西安交大计算方法第一章

令x ,则称为绝对误差界或绝对误差限 有x ~x 或者记为 ~x( )
绝对误差或绝对误差限常常简称为误差
第1章 数值计算方法的一般概念
相对误差
设~x是真值x的近似值
x x ~x x 或 x
xx 称为近似值~x的相对误差
令x r ,则r称为相对误差界或相对误差限 有x ~x (1 r )
当两个相近数相减时,会损失比较多的有效数字
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；
(2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
10..0500xx11
0.50x2 0.33x2

0.33x3 0.25x3
1.83 1.08
0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
其 解 为: x1 1, x2 1, x3 1
例 使用高斯消去法解方程组
演示Baidu Nhomakorabea
数值计算方法
参考书
《计算方法》邓建中,西安交通大学出版社 《数值分析》李乃成,梅立泉 科学出版社
从准确值按四舍五入原则截取得到的近似数都是有效数
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
设数学问题的解 y与某些参量 x1, x2 ,..., xn有关,可表示为
y (x1, x2 ,..., xn ) 则当各输入参数有误差时， 解也会有误差,得到近似解
~y (~x1, ~x2 ,...,~xn )

n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
x
n
) xi
y

n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
xn )
xi

xi
其中的系数 或 xi 表示解的误差相对量的放大或 xi xi
缩小的"倍数" 称其为问题 y的条件数
条件数大的问题称为病 态问题,否则称为良态问题
基数: b称为基数 尾数 : 0.x1x2 ...xt , xi为0,1,2..., b 1的数字
当x1 0时， 称为规格化的浮点数 阶码: m称为阶码， 范围: L m U
位数: t称为计算机的位数
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
规格化的浮点数 fl (x)其末位数字 xt可能有半位误差
课程成绩
考试成绩 80%
上机成绩 20%
课程基础
数学基础
计算机基础
➢ 高等数学 ➢ 线性代数
➢计算机语言 ➢数据结构
第1章 数值计算方法的一般概念
第1章 数值计算方法的一般概念
什么是数值计算方法
数值计算方法就是研究如何利用计算工具,求出数学问 题的数值解的学科
第1章 数值计算方法的一般概念
绝对误差
x fl(x) 1 bt bm 1 bmt
2
2
相对误差
x fl(x) 1 b1t
x
2
计算机的相对精度
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
在计算机中所有规格化的浮点数的集合称为浮点数系
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然以同一浮点数系中的数 表示,必须用一个比较接近的浮点数代替.
因此会产生误差 ,称此误差为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(1)结果的阶数m不在范围[L,U]中
上溢 在F(2,3, -1, 2)中 (0.100 22 ) (0.110 22 ) 0.110 23
下溢 在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20 ) (0.110 21) 0.110 22
算法
由基本运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤, 称为算法
✓ 有效的且适用范围广 ✓ 运算工作量少,耗费资源少 ✓ 逻辑简单便于实现 ✓ 具有稳定性 ✓ 具有收敛性
第1章 数值计算方法的一般概念
计算机处理的问题
数值型问题
解决工程计算问题
理论基础:高等数学,线性代 数,数学模型,计算方法等
非数值型问题
例: 3.141592653589793...... 1 3.1416
1 0.0000073 0.00005 0.5104
则
准确到
1
4位小数，
共5位准确数字
第1章 数值计算方法的一般概念
有效数字
设~x x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
则解的绝对误差为
y y-~y (x1, x2 ,...,xn ) (~x1, ~x2 ,...,~xn )
相对误差为
y y
y
y (x1, x2 ,..., xn )
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
当数据误差较小时， 函数的增量可以近似等于函数的微分
y
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解
的误差能被有效地控制，这样的方法是数值稳定的
反之，如果各个计算过程中的误差不断增长，且不能 被有效地控制，则该方法称为数值不稳定的
方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算导 致的最终解的误差的可控性
第1章 数值计算方法的一般概念
10 m 0.x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
~x
0.0 0x1x2
m个0
xnm 10 m
0.x1x2
xnm
如果 x ~x 1 10n ,则~x准确到n位小数
2
具有n m位准确数字
各位数字都准确的近似数称为有效数
各准确数字称为有效数字
计算机在计算过程中，由于原始数据可能有误差，每次运算也 可能产生舍入误差，误差积累起来，很可能淹没真正解，使得结 果根本不可靠
可靠的算法，每一步的误差不应对计算结果产生过 大影响，也即具有稳定性.
良态问题+稳定的计算方法 可靠的计算结果
误差分类
模型误差 数据误差 截断误差 舍入误差
在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中的性能限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
绝对误差
设~x是真值x的近似值 x x ~x或x
称为近似值~x的绝对误差
相对误差界常用百分数表示,简称为相对误差
第1章 数值计算方法的一般概念
准确数字
设~x x1x2 xm xm1xm2 xmn ,并设x1 0
若
x ~x

0.0005
n个0
1 10 n 2
称为~x准确到n位小数
并称xmn及其以前的非零数字为 准确数字
解决一般的计算机应用
理论基础:数据结构,离散 数学等
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的类型
➢ 离散问题
如求解方程组,矩阵问题
➢ 连续问题的离散化
如数值积分、数值微分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解
➢ 离散问题的连续化
数值插值、数据逼近
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 误差是指近似值与真正值之差
上溢会出错，下溢会变为0
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(2)结果的尾数多于t位数字
在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20) (0.111 20) 0.1101 21
需对结果进行舍入处理，产生的误差称为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
可以得到
(x1x2 ) x2(x1 ) x1(x2 )
( x1 ) x1 x1x2
x2
x2
x22
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
将实数 x按舍入原则表示为 fl (x) ~x bm (0.x1x2 xt )
并称为b进制浮点数 其中:
数值计算方法
数学与统计学院 马军
理科楼 338 QQ 67017261 foyo2000@126.com
数值计算方法
数学与统计学院 马军
理科楼 338 QQ 67017261 foyo2000@126.com
求解方程组
1312xxx111121413xxx222131514xxx33316116412307