人教新课标版数学高二-2-2导学案 2.3数学归纳法

2.3数学归纳法 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名

【学习目标】

1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.

【自主学习】

对于一个与正整数有关的等式

n (n －1)(n －2)…(n －50)＝0.

思考1 验证n ＝1，n ＝2，…，n ＝50时等式成立吗？

思考2 能否通过以上归纳出n ＝51时等式也成立？为什么？

(1)数学归纳法的定义

一般地，证明一个与 n 有关的命题，可按下列步骤进行：

归纳奠基―→证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立

↓

归纳递推―→假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

(2)数学归纳法的框图表示

【合作探究】

类型一 用数学归纳法证明等式

例1 (1)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．

(2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n .

跟踪训练1 用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝n 2n ＋1

(n ∈N *)．

类型二 利用数学归纳法证明不等式

例2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1

.

跟踪训练2 用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124

(n ∈N *)．

类型三 归纳—猜想—证明

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)

且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；

(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．

跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n

－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性．

【学生展示】探究点一、二

【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题

【当堂检测】

1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N )第一步应验证( )

A ．n ＝1

B ．n ＝2

C ．n ＝3

D ．n ＝4

2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝

1－a 2n ＋2

1－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )

A ．1＋a

B ．1＋a ＋a 2

C ．1＋a ＋a 2＋a 3

D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4

3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：

(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2

＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋

11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．

上述证明的错误是________．

4．请观察以下三个式子：

(1)1×3＝1×2×96

； (2)1×3＋2×4＝2×3×116

； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136

， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．

【小结作业】

小结：

作业：对应限时练