高中数学必修1函数及其表示题型总结
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结一、基本概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在高中数学课程中，函数是一个重要的内容，学生需要掌握函数的基本概念以及相关的解题技巧。
1.1函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
数学上通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用一个公式、一个图象、一个表格或者一段描述来表示。
1.2函数的分类函数可以根据其性质进行分类，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每种函数都有其特定的表达式和性质。
1.3函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
学生需要了解这些性质，以便在解题中灵活运用。
二、题型及解题技巧在高一数学中，关于函数的题型多种多样，接下来我们将针对常见的函数题型及解题技巧进行总结。
2.1函数的图象和性质这种题型要求学生根据函数的表达式画出函数的图象，并分析其性质。
解题时，学生需要掌握函数的图象特征，如开口方向、交点、极值点等，可以通过计算一阶导数和二阶导数来判断函数的单调性和凹凸性。
2.2函数的定义域和值域在这类题型中，学生需要根据函数的表达式确定其定义域和值域。
解题时，可以通过分析函数的分式和根式部分来确定函数的定义域和值域，需要注意的是，对于分式函数，分母不能为0。
2.3函数的性质和变化这类题型要求学生根据函数的表达式和图象，分析其性质和变化规律。
解题时，学生可以通过变换函数的参数来研究函数的性质和图象的变化。
2.4函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如匀速运动、生长模型、利润最大化等。
在解决这类问题时，学生需要将实际问题转化为数学模型，并根据函数的性质来解决问题。
2.5函数的求值与方程这类题型包括函数值的计算和方程的解法。
解题时，学生需要根据函数的表达式和条件，求出函数的值或解出方程。
在解决方程时，可以通过化简、配方、倒代入等方法来得到解。
高中数学必修1函数及其表示题型总结
函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；③若 f(x) 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；④若 f(x) 是对数函数，真数应大于零。
⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式mCard(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n。
简单说成“前指后底” 。
方法技巧清单 方法一函数定义域的求法1．（2009 江西卷文）函数 y x23x 4 的定义域为（）xA ． [ 4,1]B ． [ 4, 0)C ． (0,1]D ． [ 4, 0) (0,1]解析由x 0 得4x 0 或 0x 1,故选 D.3x 4x22．（2009 江西卷理）函数 yln( x 1)的定义域为()x23x 4A ． (4, 1)B ． (4,1)C ． (1,1) D ． ( 1,1]x 1 0x 1 1 x 1.故选 C解析由3x 4 04 x1x23.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数y1()有相同定义域的是xA . f (x) ln xB. f ( x)1 C. f ( x) | x |D. f ( x) exx1 x 0. f ( x )ln x 的定义域 x1 x ≠ 0； f ( x) | x |的定义域是解析 由 y可得定义域是0 ； f (x)的定义域是xxx R; f (x) e x定义域是 xR 。
故选 A.lg( 4x ) ．答案4.（2007 年上海） 函数 y的定义域是x32x x 4 且 x35.求下列函数的定义域。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结1. 函数概述在高一数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数描述了自变量和因变量之间的关系，并在各个数学领域中被广泛应用。
通过掌握各种函数题型及解题技巧，我们能够更好地理解和运用函数，提升数学解题能力。
2. 一次函数一次函数是最基础的函数之一，形式为y=ax+b。
其中a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
在解一次函数的题目时，可以利用函数的定义、斜率和截距等性质来求解。
此外，还需要注意直线与x轴和y轴的交点，以及直线与其他线段的关系。
3. 二次函数二次函数是一个抛物线，通常由形式为y=ax^2+bx+c的方程表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
解题时需要掌握二次函数的性质和基本特征。
例如，抛物线的开口方向由a的正负确定，顶点的坐标可以通过求解x的值来确定。
4. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是一对互为反函数的特殊函数。
指数函数形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数形式为y=loga(x)，表示以a为底，x的对数。
在解题时，需要掌握指数函数和对数函数的定义、性质和常用公式。
例如，指数函数与对数函数之间的关系可以帮助我们快速求解方程。
5. 三角函数三角函数是解析几何和三角学的重要内容。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解题时，需要熟悉三角函数的周期性、正负性和基本关系。
例如，利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式可以简化复杂的三角函数表达式。
6. 分段函数分段函数在解决实际问题和图像绘制中起到重要作用。
分段函数由多个不同的函数组成，每个函数在一定的区间内有效。
解题时需要找到各个区间的特点，并且针对不同区间使用相应的函数表达式。
7. 综合题型高一数学中的函数题往往是综合性的，要求综合运用多个函数的知识和技巧进行分析和求解。
这种题型常常需要从不同的角度考虑问题，运用多种函数的特性及相关知识，找到问题的关键点并进行适当的变换和求解。
总结：在高一数学学习中，函数题型及解题技巧是数学学习的核心内容之一。
高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)课件
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ANALYSIS
SUMMARY
高中数学必修一函数 知识点与典型例题总 结(经典)(适合高一 或高三复习)课件
目录
CONTENTS
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 一次函数与二次函数 • 函数的应用 • 典型例题解析
REPORTLeabharlann CATALOGDATE
ANALYSIS
例题
答案与解析
复合函数是由两个或多个简单 函数通过复合而成的函数。解 题时需注意内外层函数的单调 性。
复合函数的形式为 f(g(x)) 或 g(f(x))，其中 f 和 g 是简单函 数。解题时需要理解内外层函 数的单调性对复合函数的影响 。
求函数 f(x) = log_2(x) 在 [1, 4] 上的值域，其中 g(x) = x^2。
首先确定内层函数 g(x) = x^2 在 [1, 4] 上是增函数，外层函 数 f(x) = log_2(x) 在 [1, 4] 上 也是增函数。然后计算端点处 的函数值，得到最小值为 log_2(1) = 0，最大值为 log_2(4) = 2，所以值域为 [0, 2]。
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详细描述
函数的周期性是指函数图像是否具有重复性。如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x， 都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。判断函数周期性的常用方法是通过观 察函数图像或计算周期的公式。
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SUMMAR Y
03
一次函数与二次函数
一次函数
01
02
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高一数学函数知识总结及例题
高一数学函数知识总结及例题高一数学函数知识总结及例题第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f 对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f 的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1，则函数ff(x)的定义域为______________。
x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1f(x)1x1即1，解得x1且x21x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。
解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5 即函数f(x)的定义域为1，5x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。
x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。
高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分—、函数的概念与表示1、映射：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象13•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
= 2(X) lg X , g(x) 2lg xC、B、f (X) lg+u) - - ,g(v)=1 u”D、f (x) =x,1 vX +1--- ,()决1)+ Ig( - 2、一fX~ Xx 1 =厂 f (X) X2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有y配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式2X X三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
广+ = +广+例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
+2 x y g x例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过—— =1解方程组求得函数解析式。
人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法单选题1、函数y =sin2x ln |2x |的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A解析： 先求出函数定义域，由函数奇偶性的概念，得到y =sin2x ln |2x |是奇函数，排除CD 选项，再根据0<x <12时，函数的正负，即可得出结果.由y =sin2x ln |2x |得|2x |≠1，即x ≠±12，所以函数y =sin2x ln |2x |的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，又sin (−2x )ln |−2x |=−sin2x ln |2x |，所以函数y =sin2x ln |2x |是奇函数，图像关于原点对称，排除CD ，又当0<x <12时，0<2x <1，所以sin2x >0，ln2x <0，因此y =sin2x ln |2x |<0，图像应在x 轴下方，故B 错，A正确.故选：A小提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.2、已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是（ ）A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]答案：C解析：由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解.因为函数f(2x)的定义域是[0,2]，所以函数f(x)的定义域为[0,4]，若要使y =f(x −1)+f(x +1)有意义，则{0≤x −1≤40≤x +1≤4，解得x ∈[1,3]. 所以函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是[1,3].故选：C.3、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B解析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B. 填空题4、若f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．答案：[4,5]解析：根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；因为f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是定义在R上的增函数，所以{7−a>0 a+92≤77(7−a)−3≤49−7(a+9)+15a ，即{a<7a≤5a≥4，解得4≤a≤5，所以答案是：[4,5]5、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)．若对任意的x∈[0,2t+1]，均有f(x+t)≥[f(x)]3，则实数t的取值范围是________．答案：[−12,−49].解析：根据函数f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立，进而可得结果.∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)，∴f(x)=a|x| (a>1)，则[f(x)]3=(a|x|)3=a|3x|=f(3x)，则f(x+t)≥[f(x)]3等价于f(x+t)≥f(3x)，当x≥0时f(x)为增函数，则|x+t|≥|3x|，即8x2−2tx−t2≤0对任意x∈[0,2t+1]恒成立，设g(x)=8x2−2tx−t2，则{g(0)≤0g(2t+1)≤0⇔{−t2≤027t2+30t+8≤0，解得−23≤t≤−49，又2t+1≥0，所以−12≤t≤−49.所以答案是：[−12,−49].小提示：关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立.。
高中数学必修一题型归纳
高中数学必修一题型归纳一、函数的概念和基本性质1. 函数的定义及表示方法2. 自变量和因变量的概念3. 函数的解析式和图像4. 奇偶性、单调性、周期性等基本性质二、函数的运算与初等函数1. 函数的四则运算2. 三角函数、指数函数、对数函数的定义及性质3. 常见初等函数的图像与性质三、导数与函数的变化率1. 导数的定义及基本性质2. 已知函数求导、导数的四则运算3. 反函数的导数4. 最值问题的分析方法四、函数的应用1. 生活、自然中的函数模型2. 函数极值问题与最优化问题3. 速度、加速度、曲率等相关概念4. 概率密度函数、正态分布等概率统计中的函数应用五、三角函数与向量1. 三角函数的基本概念和图像2. 三角函数的基本性质3. 向量的概念、向量的加法和减法4. 向量的数量积和向量积的概念及相关定理六、平面解析几何初步1. 平面直角坐标系、两点间距离公式2. 直线方程的一般式、截距式和斜截式3. 圆的标准方程、一般方程及相关定理4. 直线与圆的位置关系七、三视图的绘制1. 空间几何体的常见三视图2. 正交投影的原理、投影面的选择及投影方法3. 坐标轴的选择和轮廓线的辨认4. 立体图形的体积、表面积和侧面积的计算八、平面向量与直线垂直、平行的判断1. 平面向量的加、减、乘法2. 向量的模、单位向量及方向角3. 向量共线、垂直、平行的判别法4. 直线的垂直、平行、夹角等基本概念与判别方法以上是高中数学必修一的主要题型，这些题型是高中数学学习的重难点，需要进行深度掌握和归纳总结，只有这样才能使数学学习更上一层楼。
高一数学函数知识点总结(五篇)
高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)
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1.设 A {x x2 4x 0}, B {x x2 2(a 1)x a2 1 0},
其中 x R ,如果 A
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王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
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例11.证明：函数f (x) x 1 在（1， ）上是增函数. x
2x+1, (x≥1)
1. 函数f (x)= ４－x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞)
B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞)
D. (－∞, 0]
2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)
2.已知集合M -1，1，2集合N y y x2 ，x M，
则M∩N是( B )
A 1，2，4 B{1 } C{1，2} DΦ
3.满足{1,2} A {1,2,3,4}的集合A的个数
有3
个
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函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 图象
一次函数 反比例函数
二次函数 指数函数 对数函数 幂函数
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任
何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为 2n
真子集个数为
2n-1
非空真子集个数为
2n-2
2、集合相等： A B, B A A B
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
4) y log 3 (x 3) x 6,12
1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法， 4、换元法，5单调性法。
高中数学必修1函数及其表示题型总结
函数及其表示考点一 求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n ∈N*,则从A 到B 的映射个数为nm。
简单说成“前指后底”。
方法技巧清单方法一函数定义域的求法1．（2009江西卷文）函数y x=的定义域为 （ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-解析 由20340x x x ≠⎧⎨--+≥⎩得40x -≤<或01x <≤,故选D.2．（2009江西卷理）函数y =的定义域为 ( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-解析 由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C3.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是 ( )A .()ln f x x = B.1()f x x= C. ()||f x x = D.()x f x e= 解析 由y =可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x=的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x x R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A.4.（2007年上海）函数)4lg(-=x y 的定义域是 ． 答案 {}34≠<x x x 且1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=55x和xy 2=B.y=lnex和exy ln =C.()()()()3131+=-+-=x y x x x y 和 D.xx y y 001==和2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 不能确定 3．已知函数y=22-x定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为方法三 分段函数的考察 ⅰ求分段函数的定义域和值域2x+2 x []0,1-∈1求函数f(x)=x 21-x ()2,0∈的定义域和值域3 x [)+∞∈,22（2010天津文数）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【解析】依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或ⅱ求分段函数函数值3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4D-14【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确. ⅲ解分段函数不等式 4.（2009天津卷文）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f解得3,1==x x。
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C.
y
x
1x x 1
3和y
x
3
D.
y
x0 和y
1
x0
2．函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为
e e B.y=ln x 和 y ln x
A. 0 个 B. 1 个
C. 0 个或 1 个
D. 不能确定
2
3．已知函数 y= x2 2 定义域为1,0.1,2，则其值域为
方法三 分段函数的考察
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 a 0 或 a 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六 映射概念的考察
1．
设 f : x x2 是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B=1,2，则 A∩B=（ ）
∴不等式| f (x) | 1 的解集为x | 3 x 1，∴应填3,1 .
3
7。（2010
天津理数）若函数
f(x)=
log2
log
1 2
x, x 0, (x), x
0
,若
f(a)>f(-a),则实数
a
的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ∞，-1）∪（0,1）
6
解析 由图像可知，曲线 v甲 比 v乙 在 0～ t0 、0～ t1 与 x 轴所围成图形面积大， 则在 t0 、 t1 时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 3.（2009 江西卷文）如图所示，一质点 P(x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，
速度大小不变，其在 x 轴上的投影点 Q(x, 0) 的运动速度V V (t) 的图象log3 Nhomakorabea2
.
方法四 求函数的解析式
1．求下列函数的解析式
①
已知
f x 1 x
x3
1 ,求f (x).
x3
② 已知f 2 1 lg x，求f (x). x
③ 已知 f(x)是二次函数，若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).
④ 已知 f(x)满足 2 f x f 1 3x. 求 f(x).
C. f (x) | x |
D. f (x) ex
解析
由 y 1 可得定义域是 x 0. f (x) ln x 的定义域 x 0 ； f (x) 1 的定义域是 x ≠0；
x
x
f (x) | x | 的定义域是 x R; f (x) ex 定义域是 x R 。故选 A.
4.（2007 年上海）函数 y lg( 4 x ) 的定义域是 x3
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-
【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。
4
f (a)
f
(a)
a 0
log
2
a
log1
2
a
或
a<0
log
1 2
(a)
log2
(a)
a
a
0 1 2
或或a1 a
0 a
a
1
-1 a 0
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0， 同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
方法八 函数奇偶性和周期性的考察
1.（2009 全国卷Ⅰ理）函数 f (x) 的定义域为 R，若 f (x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，则( )
A. f (x) 是偶函数
B. f (x) 是奇函数
C. f (x) f (x 2)
D. f (x 3) 是奇函数
答案 D 解析 f (x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，
． 答案 x x 4 且 x 3
5.求下列函数的定义域。①y= x 2 x 2 .②y= x1 2 .③y= x 1 1 x x x
6.已知函数 f(x)的定义域为 1,5，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
方法二 函数概念的考察
x x 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y= 5 5 和 y 2
ⅳ解分段函数方程
8．（2009
北京文）已知函数
f
(x)
3x , x,
x 1, 若 f (x) 2 ，则 x x 1,
.
.w 解析 5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考 查.
由
x 1 3x 2
x
log3
2
，
x 1 x
2
x
2
无解，故应填
（A）
9 4
,
0
(1,
)
（B）[0, )
（C） [
9 4
,
)
（D）
9 4
,
0
(2,
)
【解析】依题意知
f
(
x)
x x
2 2
2 2
(x 4), x x2 x, x x2 2
2
，
f
(
x)
x x
2 2
2, x 1或x 2 x, 1 x
2 2
ⅱ求分段函数函数值
3．（2010
湖北文数）3.已知函数
大致为
()
A
B
C
D
解析 由图可知，当质点 P(x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点 Q(x, 0) 的速度先由正到 0、到负 数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 P(x, y) 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错误；质点 P(x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点 Q(x, 0) 的速度为常数，因此 C 是错误的，故选 B . 4（2010 山东理数）(11)函数 y=2x - x2 的图像大致是
6.（2009
北京理）若函数
f
(x)
1
x
,
x0
(
1 3
)
x
,
x
0
则不等式| f (x) | 1 的解集为____________. 3
解析
x 0
x 0
|
f
(
x)
|
1
1
x
3
3
1 3
1 3
x
1 0 x 1. 3
x 0
（1）由 |
f (x) |
1 3
1 x
1 3
3
x
0
.（2）由
5．（2009
天津卷理）已知函数
f
(x)
x2 4 x
4x, x2,
x 0 若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a x0
的取值范围是 A (, 1) (2, )
B (1, 2)
C (2,1) D (, 2) (1, )
解析：由题知 f ( x) 在 R 上是增函数，由题得 2 a 2 a ，解得 2 a 1 ，故选择 C。
x 方法五 函数图像的考察
5
1.
(2009
山东卷理)函数
y
ex ex
ex ex
的图像大致为
(
).
解析
函数有意义,需使 ex ex 0 ,其定义域为x | x 0,排除 C,D,又因为
y
ex ex
ex ex
e2x e2x
1 1 1
2 ,所以当 x 0 时函数为减函数,故选 e2x 1
A.
A. B.1 C. 或2 D. 或1
2 集合 M=a,b, c，N=1,0.1映射 f: M N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M N 的个数是（ ）
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3 集合 M=a,b, c到集合 N=1,0.1一共有
个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
1．（2009 江西卷文）函数 y x2 3x 4 的定义域为 x
（
）
A．[4, 1] B．[4, 0) C． (0, 1] D．[4, 0) (0, 1]
解析
由
x 2
x 3x
0
4
0
得
4
x
0
或
0
x
1
,故选
D.
1
2．（2009 江西卷理）函数 y ln(x 1) 的定义域为 x2 3x 4
⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 ；
⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 nm 。简单说成“前指后底”。
【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - x2 =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - x2 = 1 4<0 ，故排除 D， 4
7
所以选 A。 5（2010 安徽文数）设 abc 0 ,二次函数 f (x) ax2 bx c 的图像可能是
【解析】当 a 0 时， b 、 c 同号，（C）（D）两图中 c 0 ，故 b 0, b 0 ，选项（D）符合 2a
2.(2009
山东卷理)定义在
R
上的函数
f(x)满足
f(x)=
log
2
f (x
(1 1)
x), f
x (
0 x 2),
x
， 0