BC ，故NE ⊥AB ，ME ⊥AB

B

2．在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，若BE ⊥PD 于E 求证：AE ⊥PD

提示：PA ⊥面ABCD ，PA ⊥AB ，又DA ⊥AB ，故AB ⊥面PAD ，所以AB ⊥PB ，因为BE ⊥PD ，所以PD ⊥面ABE ，故PD ⊥AE

A

B