抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
第一讲 抽屉原理(二)
抽屉原理(二)把所有整数按照除以某个自然数m 的余数分为m 类，叫做m 的剩余类或同余类，用[0],表示. 每一个类含有无穷多个数，例如中含有[1]m −[1],[2],[3],...,[1]1,21m m ++3m 1,1+,，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n +1个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数.1. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.2. 求证: 从47个正整数中，一定可以找到两个正整数的差是46的倍数．3. 求证: 存在正整数使得. i N47|111i "个4. 从任意13个自然数中，总可以找到若干个数，它们的和是13的倍数． 1213,,,a a a "5. 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.6. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.7. 对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.8. 证明：17个整数中，必可找到5个数，这5个数之和为5的倍数.9. 任给12个整数，证明：其中必存在8个数，将它们用适当的运算符号连起来后运算的结果是3 465的倍数.10. 对任给的63个互异的正整数，试证：其中一定存在四个正整数，仅用减号，乘号和括号将它们适当地组合为一个算式，其结果是1984的倍数．1,,a a "6311. 试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个正整数，仅用减号、乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数。
12. 郑老师和肖同学是足球迷，同时又对趣味数学题感兴趣. 一次在看足球比赛时，肖同学说：我知道红方有20名队员，编号恰好是1到20,，今天上场的11名队员中，一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。
郑老师听后点点头，接着说：我还知道红队上场队员中每四名队员中，必定有两名队员号码之差是3的倍数。
六年级下第19讲抽屉原理二
六年级下第19讲抽屉原理二在数学的奇妙世界里，抽屉原理是一个非常有趣且实用的知识。
之前我们已经学习了抽屉原理一，现在让我们一起来探索抽屉原理二。
首先，咱们来回顾一下什么是抽屉原理。
简单地说，就是如果把 n ＋ 1 个物品放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放有两个或者更多的物品。
那抽屉原理二又是什么呢？它是抽屉原理的进一步拓展和深化。
比如说，把多于 mn 个物品任意放进 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里的物品数量不少于 m ＋ 1 个。
为了更好地理解这个原理，咱们来看几个具体的例子。
假设现在有10 支铅笔，要放进 3 个文具盒里。
按照抽屉原理二，如果平均每个文具盒放 3 支铅笔，那么 3 个文具盒一共放了 9 支铅笔，还剩下 1 支铅笔。
这剩下的 1 支铅笔无论放进哪个文具盒，都会使得其中一个文具盒里至少有 4 支铅笔。
再比如说，有 25 个苹果，要放进 6 个篮子里。
如果平均每个篮子放 4 个苹果，那么 6 个篮子一共放了 24 个苹果，还剩下 1 个苹果。
这个剩下的苹果不管放进哪个篮子，都会导致有一个篮子里至少有 5 个苹果。
那么，我们在解决实际问题的时候，怎么运用抽屉原理二呢？比如这样一道题：一个班级有 40 名学生，他们的数学考试成绩分别为 60 分到 100 分之间的整数。
那么，至少有几名同学的成绩是相同的？咱们来分析一下，60 分到 100 分一共有 41 个不同的分数。
把这 41 个分数看作 41 个抽屉，把 40 名学生看作 40 个物品。
40÷41 ＝ 040，平均每个抽屉放 0 个物品，还剩下 40 个物品。
所以至少有 1 个抽屉里会有 1 个或更多的物品，也就是说至少有 2 名同学的成绩是相同的。
再看这道题：从 1、2、3、、100 这 100 个数中，任意取出 51 个数。
证明：其中一定有两个数的差等于 50。
我们可以把这 100 个数分成 50 组：（1，51）、（2，52）、（3，53）（50，100）。
抽屉原理(带答案)
精心整理抽屉原理(一)抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉知3分析与解：关键是构造合适的抽屉。
既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。
除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21=2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
例2夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？的有3334名怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。
这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。
由1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。
也就是说这个班最多有41人。
同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？例4五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。
张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。
那么，这个班最少有多少人？分析与解：由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出，应该以各题得分情例31，2，4总数与女孩总数都是偶数。
分析与解：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。
将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。
即这五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。
抽屉原理
抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。
这就是“抽屉原理”。
道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。
用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。
抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。
以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。
它是一个重要而又基本的数学原理。
应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。
举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。
试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。
最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。
以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。
2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。
（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。
）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
(小学奥数讲座)抽屉原理(二)
抽屉原理(二)导言：这里介绍除最不巧原则之外的另一种思维来解答抽屉原理问题。
先让我们来做个试验，把4个苹果放在3个抽屉里，会出现什么情况？我们把这几种情况分别表示出来：4=4+0+0；4=3+1+0；4=2+2+0；4=2+1+1。
观察上面放苹果的各种情况，我们发现，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个苹果。
像这种现象，我们称之为抽屉原理。
它是由德国数学家狄利克雷最早发现的，也称之为狄利克雷原理。
我们利用这一原理，可以解决生活中很多有趣但又觉得无从入手的问题。
抽屉原理一把n+1个苹果放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉至少放了两个苹果例1．任意13名同学中，必有2名同学出生在同一个月份，为什么？解析：把13名同学当作13个苹果，把一年12个月看作12个抽屉，13=12+1，根据抽屉原理一，至少有2名同学出生在同一个月份。
这题我们也可以用最不巧原理来解答。
出生月份只有1、2、、、、12月这12种情况，最不巧的是这13名同学中的12名同学的出生月份，分别是这12种情况，互不相同。
但第13名同学肯定是12种情况中的一种，这样，至少有2名同学出生在同一个月份中。
例2．有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。
一次摸出8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。
解析：把红、黄、蓝、白4色小球看作成4个抽屉，8个小球看作8个苹果，因为8=4+4，根据抽屉原理一，至少有2个小球的颜色是相同的。
例3．在长度是10厘米的线段上任意取11个点，试说明至少有2个点间的距离不大于1厘米？解析：把长度10厘米的线段分成10等份，那么每段长都是1厘米，我们把这样的每段看成一个抽屉，共有10个抽屉。
把11个点放入10个抽屉中，根据抽屉原理一，必有2个点放在同一个抽屉中，所以，至少有2个点间的距离不大于1厘米。
例4．用红、黄两种颜色将下图中的小方块随意涂色，每个小方格涂一种颜色，那么，必有两列方格中所涂颜色完全相同。
抽屉原理
抽屉原理、最不利原则知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．知识框架：认识——抽屉原理解决的是存在性问题操作——构造抽屉的方法：从问题出发，相同即为抽屉；从数量出发：少的就是抽屉。
1、袋中取球；2、数的整除演练——抽屉原理的逆向应用代数细想最不利原则最糟的情形+1就能保证完成目标一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。
只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。
（2）物品是“任意放”到抽屉中。
（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。
（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。
原理讲解：只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。
当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。
n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。
最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。
此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。
每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。
在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。
抽屉原理2（加强版的抽屉原理）将m件物品任意放入n个抽屉（m>n），（1）当m是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于m÷n件；（2）当m不是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于[m÷n]+1件。
抽屉原理2
抽屉原理2
抽屉原理，又称为鸽巢原理，是数学中的一个基本原理，它指出如果有n个物体放进m个抽屉，其中n大于m，那么至少有一个抽屉里面至少有两个物体。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用，不仅在数学领域，也在计算机科学、生活中的整理和分类等方面都有着重要的作用。
抽屉原理的第二个版本是指对于有限个抽屉的情况下，如果抽屉的数量小于待放入物品的数量，那么至少有一个抽屉里面放入的物品数量是相同的。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用。
比如，在一个班级里，如果有11个学生，而只有10个座位，那么至少有一个座位上会有两个学生。
这个原理也可以应用于生活中的其他方方面面，比如在购物时，如果有8个苹果要放进7个袋子里，那么至少有一个袋子里会有两个苹果。
抽屉原理2的应用不仅仅局限于数学和生活中，它也在计算机科学中有着重要的应用。
比如在数据结构中，如果有n个数据要放入m个存储空间，其中n大于m，那么至少有一个存储空间里面会有两个数据。
这个原理在算法设计和优化中有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和设计算法。
抽屉原理2的应用还可以延伸到生活中的整理和分类。
在家里收纳物品时，如果物品的数量大于收纳空间的数量，那么就需要合理地利用抽屉原理2，将物品进行分类整理，以便更好地利用有限的空间。
这样不仅可以让家里看起来更加整洁，也可以更方便地找到需要的物品。
总之，抽屉原理2在数学、计算机科学和生活中都有着重要的应用。
它帮助我们更好地理解和处理问题，让我们在面对大量数据和有限资源时能够更加合理地进行分类和整理。
通过合理地利用抽屉原理2，我们可以更好地提高工作效率，提高空间利用率，让生活变得更加有序和高效。
小学六年级奥数第30讲 抽屉原理(二)(含答案分析)
第30讲抽屉原理（二）一、知识要点在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
二、精讲精练【例题1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。
则364=120×3+4，4＜120。
根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。
练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？【例题2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×4+1=9（个）球。
列算式为（3—1）×4+1=9（个）练习2：1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。
《抽屉原理》(二)
（二）
最不利原则
运用抽屉原理解题时，要从最不利的 情况出发，分析问题。只有用最不利 条件下能实现的做法，才可以使这个 任务必能完成。因此，解题时要全面 分析题中条件，找出最不利的因素， 再选用万无一失的方法。
【例1】有红、黄、蓝色手套各10只，最少 要取出多少只才能保证其中有2双颜色不相 同的手套？
【例2】一付扑克牌除了大、小王有4种花色，每 种花色有13张，从中任意抽牌，问至少抽多少张 才能保证有4张牌是同一花色的？ 【分析】“除了大、小王”，也就是说被抽取的牌 不包括大、小王。
从最不利的情况考虑：从这付扑克牌中先抽出了 每种花色各3张牌，这时从剩下的4种花色牌中任 意抽一张牌，必能和原有的同花色3张牌凑成了同 一花色4张牌。
（2）一次至少要摸出多少只袜子才能 保证一定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双） （2）如果没有颜色不同的两双袜子， 那么最不利情况是成双成对的袜子都 是同一种颜色的，这时最多有9 +1+1+1+1 =13（只）袜子。因此至少 摸出14 只才能保证有两双颜色不同 的袜子。
【解析】：至少摸出11+12 + 2 + 2 +1 = 28（个）零 件才能满足要求。
3．将1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜 子、8 只黄袜子和9 只绿袜子放入一个布袋 里。请问：
（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一 定有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一 定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双）
【分析】保证有2双颜色不相同的手套，即保证有 两种颜色的手套，每种颜色手套各有一双。 从最不利的情况考虑：第一种颜色10只手套全取 出，还缺少一双同色手套，剩下两种颜色又各取 出了1只。这时在剩下两种颜色手套中任意摸出一 只手套，就可以凑成第二双同色手套。
抽屉原理在数论中的应用
抽屉原理在数论中的应用抽屉原理（也称为鸽巢原理）是一种在数学和计算机科学中常用的基本原理。
它的基本思想是，如果有n个物体被放置在m个容器中，其中n>m，则至少有一个容器中必然包含两个或以上的物体。
抽屉原理在数论中有许多重要的应用，下面将介绍其中的几个。
1.质数分布：在数论中，质数（即只能被1和自身整除的正整数）的分布一直是一个研究的重点。
根据抽屉原理，如果我们将自然数从2开始不断进行质因数分解，那么至少存在一个质数将落入与它稍微大一点的质数的“抽屉”中。
这就表明，质数并不是均匀地分布在自然数中，而是呈现出一种趋势。
2.剩余类和模运算：在数论中，剩余类和模运算是两个重要的概念。
剩余类可以看作是将整数集合划分为不同的抽屉，而抽屉的数量则由模数控制。
抽屉原理指出，如果我们有n个不同的整数要放置在m个剩余类中，其中n>m，那么至少存在两个整数属于同一个剩余类。
这个结论在模运算的理论证明中具有重要的作用。
3.递归算法分析：在计算机科学中，递归是一种常见的算法设计思想。
抽屉原理可以用来分析递归算法的性能。
具体而言，如果一个算法的递归调用次数超过了执行路径的数量，那么根据抽屉原理，至少存在一条执行路径被调用了多次。
这就提醒我们可能存在一些冗余的计算，可以通过加入一些额外的条件来优化算法的效率。
4.哈希算法和碰撞：在计算机科学中，哈希算法被广泛应用于数据存储和领域。
哈希算法通过将数据映射到一个较小的空间（通常是一个固定大小的数组）来实现快速的查找。
然而，由于哈希算法的空间是有限的，因此可能存在多个数据映射到同一个位置的情况，即碰撞。
根据抽屉原理，当数据量超过哈希表的大小时，必然存在至少一个位置出现冲突。
这就需要我们设计一些解决碰撞的策略，以保证哈希算法的正确性和效率。
总之，抽屉原理在数论中有多种重要的应用，可以帮助我们深入理解和解决一些数学和计算机科学中的问题。
通过运用抽屉原理，我们可以得到一些重要的结论，从而推动相关领域的研究和应用的发展。
数学中的抽屉原理-精选学习文档
数学中的抽屉原理先看简单的事实：把3本书放到两个抽屉里，只有两种情况：一个一本一个二本，或一个三本一个没有。
无论哪种情况，都至少有一个抽屉里有两本或两本以上的书。
更一般地说，只要被放置的书数比抽屉数目大，就一定会有两本或两本以上的书放进同一抽屉。
（一）抽屉原理的常见式【原理一】：如果把n个东西放进n（mn）只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或两个以上的东西。
【例1】求证：在任意选取的n+1个整数中，至少存在两个整数，它们的差能被n整除。
证明：对于n+1个整数，被除所得的余数为0，1，…，n－1共n类，按余数的不同分成的n类中，至少有两个在同一类里，即这两个数被n除时所得的余数相同，那么它们的差就一定能被n整除。
【例2】幼儿园有三种塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各若干个，每个小朋友任意选择两件。
证明：不管怎样挑选，在七个小朋友中总有两个人选的玩具相同。
证明：从三种玩具中挑选两件，搭配方式共有下列六种：（兔、兔）、（兔、熊猫）、（兔、长颈鹿）、（熊猫、熊猫）、（熊猫、长颈鹿）、（长颈鹿、长颈鹿），每一种可以看作一个抽屉，七人的7种选法中，只有6种不同的搭配，由抽屉原理，七人中至少有两人挑选玩具时搭配方式相同。
【原理二】：如果把多于m×n件东西，任意放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉里有不少于m+1件东西。
【例3】在口袋里有红色、蓝色和黄色的小球若干个，21个人轮流从袋中取球，每人每次取3个球。
求证：这21个人中至少有3个人取出的颜色相同。
证明：取出的三个球颜色是同一色的（即全红、全蓝或全黄）有三种不同的情况，是两色的（如两红一蓝等）有6种情况，是三色的（即红、蓝、黄三色小球各一个）只有一种情况，故共可分成10类。
由抽屉原理二知道，把21个人所取出的球按颜色可归为这10类中，则必有一类至少有（个）。
所以，21个人中至少有3人取出的球的颜色相同。
运用抽屉原理只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。
抽屉原理知识点总结抽屉原理复习知识点.docx
抽屉原理知识点总结抽屉原理复习知识点抽屉原理是组合数学中一个重要的原理，也是小学数学的一个重点知识。
以下是本人为你整理的抽屉原理知识点总结，希望你喜欢。
抽屉原理知识点总结抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1 或多于 n+1个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理 ( “如果有五个鸽子笼，养鸽人养了 6 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 2 只鸽子” ) 。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则一如果把 (n+1) 个物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。
例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则二如果把 n 个物体放在 m个抽屉里，其中 n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n 不能被 m整除时。
②k=n/m 个物体：当n 能被 m整除时。
理解知识点： [X] 表示不超过X 的最大整数。
例 [4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;关键问题：构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
抽屉原理知识点总结：抽屉原理练习1.木箱里装有红色球 3 个、黄色球 5 个、蓝色球 7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球 ?解：把 3 种颜色看作 3 个抽屉，要符合题意，则小球的数目必须大于 3，故至少取出 4 个小球才能符合要求。
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
第8讲[1].抽屉原理(二).学生版
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一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【例 2】 红、蓝两种颜色将一个25⨯方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是第八讲：抽屉原理（二）否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第二行第一行第五列第四列第三列第二列第一列【例 3】 从2、4、6、8、 、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．【例 4】 从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【巩固】 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12．【巩固】 从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．【例 5】 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．【巩固】 从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【巩固】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【例6】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米．【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米．【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．【巩固】 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
初中数学重点梳理：抽屉原理
抽屉原理知识定位抽屉原理也叫鸽笼原理，是由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，就能很快使问题得到解决．知识梳理知识梳理1.抽屉原理1、抽屉原理1把n+1个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有2个东西。
2、抽屉原理2把m 个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k 个东西。
其中n m n m n m n m k n m n m k 表示，的倍数时不是当或的倍数时是当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)(1)(的整数部分。
上述原理称为抽屉原理。
抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。
利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西；(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3)说明理由，得出结论。
例题精讲【试题来源】【题目】某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？【答案】6【解析】我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{}n m个 ∵=3662000536617 ∴{}3662000＝6 【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
【答案】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
【解析】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
数学中的抽屉原理
抽屉原理抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。
它是组合数学中一个重要的原理。
假设有3个苹果放入2个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2个苹果，她的一般模型可以表述为：第一抽屉原理：把(mn+1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。
把多于M×N个苹果任意放到N个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有（M+1）个或（M+1）个以上的苹果。
例一：任意找出25个人，至少可以找到几个人属相相同？分析与解：25=2×12+1 2+1=3（人）例二：某校暑期组织2000名同学游览动物园、植物园、太阳岛三个地方，规定每个同学至少去一个地方，问至少有多少同学游览了完全相同的地方？分析与解：如何构造抽屉动、植、太、动植、动太、植太、动植太7个抽屉2000=285×7+5 285+1=286（人）例三：某校每周一、三、五、日各举办一次课外活动。
问至少有多少名同学报名参加，才能保证其中有10位同学参加的课外活动完全一样。
分析与解：如何构造抽屉同上题方法，共构造出15个抽屉9×15+1=136（人）若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：第二抽屉原理：把(mn-1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
制造抽屉是运用原则的一大关键例2：从1、3、5、…、29这15个奇数中，任取10个数，证明其中一定有两个数之和是34。
解：在这15个奇数中，和是34的有以下6对，{5，29}、{7，27}、{9，25}、{11，23}、{13，21}、{15，19}，另外还有3个数不能配对{1}、{3}、{17}，把这9种情况当作9个抽屉，所取的10个数当作10个苹果，根据抽屉原理，其中至少有两个数取自一个抽屉，即一定有两个数之和是34。
高中数学复习课件-2.5抽屉原理
运用抽屉原理解题步骤：
1.首先要清楚哪些元素进行分类 2.分成几个集合（抽屉） 3.构造抽屉 4.运用抽屉原则，得出结论。
例2.在坐标平面上，两个坐标都是 正整数的点，称为整点，任给5个 整点，证明其中必有两点，使得它 们连线中点也是整点。
分析1：(1）分类的对象：5个整点 （2）要找两个整点，分4个抽屉 （3）构造抽屉（奇、奇）（偶、
抽屉原理2： 把多于m*n个（不 少于m*n+1）的元素放到n个集 合（抽屉）里，则至少有一个集合 （抽屉）里有m+1个或多于m+1 个的物体。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它 是德国数学家狄利克雷首先明确的提 出来并用以证明一些数论中的问题， 因此，也称为狄里克雷原理。它是组 合数学中一个重要的原理。
抽屉原理3：
设有n个正数m1, m2 ,mn , m1 m2 mn n 则至少有一个不大于1，也至少有一个不小于1，
一般地，若m1 m2 mn 1,则至少有一项
不大于 1 ,也至少有一项不小于1
n
n
抽 屉原理
生活中的现象
桌上有十个苹果，要把这十个苹果 放到九个抽屉里，无论怎样放，有 的抽屉可以放一个，有的可以放两 个，有的可以放五个，但最终我们 会发现至少我们可以找到一个抽屉 里面至少放两个苹果。这一现象就 是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理1：“如果每个抽屉代表 一个集合，每一个苹果就可以代表 一个元素，假如有n＋1或多于n＋ 1个元素放到n个集合中去，其中 必定至少有一个集合里至少有两个 元素。”
偶）（奇、偶）（偶、奇）
分析2：（1）考虑5个整点的横坐
标，x1, x2 , x3, x4 , x5妨少1, 设有y23,x个1y,3整x2数, x相有3 应相的同纵的坐奇标偶性
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数论中的抽屉原理（组合）
一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”
1. 题型
（1）两数之和或两数之差是m
（2）两数之和或两数之差是m的倍数
2. 解题思路
题型（1）根据题意构造抽屉
题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉
二、注意事项
1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉
1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和
是34 .
2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .
3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？
4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，
每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？
6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？
7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大
是多少？
8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？
题型二：根据余数构造抽屉
1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？
3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：
（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？
4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？
5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：
最多能取出多少个数？
6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习
1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？
2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？
3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？
4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：
最多能取出多少个数？
5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。