2.函数中的二次求导
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题[优质PPT]
一.二阶导数与凸性
一.二阶导数与凸性
定义1. 设 f ( x ) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点x 1 与x 2 ,
分析 f x 的单调性受阻。
典型例题讲解
我们可以尝试再对
f x ln x 1
x
显然0 当x <1 f 时 x, 0
求导,可得f
;x当 1<f x
x
时 ,
1 x
1 x2
>f 0x
, ,ln即x 1x
在 时 0即<,(f xx区 x01间, )f时(x)0,0上此, 1为,时 减我,,函们则数通则,过有所二以次在有求区当f导间x0分1<析fx1的f单01上成x调为立性ff增。,1函x得f1数出1,x当
恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2) ,那么称 在 I 上的图形是凹的;
如果恒有2f(x1 2x2)2f(x1) 2f(x2)
,那么称 在 I 上的图形是凸的;
定理1 设 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续,在( a , b ) 内可导,那么:
(1)若在 ( a , b ) 内f ( x ) 单调增加,则f ( x ) [ 在a , b ] 上的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
间。
,求函数f (x)
f x
(1,)
解:f'(x)2ln1的(x)定x义2域2x是2(1x)ln1(x).x22x
x1 (1x)2
(1x)2
二次函数的导数与曲率计算
二次函数的导数与曲率计算二次函数是高中数学中的一个重要概念,它的导数与曲率计算是掌握二次函数性质的关键。
本文将介绍如何计算二次函数的导数和曲率,并给出相关的计算示例。
1. 二次函数的表达式与图像二次函数的一般表达式为:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线,其开口方向取决于a的符号。
2. 二次函数的导数计算导数反映了函数在某一点的变化率,对于二次函数而言,其导数可以通过求导来计算。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其导数f'(x) = 2ax + b。
例如,对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,其导数f'(x) = 4x + 3。
3. 二次函数的曲率计算曲率反映了函数图像在某一点的弯曲程度,对于二次函数而言,其曲率可以通过计算二阶导数来得到。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其二阶导数f''(x) = 2a。
例如,对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,其二阶导数f''(x) = 2。
4. 二次函数导数与曲率的计算示例例如,考虑二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先,计算导数:f'(x) = 2x - 4。
然后,计算二阶导数:f''(x) = 2。
接下来,我们可以根据导数和二阶导数的值,来分析二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的性质:(1) 当导数f'(x) = 0时,函数的斜率为零,即函数图像的切线水平。
解方程2x - 4 = 0,可以得到x = 2。
所以在x = 2处,函数图像的切线水平。
(2) 当二阶导数f''(x) = 0时,函数的曲率为零,即函数图像的凹凸性发生变化。
由于f''(x) = 2始终不等于零,说明该二次函数图像一直是凹的。
二阶导数
二阶导数二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。
一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f‘(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
1代数记法二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=(y')'。
[1]例如:y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
2几何意义(1)切线斜率变化的速度(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为:a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)3应用如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
4相关补充二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。
定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
二次函数的求导
二次函数的求导
二次函数求导是高中数学曲线分析的基础性知识,也是很多专业的入门知识,
十分重要。
那么,二次函数求导具体是什么样的呢?
首先,二次函数是指有一变量的多项式方程的平方的系数等于一,且总幂次为
二的多项式函数,即其函数图像是一条抛物线,解析函数形式为f(x)=ax2+bx+c
(a≠0)。
求导是指求函数在某点处的切线斜率,简单说就是求函数的变化速度。
求导是信息系统课件和微积分的重要内容,是求解函数的性质的一种数学方法。
求二次函数的导数可以采用基本常数值求导原理,即计算两个相邻点得出斜率,将斜率表示为函数f(x)的关于x微分。
基于二次函数f(x)=ax2+bx+c,当a>0时,其最大值点在x= -b/2a处,最小值点在x=b/2a处,对应函数的导数即其切线斜率也为此表达式。
因此,二次函数求导就是求出函数f(x)=ax2+bx+c关于x的斜率,其结果是-
b/2a。
有了这些基础,学生们可以用常数求导的原理,求出更复杂的函数的斜率;也可以基于可微分性的特性,掌握求导的多样性,逐渐深入数学的知识体系,培养深厚的数学理论功底。
(完整版)导数中的二次求导问题
2019高考数学热点难点突破技巧第03讲:导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求,导数在研究函数中的应用,既是高考考查的重点,也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式,并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用,难度较大.2、在解决有关导数应用的试题时,有些题目利用“一次求导”就可以解决,但是有些问题“一次求导”,不能求出原函数的单调性,还不能解决问题,需要利用“二次求导”才能找到导数的正负,找到原函数的单调性,才能解决问题. “再构造,再求导”是破解函数综合问题的有效工具,为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径.【方法讲评】【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数. (Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)证明:化简得,所以两边同乘可得,所以有,在对求导有,即当<<时,>0,在区间上为增函数;当时,;当<时,<0,在区间上为减函数.所以在时有最大值,即.又因为,所以.当时,同理,当时,>,即在区间上为增函数,则,此时,为增函数,所以,易得也成立.综上,得证.方法二:(Ⅰ),则题设等价于. 令,则.当<<时,>;当时,,是的最大值点,所以.综上,的取值范围是.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即.当<<时,因为<0,所以此时.当时,. 所以【点评】(1)比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出.(2)大家一定要理解二次求导的使用情景,是一次求导得到之后,解答难度较大甚至解不出来. (3)二次求导之后,设,再求,求出的解,即得到函数的单调性,得到函数的最值,即可得到的正负情况,即可得到函数的单调性.【例2】设函数(Ⅰ)若在点处的切线为,求的值;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)若,求证:在时,>.【解析】(Ⅰ)∵∴,∵在点处的切线为,即在点的切线的斜率为,∴,∴,∴切点为,将切点代入切线方程,得,所以,;(Ⅲ)∵,,∴要证:当时,>,即证:,令,则只需证:,由于,(由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式解答不出,所以要构造函数二次求导.)设所以函数在单调递增,又因为.所以在内存在唯一的零点,即在内存在唯一的零点,设这个零点为.【点评】(1)由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出,所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. (2)仅得到函数在单调递增是不够的,因为此时,所以,所以。
二次求导问题【范本模板】
二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容,又是高考的一个必考内容.近几年高考中,出现了一种新的“导数”,它是对导函数进行二次求导而产生的新函数,尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现.利用二次求导求函数的单调性[典例] 1212[思路点拨]此题可联想到研究函数f (x )=错误!在(0,π)的单调性.函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律,但大多数复合的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法,具有很强的可操作性.当f ′(x )〉0时,函数f (x )单调递增;当f ′(x )<0时,函数f (x )单调递减.[方法演示]解:由f (x )=错误!,得f ′(x )=错误!,设g (x )=x cos x -sin x ,则g ′(x )=-x sin x +cos x -cos x =-x sin x .∵0〈x <π,∴g ′(x )<0,即函数g (x )在(0,π)上是减函数.∴g (x )<g (0)=0,因此f ′(x )<0,故函数f (x )在(0,π)是减函数,∴当0〈x 1<x 2〈π,有f (x 1)>f (x 2),即a >b 。
[解题师说]从本题解答来看,为了得到f (x )的单调性,须判断f ′(x )的符号,而f ′(x )=错误!的分母为正,只需判断分子x cos x -sin x 的符号,但很难直接判断,故可通过二次求导,判断出一次导函数的符号,并最终解决问题.[应用体验]1.已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)e x -1-f (0)x +12x 2,求f (x )的解析式及单调区间. 解:因为f (x )=f ′(1)e x -1-f (0)x +错误!x 2,所以f ′(x )=f ′(1)e x -1-f (0)+x 。
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
所以,函数f (x)
的单调递(增1,0区)间是
(0,,)递减区间是
f x ex 1 x ax2
(Ⅰ)若a 0求 f x
的单调区间;
(Ⅱ)若x当 0 f x时 ,0。求a 的取值范围。
•
(2)、解:当 上
a<
0时,在区间 成立。故
a<
上0满0显, 足然题意。
,综ax上2 (1)0可得在区间
• 定理3设函数 在点 处具有二阶导数且
,
,那么
• (1) 当
时,函数 在 处取得极大值;
• (2) 当 f (x) 时,函x数0 在 处取得极小值.f (x0) 0 f (x0 ) 0
f (x0) 0
x0
f (x0) 0
x0
• 例题1、已知函数
f (x) ln 2 (1 ,x) 求x函2 数 1 x
• 凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 地判断一个函数与其导函数图像的关系。
的关系可以方便
f (x), f (x), f (x)
• 二.二阶导数与极值
• 在高中,判断函数是否在 取得极值,经常是利用函数导数在 两侧的 符号来判断。实际上,还可以利用二阶导数的符号来判断 是否为函数的
极值点。有如下的判定定理:
0 x x • 我时所出们,以当可有0<以当x尝0<;试1时x当再对1<时f ,xf时,x,则0 l求n x导> 1x,0在,,可区我即得间们通过f二上次在fx为求增x区导函,间分1x数显析,然x1的2即当f 单上x调<为 ln性减x ,函1x得数,,
此时,0, 则有
成立。
1 f x f 1 1
• 解: 的定义域是
.
f x
(1,)
的单f调( x区) 间。
高考专题:导数中的二次求导问题
导数中的二次求导问题一.考情分析:高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求,导数在研究函数中的应用,既是高考考查的重点,也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式,并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用,难度较大. 二.知识要点(为什么二次求导:)在解决有关导数应用的试题时,有些题目利用“一次求导”就可以解决,而在有些函数问题中,如含有指数式、对数式的函数问题,求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性,从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况,此时解题受阻。
需要利用“二次求导”才能找到导数的正负,找到原函数的单调性,才能解决问题. 若遇这类问题, “再构造,再求导”是破解函数综合问题的有效工具,为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径。
三、解这类题的步骤为: ①求函数的定义域;②求函数的导函数f ´(x),无法判断导函数正负; ③构造求g(x)= f ´(x),求g ´(x);④求g ´(x)>0和g ´(x)<0的解,即得函数()g x 的单调性,得函数()g x 的最值,; ⑤根据列表解答问题。
四、典型例题:例1.求函数()cos f x x x ax a =-+,π[0,]2x ∈(1a ≥)的单调区间;解:依题意 ()cos sin f x x x x a '=--.令()cos sin g x x x x a =--,π[0,]2x ∈, 则()2sin cos 0g x x x x '=--≤.所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减.因为 (0)10g a =-≤,所以 ()0g x ≤,即 ()0f x '≤, 所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2,没有单调递增区间.例2.求证:函数2()ln(1)f x x x ax =+-(0a <)存在极小值;解: 因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 设()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <,所以101x >+,210(1)x >+,20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立 所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=,所以x ,'()f x ,()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时,()f x 取得极小值,问题得证例3.求函数f(x)=sinxlnx 在区间(1,)π内的极大值的个数.解:因为()sin ln f x x x =,所以sin ()cos ln xf x x x x'=+, (1)当(1,)2x π∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 无极大值.(2) 当(,)2x π∈π时,设sin ()()cos ln '==+x g x f x x x x ,则22cos sin ()sin ln 0x x g x x x x x '=-+-<,所以()f x '在(,)2ππ内单调递减. 又因为2()02f π'=>π, ()ln 0f 'π=-π<,所以在(,)2ππ内存在唯一的0(,)2x π∈π,使得0()0f x '=.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表所以()f x 在0(1,)x 内单调递增,在0(,)x π内单调递减,此时()f x 有唯一极大值. 综上所述,()f x 在(1,)π内的极大值的个数为1. ………10分检测:1.已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+在区间(1)+∞,上存在极值点,求实数a 的取值范围.解:ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥,则当(1)x ∈∞,+时,'()0f x >,()f x 在区间(1)∞,+上单调递增,此时无极值.若0a <,令()'()g x f x =, 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时,'()0g x >,所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<,而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->,所以存在0(1e )a x -∈,,使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下:因此,当0x x =时,()f x 有极小值0()f x .综上,a 的取值范围是0()-∞,. …………15分2、已知函数()()ln f x x a x =+(0a >)有极小值,求实数a 的取值范围.解: ()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=,则221()a x a g x x x x-'=-= 令()0g x '=,解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表:①若ln 20a +≥,即2a e -≥,则()0g x ≥,所以()f x '不存在变号零点,不合题意.②若ln 20a +<,即2a e -<时,()ln 20g a a =+<,(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈,使得0()0g x =;且当0(,)x a x ∈时,()0g x <,当0(,1)x x ∈时,()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时,,(),()x f x f x '的变化情况如下表:所以20a e -<<.3.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R 在[0,1]上的最大值不小于2,求a 的取值范围;解:∵ ()e 2xf x ax '=-,当0a ≤时,因为[0,1],x ∈e 0,x>20ax -≥,故()0f x '>,即()f x 单调递增, 因此max ()(1)e f x f a ==-.依题意,当0a ≤时,max ()e e 2f x a =-≥>,所以0a ≤符合题意.当0a >时,()e 2xf x a ''=-,令()0f x ''=,有ln 2x a =,变化如下:-+故.当时,即时,,单调递增,因此. 依题意,令,有.当时,即时,,,故存在唯一使. 此时有,即,,变化如下:若,则在上的最大值小于2,所以a 的取值范围为.。
参数在二次函数二次式的导数讨论
参数在二次函数二次式的导数讨论二次函数二次式的导数是指通过对二次函数二次式的公式进行求导得到的结果。
对于一般的二次函数,其一般表达式可以写为:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c都是常数。
为了求得二次函数的导数,我们需要使用求导的基本规则。
根据求导规则,对于任意一个幂函数f(x)=x^n,其导数可以通过以下公式得到:f'(x)=n*x^(n-1)。
对于二次函数二次式f(x) = ax^2 + bx + c,我们可以对每一项进行独立的求导。
首先,根据求导规则,对于常数项c,其导数为0,因为常数的变化率始终为0;其次,对于线性项bx,其导数为b,因为线性函数的导数就是其系数;最后,对于二次项ax^2,我们需要使用链式法则来求导。
链式法则是求导中的一个重要规则,它可以表达为:如果y = g(u)和u = f(x)是两个可导函数,则复合函数y = g(f(x))的导数可以通过以下公式得到:dy/dx = g'(u)*f'(x)。
运用链式法则,我们可以讲二次项ax^2看作是g(u)函数中的u,而u = f(x)就是x的平方。
那么,对u = f(x) = x^2,其导数可以通过幂函数求导规则得到:du/dx = 2x。
综上所述,我们可以得到二次函数二次式f(x) = ax^2 + bx + c的导数f'(x) = 2ax + b。
这就是我们对二次函数二次式的导数进行讨论的结论。
接下来,我们将对导数f'(x) = 2ax + b进行讨论。
首先,我们可以发现导数f'(x)是一个一次函数,这意味着它是一个直线。
对于给定的二次函数,导数是一个关于x的线性函数,斜率为2a,截距为b。
这也意味着二次函数的导数在每个点上的值都是常数2a。
如果a为正数,那么导数的值将在整个定义域上是正值;反之,如果a为负数,那么导数的值将在整个定义域上是负值。
通过导数的正负性,我们可以判断二次函数在给定区间上的增减性。
巧用导数 高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例
巧用导数㊀高效解题以 二次求导 在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德352100)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2024)09-0052-03收稿日期:2023-12-25作者简介:陈雯娜(1995.10 )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.1二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数f(x)在区间aꎬb[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数f(x)在区间aꎬb[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数f(x)在区间aꎬb[]上的图形是凸的[1].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.2二次求导在函数问题中的应用2.1在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[2].2.1.1直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例1㊀讨论函数fx()=ln2(1+x)-x21+x的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为-1ꎬ+ɕ().对该函数求导可得:fᶄx()=2ln(1+x)x+1-x2+2x1+x()2ꎬ通分得到fᶄx()=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x1+x()2.仔细观察该函数不难发25现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设gx()=2(1+x)ln(1+x)-x2-2xꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对gx()求导可得到gᶄx()=2ln(1+x)-2xꎬ再二次求导可得gᶄx()[]ᶄ=-2x1+xꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当-1<x<0时ꎬgᶄx()[]ᶄ=-2x1+x>0ꎬ那么gᶄx()=2ln(1+x)-2x在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当x>0时ꎬgᶄx()[]ᶄ=-2x1+x<0ꎬ那么gᶄx()=2ln(1+x)-2x在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬgᶄx()=2ln(1+x)-2x在x=0时有最大值ꎬ又因为gᶄ0()=0ꎬ所以ꎬgᶄx()ɤ0.反推可知函数gx()在-1ꎬ+ɕ()上是单调减函数ꎬ在-1<x<0时ꎬgx()>g0()=0ꎬ则fᶄx()>0ꎬ函数fx()是单调递增的ꎻ当x>0时ꎬgx()<g0()=0ꎬ则fᶄx()<0ꎬ函数fx()是单调递减的.综上ꎬ可知函数fx()的单调递增区间为-1ꎬ0()ꎬ单调递减区间为0ꎬ+ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.2.1.2带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例2㊀已知函数f(x)=1-e-xꎬ当xȡ0时ꎬf(x)ɤxax+1ꎬ求a的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[3].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意xȡ0ꎬf(x)ɤxax+1ꎬ显然a的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当a<0时ꎬ若x>-1aꎬ则xax+1<0ꎬ那么f(x)ɤxax+1不成立ꎻ当aȡ0时ꎬax+1>0ꎬ由f(x)ɤxax+1移项可得ax+1()1-e-x()-xɤ0.此时ꎬ令gx()=ax+1()1-e-x()-xꎬ则gᶄx()=e-xax+1-a()+a-1ꎬgᶄx()[]ᶄ=e-x2a-1-ax().根据题干xȡ0ꎬ当aɪ0ꎬ12[]时可判断出gᶄx()[]ᶄ=e-x2a-1-ax()ɤ0ꎬ此时gᶄx()在定义域内是递减的ꎬgᶄx()ɤgᶄ0()=0ꎬ则gx()单调递减ꎬgx()ɤg0()=0ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论a的取值范围ꎬ若aɪ12ꎬ+ɕæèçöø÷ꎬ2a-1>0ꎬ令gᶄx()[]ᶄ=e-x2a-1-ax()=0ꎬ计算可得x=2a-1aꎬ当0<x<2a-1aꎬgᶄx()[]ᶄ=e-x2a-1-ax()>0ꎬ此时gᶄx()在该区间上单调递增ꎬgᶄx()>gᶄ0()=0ꎬ则gx()在0ꎬ2a-1aæèçöø÷上单调递增ꎬgx()>g(0)=0ꎬ不符合题意ꎬ所以f(x)ɤxax+1不恒成立.所以aɪ0ꎬ12[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.2.2在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数f(x)在点x处具有二阶导数ꎬ且fᶄ(x)=0ꎬfᵡx()ʂ0ꎬ那么当fᵡ(x)>0时ꎬ函数35在点x处取得极小值ꎻ当fᵡ(x)<0时ꎬ函数在点x处取得极大值.例3㊀已知函数fx()=12x2-ex+2x-1ꎬ求函数fx()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:fx()的定义域为Rꎬfᶄx()=x-ex+2ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数gx()=x-ex+2ꎬ求导可得gᶄx()=1-ex.当x<0时ꎬgᶄx()>0ꎬ当x>0时ꎬgᶄx()<0ꎬ所以gx()在-ɕꎬ0()上单调递增ꎬ在0ꎬ+ɕ()上单调递减ꎬ即fᶄx()在-ɕꎬ0()上单调递增ꎬ在0ꎬ+ɕ()上单调递减ꎬ所以fᶄ(x)max=fᶄ0()=1>0.又fᶄ-2()=-e-2<0ꎬfᶄ2()=4-e2<0ꎬ则fᶄ-2() fᶄ0()<0ꎬfᶄ0() fᶄ2()<0ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的x1ɪ-2ꎬ0()ꎬx2ɪ0ꎬ2()ꎬ使fᶄx1()=fᶄx2()=0ꎬ且当xɪ-ɕꎬx1()和xɪx2ꎬ+ɕ()时ꎬfᶄx()<0ꎬ函数单调递减ꎻ当xɪx1ꎬx2()时ꎬfᶄx()>0ꎬ函数单调递增ꎬ故fx()在x1处取得极小值ꎬ在x2处取得极大值ꎬ即函数fx()的极值点的个数为2.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.2.3在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例4㊀已知关于x的不等式2lnx+2(1-m)x+2ɤmx2在0ꎬ+ɕ()上恒成立ꎬ则整数m的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为2lnx+2(1-m)x+2ɤmx2ꎬ进行移项㊁化简可得到mȡ2lnx+x+1()x2+2x.此时ꎬ构造函数fx()=2lnx+x+1()x2+2xꎬ求导可得fᶄx()=-2x+1()x+2lnx()x2+2x()2ꎬ令fᶄx()=0ꎬ则可得到x+2lnx=0.继续构造函数ꎬ令gx()=x+2lnxꎬ对其求导可得到gᶄx()=1+2xꎬ当xɪ0ꎬ+ɕ()ꎬgᶄx()=1+2x>0ꎬ则g(x)在xɪ0ꎬ+ɕ()是单调递增函数.又g12æèçöø÷<0ꎬg1()>0ꎬ所以存在一个点tɪ12ꎬ1æèçöø÷ꎬ满足t+2lnt=0ꎬ当0<x<t时ꎬg(x)<0ꎬfᶄx()>0ꎬ则fx()在0ꎬt()上单调递增ꎻ当x>t时ꎬg(x)>0ꎬfᶄx()<0ꎬ则fx()在tꎬ+ɕ()上单调递减ꎬf(x)max=2(lnt+t+1)t2+2t=1t 1ꎬ2().因为mȡ2lnx+x+1()x2+2x在0ꎬ+ɕ()上恒成立ꎬ所以mȡ2lnx+x+1()x2+2x][maxꎬ故mȡ2ꎬ则整数m的最小值为2[4].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.3结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[1]许国庆.二次求导在解题中的妙用[J].高中数理化ꎬ2022(15):50-51.[2]白亚军.利用 二次求导 突破函数综合问题[J].中学生理科应试ꎬ2020(07):15-16.[3]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[J].语数外学习(高中版中旬)ꎬ2019(04):39.[4]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中 二次求导 的应用[J].中学生数理化(学习研究)ꎬ2018(09):36.[责任编辑:李㊀璟]45。
二次求导公式
二次求导公式二次求导公式是微积分中的重要概念之一,它可以帮助我们求解函数的曲率、凹凸性、极值等问题。
在这篇文章中,我们将详细介绍二次求导公式的推导和应用。
一、二次求导公式的推导为了方便起见,我们先给定一个函数y=f(x),其中f(x)是一个可导函数。
我们的目标是求解函数f(x)的二阶导数,即f''(x)。
步骤1:求解一阶导数f'(x)根据导数的定义,一阶导数f'(x)表示函数f(x)在某一点x处的斜率,可以通过极限的方式求得。
具体而言,我们可以使用以下公式来计算一阶导数:f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]步骤2:对一阶导数f'(x)再次求导根据导数的定义,我们可以将一阶导数f'(x)看作是函数f(x)的斜率函数。
而二阶导数f''(x)则代表了斜率函数的斜率,也就是函数f(x)的曲率。
为了求解二阶导数,我们只需要对一阶导数再次求导即可。
根据导数的定义,我们可以写出二阶导数的表达式:f''(x) = lim(h->0) [(f'(x+h) - f'(x))/h]将一阶导数f'(x)的表达式代入上述公式,得到二阶导数的另一种表达式:f''(x) = lim(h->0) [(f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h^2]这就是二次求导公式的推导过程。
二次求导公式在微积分中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1. 凹凸性的判断通过计算函数的二阶导数,我们可以判断函数在某一区间内的凹凸性。
具体而言,如果函数的二阶导数大于零,则函数在该区间内是凸函数;如果二阶导数小于零,则函数在该区间内是凹函数。
2. 极值点的判断通过计算函数的一阶导数和二阶导数,我们可以判断函数的极值点。
具体而言,如果函数在某一点的一阶导数为零,并且二阶导数大于零,那么该点是函数的极小值点;如果二阶导数小于零,则该点是函数的极大值点。
第4讲二次求导的目的及处理导数专题提升讲义)
第4讲 二次求导的目的及处理一、问题综述在历年高考试题中,导数部分是高考重点考查的内容,在六道解答题中必有一题是导数题.这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题.解决这类题的常规解题步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数;③求)('x f 的零点;④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表;⑤根据列表解答问题. 而在有些函数问题中,如含有指数式、对数式的函数问题,求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号,从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况,此时解题受阻.若遇这类问题,则可试用求函数的二阶导数加以解决.本文试以以下题目为例,说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用.二、典例分析【例1】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+,证明:当01x <<时,()0f x <. 解析:'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+,(无法求根也无法判断正负) ''22111()x f x x x x-=-=,令''()0f x =,则1x =, 当1x >时,''()0f x >,'()f x 单调递增;当01x <<时,''()0f x <,'()f x 单调递减,''min ()(1)10f x f ==>,所以()f x 在01x <<上单调递增,即max ()()(1)0f x f x f <==.例题2 当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++.证明:令=)(x f 22)1(ln )1(x x x -++,则0)0(=f ,而0)0(',2)1ln(2)1(ln )('2=-+++=f x x x x f ,当)1,0(∈x 时,0])1[ln(122121)1ln(2)(''<-++=-++++=x x xx x x x f , ∴)('x f 在)1,0(∈x 上递减,即0)0(')('=<f x f ,从而)(x f 在(0,1)递减, ∴f(x)<f(0)=0,从而原不等式得证.Ex:证明:当0>x 时,22)1(ln )1(->-x x x .略解:注意x=1时,原不等式”=”成立,而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<⇔<<+->⇔>11ln ,1011ln ,1x x x x x x x x 原不等式原不等式作F(x)=11ln +--x x x ,则F(1)=0 且)0(0)1(1)('22>>++=x x x x x F ,从而F(1)=0推出 )()1(0)()10(0)(x F x x F x x F ⇒⎩⎨⎧>><<<与12-x 同号0)()1(2≥-⇒x F x ,得证.例题3 已知函数()ln(1)f x x x =+-,1x >-,证明:11ln(1)1x x x -≤+≤+. 证:函数()f x 的定义域为(1,)-+∞.()f x '=11x +-1=-1x x + 当x ∈(-1,0)时,()f x '>0,当x ∈(0,+∞)时,()f x '<0,因此,当1x >-时,()f x ≤(0)f ,即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤. 令1()ln(1)11g x x x =++-+则211()1(1)g x x x '=-++=2(1)x x +. ∴ 当x ∈(-1,0)时,()g x '<0,当x ∈(0,+∞)时,()g x '>0.∴ 当1x >-时,()g x ≥(0)g ,即 1ln(1)11x x ++-+≥0,∴ 1ln(1)11x x +≥-+. 综上可知,当1x >-时,有11ln(1)1x x x -≤+≤+. 例题4 已知函数()ln f x x x ax =+,若对任意(1,)x ∈+∞,()(1)f x k x ax x >-+-恒成立,求正整数k 的值.解析:问题可转化为当(1,)x ∈+∞时,ln 1x x x k x +<-恒成立, 设'2ln ln 2(),()1(1)x x x x x h x h x x x +--==--, 令'1()ln 2,()10m x x x m x x =--=->,所以()m x 在定义域内单调递增,min ()(1)1m x m >=-(没有用)………………..注意二阶导失灵了(3)1ln 30,(4)2ln 40m m =-<=->,所以存在0(3,4)x ∈使得000()ln 20m x x x =--=,当'0(1,),()0,()0x x m x h x ∈<<,()h x 单调递减,当'0(,),()0,()0x x m x h x ∈+∞>>,()h x 单调递增, 00000min 000ln (ln 1)()()11x x x x x h x h x x x ++===-- ① 又因为00000()ln 21(ln 1)0m x x x x x =--=--+= ② 由由①②得min 00()()h x h x x ==,所以0,1,2,3k x k <=.例题5 设函数22()ln(1)1,()(1)x f x x ax x g x x e ax =-+++=-+,a R ∈,证明()()f x g x ≤.解析:()()(1)ln(1)1x g x f x x e x x -=-----,令()(1)ln(1)1xh x x e x x =-----, '1()()11x x x h x xe x e x x =-=---,''21()(1)0(1)x h x x e x =++>-, 所以'()h x 在(1,)+∞上单调递增,'''min 1()(1)lim ()x h x h h x +→>≈=-∞(此时二阶导失效), 因为''(1)0,(2)0h h <>且'()h x 在(1,)+∞单调,因此'()0h x =在定义域内有且只有一个零点设为0x ,当0x x >时,'()0h x >,()h x 单调递增,当01x x <<时,'()0h x <,()h x 单调递减,所以0min 0000()()(1)ln(1)1x h x h x x e x x ==----- ① 0'0000()01x x h x x e x =-=- ② ① ②联立可得min ()0h x =,所以()()()0h x g x h x =-≥,即()()f x g x ≤.例题6.(全国卷Ⅰ第20题)已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .(1)若1)('2++≤ax x x xf ,求a 的取值范围;(2)证明:0)()1(≥-x f x .原解答如下:解(1)函数的定义域为(0,+∞),xx x f 1ln )('+= , 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ,max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ . 令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则 递减,时,当递增;时,当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时,1)1()(max -==g x g ,故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则①10<<x 时,0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ; ②0)111(lnln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时,. 综上可知,不等式成立.对于(2)的证明,虽然过程简单,但思维难度大,对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高.我们可以运用二阶导数的方法加以证明: 证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F (只需证)(要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=)()1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x +-++-+= 2)1(ln 2++-=xx x x , 显然当1=x 时,0)('=x F ,当10<<x 时,0)(',0ln ,21<<>+x F x x x ,)(x F 在(0,1﹚递减; 当1>x 时,0ln ,21>>+x xx , )('x F 的符号仍不能判定,求二阶导数得011ln 2)]'('[2>++=x x x F ,从而)('x F 在1>x 时递增, 0)1(')('=>F x F ,)(x F 在[ 1,+∞﹚递增,所以当1=x 时,0)1()(min ==F x F , 故0)(≥x F 成立,原不等式成立.例题7 (2010年高考数学全国卷Ⅱ(22)小题)设函数()1xf x e -=-. (Ⅰ)证明:当x >-1时,()1x f x x ≥+; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1x f x ax ≤+,求a 的取值范围. (原解答略)在原解答第(Ⅱ)问的解答中,用到了放缩代换,对考生的数学素质和解题能力要求很高,极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解,则别有一番天地. (Ⅱ)解法二:由题设1)(,0+≤≥ax x x f x , 若0<a ,则当不恒成立时,1)(,011+≤<+->ax x x f ax a x ; 若0)1)(1(1(,01,0≤--+⇔+≤>+≥-x e ax ax x x f ax a x )则. 令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则,0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e x g x ,)12()]'('[ax a e x g x --=-,∵0≥x ,”),时取“仅当从而时,当===≤≤-≤≤∴21,0(0)]'('[,012210a x x g a a∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减,在,∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减,在即原不等式成立.当,120]'('[,01221aa x x g a a -==>->得)令时, 从而当,0)]'('[120>-<<x g aa x 时, 此时0)0(')(')12,0()('=>-g x g aa x g 内递增,在, ∴不恒成立内递增,在1)(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x x f g x g a a x g . 综上可知,210≤≤a . 例题8 【理·2010安徽卷第17题】设a 为实数,函数()22,x f x e x a x R =-+∈. (Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值;(Ⅱ)求证:当a >ln21-且x >0时,x e >221x ax -+.解析:第一问很常规,我们直接看第二问.首先要构造一个新函数()221x g x e x ax =-+-,如果这一着就想不到,那没辙了.然后求导,结果见下表.()22x g x e x a '=-+,继续对()g x '求导得()2xg x e ''=-由上表可知()()ln 2g x g ''≥,而()()ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21g e a a a '=-+=-+=-+,由a >ln21-知 ()ln 2g '>0,所以()g x '>0,即()g x 在区间()0,+∞上为增函数.于是有()g x >()0g ,而()02002010g e a =-+⨯-=, 故()g x >0,即当a >ln21-且x >0时,x e >221x ax -+. 例题9 已知2()23x f x e x x =+-,当12x ≥时,25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立,求实数a 的取值范围.解析:22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+,则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=,则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---,则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时,'()0h x >恒成立,即17()()028h x h ≥=> 所以'()0g x >,()g x 在1[,)2+∞上单调递增,min 19()g()24g x ==所以94a ≤-针对训练:1、(2010年新课标全国卷第(21)题):设函数2()1x f x e x ax =---.(1)若0a =,求()f x 的单调区间;(2)若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围2、(2008年湖南高考题改编): 已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22,求函数)(x f 的单调区间. 参考答案:1、解:(1)略.(2)a e x f ax e x f x x 2)]'('[,21)('-=--=. ①当,1,1221≥≥≤≤x e x a a 得由时, 从而递增,在),0[)(',0)]'('[+∞≥x f x f∴0)0(')('=≥f x f ,0)0()(),0[)(=≥+∞f x f x f 递增,在②时,当时,当a x a a 2ln 0,1221<≤>>,0)]'('[,2<<x f a e x ∴内递减,在区间)2ln ,0()('a x f ∴,0)0(')('=<f x f∴0)0()()2ln ,0()(=<f x f a x f 内递减,在区间,不合题意. 综上可知21≤a a 的范围是 2、解:()x f 的定义域是),1(+∞-.(1)22)1(21)1ln(2)('x x x x x x f ++-++= 22)1(2)1ln()1(2x x x x x +--++=. 设x x x x x g 2)1ln()1(2)(2--++=则x x x g 2)1ln(2)('-+=. xx x g +-=12)]'('[. 当)上是增函数;在(时,,01)(',0)]'('[01-><<-x g x g x当0>x 时,.0)(',0)]'('[)上为减函数,在(∞+<x g x g 所以),0(0)(',0)0('0)('≠<==x x g g x x g 所以处有最大值,而在 函数在)(x g ),1(+∞-上是减函数.当;)(,0)(',0)0()(01递增时,x f x f g x g x >=><<-当递减时,)(,0)(',0)0()(0x f x f g x g x <=<>.所以,函数)(x f 的单调递增区间是)0,1(-,递减区间是),0(+∞.。
反函数的二次求导公式
反函数的二次求导公式反函数的二次求导公式是指在数学中,对于一个函数的反函数,可以通过对原函数的二次求导来得到反函数的二次导数。
在此文章中,我们将详细介绍反函数的二次求导公式及其应用。
让我们回顾一下函数和反函数的概念。
在数学中,函数是一种关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
反函数则是原函数的逆映射,即将原函数的输出作为输入,得到原函数的输入。
函数和反函数之间的关系可以用以下公式表示:y = f(x) (1)x = f^(-1)(y) (2)其中,y是函数f的输出,x是函数f的输入,f^(-1)表示函数f的反函数。
现在,我们来介绍反函数的二次求导公式。
设函数f在区间I上可导且在I上的某个点a处的导数不为零。
假设函数f在区间I上是严格单调的,并且它的反函数f^(-1)也在区间I上可导。
那么,反函数f^(-1)在点b=f(a)处的二次导数可以通过以下公式计算:(f^(-1))''(b) = -[f''(a)]^(-1) (3)其中,(f^(-1))''(b)表示反函数f^(-1)在点b处的二次导数,f''(a)表示函数f在点a处的二次导数。
这个公式的含义是,反函数的二次导数等于原函数二次导数的倒数的负值。
这意味着如果原函数在某一点的曲率比较大,那么反函数在对应的点的曲率就比较小,反之亦然。
反函数的二次导数公式的应用非常广泛。
例如,在微分几何中,反函数的二次导数可以用来描述曲线的弯曲程度。
在物理学中,反函数的二次导数可以用来计算速度的变化率。
在经济学中,反函数的二次导数可以用来分析供求关系和边际效应。
反函数的二次导数还可以用于优化问题。
在最优化理论中,我们常常需要求解某个函数的最小值或最大值。
当函数的导数为零时,我们可以通过求解反函数的二次导数来确定极值点的性质,进而找到函数的最小值或最大值。
反函数的二次求导公式是一种重要的数学工具,它可以帮助我们更好地理解函数和反函数之间的关系,以及函数在不同点处的曲率变化。
二次函数的导数与导数的应用
二次函数的导数与导数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念,它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的导数及其应用,以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 什么是二次函数的导数二次函数可用一般式表示为 f(x) = ax² + bx + c,其中 a、b、c 为常数,且a ≠ 0。
导数是函数在某一点上的变化率,也表示函数曲线在该点的切线斜率。
对于二次函数而言,其导数可以通过求导公式直接计算得出。
2. 求二次函数的导数公式要求二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数,可以使用一般的求导规则。
根据求导公式,可以得到二次函数的导数为 f'(x) = 2ax + b。
3. 导数的意义及性质二次函数的导数具有以下重要的意义和性质:- 导数表示函数的变化率,即函数在某一点的瞬时变化速度。
- 导数的符号表示了函数的增减性。
当导数大于零时,函数递增;当导数小于零时,函数递减。
- 导数的绝对值代表了函数曲线的斜率大小。
4. 二次函数导数的图像分析通过分析二次函数的导数的图像,可以更直观地理解导数的性质。
以二次函数 f(x) = ax² + bx + c 为例,其导数图像可以绘制出以下几种情况:- 当导数 f'(x) > 0 时,函数 f(x) 递增,对应导数图像的斜率大于零的部分。
- 当导数 f'(x) < 0 时,函数 f(x) 递减,对应导数图像的斜率小于零的部分。
- 当导数 f'(x) = 0 时,函数 f(x) 达到极值点,对应导数图像的斜率为零的部分。
5. 导数在二次函数图像分析中的应用导数在分析二次函数的图像中有重要的应用,可以帮助我们判断函数的性质和特点。
以下是一些常见的应用场景:- 判断顶点坐标:由于二次函数的导数 f'(x) 的根即为函数曲线的拐点和极值点,因此可以通过求导并解方程,找到函数的顶点坐标。
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
2(1x)ln1(x)x22x (1x)2
设 g (x ) 2 (1 x )l1 n x ( ) x 2 2 x
则 g '(x)2 ln 1 x () 2 x
[g'(x)]' 2x 1x
典型例题讲解
当 1x0时[g, '(x)]'0,g'(x)在 ( 1,0 )上是增函
当 x 0时 [g'(x)]'0,g'(x)在0( , )上为.减函数
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
导言
在历年高考试题中,导数部分是是以导数作为压轴题来考 查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值 以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。 解决这类题的常规解题步骤为:①求函数的定义域;②求 函数的导数;③求 的零点;④列出 的变化关系表;⑤根据 列表解答问题。
凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中 的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近 年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 f(x),f(x),f(x的)关 系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。
0,即 f x 在区间 1, 上 为增函数,则 fxf1,1此时, f为 x增 函数,所以 fxf1,易0得 (x1)f(x也)成0 立。
综上,(x1)f(x)0得证。
典型例题讲解
例题4、设a 为实数,函数 fxex2x2a,x 。R
(Ⅰ)求 f x 的单调区间与极值;
恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2,) 那么称 在 I 上的图形是凹的; 如果恒有2f(x1 2x2)2f(x1) 2f(x2),那么称 在 I 上的图形是凸的;
三角函数二次方求导
三角函数二次方求导先来回顾一下三角函数存在的意义与特点:三角函数是一类周期性函数,它将角度作为自变量,输出角度的正弦、余弦、正切等值。
在建立多种物理、工程、自然领域的数学模型中,三角函数经常被用到。
而求导的目的,在于求出函数变化的速率或斜率,从而得出更完整、更准确的信息。
那么,如何求三角函数的导数呢?以正弦函数y=sin x为例,其导数可通过使用链式法则得出:y'=cos x·d/dx(x)。
其中,cos x为sin x的导函数(亦即cos x是sin x的导数)。
链式法则的具体解释:由于y=sin x中x的变化会引起y的变化,所以y对x 的变化率就是y对t的变化率(同一瞬间两边除以dt得到)。
设t=x,则有dy/dt=dy/dx·dx/dt=cosx·d/dt(x)。
最终得出:y'=dy/dt=cos x·d/dx(x)。
同样地,其他三角函数(如余弦函数、正切函数)的导数也可以通过导函数进行计算。
最后,利用二次函数的求导规律(即套用公式f(x)=ax^2+bx+c,求其导数f'(x)=2ax+b),即可得到三角函数二次方求导的结果。
接下来,我们将针对三角函数二次方求导这一话题进行更为详细的探究。
一、正弦函数二次方求导正弦函数是最为常见的三角函数之一。
它通常表示为y=sin x,其中x为自变量,y为函数值。
而对于sin^2 x,其求导步骤如下:首先,运用三角函数的基本关系sin^2 x+cos^2x=1,将sin^2 x转化为1-cos^2 x。
即有:y=sin^2 x=(1-cos^2 x);y'=d/dx(sin^2 x)=d/dx(1-cos^2 x);接下来,针对cos^2 x一次方进行求导,即得到:y'=-2cos x·d/dx(cos x)=-(2cos x)sin x;最终,将y'代回原式,得到:d/dx(sin^2 x)=-(2cos x)sin x。
二次函数的导数与拐点的求解
二次函数的导数与拐点的求解二次函数是一种常见的函数形式,它的表达式一般为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,且a不等于0。
学习二次函数的导数和拐点求解可以帮助我们更好地理解和应用这种函数形式。
一、二次函数的导数导数是函数变化率的一种度量,对于二次函数来说,导数的求解可以通过求一阶导数来获得。
对于二次函数y=ax^2+bx+c,我们可以对其进行求导得到导函数。
对于二次函数y=ax^2+bx+c,先把x看作自变量,y看作因变量,其导数可以用dy/dx或y'来表示。
利用导数的定义,我们可以通过求极限的方法得到二次函数的导数。
计算二次函数的导数的具体步骤如下:1. 对于y=ax^2+bx+c,首先对x进行求导,得到dy/dx=2ax+b。
2. 简化表达式,即可得到二次函数的导数。
二次函数的导数是一条直线,其斜率为2a,表示了二次函数变化的速率和方向。
当a大于0时,导函数是上升的;当a小于0时,导函数是下降的。
二、二次函数的拐点拐点是指函数曲线由凹向上凸或由凸向下凹的转折点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c,我们可以通过求解其导函数的二阶导数来确定是否存在拐点,并求解拐点的横坐标。
计算二次函数的拐点的具体步骤如下:1. 对二次函数的导数dy/dx=2ax+b,再次对x求导,得到二次函数的二阶导数d^2y/dx^2=2a。
2. 简化表达式,即可得到二次函数的二阶导数。
当二次函数的二阶导数d^2y/dx^2大于0时,表示二次函数在该点的曲线由下凸向上凹,存在一个向上的拐点;当二次函数的二阶导数d^2y/dx^2小于0时,表示二次函数在该点的曲线由上凹向下凸,存在一个向下的拐点。
三、例题解析为了更好地理解二次函数的导数与拐点的求解,我们来看一个例题。
例题:求解二次函数y=2x^2-4x+1的导数及拐点。
解析:1. 首先,求解二次函数的导数:对y=2x^2-4x+1,对x进行求导得到dy/dx=4x-4。
二次函数求导证明
二次函数求导证明
为了证明二次函数的求导,我们首先需要了解导数的定义和性质,然后通过导数的定义推导出二次函数的求导公式。
第一步,我们首先回顾导数的定义。
对于函数f(x),其在x=x0处的导数定义为:lim Δx→0 Δy/Δx,其中Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。
第二步,基于导数的定义,我们考虑一个简单的二次函数f(x)=ax2+bx+c。
在任意点x0处,我们计算f(x0+Δx)和f(x0),并使用导数的定义来计算其在该点的导数。
第三步,通过计算,我们得到f(x0+Δx)=a(x0+Δx)2+b(x0+Δx)+c和f(x0)=ax02+bx0+c。
因此,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx2+(2ax0+b)Δx。
第四步,将Δy的表达式代入导数的定义中,我们有:lim Δx→0 Δy/Δx=lim Δx→0 [aΔx2+(2ax0+b)Δx]/Δx。
第五步,简化上述表达式,我们得到:lim Δx→0 [aΔx+(2ax0+b)]=2ax0+b,这就是函数f(x)=ax2+bx+c在点x0处的导数。
第六步,基于第五步的结果,我们可以得到二次函数的一般求导公式:f'(x)=2ax。
这就是我们想要证明的二次函数的求导公式。
综上所述,我们通过导数的定义和性质,以及一些基本的代数运算,证明了二次函数的求导公式。
这个证明过程不仅展示了导数的基本性质,而且也展示了如何使用导数来解决实际问题,例如求函数的极值、判断函数的单调性等。
因此,这个证明过程是非常重要的,它不仅帮助我们理解导数的概念,而且也帮助我们掌握如何使用导数来解决实际问题。
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导数中的二次求导题型
1.(2010年全国卷1理科20)已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
(1)若1)(2++≤'ax x x f x ,求a 的取值范围;
(2)证明:0)()1(≥-x f x .
2.(2010年新课标全国卷1理科20)设函数21)(ax x e x f x ---=.
(1)若0=a ,求)(x f 的单调区间;
(2)若当0≥x 时0)(≥x f ,求a 的取值范围.
3.(2013年河北省石家庄一模理科21)设函数)1ln()(2++=x a x x f .
(1)若函数)(x f y =在区间[)+∞,1上是单调递增函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数)(x f y =有两个极值点1x ,2x 且21x x <求证:2ln 21)(012+-<<
x x f .
4.(2013年山西省太原市一模理科21)已知函数 1()(2)(1)21,()(,x f x a x nx g x xe a R e -=---=∈为自 然对数的底数).
(1)若不等式 ()0f x >对于一切1(0,)2
x ∈恒成立,求a 的最小值;
(2)若对任意的0(0,]x e ∈,在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =,使0()()i f x g x =成立,求a 的取值范围.
5.(辽宁省五校第一联合体2013届高三年级考试理科21)已知函数()01ln )(>+=a x a x f .
(1)当0>x 时,求证:)11(1)(x a x f -≥-;
(2)在区间()e ,1上x x f >)(恒成立,求实数a 的取值范围;
(3)当21=
a 时,求证:()()*112)1()3()2(N n n n n f f f ∈+-+>++++ .
6.(山西省晋中名校2013届高三联合测试)已知函数()R a e ax x f x ∈-=2)(.
(1)当1=a 时,试判断)(x f 的单调性并给予证明;
(2)若)(x f 有两个极值点1x ,2x ()21x x <.
(i )求实数a 的取值范围;
(ii )证明:1)(21-<<-
x f e .(注:e 是自然对数的底数)
7.设函数2ln )(2+-=x x x x f .
(1)求)(x f 的单调区间;
(2)若存在区间[]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⊆,21,b a ,使)(x f 在[]b a ,上的值域为[])2(),2(++b k a k ,求k 的取值范围.。