必修1第二章幂函数、指数函数、对数函数复习
2016-2017学年湘教版高中数学必修一：第2章、指数函数、对数函数和幂函数单元复习课件2
测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的
未来走势； (3)建模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问 题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论 和实际模型的表现加以比较，改进数学模型．
题型一
比较大小
【例1】 比较三个数0.32，log20.3，20.3的 大小. 解 法一 ∵0.32<12＝1，
函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，以及一些对
数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0，1)进行比较；④ 作差比较和作商比较是常用技巧．
(2)比较几个数的大小是幂、指、对函数的又一重要应
用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值 法、作差法、作商法等．
【变式1】 比较下列各题中两个值的大小：
[1，9]，而得出错误答案22.因此解决复合函数的值域或最值问
题，必须坚持“定义域优先”的原则． 2．研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行 复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用 换元的思路，使问题转化为已知的问题．
(1)3.97 2， 0.5
－
17
；
1 1 (2)log1 ， log1 . 3 2
解
(1)∵ 3.97 2>4 2＝ 2 4， 0.5
－ － － －
2
3
17
<0.54＝ 2 4，
－
∴ 3.97 2>0.5
17
.
1 1 (2)∵ log1 >log 1 ＝ 1， 3 2
2 2
1 1 log1 <log1 ＝ 1， 2 3
(1)定义域：R
(2)值域：R＋ (3)过点(0，1) (4)a>1时为增函数， 0<a<1时为减函数
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
高中数学必修一知识讲解(复习补习,期末复习资料)：29【提高】指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较12log x ，12x ，12x⎛⎫⎪⎝⎭的大小．【解析】作出函数12log y x =，12y x =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为x=0.5，方程121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的近似解为x=0.64118574，方程1212log x x =的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.5时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当0.5＜x ＜0.587774756时，12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.587774756时，11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当x ＞0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较13x⎛⎫⎪⎝⎭、13x 、13log (1)x x >的大小．【答案】13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x >【解析】分别画出13131(),,log 3xy y x y x ===的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足9()nAf n a bt=+，其中232t -=，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩，解得a ＝1，b ＝8.所以9()18n A f n t =+⨯，其中223t =-. 令f (n )＝8A ，得9818nA A t =+⨯，解得164nt =， 即62122364n --==，所以n ＝9.答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】函数22(01)2()(12)2t t S t t t ≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得23000(100)(1)1003000100xx -⨯+≥⨯，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50． 又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=，即223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值． 当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增， ∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：12()h x ax b =+；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A（1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线()(0)f x kx b k =+≠，将B 、C 两点的坐标代入，有(2)2 1.2f k b =+=，(3)3 1.3f k b =+=，解得k=0.1，b=1，故()0.11f x x =+． 将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数2()(0)g x ax bx c a =++≠，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7． 将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型12()h x ax b =+，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，(2) 1.2h b =+=．解得a≈0.48，b≈0.52．故12()0.480.52h x x =+． 将C 、D 两点的坐标代入，得(3)0.480.52 1.35h =≈，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4． 将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为a ，则经过第一年增长后面积为(110.4%)a +，经过第二年增长后面积为2(110.4%)a +，…，经过x 年绿色植被的面积为(110.4%)xa +，是指数型函数，故选D ． 【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】 1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时 f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%； 即：当x ∈（5，6]时 f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12 ③当x ∈（6，7]时 f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴ 1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2018春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330 【解析】（1）设每年还款x 元，则510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，即510 1.510450.05x x ⨯=+⋅， 解得，105 1.512245()12.25x ⨯=≈元；（2）设每年还款y 元，则5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，即105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-，则510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元． 【总结升华】上述公式(1r)xy a =+是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式； （2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即10n n y y +-≥且120n n y y ++-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈．（2）令10n n y y +-≥，即1(19) 1.1(20) 1.10n nn m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令120n n y y ++-≥，即12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ）5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）当10v =时，min 3202y c =-；当v c =时，min 50y c =． 【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：131||1022v c ⨯-+ 总的淋雨量为：10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦，5(103)c y v-∴= 即5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）①当1030,c ->即1003c <≤时 y 在(]0,10v ∈上单调递减 10v ∴=时，y 最小，min 3202y c =-． ②当1030,c -<即1053c <≤时y 在(0,)v c ∈上单调递减，在(,10)v c ∈上单调递增．当v c =时，y 最小，min 50y c =． 答：当雨速的分速度1003c <≤，10v =时，min 3202y c =-；当雨速的分速度1053c <≤，v c =时，min 50y c=．【巩固练习】1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．y=50 B ．y=1000x C ．y=0.4·2x －1 D ．11000xy e =2．y 1=2x ，y 2=x 2，y 3=log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 13．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是y=3000+20x －0.1x 2（0＜x ＜240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台4．如右图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A运动，设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，而函数S=f (x)的图象是下图中的（ ）5．用计算器检验下列命题，其中真命题是（ ） A ．lg xy x=在（1，+∞）上是单调函数 B ．lg x y x =，x ∈（1，+∞）时，值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦ C ．lg xy x =，x ∈（1，+∞）时，y 有最小值 D ．lg xy x=（x ＞1）随着x 的增大而越来越接近于06．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-7．（2018春 吉林期末）在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0＜x ≤40）（克）的函数，其表达式为________．8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是 ．9．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/100 kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：t 的变化关系：Q at b =+，2Q at bt c =++，t Q a b =⋅，log b Q a t =⋅．利用你选取的函数，求：（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； （2）最低种植成本是____________元/100kg ． 10．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g （t ）=80－2t （件），价格近似满足于115,(010)2()125,(1020)2t t f t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 11．（2018 江苏镇江一模）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为（0≤t ≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧张现象．【答案与解析】1．【答案】D【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选D ． 2．【答案】B【解析】 在同一平面直角坐标系中画出三个函数的图象，在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应为y 2=x 2，y 1=2x ，y 3=log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3．3．【答案】C【解析】 依题意有25x―(3000+20x―0.1x)2≥0，解得x≥150或x≤－200（舍）．故选C ． 4．【答案】D【解析】 由题图知，P 在BC 上时，0≤x ＜4，422x S x ==，P 在CD 上时，4≤x≤8，4482S ⨯==，∴选D ．5．【答案】D【解析】 可用计算器检验，也可利用函数y=x 与y=lgx 的增长规律来判断：由于x （x ＞1）增大时，函数y=x 比y=lgx 增长的速度快得多，因此函数lg xy x=随着x 的增大而越来越接近于0． 6．【答案】A【解析】由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为32()(0)y f x ax bx cx a ==++≠，则2'()32f x ax bx c =++，∴f ′（0）＝－1，f ′（2）＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又32y ax bx cx =++过点（2，0），∴4a ＋2b ＝1， ∴12a =，12b =-，c ＝－1， ∴3211()22y f x x x x ==--.故选A ． 7．【答案】80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩ 【解析】在信件不超过20克重时，付邮资80（分），应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80（分）；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160（分），应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160（分），遂得分段函数．其表达式f （x ）为80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩．故答案为：80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩． 8．【答案】2400 【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为318100(1)24003⨯-=．故填2400．9．【答案】120；80．【解析】∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数2(120)Q a t m =-+描述，将表中数据代入可得22(60120)116,(100120)84,a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得0.0180a m =⎧⎨=⎩ ∴20.01(120)80Q t =-+，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg ．故填120；80．10．分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：1(15)(802),(010)(30)(40),(010)21(50)(40),(1020)(25)(802),(1020)2t t t t t t y t t t t t t ⎧+-≤≤⎪+-≤≤⎧⎪==⎨⎨--<≤⎩⎪--<≤⎪⎩ 22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t ≤10时22101200(5)1225y t t t =-++=--+函数图象开口向下，对称轴为t =5，该函数在t ∈[0，5]递增，在t ∈（5，10]递减∴max 1225y =（当t =5时取得），min 1200y =（当t =0或10时取得）②当10＜t ≤20时22902000(45)25y t t t =-+=--图象开口向上，对称轴为t =45，该函数在t ∈（10，20]递减，t =10时，y =1200，min 600y =（当t =20时取得）由①②知max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．11．【答案】（1）从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨；（2）约有8小时供水紧张【解析】（1）设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，由40060y t =+-x =；则26x t =，即224001012010(6)40y x x x =+-=-+； ∴当x =6，即t =6时，min 40y =，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．（2）依题意24001012080x x +-<，得212320x x -+<解得，4＜x ＜8，即83248,33t <<<； 即由328833-=，所以每天约有8小时供水紧张．。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
复习课(第1课时+指数函数、对数函数与幂函数)课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
(4)30.1>0.20.3.(
)
(5)若am=b,则logbm=a.( × )
(6)ln 6+ln 9=ln 54.(
)
(7)函数f(x)=log5(x-1)+3在区间(0,+∞)内是增函数.( × )
(8)常数函数在任何给定区间上的平均变化率都为0.(
)
专题归纳 核心突破
专题一
指数、对数的运算
不成立;
对于C,因为函数y=log4x是增函数,所以当0<x<y<1时,有log4x<log4y,所以C
成立.
答案:C
(2)解:作出函数y=x2,y=log2x,y=2x的图象如图.
作出直线x=0.3,根据直线与三个函数图象的交点位置,即可看出
log20.3<0.32<20.3.
反思感悟
数的大小比较的常用方法
质
当x∈(0,1)时,y<0;
当x∈(1,+∞)时,y>0
在区间(0,+∞)内是 增 函数
既不是奇函数也不是偶函数
当x∈(0,1)时,y>0;
当x∈(1,+∞)时,y<0
在区间(0,+∞)内是 减 函数
9.幂函数有哪些性质?
提示:(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,并且图象都过点(1,1).
提示:logaN=b⇔ab=N.
5.对数的性质有哪些?
提示:(1)0与负数无对数;(2)底数的对数等于1;(3)1的对数等于0.
6.对数的运算性质有哪些?
提示:(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga =logaM-logaN;
高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳
指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式：，，.3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.综合训练一、选择题1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )A．B．C．D．2．若函数的图象过两点和，则( )A．B．C．D．3．已知，那么等于( )A．B．8C．18 D．4．函数( )A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减5．（2011 辽宁理9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数在上递减，那么在上( )A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值二、填空题7．若是奇函数，则实数=_________.8．函数的值域是__________.9．已知则用表示____________.10．设, ,且，则____________；____________.11．计算：____________.12．函数的值域是__________.三、解答题13．比较下列各组数值的大小：(1)和；(2)和；(3).14．解方程：(1)；(2).15．已知当其值域为时，求的取值范围.16．已知函数，求的定义域和值域.能力提升一、选择题1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( ) A．B．C．2D．42．已知在上是的减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.3．对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是( )A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④4．设函数，则的值为( )A．1B．-1C．10 D．5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果，那么( )A．，B．，C．，D．，6．若,则( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数的定义域为，则的范围为__________.8．若函数的值域为，则的范围为__________.9．函数的定义域是______；值域是______.10．若函数是奇函数，则为__________.11．求值：__________.三、解答题12．解方程：(1)(2) 13．求函数在上的值域.14．已知，,试比较与的大小.15．已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 章末复习课
超级记忆法--故事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、《药》
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
返回
题型探究
类型一 指数、对数的运算
提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范围的变化.
例1
化简：1 (
2
8) 3
(3
102
9
)2
105；
解
3
原式＝(22
－2
)3
29
(103 )2
5
10 2
＝2－1
103
10－52＝2－1
2
＜120＝1，
所以 y∈12，1.
1 2345
解析答案
规律与方法
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高 中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用 题，一直是常考不衰的热点问题. 2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本 计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形 结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、 图象、性质等方面来考查.
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂函数知识点总结
湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂
函数知识点总结
这部分内容在考试中一般很少单独考查，只是融合在各个题型的一些运算中，难度不大，属于容易题，但大家仍然不要忽略数学第2章指数函数对数函数和幂函数知识点。
一、指数函数
指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
详情请点击：高一数学指数函数知识点
二、对数函数
对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且
a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。
详情请点击：高一数学对数函数知识点：上册
三、幂函数
一般地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数
y=x0?、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。
详情请点击：高一数学上学期知识点：幂函数??
大家对湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂函数知识点还有什么不了解的地方吗？赶紧来练习一下湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂函数同步练习题集来发现自己的不足吧~~。
高一上期末数学复习---幂函数、指数函数和对数函数
高一上期末数学复习---幂函数、指数函数和对数函数一、知识点突破1．幂函数 （1）幂函数的定义一般地，函数()R a x y a∈=叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．（2）5个常见幂函数的图象与性质函数 x y = 2x y = 3x y =21xy =1-=x y定义域 RR R{}0≥x x {}0≠x x 值域 R{}0≥y yR{}0≥y y{}0≠y y奇偶性奇函数偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数 单调性在R 上单调递增在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增在R 上单调递增在()+∞,0上单调递增在()0,∞-和()+∞,0上单调递减图象过定点()0,0，()1,1()1,12．指数函数的图象与性质x a y =1>a10<<a图象性质函数的定义域为R ；值域为()+∞,0 函数图象过定点()1,0，即当0=x 时，1=y当0>x 时，恒有1>y ； 当0<x 时，恒有10<<y 当0>x 时，恒有10<<y ； 当0<x 时，恒有1>y 函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数3．对数函数的图象与性质xy a log =1>a 10<<a图象定义域 ()+∞,0值域R性质过定点()0,1，即1=x 时，0=y当1>x 时，0>y ；当10<<x 时，0<y 当1>x 时，0<y ； 当10<<x 时，0>y 在()+∞,0上是增函数在()+∞,0上是减函数4．反函数指数函数(0>=a a y x且)1≠a 与对数函数(0log >=a x y a 且)1≠a 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线x y =对称．二、题型突破题型一 幂函数的图象与性质【例1】（1）已知幂函数qpx y =1,,(*>∈q N q p 且q p ,互质)的图象如图所示，则( ) A ．q p ,均为奇数，且1>qp B ．q 为偶数，p 为奇数，且1>q p C ．q 为奇数，p 为偶数，且1>qp D ．q 为奇数，p 为偶数，且10<<qp （2）若3221⎪⎭⎫⎝⎛=a ，3251⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，3121⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b << 巩固训练：1．下面4个图象都是幂函数的图象，函数23-=xy 的图象是( )2．(多选)已知函数()ax x f =的图象经过点()2,4，则下列命题正确的有( )A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1>x ，则()1>x fD ．若210x x <<，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f 题型二 指数函数的图象及应用【例2】（1）函数125--⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的大致图象为图中的( )（2）(多选)已知实数a ，b 满足等式ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121，则下列关系式中不可能成立的是( )A ．a b <<0B ．0<<b aC ．b a <<0D ．0<<a b 巩固训练：1．已知在同一坐标系下，指数函数xa y =和xb y =的图象如图，则下列关系中正确的是( )A ．1<<b aB ．1<<a bC ．1>>b aD ．1>>a b 2．若曲线12+=x y 与直线b y =没有公共点，则b 的取值范围是________． 题型三 指数函数的性质及应用【例3】（1）设9.014=y ，48.028=y ，5.1321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=y ，则( )A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>（2）若10<<<b a ，ba x =，ab y =，bb z =，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．y z x << B ．z x y << C ．x z y << D ．x y z << （3）已知函数()mx x f -=22(m 为常数)，若()x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则m 的取值范围是________．巩固训练1．已知532=a ，523=b ，315-=c ，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<2．已知yx yx ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212121，则下列关系式正确的是( ) A ．y x < B ．y x > C ．y x -< D ．y x -> 3．当(]1,-∞-∈x 时，不等式()024232<--+--x xm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[]2,0B ．()51,51+-C ．[]51,51+- D ．[]4,2- 题型四 对数函数的图象及应用【例4】（1）在同一个坐标系中，函数()xa x f 1=与()xax g lg =的图象可能是( )（2）已知函数()x x f ln =，若b a <<0，且()()b f a f =，则b a +2的取值范围是( ) A ．()+∞,22 B ．[)+∞,22 C ．()+∞,3 D ．[)+∞,3 巩固训练1．当1>a 时， 在同一坐标系中，函数xay -=与x y a log -=的图象是( )2．设1x ，2x ，3x 均为实数，且1ln 1x e x =-，()1ln 22+=-x e x ，3lg 3x e x =-，则( )A ．1x <<2x 3xB ．<1x <3x 2xC ．2x <<3x 1xD ．2x <<1x 3x3．当()2,1∈x 时，不等式()x x a log 12<-恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()2,1 C ．(]2,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 题型五 对数函数的性质及应用【例5】（1）已知4585<，54813<．设3log 5=a ，5log 8=b ，8log 13=c ，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b a c <<（2）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，()x f 单调递减，则不等式()()8log 52log 331f x f >⎪⎪⎭⎫⎝⎛-的解集为( )A .⎪⎭⎫⎝⎛1641,25 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,213 C .⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1641,25⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,213 D .⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,⎪⎭⎫⎝⎛213,1641 巩固训练1．设2log 3=a ，3log 5=b ，32=c ，则( ) A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<2．设函数()x f 的定义域为D ，若满足：①()x f 在D 内是单调增函数；②存在[]()m n D n m >⊆,，使得()x f 在[]n m ,上的值域为[]n m ,，那么就称()x f y =是定义域为D 的“成功函数”．若函数()()(0log 2>+=a t a x g x a ，且)1≠a 是定义域为R 的“成功函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛41,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 3．(多选)已知函数()()()4log 2log 221+--=x x x f ，则下列结论中错误的是( ) A ．函数()x f 的定义域是[]2,4- B ．函数()1-=x f y 是偶函数C ．函数()x f 在区间[)2,1-上是减函数D ．函数()x f 的图象关于直线1=x 对称三、反馈练习一、单项选择题1．幂函数()a x k x f ⋅=过点()2,4，则=+a k （ ） A ．23 B ．3 C ．21D ．2 2．函数()(0121>-=+a a x f x ，且)1≠a 恒过定点（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()12,0-aD ．()1,03．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．函数12221-+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递减区间是( )A ．()1,∞-B ．[)+∞,1C ．()1,-∞-D ．()+∞-,15．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t (单位：分钟)的变化规律可以用函数120.05e ty λ-=+（R λ∈）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）(参考数据ln3 1.1≈)A ．10分钟B ．14分钟C ．15分钟D ．20分钟6．已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=-2,,2,121x a x x a x f x 在()+∞∞-,上对任的21x x ≠都有()()02121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛35,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,35 C ．()2,1 D ．()+∞,07.已知函数1()ln1x f x x -=+，设()0.44a f =，()34(5)b f =，()0.225c f =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>8．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是（ ）A ．()8,9B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,130 二、多项选择题9．若函数ax y =的定义域为R 且为奇函数，则a 可能的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．21D ．3 10．若指数函数xa y =在区间[]1,1-上的最大值和最小值的和为25，则a 的值可能是（ ） A ．2 B ．21 C ．3 D ．31 11．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．12．关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，则下列说法正确的是（ ） A ．其图象关于y 轴对称 B ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数C ．()f x 的最小值是lg 2D ．()f x 无最大值，也无最小值 三、填空题 13．函数y =________．14．设函数()212,1,log 1,0 1.x x f x x x ⎧->=⎨+<≤⎩则()21log 32f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____． 15．设函数()⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1x x x x f x则满足()121>⎪⎭⎫⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围为_________． 16．已知函数()log ()(1)xa f x a a a =->，则()f x 的定义域为________，值域为_________．四、解答题17．已知幂函数()x f 的图象过点()4,2． （1）求函数()x f 的解析式；（2）设函数()()12--=kx x f x g 在[]1,1-是单调函数，求实数k 的取值范围． 18．已知实数0a >，且满足不等式324133a a ++>． （1）解不等式()()log 32log 85a a x x +<-；（2）若函数()()()log 2log 1a a f x x x =+--在区间[]2,4上有最小值1-，求实数a 的值．19．已知定义在R 上的函数2()21xx b f x -=+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t R ∈，不等式2(2)()0f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围． 20．已知函数()()()2lg 39f x x ax a R =++∈．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．21．已知函数()2021xf x =可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 的和．（1）请分别求出()g x 与()h x 的解析式； （2）记()()()F x g x h x =⋅．（i ）证明：()F x 为奇函数；（ii ）若存在[]0,2x ∈，使得不等式()()39330xxxF F m -+⋅-<成立，求实数m 的取值范围．22．设函数()()(012>--=a at a x f xx ，且)1≠a 是定义域为R 的奇函数． （1）求的值；（2）若()01>f ，求使不等式()()012<-+-x f xkx f 对一切∈x R 恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，是否存在实数m ，使函数()()x mf a a x g x x-+=-22在[]3log ,12上的最大值为1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．。
数学总复习第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数
第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数（2）(对应学生用书(文）、(理)22～23页）考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质,以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．①了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型。
1。
(必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3,4)解析:当x＝3时，f（3）＝a3－3＋3＝4,∴f（x）必过定点（3,4)．2. （必修1P110复习3改编）函数y＝8－16x的定义域是________．答案:错误!解析：由8－16x≥0，所以24x≤23,即4x≤3，定义域是错误!.3。
（必修1P67练习3)函数f（x)＝（a2－1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：（－错误!，－1)∪(1,错误!）解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a｜＜2，即－错误!＜a ＜－1或1＜a ＜错误!。
4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f （x ）＝a ＋错误!是奇函数，则常数a ＝________。
答案:－12解析：由f （－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5。
（原创)函数y ＝1＋错误!|x －1|的值域为__________。
答案:(1,2]解析：设y′＝错误!u ,u ＝|x －1|。
由于u ≥0且y′＝错误!u 是减函数， 故0〈错误!｜x －1｜≤1，则1＜y≤2。
1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x （a>0，a ≠1）叫做指数函数,函数的定义域是R ．2。
指数函数的图象与性质a>1 0<a 〈1图象定义域 R 值域(0,＋∞）［备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x ）＝错误!－错误!＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －错误!＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝错误!2＋错误!.∵ x ∈［－3，2］, ∴ 错误!≤2－x ≤8.则当2－x ＝错误!，即x ＝1时，f （x ）有最小值34;当2－x ＝8,即x ＝－3时，f(x ）有最大值57。
必修一基本初等函数复习PPT课件
18
底数互为倒数的两个 对数函数
y = loga x, y = log1 x
的函数图像关于x轴对a称。
19
当a>1时，a值越大， y=logax的图像越靠近x轴；
当0<a<1时，a值越大， y=logax的图像越远离x轴。
20
4.若loga2＜logb2＜0，则( B )
(A)0＜a＜b＜1
(B)0＜b＜a＜1
y
叫做幂函数，
其中x是自变
量，α是常数.
O
x
23
幂函数的性质
函数
性质 y=x
y=x2
1
y=x3 y = x 2
y=x-1
定义域 R
R
R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇
单调性
增
[0,+∞)增 (-∞，0]减
增
非奇非偶 奇
(0,+∞)减
常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便， N的常用对数记作lgN。
自然对数：通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对数
叫
做自然对数，为了简便，
N的自然对数logeN简记作lnN.
12
2024/10/27
13
9.对数恒等式
( ) aloga N = N a 0且a 1，N 0 叫做对数恒等式
10.对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1=0； (3)底数的对数等于1，即logaa=1 11.对数的运算法则 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
幂函数、指数函数和对数函数 知识点梳理
幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理
函数是高中数学的一个基本而重要的知识点，它的有关概念和理论是研究运动变化着的变量间相互依赖关系的规律的工具。
在高考试题中占有很大的比重。
在高中阶段是运用集合、对应的思想，即"映射"的观点去概括函数的一般定义，深化函数的概念。
函数作为中学数学的重要知识体系，不但其自身内容十分丰富，而且与不等式、数列、三角、复数、解析几何等都紧密相连，因此，要用运动变化，相互联系，相互制约，相互转化的观点和方法去分析问题和解决问题。
此外，还应重视数形结合，分类讨论，等价转化（包括变形，换元等）等重要的思想方法的运用，加强函数与各部分知识间的联系，加强综合运用知识和方法的能力，在函数复习中应给予高度的.现将有关知识点作如下归纳，供复习参考.
1．幂函数
(1)定义形如y=xα的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形
2．指数函数和对数函数
(1)定义
指数函数，y=a x(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．
对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)．
指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数．
(2)指数函数y=a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．
(3)指数方程和对数方程
指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．。
专题复习幂函数、指数函数、对数函数.ppt
y=x
当n<0
1
x
O
1
(1) 图象必经过点（1 , 1）；
(2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而减小 ;
(3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，
图象向右与 x 轴无限地接近 。
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性， 因函数式中α的不同而各异.
• ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且函数图象都通过点(1,1).
高三数学第二轮复习课件
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx R
R
奇函数 增函数 (0,0),(1,1)
y x2 R
y x3 R
1
y x2
y0
R
偶函数 奇函数
(0,0),(1,1)
增函数 (0,0),(1,1)
y 0 非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1)
10.设f (x) lg(10 x 1) ax是偶函数， g(x) 4x b 是奇函数， 2x
那么a b的值是 ( D )
A. 1
B. -1
C.
1 2
1 D. 2
11.函数f (x) loga (x 1 x2 )是 ( A )
A.是奇函数，但不是偶函数 B. 是偶函数，但不是奇函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 既不是奇函数，又不是偶函数
(3)y log2 (3 x2 2x) (,2]
(4)已知x [3，2]，求函数f (x)
1 4x
1 2x
1
的值域
(5)已知x [1,8]，求函数g(x)
必修一： 指数函数、对数函数、幂函数综合
必修一：指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）． 【知识框图】【要点梳理】要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质：（1）当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（2）na =3．分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1mnm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s r sa a a+= （2）()r srsa a = （3）()rr r ab a b =要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2要点三：对数与对数运算 1．对数的定义（1）若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．（2）负数和零没有对数．（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．2．几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．3．常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2要点五：反函数 1．反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x yϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．2．反函数的性质（1）原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．（2）函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．（3）若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．（4）一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 要点六：幂函数 1．幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1．化简与计算下列各式 （1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--． 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好． 【答案】（1）1615；（2）100；（3）2a ． 【解析】（1）原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+11610-=1615；（2）原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =5937100331648++-+=100 （3） 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=．【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：（1）133241116()()8()100481----+⋅； （2． 【答案】（1）-27；（2【解析】（1）1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯ 344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭；（2133⎫=1)1)==⨯=例2．已知：4x =，求：111244311422111x x xx x xx -+⋅⋅+++的值．【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法． 【答案】2 【解析】111244311422111x x x x x x x -+⋅⋅+++11441411122411111x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++ ⎪⎝⎭1111442211122211111111x xx x x x xx x --=⋅⋅+=+=-+=++∴ 当4x =时，111112442231142211421x x xx x x xx -+⋅⋅+===++．【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算． 解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3．计算 （1）2221log log 12log 422-； （2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++；（3）222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++． 【答案】（1）12-；（2）1；（3）3；（4）14．【解析】（1）原式=122221log 12log log 22-⎫===-； （2）原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1（3）原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】（1）2；（2）54． 【解析】（1） 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2） 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 4．（2015年山东高考）设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=（ ）A ．1B ．78C ．34D ．12【答案】D【解析】由题意，555()3662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得， 51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224b b -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D ． 【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值． 举一反三：【变式1】已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ ）．A ．12B ． 45 C ． 2 D ． 9 【答案】C ．【解析】1,()21x x fxf <=+∴=，由((0)f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+，2a ∴=，选C ．例5．（2016 湖南岳阳模拟）若函数y =f （x ）的定义域是[2，4]，则12(log )y f x =的定义域是（ ） A ．1[,1]2 B ．[4，16] C ．11[,]164D ．[2，4] 【思路点拨】令12log x t =，使t 满足y =f （x ）的定义域中x 的取值范围相同，求出12(log )y f x =的定义域即可．【答案】C【解析】∵12(log )y f x =，令12log x t =，∴12(log )()y f x f t ==，∵函数y =f （x ）的定义域是[2，4]， ∴y =f （t ）的定义域也为[2，4]，即2≤t ≤4， ∴有122log 4x ≤≤，解得：11164x ≤≤， ∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围， ∴12(log )y f x =的定义域为11164x ≤≤，即：11[,]164． 故选C ．【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，运用整体代换（换元法）即可迎刃而解．【高清课堂：幂指对综合377495 例4】1-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)xy x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】例7． 函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
必修一指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个全然函数的考察一直是高考必考重点，关于指对函数考察要紧集中在图像性质〔如定点、概念域、运算性质、单调性、复合函数单调性和比拟大小等热点考点〕，对幂函数要紧考察五中全然类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一路考察，故在高一时期应该打好根底，学好三种全然函数的全然性质及其运用. 一、根底知识回忆 〔1〕含零的指数幂运算：○101(0)a a =≠ ○201(0)xx =>〔2〕根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ⇒≥当， ○21(0)nn aa a-=≠ ○301)n m a a n =>>， ○41(0)nmn ma a a -=> 〔3〕指数幂的运算性质 ○1(0)mnm na a aa m n R +=>∈，， ○2()(0)m n mna a a m n R =>∈，，○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求以下函数的概念域：〔1〕20()(23)f x x x =+- 〔2〕223()0x x f x --= 〔3〕()f x =4〕324()(2)f x x x =--练习2 求以下式子的值：〔1〕314422 〔2〕78472⎛⎫ ⎪⎝⎭〔3〕22- 〔4〕1216二、指数函数概念：一样形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x x f x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考察图像例1：2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考察指数函数全然性质，因为()f x 的图像必过〔0，1〕且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求以下各式知足条件的x 的解集：〔1〕2()21xf x =< 〔2〕3()39x f x -=< 〔3〕223()0.51xx f x +-=<题型2：比拟大小例2：232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比拟a b c ，，的大小 解析：能够发觉a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，能够由草图得知a c <解：b a c <<练习1 有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在以下条件下比拟m n ，的大小〔1〕a b = 〔2〕00a b >>， 〔3〕00a b <<， 〔4〕00a b ><，〔5〕00a b <>，题型3：判定单调性求值域例3：函数22()2xx f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，依照复合函数“同增异减〞取得()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432，练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考察例4： 关于x 的方程211()32533xxf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进展转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔01t <≤〕，原方程转化为2()325f t t t =-+，由于t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔01t <≤〕，原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数概念：一样假设有(01)xa N a a =>≠，，那么x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-=单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考察对数函数概念域例1 函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的概念域解析：此题复合函数考察定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的概念域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的概念域为()4(1)-∞-+∞，，练习1 函数22()log (34)f x x x =--，求函数的概念域.练习2 函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的概念域.题型2：考察单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的概念域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t =在()0+∞，上为增函数，“同增异减〞，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考察对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：能够发觉直接求值是行不通的，能够将原式运用对数运算性质进展化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯==练习1 计算以下各式的值〔1〕22log 24log 3- 〔2〕816log 16log 8+ 〔3〕44log 92log 3-题型4：考察奇偶性 例4 函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判定函数()f x 奇偶性 解析：判定函数的奇偶性第一要判定概念域是不是关于原点对称，再运用其奇偶性判定方式构造()f x -，比拟()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<〔关于原点对称〕 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭因此()f x 是奇函数练习1 函数122()log 2x f x x +=-，试判定函数()f x 的奇偶性，假设12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值题型5：比拟大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb da b c d ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比拟a b c d ，，，的大小四、幂函数概念：一样形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判定例1 假设122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m xn --+-为幂函数，那么必需符合幂函数的几个判定条件，由判定条件解出m n ，的值，那么能够求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判定以下函数是不是为幂函数：〔1〕2y x = 〔2〕33y x =⨯ 〔3〕2y x -=〔4〕1y x =+ 〔5〕y x = 〔6〕13x y +=〔7〕2xy = 〔8〕12y x = 〔9〕32x y =练习2 假设13()(2)mf x m x+=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：关于ay x =〔a R ∈〕由图像先判定a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数那么0a >，假设图像只是原点且在第一象限为减函数那么0a <；第二判定奇偶性，假设图像关于y 轴对称，那么a 为偶数且幂函数为偶数，假设图像关于原点对称，那么a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典稳固练习2. 〔2006福建〕()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =那么( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. 〔2006湖北〕设2()lg2x f x x +=-，那么)2()2(xf x f +的概念域为〔 〕 A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. 〔2006湖南〕函数x y 2log =的概念域是〔 〕A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞)5. 〔2006湖南〕函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞) 7. 〔2006天津〕设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，那么〔 〕A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. 〔2006浙江〕1122log log 0m n <<，那么〔 〕A. n ＜m ＜ 1 ＜n ＜ 1 ＜ m ＜n ＜n ＜m 10. 〔2006全国〕假设ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，那么〔 〕A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. 〔2005上海〕假设函数121)(+=x x f ，那么该函数在(),-∞+∞上是〔 〕A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. 〔2005北京〕函数2log y x =的图象是〔 〕13. 〔2005〕函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的概念域为〔 〕 A ．〔1，2〕∪〔2，3〕 B ．),3()1,(+∞⋃-∞ C ．〔1，3〕 D ．[1，3]16. 〔2021北京〕为了取得函数的图像，只需把函数的图像上所有的点〔 〕 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3lg10x y +=lg y x =A1xy O B1 xy O C1 xy O D1 xyO18. 〔2021全国〕设2lg (lg )a e b e c ===，， 〕A. B . C. D. 19. 〔2021广东〕假设函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的概念域均为R ，那么〔 〕A ．f 〔x 〕与g 〔x 〕均为偶函数 B. f 〔x 〕为偶函数，g 〔x 〕为奇函数 C ．f 〔x 〕与g 〔x 〕均为奇函数 D. f 〔x 〕为奇函数，g 〔x 〕为偶函数22. 〔2005湖北〕函数x x x x f ---=4lg 32)(的概念域是 ． 27. 〔2021四川〕计算 .28. 〔2021江苏〕函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.29. 〔2021陕西〕设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，， 那么((2))f f - =__ ____.a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷。
高中数学_必修1_指数函数及幂函数_总复习.doc
一、指数函数1. 整数指数幕a° = l(a 工 0) ； a " = —w N,a 工 0)；2、 指数函数【1】一般形式：y = a" (a 〉0,a 工1)； 【2】定义域：(-8,+8);值域：(0,+8); 【3】函数值变化情况：> l(x > 0)当 a 〉1 时，a* < = 1(x =0)；< l(x<0)< l(x > 0) 当 0 < a < 1 时，a' < = 1( x = 0)>l(x<0)【4】单调性：当a 〉l 时，y = 是增函数；当0 <a< 1时，y = a v 是减函数【类型题归纳】【例题1】下列哪些是指数函数：(1) y = (-4)v ； (2) y = 2宀i ； (3) y = a x-,(4) y = (2a-l )x (a 〉工 1) ； (5) y = 2・3*.【总结升华】判断一个函数是否为指数函数，要紧扣指数函数的定义：其一，底数大于0且不等于1；其 二,幕指数是单一的自变量x ；其二，系数为1,且没有其他的项.2、 设 3"=丄，贝IJ ()7A 、—2 < x < —1B 、—3 < x < —2C 、—1 < x V 0D 、0 < x < 13、 若函数于(兀)=/(0>0卫北1),则下列等式不正确的是()A 、f(x+y) = f(x)f(y)B 、f[(xy)"] = f n Wf n (y)C 、/(x- y^ = ~~~D 、f (zzx) = /"(x)f(y)【总结】对于f(x + y) = f(x)f(y)类型的抽象函数，y = a x可以作为它的一个经典原型，用来解决实际 问题。
4、 化简(V V ?)4-(V V F )4的结果为()A 、a 16B 、aC 、aD 、cT【例题5】求下列函数的定义域、值域:必修1数学指数函数及幕函数m(1) y = 4A +2x+1+l ；【变式训练】求函数y =(-)' 的单调区二、幕函数定义：一般地，函数y = x a叫做幕函数，其中x 是自变量，a 是常a x -1(2) y = -------------------------------------- (a 〉0 ,且a M1).a* +1【变式训练】求下列函数的定义域、值域：(1) y = (-)-|rl ； (2) y = 0.51+2^2.【例题6】比较下列各组数的大小.(1) 1.7", 1.73； (2) 0.8-01,1.25°-2； (3) 1.703,0.931 ； (4) 4.5"」,3.7%.【例题7］讨论函数f(x)=(丄产"的单调性，并求其值域.(2) 注意：对于幕函数，我们只讨论a =1,2,3,-,-1时的情形. 23、K. k>m>n>pC. m> n> p>kn>m>k>p写出下列函数的定义域、值域，判断（1）的奇偶性和_3(2) y = x(3) y = (x+ 2)奇偶性单调性公共点2、幕函数的图象不过第四象限3、幕函数y = x"的奇偶性的判断：令口= L（其中互质，p,qwN ）p£ £【1】若p是奇数，则y = x p的奇偶性取决于g是奇数或偶数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
年级高一学科数学版本人教新课标A版课程标题必修1 第二章幂函数、指数函数、对数函数综合复习编稿老师王志国一校林卉二校李秀卿审核吴华斌一、学习目标：1、熟练掌握幂的运算和对数的运算。
2、进一步理解指数函数、对数函数和幂函数的概念和意义，能画出草图并能熟练应用其性质。
3、在解决简单实际问题的过程中，能理解指数函数、对数函数和幂函数是三种不同的函数模型。
二、重点、难点：重点是熟练掌握幂的运算和对数的运算，指数函数、对数函数和幂函数的概念并能熟练应用其性质。
难点是指数函数、对数函数和幂函数性质的熟练应用，尤其是对分类讨论思想的理解。
三、考点分析：1、掌握幂的运算，理解对数的概念及其运算性质。
2、理解指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象及其性质。
3、指数函数、对数函数和幂函数作为高中学习阶段三种重要的函数模型，一直是考试的重点和热点。
知识点一：指数函数例1：如图是指数函数xxxxy a y b y c y d ====，，，的图象，则a b c d ，，，与1的大小关系是（ ）A. 1a b c d <<<<B. 1b a d c <<<<C. 1a b d c <<<<D. 1a b c d <<<< 思路分析：解本题的关键在于令x ＝1，这样一来，比较a b c d ，，，与1的大小关系就变成了比较四个函数的函数值与1的大小关系了。
解答过程：在同一坐标系中作出四个指数函数的图象，并作出直线1x =的图象，且它与指数函数图象有交点，则交点纵坐标就分别是c d a b ，，，，从图中可以看到它们由上至下依次变小，故正确选项为B 。
解题后的思考：指数函数(01)xy a a a =>≠且，的图象恒过(01)，点，作出直线1x =与x y a =交点的纵坐标，即为对应的指数函数的底数，靠上的点对应的数值大，则底数较大。
例2：当0x >时，2()(1)xf x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围为（ ） A. 12a <<B. 1a <C. 1a >D. 2a >思路分析：将21a -看作一个整体，借助指数函数的图象与性质来解决。
解答过程：作出两条指数函数图象，如图所示。
当0x >时，2()(1)xf x a =-的值总大于1，作直线1x =与xy m =，xy n =的交点，则其在y 轴上的投影的对应值为m n ，，由图象可看出1m n >>，于是211m a =->，解得2a >D 。
解题后的思考：“整体法”是代数的基本方法之一，要熟练掌握。
知识点二：对数及对数函数例3：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值思路分析：先根据对数的定义求出b ，再利用换底公式将108log 81表示成以54为底的对数。
解答过程：由54b＝3得54log 3＝b ∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a ba+++==+--解题后的思考：先将指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果是解决这类问题的常用方法。
例4：已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠，讨论()f x 的奇偶性。
思路分析：计算()f x -，由11111x xx x+-⋅=-+，据此判定()f x 的奇偶性。
解答过程：由10101010101x x xx x x +>+<⎧⎧+>⇔⎨⎨->-<-⎩⎩或 解得函数()f x 的定义域为(1,1)x ∈-，且1111()()log log log ()01111a a a x x x xf x f x x x x x-+-+-+=+=⋅=+-+-。
即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数。
解题后的思考：若()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=则()f x 为偶函数。
例5：求函数212()log (32)f x x x =-+的单调区间。
思路分析：先求出()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性的判定法则求解。
解答过程：由23201x x x -+>⇔<或x>2或2x >，得函数)x (f 的定义域为(,1)(2,)x ∈-∞+∞。
设232u x x =-+，则12log y u =1012<<，y ∴在(0,)u ∈+∞上单调递减， 又由223132()24u x x x =-+=--在3(,]2x ∈-∞上单调递减，在3[,)2x ∈+∞上单调递增。
∴()f x 在(,1)x ∈-∞上单调递增，在(2,)x ∈+∞上单调递减。
解题后的思考：对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一，先考虑定义域；第二，再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同增异减）。
例6：已知函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦（1）定义域是R ，求m 的取值范围； （2）值域是R ，求m 的取值范围。
思路分析：在已知对数函数的定义域是R 与值域是R ，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。
解答过程：（1）因为函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的定义域是R ，故而对任意x R ∈有21(1)04mx m x +-+>恒成立。
1）m ＝0时，有 104x -+>不恒成立，与题意矛盾。
故舍之；2）0m ≠时，由二次函数的性质可得：{20(1)0552m m m >∆=--<+⇔<20(1)0m m m m >∆=--<⇔<< 综上，m ∈ （2）因为函数21()log (1)4af x mx m x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域是R ，故而有23(1)02m m m ∆=--≥⇔≤≥m 2解题后的思考：解本题的关键在于通过对图象的分析，理解到对数的值域为R ，则定义域必须从零开始。
知识点三：幂函数、指数函数和对数函数的综合例7：已知函数()g x 的图象沿x 轴方向向左平移1个单位后与()3xf x =的图象关于直线y x =对称，且(19)2g a =+，则函数3(01)ax y x =<≤的值域为 。
思路分析：先求出函数()3xf x =关于直线y x =对称的函数，再向右平移回去，得到()g x 的解析式，进而求出a ，最后求值域。
解答过程：函数3xy =关于直线y x =对称的函数为3log y x =。
3log y x =向右平移1个单位得到3log (1)y x =-，∴3()log (1)g x x =-。
∴33(19)log 182log 2g ==+。
∴3log 23log 2,3(3)2axxx a y =∴===。
∵(0,1],(1,2]x y ∈∈则。
解题后的思考：底数相同的指数函数与对数函数关于y x =对称，它们之间还有一个关系式：log (1,0,0)a NaN a a N =≠>>例8：已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=。
（1）证明：()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明。
思路分析：对第（1）问，应先求定义域，如果有多个区间，其单调性要分别讨论。
第（2）问是一道归纳题，要经历观察，归纳，猜想和证明的全过程。
解答过程：（1）证明：∵函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，又11113333()()()()55x x x xf x f x-------==-=-，∴()f x是奇函数。
设12x x<，且1x、2(0,)x∈+∞，则12()()f x f x-11113333112255x x x x----=-1133121133121115x xx x⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭。
∵113312x x-<，113312110x x+>，∴12()()0f x f x-<，∴()f x在(0,)+∞上单调递增。
又∵()f x是奇函数，∴()f x在(,0)-∞上也是单调递增。
故()f x的单调区间为(,0)-∞和(0,)+∞。
（2）解：计算得(4)5(2)(2)0f f g-=，(9)5(3)(3)0f f g-=。
由此概括出对所有不等于零的实数x有2()5()()0f x f xg x-=。
∵2()5()()f x f xg x-2211113333335555x x x x x x-----+=-⨯⨯222233331155x x x x--⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0，∴2()5()()0f x f xg x-=。
解题后的思考：奇函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性一致；偶函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性相反；类似这样的性质平时要注意积累，对解题会有很大的帮助。
对于指数函数和对数函数要认真分析它们各自的图象与性质的差异，做到数与形的紧密结合。
看见函数式，要立刻联想到它的图象；反之，见到图象，也要能确定函数式的底数a 的范围。
一、预习新知1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象有什么关系？2、怎样求7x32x=+的近似解。
二、预习点拨函数零点的定义是。
函数零点与方程根的关系是。
函数零点存在的条件是。
二分法的定义是。
用二分法求函数零点的一般步骤是。
（答题时间：60分钟）一、选择题：1. 函数210)2()5(--+-=x x y 的定义域是 （ ）A. }2,5|{≠≠x x xB. }2|{>x xC. }5|{>x xD. }552|{><<x x x 或2. 设函数y ＝lg （x 2－5x ）的定义域为M ，函数y ＝lg （x －5）＋lg x 的定义域为N ，则（ ） A. M ∪N ＝R sB. M ＝N C. M ⊇N D. M ⊆N3. 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A. 是奇函数又是减函数 B. 是偶函数又是增函数 C. 是奇函数又是增函数 D . 是偶函数又是减函数4. 当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ ）5. 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ） A. ]6,(--∞ B. ),6[+∞- C. ]1,(--∞ D. ),1[+∞-6. 北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据：1.14＝1.46，1.15＝1.61） （ ） A. 10% B. 16.4% C. 16.8% D. 20%7. 函数||2)(x x f -=的值域是 （ ） A. ]1,0(B. )1,0(C. ),0(+∞D. R 8. 已知2)(x x e e x f --=，则下列说法正确的是（ ）A. 奇函数，在R 上为增函数B. 偶函数，在R 上为增函数C. 奇函数，在R 上为减函数D. 偶函数，在R 上为减函数二、填空题：9. 幂函数f （x ）的图象过点427)，则f （x ）的解析式是。