《1.1.1探索勾股定理》导学案

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北师大版八年级上册导学案 1.1.1探索勾股定理(第一课时)(无答案)

2.阴影部分n加油是一个正方形，则此正方形的面积为_______________。
n加油3.若△ABC中，∠C=90°，（1）若an加油=5，b=12，则c=；（2）若a=n加油6，c=10，则b=；（3）若a∶b=3n加油∶4，c=10，则a=，b=.
★例２★
n加油如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部1n加油2米处,旗杆折断前有多高？
A.1 B.2 C.n加油3 D.4
【导形的面积为1，则
第个图中， =， =， =.n加油
第个图中， =，n加油 =， n加油=.
你是怎样数出方格纸中正n加油方形C的面积的？
【探究新知】
1.仔细观察课本P2图1-2和图1-3，回答下列问题n加油:
(1)在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多n加油少个小方格？它们的面积各是多少？
通过这种n加油关系你发现了什么？
★勾股定理★：(1)文n加油字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)符号语言：∵ （已知）
n加油∴n加油（勾股定理）
n加油合n加油作交流图例1图
【合作交流】
n加油如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距n加油离底部6m，那么需要多长的钢索？n加油n加油
★跟踪练习2★
4.n加油在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的n加油长为（）
A.5 B.12n加油C.13 D.18
5.n加油已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cm， cm，则Rt△ABC的面积为（）
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2
6.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?

北师大版八年级数学上册1.1.1探索勾股定理教案

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如勾股定理还可以用在哪些场合？
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
4.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长等；
5.能够运用勾股定理证明一些简单的几何问题。
本节课将结合实际案例，引导学生通过观察、探索、验证和运用，深入理解勾股定理，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。二 Nhomakorabea核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑思维能力，通过探索勾股定理的过程，使学生能够运用数学语言进行严谨的逻辑推理；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式a² + b² = c²以及如何正确运用这个公式。对于难点部分，比如定理的证明，我会通过动画演示和教具操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题，如计算不同形状的直角三角形的边长。
首先，我意识到在讲授理论部分时，需要更注重直观演示和引导。尤其是勾股定理的证明过程，可以通过更多实际操作和动画演示，让学生更直观地理解。这样，他们就能更好地把握定理的本质，而不是仅仅记住一个公式。
其次，在实践活动中，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节表现得很积极，这说明他们喜欢动手操作和合作学习。今后，我可以多设计一些这样的活动，提高学生的参与度和兴趣。
2.提高学生的空间想象力，通过直角三角形的实际操作，让学生在脑海中形成清晰的空间图形，并能够灵活运用勾股定理解决问题；

八上11探索勾股定理1导学案.doc

8厘米的直角三角形。

①请你量出斜边c的长1. 1.1探索勾股定理导学案【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识, 主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。

2、准备一张坐标纸【自学探究】1、分别作出直角边长为3厘米和4厘米直角三角形以及直角边长为6厘米和②、进行有关的计算。

⑴a2+b2= c2=(2) a2+b2= c2=③、得出结论:2、思考:如果下图中小方格的边长是1,观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？(1)(2)/\/\/\// (、、\7(、A\/\/ 、/、B/E/ C/A\(f/ 、/(£9-/ X、、/L B打3-14图形A的面积B的面积C的面积A、B、C面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

【今日作业】1.求出下列直角三角形中未知边的长度。

2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积3、求下图中字母所代表的正方形的面积2、求出下列各图中x 的【巩固练习】1.在ZXABC 中，ZC = 90°, (1)若 a = 5, b = 12,贝U c= ________________ (2)若 c = 41,a = 9,贝ljb= ______________2.等腰AABC的腰长AB = 10cm,底BC为16cm,则底边上的高为__________ ,面积为3.AABC 中，AB = 15, AC = 13,高AD = 12,则AABC 的周长为()A. 42B. 32C. 42 & 32D. 37 & 334.一个抽斗的长为24cm,宽为7cm,在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？【延伸拓展】1.若正方形的面积为2cm2,则它的对角线长为2cm ()2.已知四边形ABCD 中，AD〃BC, ZA = 90° , AB = 8, AD = 4, BC = 6,则以DC为边的正方形面积为____3.在AABC 中，ZACB = 90° , AC = 12, CB = 5, M、N 在AB 上且AM=AC, BN= BC则MN 的长为()A. 2B. 26C. 3D. 46.___________________________________________ 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A, B, C, D的面积之和为_________________________________________________ c m2.7.___________________________________________________________________ —个直角三角形的三边长为3、4和a,则以a为半径的圆的面积是 __________________________。

1.1.1探索勾股定理(教案)

-学会运用勾股定理解决问题：通过实际例题，让学生掌握如何运用勾股定理求解直角三角形的斜边或直角边的长度，强调在实际问题中的应用。
-掌握勾股定理的证明方法：讲解几何拼贴法和代数推导法两种证明方法，帮助学生理解定理的严谨性。
举例：在直角三角形ABC中，设a、b分别为直角边，c为斜边，则勾股定理可表示为：a² + b² = c²。
4.培养学生的数学文化素养，了解勾股定理的历史背景，感受数学在人类文明发展中的价值，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念：勾股定理是指直角三角形中，直角边（即“勾”和“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方。重点讲解直角三角形的边长关系，使学生明确勾股定理的核心内容。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
另外，小组讨论的环节也让我看到了学生们的合作精神和解决问题的能力。他们能够积极地参与到讨论中，提出自己的见解，也能倾听同伴的意见。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我适时地引导他们回到正题上。这可能提示我在设置讨论主题时，需要更加明确和具体，以便学生们能够更有针对性地展开讨论。
此外，我觉得在课程中增加实验操作环节是一个不错的尝试，它能够让学生们通过动手实践来加深对勾股定理的理解。但在操作过程中，我也发现有些学生对于实验的步骤和目的不够清晰，导致实验效果不尽如人意。因此，我需要在下一次的实验前，更详细地解释实验步骤和目的，确保每个学生都能够从实验中获得收获。

八年级数学上册 1_1 探索勾股定理导学案1(新版)北师大版

第1节探索勾股定理【学习目标】1、通过对几种常见的勾股定理验证方法，理解数学知识之间的内在联系；2、经历综合运用知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。

3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想及数学知识间的内在联系。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：运用已有知识解决问题，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

难点：1、利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2、利用数形结合的方法验证勾股定理。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、若a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，则有a2+b2c2。

2、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ .②直角三角形中哪条边最长？。

二、自主学习1、请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：《勾股定理证明方法汇总》A BCEDFGHI①②③④⑤abc2、五巧板的制作步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，并在正方形内画图，使DF ⊥BI ，CG=BC ，HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

自己画一幅五巧板：3、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

左图：a 2+b 2 c 2 右图：a 2+b 2 c 2模块二合作探究例：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形A BCD 的面积。

（提示：延长AD 、BC 交于点E 。

6.92≈48， 3.52≈12）小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

模块三小结反思1、验证勾股定理的方法：。

2、不规则图形的面积计算方法：。

模块四形成提升1、已知直角三角形的两条直角边分别是6和8, 则斜边长为_________．2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，CD⊥AB，垂足为D．求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD．附：课外拓展思维训练在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长。

新北师大八年级数学上导学案教案(全套)

弦股勾1.1《探索勾股定理》（1）导学案主备：外国语学校【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【难点】探索勾股定理。

【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题：如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。

（小组讨论）结论：_____________________3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c +=或 222AC BC AB +=注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。

②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．，较长的直角边称为股．，斜边称为弦．．【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。

2、正方形A 的面积为______，正方形B 的面积为______。

【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。

（要求写出简单过程）（１）（２）【课堂小结】本节课有哪些收获？【课后作业】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝；（2）若c ＝15，a ＝9，则b ＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm ，一条直角边长为15cm ，则直角三角形的面积为_________cm 23、如图，求等腰△ABC 的面积。

1.1探索勾股定理(第1课时)导学案.1探索勾股定理(第1课时)导学案

1.1探索勾股定理导学案一、问题引入：（1）观察下面图1－3，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = .第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与直角三角形三边a 、b 、c 有什么关系？通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么即直角三角形的平方和等于的平方.二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1）（2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？257三、巩固提高：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）、若a=6，b=8，则c= 。

（2）、若c=13，b=12，则a= 。

（3）、若c=5，则a 2+b 2+c 2= 。

2、若直角三角形中，其中有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）A 25B 14C 7D 7或253、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 边上的高为（）A. 4.8B. 6C. 9.6D. 10四、课后检测（选用）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（） A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 .5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？第4题图。

北师大版-数学-八年级上册-数学1.1探索勾股定理导学案

1.1探索勾股定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程．2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系．【重点难点】1、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题．2、勾股定理的发现．知识概览图勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2a 2=c 2-b 2 b 2=c 2-a 2新课导引【问题链接】如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示意图，观察图中阴影部分，很显然，两个小正方形P ，Q 的面积之和等于大正方形R的面积，即AC 2+BC 2＝AB 2，这说明在等腰直角三角形ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方．在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?【点拨】对于任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这就是本节要学习的．教材精华知识点1 勾股定理如图1-l 所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：C 的面积＝B 的面积+A 的面积．现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2＝c 2．拓展 (1)由勾股定理的基本关系式a 2+b 2＝c 2还可得到一些变形关系式，如：a 2＝c 2-b 2＝(c +b )(c -b )，b 2＝c 2-a 2＝(c +a )(c -a )等．(2)在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：①在钝角三角形中，三边长分别为a ，b ,c ，c 为最大边长，则a 2+b 2＜c 2；②在锐角三角形中，三边长分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2＞c 2．直角三角形→勾股定理变式知识点2 勾股定理的证明如图1-2所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形．(1)如图l-2(1)所示，S正方形ABCD＝(a+b)2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．(2)如图l-2(2)所示，S正方形EFGH＝c2＝(a-b)2+4×12ab，所以c2＝a2+b2．如图1-3所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形．S梯形ABCD＝()2a b a b ++（）＝2×12ab+12c2，所以a2+b2＝c2．规律方法小结(1)数形结合思想：把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决．(2)方程思想：列方程解决问题．(3)割补方法：由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，．课堂检测基础知识应用题1、在△ABC中，∠C＝90°．(1)若a＝8，b＝6，求c；(2)若c＝41，b＝40，求a．2、如图1-4所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实际上到达的地点C偏离欲到达地点B24 m，结果他在水中实际游了40 m，求该河流的宽度．综合应用题3、有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?4、如图1-9所示，A，B两点都与平面镜相距4米，即AC＝BD＝4米，且A，B两点相距6米，即AB＝6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点的距离．5、如图1-10所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么买这块地毯需花多少元?探索创新题6、在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1-12（1）所示，根据勾股定理，得a2+b2=c2；若△ABC不是直角三角形，如图1-12（2）(3)所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2大小关系，并说明你的结论．体验中考1、已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为．2、如图l-13所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高线，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝cm．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2．(1)∵a2+b2＝c2，∴c2＝a2+b2＝82+62＝64+36＝100，∴c＝10．(2)∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2-b2＝412-402＝(41+40)(41-40)＝81，∴a＝9，规律．方法已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是弄清已知什么边长，求什么边长，用平方和还是用平方差．若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便．2、解：如图1-4所示，∵∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AB2＝AC2-BC2，即AB2＝402-242＝1024，∴AB＝32，∴该河流的宽度为32 m．3、分析由于木棒长为70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．理由如下：如图l-6所示，连接A1C1，AC1，在Rt△A1B l C l中，A1C12＝A1B l2+B1C12＝502+302＝3400．在Rt△AA1C1中，AC l2＝AA l2+A l C12＝402+3400＝5000，∵5000＞702，∴AC1＞70(cm)．∴70cm长的木棒能放入这个木箱中．【解题策略】解决此题的关键在于明确AC l的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．解：作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于O点，则O点就是光的入射点，连接OB．∵AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD＝12AB＝3米．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，∴OB2＝32+42＝25，∴OB＝5(米)．即B点与入射点的距离是5米．【解题策略】勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．5、分析从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC的长，竖直方向的长度和为BC的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC的长，再求AC+BC即可．解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16，∴AC＝4(米)．∴地毯长度为AC+BC＝4+3＝7(米)，∴地毯的总面积为7×2＝14(平方米)，∴需花30×14＝420(元)．6、解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；若△ABC为钝角三角形(∠C为钝角)，则有a2+b2＜c2．理由如下：(1)当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a-x.根据勾股定理，得b2-x2＝c2-(a-x)2，即b2-x2＝c2-a2+2ax-x2,∴a2+b2＝c2+2ax．∵d＞0，x＞O，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．(2)当△ABC是钝角三角形时(∠C为钝角)，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD＝x，则BD2＝a2-x2．根据勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2，即b2+2bx+x2+a2-x2＝c2，∴a2+b2+2bx＝c2．∵b＞0,x＞0,∴2bx＞0．∴a2+b2＜c2．【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想．体验中考1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理，不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论．①当第三边为斜边时，32+42＝52，第三边长为5；②当4为斜边长时，42-32＝7故填52、分析在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝12BC＝12×6＝3(cm)．在Rt△ABD中，AD2＝AB2-BD2＝52-32＝16，∴AD＝4(cm)．故填4．规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解．。

北师版八年级上册数学-1.1探索勾股定理(教案)

（3）判断勾股数时，理解并运用整数、平方数等数学概念；
（4）应用勾股定理逆定理时，识别并分析三角形的边长关系。
举例1：在勾股定理的证明过程中，教师可以通过动态演示或实物模型，帮助学生理解几何图形的构造和面积关系，以便突破这一难点。
举例2：在实际问题中，教师可以设置一些典型例题，如计算建筑物的高度、斜坡的长度等，指导学生如何将勾股定理应用于实际问题，突破计算难点。
4.了解勾股数及其性质，能够判断一组数是否为勾股数；
5.能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
本节课将结合教材内容，通过实例讲解、学生互动、练习巩固等环节，帮助学生深入理解勾股定理及其应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理与数学抽象能力，通过探索勾股定理的过程，理解数学知识之间的内在联系；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式及其证明过程这两个重点。对于难点部分，如几何图形的构造和面积关系的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作直角三角形的模型，并验证勾股定理。
（二）新课讲授（用时10分钟）

1.1探索勾股定理(1)导学案

第一章勾股定理导学案1.1探索勾股定理（第1课时）年级：八班级：学生姓名：制作人：一、学习目标：（1分钟）1、自主、合作探究勾股定理；2、掌握勾股定理；3、会用勾股定理解决实际问题二、预习教材：（5分钟）（一）、预习教材P2---P4 （二）、思考：直角三角形的三边存在着怎样的平方关系？我们把这种关系称作什么定理？用关系式怎么表示？我们为什么把它叫做“勾股定理”？勾股定理在西方又叫做什么定理？课本上用什么方法进行初步验证？勾股定理有什么用处？三、探索发现：（12分钟）1、等腰直角三角形观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A 、正方形B 和已计算的正方形C 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？发现： + = 。

2、一般直角三角形观察图6，对于一般直角三角形，正方形A 、正方形B 、正方形C 面积又有什么关系呢？发现： + = 。

3、正方形面积与直角三角形三边的关系（分组讨论，交流并发言）若我们设两条直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？结论：由于正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积，所以（关系式）即：两条直角边的平方和等于斜边的平方。

四、归纳总结：（5分钟）1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b ，斜边为c ，那么（关系式），即：（文字表达）。

注意：勾股定理研究的是直角三角形中边与边的关系，所以，勾股定理只在直角三角形中才适用。

2、数学小史：勾股定理是（填一国家）最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为，“勾股定理”因此而得名。

在西方一般称为定理。

五、典例导学：（5分钟）例1：如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？例2：见课本P3想一想，回顾情景。

六、检测巩固：（15） 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c += （）（2）在直角三角形中任意两边的平方和等于第三边的平方。

1.1《探索勾股定理》教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.了解勾股定理的历史背景，体会数学在人类文明发展中的地位和作用。
本节课将引导学生通过观察、实践、探讨等环节，深入理解勾股定理，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探索勾股定理的过程，培养几何直观和逻辑思维能力，提高数学抽象和问题解决的核心素养。
2.引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养数学建模和数学运算的核心素养。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”（如测量墙壁斜面的长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的概念和计算方法这两个重点。对于难点部分，如平方和的理解，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。

1.1、探索勾股定理导学案(1)

3.1、探索勾股定理导学案一、教学目标用数格子（或割、补等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

二、知识回顾∶你对直角三角形已经有哪些认识了呢？三、探究活动：1.动手画画、动手算算、动脑想想•在纸上任意作出一个直角三角形，分别测量它们的三边长，填好下表且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？（其中a ，b为两直角边长，c是斜边长）结论(a2 b2 c2可能的关系)：2．（1）观察下图，并回答问题：正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.(2)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A ，B ，C 的面积关系吗？结论：3.观察下面两幅图：填表：（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．4.如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积5.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

勾股定理：你认为在这个定理中我们要注意什么呢？• 1.勾股定理揭示的是直角三角形的关系。

• 2.勾股定理只适合于三角形。

• 3.如果用a 、b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有: • 4.在使用勾股定理时，要先弄清楚边和边。

四．巩固应用五．谈收获六、当堂检测1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度七．作业A 习题3.1 1 ， 2B 4?225100x17。

八年级数学上册 1.1 探索勾股定理导学案1(新版)北师大版(2)

1.1 探索勾股定理(一)自学目标：通过用测量和数格子的办法探索勾股定理，感受直角三角形奇妙的三边关系，发展我们的推理意识，主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

能记住勾股定理，并能对其进行变形。

会运用勾股定理，解决已知直角三角形的两边求第三边长的问题。

自学准备：我们知道，任意三角形的三条边都满足三边定理：三角形的任意两边之和____第三边，任意两边之差_____第三边。

直角三角形满足此定理吗？想一想tR△ABC中，BH⊥AC,请用两种方ABC的面积。

=∆ABCS_______________;=∆ABCS_______________;∴:____________即：______________.由此可得结论：直角三角形两条直角边的乘积等于____________________________________________.此外，直角三角形的三边还存在着特殊的关系，就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

自我探究，获取新知：做一做在纸上任意画若干个直角三角形，分别测量他们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？（注：可借助计算机）并把测量和计算结果整理出来。

观察教材图1—2，正方形A中有____个小方格，即A的面积为____个面积单位。

正方形B中有___个小方格，即B的面积为___个面积单位。

正方形C中有____个小方格，即C的面积为___个面积单位。

你是怎样得出上面结果的？正方形A、B、C之间的面积有什么关系？教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？如果直角三角形两直角边分别是6.1个单位长度和4.2个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。

小组合作，共同提高：议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角形的两条直角边的______等于斜边的______.我国古代把直角三角形中较短的直角边成为勾，较长的直角边成为股，斜边成为弦。