高中数学柯西不等式与排序不等式

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人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件

补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析：设A
C b12
a12
b22
a
2 2

bn2，an2则，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a, b, c, d都是实数, 则当且仅当ad bc时, 等号成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd

排序不等式与柯西不等式

2
n维形式:
推论:
(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 anbn )
2
(a1 a2 an )(b1 b2 b3 ) ( a1b1 a2b2 anbn )
2
an a1 a2 当且仅当时等号成立 b1 b2 bn
排序不等式:
设a1≤a2≤a3≤…≤an, b1≤b2≤b3≤…≤bn
c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列,那么 a1bn+a2bn-2+…+anb1 (反序和) ≤a1c1+a2c2+…+ancn (乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn (顺序和)
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时, 数y 2 1 x 2 x 1的最大值为___ 3 .
25 1 2 1 2 4.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ 2 a b
柯西不等式的应用: (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2
2
6 3 1.函数y=5 x 1 10 2x 的最大值是___.
9 1 1 2.若a,b>0,则 (a )( 2b ) 的最小值是__. 2 b 2a
3.若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b, 其中a,b为常数,且a≠b,则mx+ny的最大值是_____. ab 4.若a2+b2=1,则 acos bsin的最大值是_____, -1 1 最小值是_____.

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等

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ab2＋ba2≥ab＋ba. 证明由题意不妨设a≥b＞0. 则 a2≥b2，1b≥1a，所以ab2≥ba2. 根据排序不等式知，ab2·1b＋ba2·1a≥ab2·1a＋ba2·1b，即ab2＋ba2≥ab＋ba.
跟踪训练 1 c2
c＋a.
已知 0＜a≤b≤c，求证：a＋c2 b＋a＋b2 c＋b＋a2 c≥a＋a2b＋b＋b2 c＋
证明
命题角度2 字母大小顺序不定问题例 2 已知 a，b，c 均为正数，求证：b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥12(a＋b＋c).
证明
反思与感悟对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据.
跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
a3＋b3＋c3≤b52＋a2c5＋c52＋b2a5＋a52＋c2b5.
证明不妨设0＜a≤b≤c，
则 a5≤b5≤c5，c12≤b12≤a12，所以由排序不等式可得 a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52≤ac25＋ba52＋bc52， a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52≤ab52＋bc25＋ac52，
＝…＝bn时，反序和等于顺序和.
题型探究
类型一利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题例 1 已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c，求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
证明
反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.
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证明
规律与方法
1.对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是 “顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了. 2.排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.

3.1 柯西不等式与排序不等式

3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅，即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式）定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅，即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。

17柯西不等式与排序不等式

柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ==，则有cos αβαβθ⋅=⋅ αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为222ac bd a b c +≤+⋅+ 当且仅当,αβ共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立. 推论1ac bd≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ）定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x yx y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n ==或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==时，等号成立.简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤ 即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n ==的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式2221212n na a a a a a n ++++++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >=则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ 变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++ 上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利. （四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则 121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++，当且仅当123n a a a a ====或123n b b b b ====时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++（1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++（2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】（一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 2.已知12,,,n x x x R +∈，且121n x x x +++=，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ，求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n nn nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)kk k k kk k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++222222121121111k kx x xx x x-=-++++++++对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证 4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,n b b b b n ≥≥≥≥，又因为222111123n>>>>，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++（乱序）32122223n b b b b n ≥++++（倒序）111123n≥++++原命题成立，此题即为课后练习题 5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。

2025版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3

一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.aa≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4, ∴a2+b2≥2.故选C.2已知4a +9a=2,a,a>0,则a+a的最小值是()A.252B.254C.52D.54a+9a=2,得x+y=[(√a)2+(√a)2][(√a)2+(√a)2]2≥12(√a·√a+√a·√a)2=12(2+3)2=252,当且仅当√a√a=√a·√a即x=5,y=152时,等号成立.3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625x2+3y2=[(√2a)2+(√3a)2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6a+√6a)2=65(a+a)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,a=25时,等号成立.4函数y=2√2-a+√2a-3的最大值是()A.3B.32C.√3D.42=(2×√2-a+√2×√a-32) 2≤[22+(√2)2][(√2-a)2+(√a-32) 2 ]=6×12=3,当且仅当2√a-32=√2·√2-a,即x=53时,等号成立.故y的最大值为√3.5已知x>0,y>0,且xy=1,则(1+1a )(1+1a)的最小值为()A.4B.2C.1D.141+1a )(1+1a)=[12+(1√a)2][12+(1√a)2]≥(1×1+√a√a )2=(1√aa)2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.6设x,y∈R+,则(x+y)·(3a +2a)的最小值是.+2√67已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a +1a的最小值是.a,b∈R+,且a+b=1,所以12a +1a=(12a+1a)(a+a),由柯西不等式得(12a+1a)(a+a)≥(√12a ·√a+√1a·√a)2=(√22+1)2=32+√2,当且仅当a2a=aa,a+a=1时,等号成立,此时a=√2−1,a=2−√2.√28函数y=3sin x+2√2(1+cos2a)的最大值是.3sin x+2√2(1+cos2a )=3sin x+4√cos 2a ≤√(32+42)(sin 2a +cos 2a )=5, 当且仅当3|cos x|=4sin x 时,等号成立.9已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,求证:|ax+by|≤1.,得|ax+by|≤√a 2+a 2·√a 2+a 2=1,当且仅当ay=bx 时,等号成立.10已知a>b>c ,求证:1a -a +1a -a ≥4a -a .(a-c )(1a -a+1a -a)≥4.又a-c=(a-b )+(b-c ),利用柯西不等式证明即可.a-c )(1a -a +1a -a )=[(a-b )+(b-c )](1a -a +1a -a )=[(√a -a )2+(√a -a )2][(√1a -a )2+(√1a -a )2]≥(√a -a √1a -a+√a -a √1a -a)2=4,当且仅当√a -a ·√1a -a =√a -a ·√1a -a , 即a-b=b-c 时,等号成立.故原不等式成立.实力提升1已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A .√2B .2C .√3D .3x+y =√2×√2a +1×a≤√(√2)2+12×√(√2a )2+a 2=√3×√2a 2+a 2=√3, 当且仅当√2a =√2a ,即x=y =√33时,等号成立. 故2x+y 的最大值是√3.2若x 2+y 2=8,则2x+y 的最大值为( )A.8B.4C.2√10D.5(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=2√10.3若a+b=1,则(a+1a )2+(a+1a)2的最小值为()A.1B.2C.252D.72a+1a )2+(a+1a)2=a2+2+1a2+a2+2+1a2.∵a+b=1,∴a2+b2=12(a2+a2)·(1+1)≥12(a+a)2=12.又1a2+1a2≥2aa≥8(a+a)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,∴(a+1a)2+(a+1a )2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.4已知正数a,b满意a+b=2,则√a+√a+1的最大值为() A.√3B.√2+1C.√6D.√3+1a,b满意a+b=2,则a+b+1=3,则(1·√a+1·√a+1)2≤(12+12)[(√a)2+(√a+1)2]=6.故√a+√a+1≤√6,故选C.5设xy>0,则(a2+4a2)(a2+1a2)的最小值为.=[a2+(2a )2][(1a)2+a2]≥(a·1a +2a·a)2=9,当且仅当xy=√2时,等号成立.故所求最小值为9.6设实数x,y满意3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.(2x+y )2≤[(√3a )2+(√2a )2]·[(√3)2+(√22]=(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11,当且仅当3x=4y ,即x =√11a =√11,等号成立.因此2x+y 的最大值为√11. √117函数f (x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10的最大值为 .(x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10=√(a -4)2+22−√(a -3)2+1 =√[(a -3)-1]2+[1-(-1)]2−√(a -3)2+12≤√12+(-1)2=√2, 当且仅当x=2时,等号成立. √28已知θ为锐角,a ,b>0,求证:(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a .m =(acos a ,asin a ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|acos a ·cos a +asin a ·sin a |=|m ·n | ≤|m ||n |=√(a cos a )2+(a sin a)2·√1=√a 2cos 2a +a 2sin 2a,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时,等号成立. 故(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a . ★9在半径为R 的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为√4a 2-a 2,于是长方形ABCD 的周长l=2(x +√4a 2-a 2)=2(1×a +1×√4a 2-a 2). 由柯西不等式得l ≤2[x 2+(√4a 2-a 2)2]12(12+12)12=2√2·2R=4√2a ,当且仅当a 1=√4a 2-a 21,即x =√2a 时,等号成立.此时,√4a 2-a 2=√4a 2-(√2a )2=√2a ,即长方形ABCD 为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4√2a .。

人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》

2 2 2 2
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式

解答
(2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值. 解由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1) ≥a2×2＋3b×3＋c×12 ＝(a＋b＋c)2＝16，即14a2＋19b2＋c2≥87，
11 当且仅当22a＝33b＝1c，即 a＝87，b＝178，c＝27时等号成立，
跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；
解因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立. 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得 ai＝kbi (i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二一般形式的柯西不等式

柯西不等式和排序不等式

柯西不等式设1a ，2a …n a 及1b ，2b …n b 为任意实数，则有不等式222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立，其中当且仅当1b =2b …=n b =0或i i a kb =（1,2,,i n = ）等号成立。

这就是著名的柯西（Cauchy ）不等式。

柯西不等式的证明利用二次函数证明柯西不等式构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nnn n n na a a x ab a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥ 且()0f x ≥恒成立()()()2222211221212440nnn n nn a b a b a b a a a bb b ∴∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n nna b a b a b a a a bb b +++≤++++++其中当且仅当()01,2i i a b k i n -== 即 1212=n na a a kb b b ===时等号成立。

利用不等式的基本性质证明柯西不等式根据高中所学习的基本不等式，实数0,0a b a b a b a b <⇔-<->⇔>所以，要证明 222111nn n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，只需证 22210n n n i i i i i i i i a b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑证明： 2221n n n i i i i i i i ia b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =221111n n n ni j i i j j i j i j a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ =221111nnnniji ijji j i j ab a b ab ====-∑∑∑∑=2222111111122n n n nnni ji i j j j i i j i j i j a b a b a b a b ======⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑=()222211122nnij i i j j j ii j a b a b a b a b ==-+∑∑=()21112n nijj i i j a ba b ==-≥∑∑故 222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 当且仅当0i j j i a b a b -=(1,2,,)i j n = 、i ia kb ⇔=(k 为常数，1,2,,i n = )时，上式等号成立。

高考数学(文)一轮复习文档：选修4-5 不等式选讲第3讲柯西不等式与排序不等式 Word版含答案

第3讲柯西不等式与排序不等式,)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值．考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)，将2x －y －2z ＝6代入其中，得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)，即x 2＋y 2＋z 2≥4，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值．根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y ＋2z )2≤9×25，所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b.2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32., )1．设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4，即1a ＋1b≥2. 当且仅当a ·1b＝b ·1a，即a ＝b 时取等号，所以当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.3．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．5．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2，所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.7．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝·≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围； (2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，所以a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是．10．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n ， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2，…a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1，以上n 个式子两边相加得n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2，两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn ≥a 1＋a2＋a 3＋…＋a n n，结论得证．不等式选讲1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．1．(选修45 P19习题1.2T5，P17例5改编)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x ≤2）2（2<x ≤4）2x －6（x >4）. 结合函数y ＝f (x )的图象知，不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112.2．(选修45 P16例3、P35例3改编)已知函数f (x )＝|3x －1|.(1)设f (x )≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为a max ，最小元素为a min ，求a max －a min ； (2)若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝a max ，求1a ＋1b的最小值．(1)f (x )≤2，即为 |3x －1|≤2，所以－2≤3x －1≤2，即－13≤x ≤1.所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤ x ≤1. 即a max ＝1，a min ＝－13，a max －a min＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝43.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b 为正实数，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，即1a ＋1b ≥4，所以1a ＋1b的最小值为4.3．(选修45 P20习题1.2T9，P37习题3.1T8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的范围；(2)若g (x )＝x ，且p >0，q >0，p ＋q ＝1，x 1，x 2∈ (1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1.即|x －3|＋|x －4|的最小值为1.所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a ≥1. 法二：设f (x )＝|x －3|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4.函数f(x)的图象为所以f(x)min＝1.则f(x)≤a的解集不是空集时，a≥1.(2)证明：由p>0，q>0，p＋q＝1，要证不等式pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)成立，即为证明p x1＋q x2≤px1＋qx2成立．(*)法一：(分解法)要证(*)成立，即证(p x1＋q x2)2≤(px1＋qx2)2成立．即证：p2x1＋2pq x1x2＋q2x2≤px1＋qx2，即证px1(1－p)＋qx2(1－q)－2pq x1x2≥0.因为p＋q＝1.只需证pqx1＋pqx2－2pq x1x2≥0成立．即证(x1－x2)2≥0.因为(x1－x2)2≥0显然成立．所以原不等式成立．法二：(柯西不等式法)因为(p x1＋q x2)2＝(p·px1＋q·qx2)2≤＝(p＋q)(px1＋qx2)因为p＋q＝1.所以(p x1＋q x2)2≤px1＋qx2.所以p x1＋q x2≤px1＋qx2.即pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．4．(选修45 P19习题1.2T5，P45习题3.3T4改编)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈ (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以，要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立．。

柯西不等式与排序不等式

(a + b )(c + d )
2 2 2 2
联
想
一:二维形式的柯西不等式
定理１定理１：（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）实数，若都是 a,b,c,d 实数，则
(a + b )(c + d ) ≥ (ac + bd)
2 2 2 2
2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．时等号成立．定理１：（二维形式的柯西不等式）定理１二维形式的柯西不等式）实数，若都是 a,b,c,d 实数，则
α(a,b) 2 (a + b θ )(c + d ) ≥ (ac + bd)
2 2 2 2
x ad = bc 时等号成立．时等号成立．当且仅当
O
定理３定理３：（二维形式的三角不等式）二维形式的三角不等式）设 x1 ,y1 ,x 2 ,y 2 ∈ R, 那么
(x12 + y12 )+ (x 2 2 + y 2 2 ) ≥ (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2
(x12 + y12 + z12 )+ (x 2 2 + y 2 2 + z2 ) ≥ (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2 +(z1 - z2 )2 2
推广; 推广;设x1,x2, …,xn,y1,y2, …,yn∈R,那么 ,x ,y R,那么
(x12 + x 2 2 + + x n 2 )+ (y12 + y 22 + + y 2 ) ≥ (x1 - y1 )2 +(x 2 - y 2 )2 + (x n - y n )2 n

第三讲柯西不等式与排序不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式2．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;．会应用柯西不等式解决函数最值，方程、不等式等的一些问题一、课前准备知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2．如果,a b R ∈, 那么222a b a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 当0,0a b >>时，由222a b a b +≥⇒基本不等式：二、新课导学（一）二维形式的柯西不等式1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d +++.当且仅当时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a db c b d++=+++222()()()a c b d =++当且仅当时, 等号成立.证法2.（构造法）分析：22222()()()a c b d a b c d +++⇐22222[2()]4()()0a c b d a b c d +-++而22222[2()]4()()a c b d a b c d +-++的结构特征那么，证：设22222()()2()f x a b x a c b d x c d =+-+++， ∵ 22()()()f x a x c b x d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证. 证法3.（柯西不等式的向量形式）设向量(,)ma b =，(,)n c d =，则||m =，||n =.∵ m n⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式1.若,,,a b c d R ∈，则_a c b d +_a c b d +；变式2.若,,,a b c d R ∈；变式3. （三角不等式）若1122,,,x y x y R∈推论：若123123,,,,,x x x y y y R ∈，则≥3. 二维柯西不等式的应用：例1．（1）已知,a b 为实数，求证： 4422332()()()a b a b a b ++≥+ （2）设,,1a b R a b +∈+=，求证：114ab+≥例2．（1）求函数y =（2）若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点。

人教版高中数学选修第三讲.柯西不等式与排序不等式ppt课件

x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式）设
x1,
2 1
y
2 1
1
,
x 2,
2 2
，那么 y2 R
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y
2 2
11
2. 已知a b 1, 求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二.一般形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式:
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式：
m ( a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd | m | a | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n |
2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b) ( ) 4 a b

第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(排序不等式)

数组（ L 数组（b1，b2，b3，，bn）的乱序和将 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1称为反序和将 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn称为顺序和
探究
S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a nc n 乱序和 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1 反序和 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 + L + a n b n 顺序和之间的大小关系
设 0 < a1 < a 2 < a 3 < L < a n 0 < b1 < b2 < b3 < L < bn
反序排序原理）定理：（排序不等式，又称排序原理）：（排序不等式
设a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ L ≤ a n，b1 ≤ b2 ≤ b ≤ L ≤ bn 为两组实数， L 为两组实数，c1，c2，c3，，cn 是b1 , b2 , b,L, bn 的任一排列，那么的任一排列， S1 ≤ S ≤ S2 S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a ncn 乱序和）（乱序和） S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a3 bn-2 + L + a n b1 反序和）（反序和） S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn 顺序和）（顺序和）当且仅当a 当且仅当a1 = a 2 = a3 = L = a n 或b1 = b2 = b = L = bn 时，反序和等于顺序和

5.4柯西不等式与排序不等式课件(人教A版选修4-5)

人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例 2 .求函数 y 5
x 1
1 0 2 x的最大值 .
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 a 1 b 4
注意应用公式： ( a b )( 1 a 1 b ) 4
练习：
1 .已知 2 x 3 y 6 ,
2 2
求证x 2y
11
2 .已知 a b 1,
2 2
求证 | a c o s b s in | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二一般形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
又因
1
1
2
2

1
3
2
...
1
n
2
由排序不等式，得： a3 an b3 bn a2 b2 a 1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯

一
二
维
形
第
式
三
的
讲
柯
西
不
等
式
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
考点一考点二
一
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥ ( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)；
利用柯西不等式证明不等式
[例 1] 已知 θ 为锐角，a，b∈R＋，求证：coas22θ＋sibn22θ≥(a ＋b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明] ∵coas22θ＋sibn22θ
＝coas22θ＋sibn22θ(cos2θ＋si＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
侧时，等号成立．
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系有|P1P3| ＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3 共线，并且点 P1，P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，

讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式

讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。

排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。

二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。

背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。

当且仅当ad=bc时，等号成立。

排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。

二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。

其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。

CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式

故( －3t＋12＋ t)max＝4.(10分)
归纳升华根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决参数的范围、不等式恒成立等综合问题．
[类题尝试] 把一根长为12 m的细绳截成三段，各

围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正
方形面积之和S最小，并求此最小值．
小，最小面积为3 m2.
1．理解并记忆三种形式取“＝”的条件． (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．
2．二维形式的柯西不等式的变式． (1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2· c2＋d2≥ac＋bd. 3．对柯西不等式一般形式的说明．一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
即x＝
37 6
，y＝
28 9
，z＝
22 15
时等号成立，此时umax＝
2 30.
归纳升华 1．先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的． 3．有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．

高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式高效整合课件

∴a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
①
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d.
bcda
又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
利用柯西不等式求最值
柯西不等式、排序不等式的实际应用
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式、排序不等式解决有关的实际问题，关键是从实际情境中构造两类不等式的模型．
等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
≥x＋2y＋z. 证明： ∵x，y，z 是正实数，令

a＝

yx＋z，
xy＋z，
xz＋y，b＝
y＋z，a|2·|b|2

∴

x y＋z·
y＋z＋
y x＋z·
x＋z＋
z x＋y·
x＋y

2≤y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y·[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)] 即：(x＋y＋z)2≤2y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y(x＋y＋z) ∵x，y，z 是正实数， ∴x＋y＋z>0 ∴y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y≥x＋2y＋z.
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y －6)2达到最小值．